《3.2.1 几类不同增长的函数模型》同步练习（含解析）

人教A版必修1《3.2.1 几类不同增长的函数模型》同步练习卷
一．填空题（共10小题）
1．函数f（x）＝﹣x2+|x|的单调增区间为　 　．
2．函数f（x）＝（a＞0）的单调递增区间是　 　．
3．若是函数f（x）＝2cos（3x+φ），φ∈（0，π）的一条对称轴，则函数f（x）在区间上的单调递减区间为　 　．
4．函数f（x）＝﹣x2+2x的单调递增区间为　 　．
5．函数f（x）＝|x2﹣1|的单调增区间为　 　．
6．f（x）＝（2x﹣1）的单调递增区间是　 　．
7．函数f（x）＝（a＞b＞0）的单调递减区间为　 　．
8．已知f（x）在定义域内是减函数，且f（x）＞0，在其定义域内下列函数为单调增函数的是　 　．
①y＝a+f（x）（a为常数）；②y＝a﹣f（x）（a为常数）；③y＝；④y＝[f（x）]2．
9．函数y＝|﹣x2+2x+1|的单调递增区间为　 　．
10．函数y＝﹣x2+2|x|+3的单调递减区间为　 　，函数y＝|﹣x2+2x+3|的单调递减区间为　 　．
二．选择题（共12小题）
11．已知函数f（x）＝，若，b＝f（e0.1），，则a，b，c的大小关系是（　　）
A．b＜c＜a B．a＜b＜c C．c＜b＜a D．a＜c＜b
12．下列函数中，既是（0，+∞）上的增函数，又是偶函数的是（　　）
A．y＝ B．y＝2x C．y＝1﹣|x| D．y＝lg|x|
13．若函数f（x）＝|3x+a|的单调递减区间是（﹣∞，3]，则a的值为（　　）
A．9 B．3 C．﹣9 D．﹣3
14．下列函数中，在区间（0，+∞）上单调递增且存在零点的是（　　）
A．y＝ex B． C． D．y＝（x﹣1）2
15．已知函数f（x）＝﹣x|x|+2x，则下列结论正确的是（　　）
A．递增区间是（0，+∞） B．递减区间是（﹣∞，﹣1）
C．递增区间是（﹣∞，﹣1） D．递增区间是（﹣1，1）
16．已知实数m是给定的常数，函数f（x）＝x3+﹣mx+1的图象不可能是（　　）
A． B．
C． D．
17．下列函数在（0，+∞）上单调递增的是（　　）
A．y＝2|x| B． C． D．y＝x2﹣x
18．函数在区间（2，+∞）上单调递增，那么实数a的取值范围是（　　）
A．0＜a≤2 B．0＜a≤4 C．a≥4 D．a≤4
19．当x＞0时，，则f（x）的单调递减区间是（　　）
A．（2，+∞） B． C． D．（0，2）
20．定义在R上的函数f（x）具有下列性质：①f（x+1）＝f（1﹣x）；②f（x+4）＝f（x）；③当1≤x1＜x2≤3时，[f（x1）﹣f（x2）] （x1﹣x2）＞0，则（　　）
A．
B．
C．
D．
21．下列函数中，增长速度越来越慢的是（　　）
A．y＝6x B．y＝log6x C．y＝x6 D．y＝6x
22．函数y＝的单调递减区间是（　　）
A．（﹣∞，1），（1，+∞） B．（﹣∞，1）∪（1，+∞）
C．{x∈R|x≠1} D．R
三．解答题（共5小题）
23．已知f（x）＝2x+logax（a＞0且a≠1），其图象过P（2，5）．
（1）求a的值：
（2）若f（2m+3）﹣f（3m﹣5）＞0，求m的取值范围．
24．求下列函数的单调区间
（1）y＝21﹣x
（2）y＝（）．
25．试确定函数y＝x2﹣5x+6的单调区间．
26．求函数y＝﹣x2+2|x|+3的单调增区间．
27．已知函数f（x）＝﹣x2+2|x|+3．
（1）用分段函数的形式表示f（x）．
（2）画出f（x）的图象．
（3）根据图象写出f（x）的单调区间．
人教A版必修1《3.2.1 几类不同增长的函数模型》2021年最热同步卷
参考答案与试题解析
一．填空题（共10小题）
1．函数f（x）＝﹣x2+|x|的单调增区间为　（﹣∞，﹣），（0，）　．
【解答】解：因为f（x）＝﹣x2+|x|＝，其图象如图所示，
结合图象可知，函数的单调递增区间为（﹣∞，﹣），（0，）．
故答案为：（﹣∞，﹣），（0，）．
2．函数f（x）＝（a＞0）的单调递增区间是　（﹣1，1）　．
【解答】解：函数f（x）＝（a＞0）
所以f′（x）＝（a＞0），
当f′（x）＞0时，（x+1）（x﹣1）＜0，解得﹣1＜x＜1．
故单调递增区间为（﹣1，1），
故答案为：（﹣1，1）．
3．若是函数f（x）＝2cos（3x+φ），φ∈（0，π）的一条对称轴，则函数f（x）在区间上的单调递减区间为　[，]　．
【解答】解：根据题意，若是函数f（x）＝2cos（3x+φ），则有（+φ）＝kπ，
即φ＝kπ﹣，
又由φ∈（0，π）则φ＝π，
则f（x）＝2cos（3x+π），
又由2kπ≤3x+π≤2kπ+π，解可得：﹣≤x≤+，其f（x）的递减区间为[﹣，+]；
当k＝1时，其一个递减区间为[，]，
则在区间上，其递减区间为[，]；
故答案为：[，]．
4．函数f（x）＝﹣x2+2x的单调递增区间为　（﹣∞，1]　．
【解答】解：根据题意，f（x）＝﹣x2+2x＝﹣（x﹣1）2+1，是开口向下的二次函数，其对称轴为x＝1，
故f（x）的单调递增区间为（﹣∞，1]；
故答案为：（﹣∞，1]．
5．函数f（x）＝|x2﹣1|的单调增区间为　（﹣1，0）和[1，+∞）　．
【解答】解：函数f（x）＝|x2﹣1|＝，
如图所示：
故它的单调增区间 （﹣1，0）和[1，+∞），
故答案为：（﹣1，0）和[1，+∞）．
6．f（x）＝（2x﹣1）的单调递增区间是　[）．　．
【解答】解：要求f（x）＝（2x﹣1）的单调递增区间，只要求y＝（2x﹣1）2的单调递增区间，
根据二次函数的性质可知，y＝（2x﹣1）2的单调递增区间[）．
故答案为：[）．
7．函数f（x）＝（a＞b＞0）的单调递减区间为　（﹣∞，﹣b），（﹣b，+∞）　．
【解答】解：f（x）＝＝＝1+（a＞b＞0），
∵a＞b＞0，∴a﹣b＞0，
∴函数f（x）在（﹣∞，﹣b），（﹣b，+∞）递减，
故答案为：（﹣∞，﹣b），（﹣b，+∞）．
8．已知f（x）在定义域内是减函数，且f（x）＞0，在其定义域内下列函数为单调增函数的是　②③　．
①y＝a+f（x）（a为常数）；②y＝a﹣f（x）（a为常数）；③y＝；④y＝[f（x）]2．
【解答】解：由题意，可知
∵f（x）在定义域内是减函数，且f（x）＞0，
∴y＝f（x）+a在定义域内也是减函数，①不满足单调增，排除；
而﹣f（x），均为递增函数，②③满足单调增，符合题意；
对于④：令u＝f（x），则y＝u2在（0，+∞）上单调增，
根据复合函数的单调性可知y＝[f（x）]2单调减，不满足单调增，排除；
故答案为：②③．
9．函数y＝|﹣x2+2x+1|的单调递增区间为　[1﹣，1]和[1+，+∞）　．
【解答】解：画出函数y＝|﹣x2+2x+1|图象如图，﹣x2+2x+1＝0，可得x1＝1﹣，x2＝1+，
由图知函数的增区间为[1﹣，1]和[1+，+∞），
故答案为：[1﹣，1]和[1+，+∞）．
10．函数y＝﹣x2+2|x|+3的单调递减区间为　（﹣1，0），（1，+∞）　，函数y＝|﹣x2+2x+3|的单调递减区间为　（﹣∞，﹣1），（1，3）　．
【解答】解：作出函数y＝﹣x2+2|x|+3＝﹣|x|2+2|x|+3的图象如下图所示：
由图象可知，函数y＝﹣x2+2|x|+3的单调递减区间为（﹣1，0），（1，+∞）；
作出函数y＝|﹣x2+2x+3|的图象如下图所示：
由图象可知，函数y＝|﹣x2+2x+3|的单调递减区间为（﹣∞，﹣1），（1，3）．
故答案为：（﹣1，0），（1，+∞）；（﹣∞，﹣1），（1，3）．
二．选择题（共12小题）
11．已知函数f（x）＝，若，b＝f（e0.1），，则a，b，c的大小关系是（　　）
A．b＜c＜a B．a＜b＜c C．c＜b＜a D．a＜c＜b
【解答】解：根据题意，函数f（x）＝，其定义域为（0，+∞）
其导数f′（x）＝﹣﹣＝﹣（+）＜0，则f（x）在其定义域上为减函数，
0＜log3＜log3＝，e0.1＞e0＝1，＝，则有log3＜＜e0.1，
则b＜c＜a，
故选：A．
12．下列函数中，既是（0，+∞）上的增函数，又是偶函数的是（　　）
A．y＝ B．y＝2x C．y＝1﹣|x| D．y＝lg|x|
【解答】解：函数在（0，+∞）上是减函数，且是奇函数，即A不符合题意；
函数y＝2x是非奇非偶函数，即B不符合题意；
函数y＝1﹣|x|在（0，+∞）上是减函数，即C不符合题意；
对于函数y＝lg|x|，当x＞0时，有y＝lgx，单调递增；而f（﹣x）＝lg|﹣x|＝lg|x|＝f（x），所以f（x）是偶函数，即D正确．
故选：D．
13．若函数f（x）＝|3x+a|的单调递减区间是（﹣∞，3]，则a的值为（　　）
A．9 B．3 C．﹣9 D．﹣3
【解答】解：f（x）＝|3x+a|是由y＝|3x|的图象向左或向右平移||个单位得到，
而y＝|3x|的单调递减区间为（﹣∞，0]，
所以f（x）＝|3x+a|的单调递减区间为（﹣∞，﹣]，
所以﹣＝3，所以a＝﹣9．
故选：C．
14．下列函数中，在区间（0，+∞）上单调递增且存在零点的是（　　）
A．y＝ex B． C． D．y＝（x﹣1）2
【解答】解：函数y＝ex＞0恒成立，不存在零点，即A不符合题意；
函数恒成立，不存在零点，即B不符合题意；
函数在（0，+∞）上单调递增，且当x＝1时，y＝0，所以函数的零点为x＝1，即C正确；
函数y＝（x﹣1）2在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，即D不符合题意．
故选：C．
15．已知函数f（x）＝﹣x|x|+2x，则下列结论正确的是（　　）
A．递增区间是（0，+∞） B．递减区间是（﹣∞，﹣1）
C．递增区间是（﹣∞，﹣1） D．递增区间是（﹣1，1）
【解答】解：f（x）＝﹣x|x|+2x＝，
当x≥0时，f（x）的开口向下，对称轴为x＝1，
单调递增区间为[0，1），单调递减区间为（1，+∞）；
当x＜0时，f（x）的开口向上，对称轴为x＝﹣1，
单调递增区间为（﹣1，0），单调递减区间为（﹣∞，﹣1），
综上，函数f（x）的单调递增区间为（﹣1，1），单调递减区间为（﹣∞，﹣1）和（1，+∞）．
故选：D．
16．已知实数m是给定的常数，函数f（x）＝x3+﹣mx+1的图象不可能是（　　）
A． B．
C． D．
【解答】解：f（0）＝1，f'（x）＝3x2+（1﹣3m）x﹣m＝（3x+1）（x﹣m），
当m＞0时，函数f（x）在和（m，+∞）上单调递增，在上单调递减，选项A，C的图象有可能符合题意；
当m＝0时，令f'（x）＜0，得；令f'（x）＞0，得或x＞0．
所以函数f（x）在和（0，+∞）上单调递增，在上单调递减，选项B的图象不符合题意；
当时，函数f（x）在（﹣∞，m）和上单调递增，在上单调递减，选项D的图象有可能符合题意．
故选：B．
17．下列函数在（0，+∞）上单调递增的是（　　）
A．y＝2|x| B． C． D．y＝x2﹣x
【解答】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，y＝2|x|＝，在（0，+∞）上单调递增，符合题意；
对于B，y＝，为反比例函数，在（0，+∞）上单调递减，不符合题意；
对于C，y＝（）x，为指数函数，在（0，+∞）上单调递减，不符合题意；
对于D，y＝x2﹣x，为二次函数，在（0，）上单调递减，不符合题意；
故选：A．
18．函数在区间（2，+∞）上单调递增，那么实数a的取值范围是（　　）
A．0＜a≤2 B．0＜a≤4 C．a≥4 D．a≤4
【解答】解：根据题意，函数，其导数f′（x）＝1﹣＝，
若在区间（2，+∞）上单调递增，则f′（x）＝≥0在（2，+∞）上恒成立，
则有a≤x2在（2，+∞）上恒成立，
必有a≤4，
故选：D．
19．当x＞0时，，则f（x）的单调递减区间是（　　）
A．（2，+∞） B． C． D．（0，2）
【解答】解：根据对勾函数单调性，f（x）在上单调递减，
故选：C．
20．定义在R上的函数f（x）具有下列性质：①f（x+1）＝f（1﹣x）；②f（x+4）＝f（x）；③当1≤x1＜x2≤3时，[f（x1）﹣f（x2）] （x1﹣x2）＞0，则（　　）
A．
B．
C．
D．
【解答】解：∵函数f（x）满足①f（x+1）＝f（1﹣x）；②f（x+4）＝f（x）可得f（x）的对称轴方程为x＝1，周期T＝4．
又由函数f（x）满足③当1≤x1＜x2≤3时，[f（x1）﹣f（x2）] （x1﹣x2）＞0知：当x1＜x2时，f（x1）＜f（x2）
故f（x）在x∈[1，3]时单调递增，又f（x）的图象关于x＝1对称，所以f（x）在（0，1）单调递减．
∵f（x）的周期T＝4，
∴f（）＝f（）．∵，∴0＜sin＜＜cos＜1．∴f（sin）＞f（）＝f（）＞f（cos）．
故选：A．
21．下列函数中，增长速度越来越慢的是（　　）
A．y＝6x B．y＝log6x C．y＝x6 D．y＝6x
【解答】解：根据题意，
对于y＝6x，y＝x6，随着x的增大，函数值的增长速度越来越快，
对于y＝6x，随着x的增大，函数值的增长速度保持不变，
y＝log6x随着x的增大，函数值的增长速度越来越慢，
故选：B．
22．函数y＝的单调递减区间是（　　）
A．（﹣∞，1），（1，+∞） B．（﹣∞，1）∪（1，+∞）
C．{x∈R|x≠1} D．R
【解答】解：y＝定义域为{x|x≠1}，
y＝在（﹣∞，0），（0，+∞）上单调递减，
y＝y＝，
所以函数y＝的单调递减区间为（﹣∞，1），（1，+∞），
故选：A．
三．解答题（共5小题）
23．已知f（x）＝2x+logax（a＞0且a≠1），其图象过P（2，5）．
（1）求a的值：
（2）若f（2m+3）﹣f（3m﹣5）＞0，求m的取值范围．
【解答】解：（1）根据题意，f（x）＝2x+logax（a＞0且a≠1），其图象过P（2，5），
则f（2）＝4+loga2＝5，解可得a＝2，
（2）由（1）的结论，a＝2，则f（x）＝2x+log2x，则f（x）在（0，+∞）上为增函数，
则f（2m+3）﹣f（3m﹣5）＞0 f（2m+3）＞f（3m﹣5） 2m+3＞3m﹣5＞0，
解可得：＜m＜8，即m的取值范围为（，8）．
24．求下列函数的单调区间
（1）y＝21﹣x
（2）y＝（）．
【解答】解：（1）定义域为R，
令t＝1﹣x，则y＝2t，在R上单调递增，
而一次函数t＝1﹣x在R上单调递减，
所以函数y的单调递减区间为R，无单调递增区间．
（2）定义域为R，
令t＝x2﹣2x﹣1，则，在R上单调递减，
而二次函数t＝x2﹣2x﹣1的开口向上，对称轴为x＝1，在（﹣∞，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，
所以函数y的单调递增区间为（﹣∞，1），单调递减区间为（1，+∞）．
25．试确定函数y＝x2﹣5x+6的单调区间．
【解答】解：因为y＝x2﹣5x+6的开口向上，对称轴x＝，
根据二次函数的性质可知，函数的单调递减区间（﹣∞，），单调递增区间（）
26．求函数y＝﹣x2+2|x|+3的单调增区间．
【解答】解：y＝﹣x2+2|x|+3＝，
图象如图所示，
因为y＝﹣结合函数图象可知，函数的单调递增区间：
（﹣∞，﹣1），（0，1）
27．已知函数f（x）＝﹣x2+2|x|+3．
（1）用分段函数的形式表示f（x）．
（2）画出f（x）的图象．
（3）根据图象写出f（x）的单调区间．
【解答】解：（1）当x≥0时，f（x）＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4；
当x＜0时，f（x）＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4；
即f（x）＝．
（2）根据二次函数的性质，图象如下
（3）根据f（x）的图象在（﹣∞，﹣1）和（0，1）上是上升的，
在（﹣1，0）和（1，+∞）上是下降的，
所以函数单调递增区间为（﹣∞，﹣1）和（0，1），
单调递减区间为（﹣1，0）和（1，+∞）．
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