《3.2.2 函数模型的应用实例》同步练习(含解析)

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名称 《3.2.2 函数模型的应用实例》同步练习(含解析)
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资源类型 试卷
版本资源 人教A版(2019)
科目 数学
更新时间 2022-04-03 19:57:24

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人教A版必修1《3.2.2 函数模型的应用实例》同步练习卷
一.选择题(共15小题)
1.声强是表示声波强度的物理量,记作I.由于声强I的变化范围非常大,为方便起见,引入声强级的概念,规定声强级L=10lg,其中I0=10﹣20W/m2,声强级的单位是贝尔,贝尔又称为1分贝.生活在30分贝左右的安静环境有利于人的睡眠,而长期生活在90分贝以上的噪声环境中会严重影响人的健康.根据所给信息,可得90分贝声强级的声强是30分贝声强级的声强的(  )
A.3倍 B.103倍 C.106倍 D.109倍
2.有一支长Lm的队伍匀速前进,速度大小为v1m/s,排尾的传令兵因传达命令赶赴排头,到达排头后立即返回,且往返速度大小均为v2m/s,如果传令兵回到排尾后,整个队伍正好前进了Lm,则v1:v2值为(  )
A. B. C. D.
3.Logistic模型是常用数学模型之一,可应用于流行病学领域,有学者根据公布数据建立了某K地区新冠肺炎累计确诊病例数I(t)(t的单位:天)的Logistic模型:,其中K为最大确诊病例数.当I(t*)=0.9K时,标志着已初步遏制疫情,则t*约为(  )
(注:e为自然对数的底数,ln9≈2.2)
A.60 B.62 C.66 D.69
4.某班同学参加升学考试,得满分的人数如下:数学20人,语文20人,英语20人,数学、英语两科满分者8人,数学、语文两科满分者7人,语文、英语两科满分者9人,三科都没得满分者3人.这个班最多、最少人分别是(  )
A.45,39 B.46,38 C.45,38 D.46,39
5.2019年7月,中国良渚古城遗址获准列入世界遗产名录.良渚古城遗址是人类早期城市文明的范例,实证了华夏五千年文明史.考古学家在测定遗址年龄的过程中利用了“放射性物质因衰变而减少”这一规律.已知样本中碳14的质量N随时间t(年)的衰变规律满足:(N0表示碳14原来的质量),经过测定,良渚古城某文物样本中碳14的质量是原来的0.6倍,据此推测良渚古城遗址存在的时期距今大约是(  )
(参考数据:log23≈1.6,log25≈2.3)
A.3440年 B.4010年 C.4580年 D.5160年
6.Logistic模型是常用数学模型之一,可应用于流行病学领域.有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I(t)(t的单位:天)的Logistic模型:,其中K为最大确诊病例数.当I(t*)=0.95K时,标志着已初步遏制疫情,则(t*﹣53)的值约为(  )(ln19≈3)
A.10 B.13 C.63 D.66
7.唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说:“白日登山望烽火,黄昏饮马傍交河.”诗中隐含着一个有趣的数学问题一“将军饮马”问题,即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发,先到河边饮马后再回军营,怎样走才能使总路程最短?在平面直角坐标系中,设军营所在区域为x2+y2≤3,若将军从点A(3,1)处出发,河岸线所在直线方程为x+y=5,并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营,则“将军饮马”的最短总路程为(  )
A.﹣ B. C.2 D.2
8.中国的5G技术领先世界,5G技术的数学原理之一便是著名的香农公式:C=Wlog2(1+),它表示:在受噪声干扰的信道中,最大信息传递速率C取决于信道带宽W、信道内信号的平均功率S、信道内部的高斯噪声功率N的大小,其中叫做信噪比.当信噪比比较大时,公式中真数中的1可以忽略不计,按照香农公式,若不改变带宽W、而将信噪比从1000提升至5000,则C大约增加了(  )(附:lg2=0.3010)
A.20% B.23% C.28% D.50%
9.唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说:“白日登山望烽火,黄昏饮马傍交河”,诗中隐含着一个有趣的数学问题﹣﹣“将军饮马”问题,即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发,先到河边饮马后再回到军营,怎样走才能使总路程最短?在平面直角坐标系中,设军营所在的位置为B(﹣2,0),若将军从山脚下的点A(﹣,0)处出发,河岸线所在直线方程为x+2y=3,则“将军饮马”的最短总路程为(  )
A. B.5 C. D.
10.我们知道,人们对声音有不同的感觉,这与声音的强度有关系.声音的强度常用I(单位:瓦/米2,即W/m2)表示,但在实际测量时,声音的强度水平常用L(单位:分贝)表示,它们满足换算公式:L=10lg(L≥0,其中I0=1×10﹣12W/m2是人们平均能听到的声音的最小强度).若使某小区内公共场所声音的强度水平降低10分贝,则声音的强度应变为原来的(  )
A. B. C. D.
11.流行病学基本参数:基本再生数R0指一个感染者传染的平均人数,世代间隔T指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段,可用模型:(其中N0是开始确诊病例数)描述累计感染病例I(t)随时间t(单位:天)的变化规律,指数增长率r与R0,T满足R0=1+rT,有学者估计出R0=3.4,T=6.据此,在新冠肺炎疫情初始阶段,当I(t)=2N0时,t的值为(  )(ln2≈0.69)
A.1.2 B.1.7 C.2.0 D.2.5
12.我国东南沿海一台风中心从A地以每小时10km的速度向东北方向移动,离台风中心15km内的地区为危险地区,若城市B在A地正北20km处,则B城市处于危险区内的时间为(  )小时
A.0.5 B.1 C.1.5 D.2
13.某单位准备印制一批证书,现有两个印刷厂可供选择,甲厂费用分为制版费和印刷费两部分,先收取固定的制版费,再按印刷数量收取印刷费,乙厂直接按印刷数量收取印刷费,甲厂的总费用y1(千元),乙厂的总费用y2(千元)与印制证书数量x(千个)的函数关系图分别如图中甲、乙所示,则下列说法正确的是(  )
A.甲厂的制版费为1千元,印刷费平均每个为0.5元
B.甲厂的费用y1与证书数量x之间的函数关系式为y1=0.5x+1
C.若该单位需印制证书数量为8千个,则该单位选择甲厂更节省费用
D.当印制证书数量超过2千个时,乙厂的总费用y2与证书数量x之间的函数关系式为y2=x+
14.Logistic模型是常用数学模型之一,可应用于流行病学领域.有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I(t)(t的单位:天)的Logistic模型:,其中K为最大确诊病例数.当I(t*)=0.95K时,标志着已初步遏制疫情,则t*约为(  )(参考数据ln19≈3)
A.60 B.62 C.66 D.63
15.为了给地球减负,提高资源利用率,2020年全国掀起了垃圾分类的热潮,垃圾分类已经成为新时尚.假设某市2020年全年用于垃圾分类的资金为2000万元,在此基础上,每年投入的资金比上一年增长20%,则该市全年用于垃圾分类的资金开始超过1亿元的年份是(  )(参考数据;lg1.2≈0.08,lg5≈0.70)
A.2030 年 B.2029年 C.2028年 D.2027 年
二.填空题(共10小题)
16.为了保护水资源,提倡节约用水,某城市对居民生活用水实行“阶梯水价”.计费方法如表所示,若某户居民某月交纳水费60元,则该月用水量   m3.
每户每月用水量 水价
不超过12m3的部分 3元/m3
超过12m3但不超过18m3的部分 6元/m3
超过18m3的部分 9元/m3
17.某餐厅经营盒饭生意,每天的房租、人员工资等固定成本为200元,每盒盒饭的成本为15元,销售单价与日均销售量的关系如表:
单价/元 16 17 18 19 20 21 22
日销售量/盒 480 440 400 360 320 280 240
根据以上数据,当这个餐厅利润(利润=总收入﹣总成本)最大时,每盒盒饭定价为   元.
18.某汽车厂商生产销售一款电动汽车,每辆车的成本为4万元,销售价格为6万元,平均每月销量为800辆.今年该厂商对这款汽车进行升级换代,成本维持不变,但为了提高利润,准备提高销售价格,经过市场分析后发现,如果每辆车价格上涨0.1万元,月销量就会减少20辆,为了获取最大利润,每辆车的销售价格应定为   万元.
19.今年元旦,市民小王向朋友小李借款100万元用于购房,双方约定年利率为5%,按复利计算(即本年利息计入次年本金生息),借款分三次等额归还,从明年的元旦开始,连续三年都是在元旦还款,则每次的还款额是    元.(四舍五入,精确到整数)
20.物理学中,声强是表示声波强度的物理量,可用公式表示,其中v表示声速,ω和A分别是声波的频率和振幅,ρ是媒质的密度.由于声强的变化范围非常大,数量级可以相差很多,因此常采用对数标度,这就引入声强级的概念,规定声强级L=10lg.通常规定(相当于1000 Hz时能够引起听觉的最弱的声强),这时计算出来的L就是声强I的量度,式中声强级的单位称为贝尔.实际上,由于贝尔这个单位太大,通常采用贝尔的作单位;这就是分贝(dB).当被测量的声强I为声强I0的1000倍时,声强级L是   分贝.
21.如图,水平广场上有一盏路灯挂在10m长的电线杆上,记电线杆的底部为点A把路灯看作一个点光源,身高1.5m的女孩站在离点A5m的点B处.若女孩向点A前行4m到达点D,然后从点D出发,沿着以BD为对角线的正方形走一圈,则女孩走一圈时头顶(视为一点)的影子所围成封闭图形的面积为    m2.
22.为了研究口服某流感药物后人体血液中药物浓度随时间的变化规律,西南大学附属中学高三数学兴趣小组以本班同学为实验对象(被试),通过记录口服该流感药物x(小时)时被试血液中药物浓度y(毫克/毫升)的方式获取试验数据,经多次实验发现,被试服用药物后,血液中药物浓度y(mg/mL)与时间x(h)成正比升高,当x=1h时药物浓度达到最高10mg/mL,此后,被试血液中药物浓度以每小时25%的比例下降.根据以上信息完成:
(1)从被试服用药物开始,其血液中药物浓度y(mg/mL)与时间x(h)之间的函数关系式为   .
(2)如果一位病人上午8:00第一次服药,为使其血液中药物浓度保持在5mg/mL以上,那么这位病人第三次服药时间最迟为   (每次服药时间均以整点为准).
23.某公司为了业务发展制订了一个激励销售人员的奖励方案:销售额x为8万元时,奖励1万元;销售额x为64万元时,奖励4万元.若公司拟定的奖励方案模型为y=alog4x+b.某业务员要得到8万元奖励,则他的销售额应为   万元.
24.如图,将一矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花坛AMPN,要求点B在AM上,点D在AN上,且对角线MN过点C,已知AB=5,AD=4,则矩形花坛AMPN面积最小值为   .
25.某项研究表明:在考虑行车安全的情况下,某路段车流量F(单位时间内经过测试点的车辆数,单位:辆/小时)与车流速度v(假设车辆以相同的速度v行驶,单位:米/秒)、平均车长l(单位:米)的值有关,其公式为.
(1)如果不限定车型,l=6.05,则最大车流量为   辆/小时;
(2)如果限定车型l=5,则最大车流量比(1)中的最大车流量增加   辆/小时.
三.解答题(共5小题)
26.某公司欲将一批生鲜用冷藏汽车从甲地运往相距90千米的乙地,运费为每小时80元,装卸费为1000元,生鲜在运输途中的损耗费的大小(单位:元)是汽车速度(km/h)值的2倍.
(注:运输的总费用=运费+装卸费+损耗费)
(1)若汽车的速度为每小时50千米,试求运输的总费用;
(2)为使运输的总费用不超过1260元,求汽车行驶速度x的范围;
(3)若要使运输的总费用最小,汽车应以每小时多少千米的速度行驶?
27.某租赁公司拥有汽车80辆.当每辆车的月租金为3000元时,可全部租出,当每辆车的月租金每增加50元时,未租出的车将会增加一辆,租出的车每辆每月需要维护费150元,未租出的车每辆每月需要维护费50元.
(1)当每辆车的月租金定为3500元时,能租出多少辆车?
(2)当每辆车的月租金定为多少时,租赁公司的月收益最大?最大月收益是多少?
28.宜城市流水镇是全国闻名的西瓜基地,流水西瓜含糖量高,口感好,多次入选全国农博会并获金奖,畅销全国12省百余个大中城市.实践证明西瓜的产量和品质与施肥关系极大,现研究发现该镇礼品瓜“金皇后”的每亩产量L(单位:百斤)与施用肥料x(单位:百斤)满足如下关系:L(x)=,肥料成本投入为5x(单位:百元),其它成本投入为10x(单位:百元).已知“金皇后”的市场批发价为2元/斤,且销路畅通供不应求,记每亩“金皇后”的利润为f(x)(单位:百元).
(1)求f(x)的函数关系式;
(2)当施用肥料为多少斤时,每亩“金皇后”的利润最大,最大利润是多少元?(参考数据:≈1.414).
29.某企业准备投入适当的广告费对产品进行促销,在一年内预计销售量Q(万件)与广告费x(万元)之间的函数关系为.已知生产此产品的年固定投入为4.5万元,每生产1万件此产品仍需再投入32万元,且能全部销售完.若每件产品的销售定价为:“平均每件生产成本的150%”与“年平均每件所占广告费的25%”之和.
(1)试将年利润W(万元)表示为年广告费x(万元)的函数.
(2)当年广告费投入多少万元时,企业年利润最大?最大利润为多少?
30.如图,已知等腰三角形ABC中,AB=AC=5a米,BC=8a米,点P从B点沿直线BC运动到C点即停止,设点P的运动速度是a米/秒,运动时间为t秒.过P作BC的垂线l,记直线左侧部分的多边形为Ω,Ω的面积为S(t).
(1)求S(t)的表达式;
(2)记Ω的面积在t(t>0)秒内的平均变化速率为F(t)=,求F(t)的最大值.
人教A版必修1《3.2.2 函数模型的应用实例》2021年最热同步卷
参考答案与试题解析
一.选择题(共15小题)
1.声强是表示声波强度的物理量,记作I.由于声强I的变化范围非常大,为方便起见,引入声强级的概念,规定声强级L=10lg,其中I0=10﹣20W/m2,声强级的单位是贝尔,贝尔又称为1分贝.生活在30分贝左右的安静环境有利于人的睡眠,而长期生活在90分贝以上的噪声环境中会严重影响人的健康.根据所给信息,可得90分贝声强级的声强是30分贝声强级的声强的(  )
A.3倍 B.103倍 C.106倍 D.109倍
【解答】解:设90分贝声强级的声强是I1,由90=10 lg,
得(W/m2),
再设30分贝声强级的声强是I2,由30=10 lg,
得I2=(W/m2),
∴,
故90分贝声强级的声强是30分贝声强级的声强的106倍.
故选:C.
2.有一支长Lm的队伍匀速前进,速度大小为v1m/s,排尾的传令兵因传达命令赶赴排头,到达排头后立即返回,且往返速度大小均为v2m/s,如果传令兵回到排尾后,整个队伍正好前进了Lm,则v1:v2值为(  )
A. B. C. D.
【解答】解:设传令兵从队尾到队头的时间为t1,从队头到对尾的时间为t2,队伍前进用的时间为t,
由传令兵往返总时间与队伍运动时间相等可得如下方程:t=t1+t2,
∴,
整理得:,
解得:,
∴,
故选:C.
3.Logistic模型是常用数学模型之一,可应用于流行病学领域,有学者根据公布数据建立了某K地区新冠肺炎累计确诊病例数I(t)(t的单位:天)的Logistic模型:,其中K为最大确诊病例数.当I(t*)=0.9K时,标志着已初步遏制疫情,则t*约为(  )
(注:e为自然对数的底数,ln9≈2.2)
A.60 B.62 C.66 D.69
【解答】解:由题意可知,,
即,,
两边取对数,,
即,t=62.17,
故选:B.
4.某班同学参加升学考试,得满分的人数如下:数学20人,语文20人,英语20人,数学、英语两科满分者8人,数学、语文两科满分者7人,语文、英语两科满分者9人,三科都没得满分者3人.这个班最多、最少人分别是(  )
A.45,39 B.46,38 C.45,38 D.46,39
【解答】解:设三科都满分的人数为x人,
则全班人数为:20+20+20﹣8﹣7﹣9+3+x=39+x(人),
因为数学、英语两科满分者8人,数学、语文两科满分者7人,语文、英语两科满分者9人,
所以三科都满分最多7人,最少0人,
即0≤x≤7,则39≤39+x≤46.
∴这个班最多46人,最少39人.
故选:D.
5.2019年7月,中国良渚古城遗址获准列入世界遗产名录.良渚古城遗址是人类早期城市文明的范例,实证了华夏五千年文明史.考古学家在测定遗址年龄的过程中利用了“放射性物质因衰变而减少”这一规律.已知样本中碳14的质量N随时间t(年)的衰变规律满足:(N0表示碳14原来的质量),经过测定,良渚古城某文物样本中碳14的质量是原来的0.6倍,据此推测良渚古城遗址存在的时期距今大约是(  )
(参考数据:log23≈1.6,log25≈2.3)
A.3440年 B.4010年 C.4580年 D.5160年
【解答】解:由题意,可得,即,
两边取以2为底数的对数,可得≈1.6﹣2.3=﹣0.7,
∴t=0.7×5730=4011年.
故选:B.
6.Logistic模型是常用数学模型之一,可应用于流行病学领域.有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I(t)(t的单位:天)的Logistic模型:,其中K为最大确诊病例数.当I(t*)=0.95K时,标志着已初步遏制疫情,则(t*﹣53)的值约为(  )(ln19≈3)
A.10 B.13 C.63 D.66
【解答】解:将I(t*)=0.95K代入,得:,
即,
两边同时取自然对数得:lne=ln,
∴﹣0.23(t*﹣53)=﹣ln19,
∴t*﹣53=≈=13.
故选:B.
7.唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说:“白日登山望烽火,黄昏饮马傍交河.”诗中隐含着一个有趣的数学问题一“将军饮马”问题,即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发,先到河边饮马后再回军营,怎样走才能使总路程最短?在平面直角坐标系中,设军营所在区域为x2+y2≤3,若将军从点A(3,1)处出发,河岸线所在直线方程为x+y=5,并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营,则“将军饮马”的最短总路程为(  )
A.﹣ B. C.2 D.2
【解答】解:设点A关于直线x+y=5的对称点A'(a,b),设军营所在区域为的圆心为O
根据题意,|A'O|﹣为最短距离,先求出A'的坐标,
AA'的中点为(),直线AA'的斜率为1,
由,解得a=4,b=2,
∴|A'O|=,
∴“将军饮马”的最短总路程为.
故选:C.
8.中国的5G技术领先世界,5G技术的数学原理之一便是著名的香农公式:C=Wlog2(1+),它表示:在受噪声干扰的信道中,最大信息传递速率C取决于信道带宽W、信道内信号的平均功率S、信道内部的高斯噪声功率N的大小,其中叫做信噪比.当信噪比比较大时,公式中真数中的1可以忽略不计,按照香农公式,若不改变带宽W、而将信噪比从1000提升至5000,则C大约增加了(  )(附:lg2=0.3010)
A.20% B.23% C.28% D.50%
【解答】解:将信噪比从1000提升至5000时,
C大约增加了
=≈
=≈0.23=23%.
故选:B.
9.唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说:“白日登山望烽火,黄昏饮马傍交河”,诗中隐含着一个有趣的数学问题﹣﹣“将军饮马”问题,即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发,先到河边饮马后再回到军营,怎样走才能使总路程最短?在平面直角坐标系中,设军营所在的位置为B(﹣2,0),若将军从山脚下的点A(﹣,0)处出发,河岸线所在直线方程为x+2y=3,则“将军饮马”的最短总路程为(  )
A. B.5 C. D.
【解答】解:根据题意,作出如下所示的图形,
设点B(﹣2,0)关于直线x+2y=3的对称点为B'(m,n),
则,解得,
∴B'(0,4),
∴“将军饮马”的最短总路程为|AB'|==.
故选:A.
10.我们知道,人们对声音有不同的感觉,这与声音的强度有关系.声音的强度常用I(单位:瓦/米2,即W/m2)表示,但在实际测量时,声音的强度水平常用L(单位:分贝)表示,它们满足换算公式:L=10lg(L≥0,其中I0=1×10﹣12W/m2是人们平均能听到的声音的最小强度).若使某小区内公共场所声音的强度水平降低10分贝,则声音的强度应变为原来的(  )
A. B. C. D.
【解答】解:设该小区内公共场所声音的强度水平为L1,L2,相应声音的强度为l1,l2,
由题意,得L1﹣L2=10,
即,
解得:.
故选:C.
11.流行病学基本参数:基本再生数R0指一个感染者传染的平均人数,世代间隔T指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段,可用模型:(其中N0是开始确诊病例数)描述累计感染病例I(t)随时间t(单位:天)的变化规律,指数增长率r与R0,T满足R0=1+rT,有学者估计出R0=3.4,T=6.据此,在新冠肺炎疫情初始阶段,当I(t)=2N0时,t的值为(  )(ln2≈0.69)
A.1.2 B.1.7 C.2.0 D.2.5
【解答】解:把R0=3.4,T=6代入R0=1+rT,得3.4=1+6r,
解得r=0.4,∴I(t)=N0e0.4t,
由I(t)=2N0,得N0e0.4t=2N0,则e0.4t=2,
两边取对数得0.4t=ln2,得t=≈≈1.7.
故选:B.
12.我国东南沿海一台风中心从A地以每小时10km的速度向东北方向移动,离台风中心15km内的地区为危险地区,若城市B在A地正北20km处,则B城市处于危险区内的时间为(  )小时
A.0.5 B.1 C.1.5 D.2
【解答】解:如图所示,建立直角坐标系,过点B作BC⊥AF,交AF于点C,
以点B为圆心,15为半径的圆交AF于点E,F,连接BE,B
在Rt△ABC中,AB=20,BC==10,
∵在Rt△BCE中,BC=10,BE=15,
∴CE==5,∴EF=2CE=10,
∵台风中心从A地以每小时10km的速度向东北方向移动,且当台风中心在线段EF上时B城市处于危险区内,
∴B城市处于危险区内的时间为=1小时,
故选:B.
13.某单位准备印制一批证书,现有两个印刷厂可供选择,甲厂费用分为制版费和印刷费两部分,先收取固定的制版费,再按印刷数量收取印刷费,乙厂直接按印刷数量收取印刷费,甲厂的总费用y1(千元),乙厂的总费用y2(千元)与印制证书数量x(千个)的函数关系图分别如图中甲、乙所示,则下列说法正确的是(  )
A.甲厂的制版费为1千元,印刷费平均每个为0.5元
B.甲厂的费用y1与证书数量x之间的函数关系式为y1=0.5x+1
C.若该单位需印制证书数量为8千个,则该单位选择甲厂更节省费用
D.当印制证书数量超过2千个时,乙厂的总费用y2与证书数量x之间的函数关系式为y2=x+
【解答】解:对于选项A:由图可知甲厂制版费为1千元,印刷费平均每个为=0.5元,所以选项A正确,
对于选项B:设甲厂的费用y1与证书数量x之间的函数关系式为y1=kx+b(k≠0),
则,解得,
所以y1=0.5x+1,所以选项B正确,
对于选项C:由图象可知,当印制证书数量超过6千个时,乙厂费用少于甲厂费用,
所以若该单位需印制证书数量为8千个,则该单位选择乙厂更节省费用,所以选项C错误,
对于选项D:当印制证书数量超过2千个时,
设乙厂的总费用y2与证书数量x之间的函数关系式为y2=ax+c(a≠0),
代入点(2,3)和点(6,4)得,解得,
所以,所以选项D正确,
故选:ABD.
14.Logistic模型是常用数学模型之一,可应用于流行病学领域.有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I(t)(t的单位:天)的Logistic模型:,其中K为最大确诊病例数.当I(t*)=0.95K时,标志着已初步遏制疫情,则t*约为(  )(参考数据ln19≈3)
A.60 B.62 C.66 D.63
【解答】解:由已知可得=0.95K,解得e﹣0.23(t*﹣50)=,
两边取对数有﹣0.23(t*﹣50)=﹣ln19,
解得t*≈63,
故选:D.
15.为了给地球减负,提高资源利用率,2020年全国掀起了垃圾分类的热潮,垃圾分类已经成为新时尚.假设某市2020年全年用于垃圾分类的资金为2000万元,在此基础上,每年投入的资金比上一年增长20%,则该市全年用于垃圾分类的资金开始超过1亿元的年份是(  )(参考数据;lg1.2≈0.08,lg5≈0.70)
A.2030 年 B.2029年 C.2028年 D.2027 年
【解答】解:设经过n年后,投入资金为y万元,则y=2000(1+20%)n,
由题意可得2000(1+20%)n>10000,即1.2n>5,
则n lg1.2>lg5,所以=8.75,
所以n=9,即2029年该市全年用于垃圾分类的资金开始超过1亿元,
故选:B.
二.填空题(共10小题)
16.为了保护水资源,提倡节约用水,某城市对居民生活用水实行“阶梯水价”.计费方法如表所示,若某户居民某月交纳水费60元,则该月用水量 16 m3.
每户每月用水量 水价
不超过12m3的部分 3元/m3
超过12m3但不超过18m3的部分 6元/m3
超过18m3的部分 9元/m3
【解答】解:设该月用水量为xm3,
若x≤12,则水费y≤60元;
若12<x≤18,则水费为y=12×3+(x﹣12)×6=6x﹣36,
由6x﹣36=60,解得x=16,符合题意.
所以该月用水量为16m3.
故答案为:16.
17.某餐厅经营盒饭生意,每天的房租、人员工资等固定成本为200元,每盒盒饭的成本为15元,销售单价与日均销售量的关系如表:
单价/元 16 17 18 19 20 21 22
日销售量/盒 480 440 400 360 320 280 240
根据以上数据,当这个餐厅利润(利润=总收入﹣总成本)最大时,每盒盒饭定价为 21.5 元.
【解答】解:由表格信息可知,销售单价为16元时,销售量为480盒,当销售单价每增加1元,销售量则减少40盒,
设销售单价为x元,则销售量为480﹣40(x﹣16)=1120﹣40x,
所以日销售利润y=(x﹣15)(1120﹣40x)=﹣40x2+1720x﹣16800,
所以当x=21.5时,y取得最大值,最大值为1690,
即每盒盒饭定价为21.5元时,利润最大,最大利润为1690元.
故答案为:21.5.
18.某汽车厂商生产销售一款电动汽车,每辆车的成本为4万元,销售价格为6万元,平均每月销量为800辆.今年该厂商对这款汽车进行升级换代,成本维持不变,但为了提高利润,准备提高销售价格,经过市场分析后发现,如果每辆车价格上涨0.1万元,月销量就会减少20辆,为了获取最大利润,每辆车的销售价格应定为 7 万元.
【解答】解:设每辆车的销售价格为x万元,则月销售为800﹣=2000﹣200x辆,
由2000﹣200x>0,解得x<10,
∴获利y=(2000﹣200x)(x﹣4)=﹣200x2+2800x﹣8000(0<x<10),
当x==7时,y取得最大值为1800万元.
∴为了获取最大利润,每辆车的销售价格应定为7万元.
故答案为:7.
19.今年元旦,市民小王向朋友小李借款100万元用于购房,双方约定年利率为5%,按复利计算(即本年利息计入次年本金生息),借款分三次等额归还,从明年的元旦开始,连续三年都是在元旦还款,则每次的还款额是  367209 元.(四舍五入,精确到整数)
【解答】解:设每次还款额为y元,
则:106(1+5%)3=y+y(1+5%)+y(1+5%)2,
∴,
∴y=≈367209(元),
所以每次还款额为367209元.
20.物理学中,声强是表示声波强度的物理量,可用公式表示,其中v表示声速,ω和A分别是声波的频率和振幅,ρ是媒质的密度.由于声强的变化范围非常大,数量级可以相差很多,因此常采用对数标度,这就引入声强级的概念,规定声强级L=10lg.通常规定(相当于1000 Hz时能够引起听觉的最弱的声强),这时计算出来的L就是声强I的量度,式中声强级的单位称为贝尔.实际上,由于贝尔这个单位太大,通常采用贝尔的作单位;这就是分贝(dB).当被测量的声强I为声强I0的1000倍时,声强级L是 30 分贝.
【解答】解:由题意,声强级L=10lg,
当声强I为声强I0的1000倍时,即I=1000I0,
此时L=10lg=10lg=10lg1000=30.
∴当被测量的声强I为声强I0的1000倍时,声强级L是30分贝.
故答案为:30.
21.如图,水平广场上有一盏路灯挂在10m长的电线杆上,记电线杆的底部为点A把路灯看作一个点光源,身高1.5m的女孩站在离点A5m的点B处.若女孩向点A前行4m到达点D,然后从点D出发,沿着以BD为对角线的正方形走一圈,则女孩走一圈时头顶(视为一点)的影子所围成封闭图形的面积为   m2.
【解答】解:如图,
设女孩在点B、D两处头顶E、F的投影分别为M、N,
则EF=BD=4,BE=DF=1.5,
由三角形相似,对应边成比例可得:,得AN=,
,得AM=,得MN=AM﹣AN=,
∵女孩在运动过程中的比例关系不变,
∴女孩走一圈时头顶的影子所围成封闭图形是对角线长为的正方形,
∴女孩走一圈时头顶的影子所围成封闭图形的面积为m2.
故答案为:.
22.为了研究口服某流感药物后人体血液中药物浓度随时间的变化规律,西南大学附属中学高三数学兴趣小组以本班同学为实验对象(被试),通过记录口服该流感药物x(小时)时被试血液中药物浓度y(毫克/毫升)的方式获取试验数据,经多次实验发现,被试服用药物后,血液中药物浓度y(mg/mL)与时间x(h)成正比升高,当x=1h时药物浓度达到最高10mg/mL,此后,被试血液中药物浓度以每小时25%的比例下降.根据以上信息完成:
(1)从被试服用药物开始,其血液中药物浓度y(mg/mL)与时间x(h)之间的函数关系式为 y= .
(2)如果一位病人上午8:00第一次服药,为使其血液中药物浓度保持在5mg/mL以上,那么这位病人第三次服药时间最迟为 14:00 (每次服药时间均以整点为准).
【解答】解:(1)由题意可设y=kx(0≤x≤1),由x=1,y=10,可得k=10,
即y=10x(0≤x≤1);
当x>1时,y=10 ()x﹣1,
即y=;
(2)设x为第一次服药后经过的时间,
则第一次服药的残留量y1=10,
由y1≥5,得或,
解得≤x≤1或1<x≤1+log,∴≤x≤log≈3.41,
故第二次服药应在第一次服药3小时后,即当日11:00.
设第二次服药产生的残留量为y2,
则y2=f(x﹣3)=,
由y2≥5,可得或,
解得≤x≤4或4<x≤4+log,∴≤x≤4+log≈6.41,
若仅考虑第二次服药的残留量,第三次服药应在第一次服药6小时后,
而前两次服药的残留量为y1+y2,
由,
解得6<x≤log≈6.63,
故第三次服药最迟应在第一次服药6小时后,即14:00.
故答案为:(1)y=;(2)14:00.
23.某公司为了业务发展制订了一个激励销售人员的奖励方案:销售额x为8万元时,奖励1万元;销售额x为64万元时,奖励4万元.若公司拟定的奖励方案模型为y=alog4x+b.某业务员要得到8万元奖励,则他的销售额应为 1024 万元.
【解答】解:函数模型为y=alog4x+b,把点(8,1),(64,4)代入,
可得,解得a=2,b=﹣2.
∴y=2log4x﹣2,
由2log4x﹣2=8,得2log4x=10,即log2x=10,得x=210=1024.
∴某业务员要得到8万元奖励,则他的销售额应为1024万元.
故答案为:1024.
24.如图,将一矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花坛AMPN,要求点B在AM上,点D在AN上,且对角线MN过点C,已知AB=5,AD=4,则矩形花坛AMPN面积最小值为 80 .
【解答】解:不妨设BM=a,DN=b,则依题意可知,,即ab=20,
矩形AMPN的面积为(4+b)(5+a)=4a+5b+20+ab=4a+5b+40,
当且仅当4a=5b,即a=5,b=4时取等号.
故矩形AMPN的面积的最小值为80.
故答案为:80.
25.某项研究表明:在考虑行车安全的情况下,某路段车流量F(单位时间内经过测试点的车辆数,单位:辆/小时)与车流速度v(假设车辆以相同的速度v行驶,单位:米/秒)、平均车长l(单位:米)的值有关,其公式为.
(1)如果不限定车型,l=6.05,则最大车流量为 1425 辆/小时;
(2)如果限定车型l=5,则最大车流量比(1)中的最大车流量增加 75 辆/小时.
【解答】解:(1)由题意可知F==,
∵=22,当且仅当v=即v=11时,等号成立,
∴F=1425,即最大车流量为1425辆/小时.
(2)当l=5时,F==,
∵v+=20,当且仅当x=即x=10时,等号成立,
∴F=1500,即最大车流量为1500辆/小时,
∴1500﹣1425=75(辆),
故答案为:(1)1425,(2)75.
三.解答题(共5小题)
26.某公司欲将一批生鲜用冷藏汽车从甲地运往相距90千米的乙地,运费为每小时80元,装卸费为1000元,生鲜在运输途中的损耗费的大小(单位:元)是汽车速度(km/h)值的2倍.
(注:运输的总费用=运费+装卸费+损耗费)
(1)若汽车的速度为每小时50千米,试求运输的总费用;
(2)为使运输的总费用不超过1260元,求汽车行驶速度x的范围;
(3)若要使运输的总费用最小,汽车应以每小时多少千米的速度行驶?
【解答】解:(1)当汽车速度为50km/h时,运输总费用为:(元).
(2)设汽车行驶的速度为vkm/h,则
×80+1000+2v≤1260,化简得v2﹣130v+3600≤0,
解得40≤v≤90,
所以汽车行驶速度的范围为[40,90].
(3)设汽车行驶的速度为xkm/h,运输的总费用为y元,
则y=

当且仅当,即x=60时,等号成立,
故要使运输的总费用最小,汽车应以每小时60千米的速度行驶.
27.某租赁公司拥有汽车80辆.当每辆车的月租金为3000元时,可全部租出,当每辆车的月租金每增加50元时,未租出的车将会增加一辆,租出的车每辆每月需要维护费150元,未租出的车每辆每月需要维护费50元.
(1)当每辆车的月租金定为3500元时,能租出多少辆车?
(2)当每辆车的月租金定为多少时,租赁公司的月收益最大?最大月收益是多少?
【解答】解:(1)当每辆车的月租金定为3500元时,未租出的车辆数为,
这时能租出70辆车;
(2)设每辆车的月租金定为x元,则租赁公司的月收益为:
f(x)=(80﹣)(x﹣150)﹣,
整理得f(x)==.
∴当x=3550时,f(x)最大,最大值为234050.
即当每辆车的月租金定为3550元时,租赁公司的月收益最大,最大月收益为234050元.
28.宜城市流水镇是全国闻名的西瓜基地,流水西瓜含糖量高,口感好,多次入选全国农博会并获金奖,畅销全国12省百余个大中城市.实践证明西瓜的产量和品质与施肥关系极大,现研究发现该镇礼品瓜“金皇后”的每亩产量L(单位:百斤)与施用肥料x(单位:百斤)满足如下关系:L(x)=,肥料成本投入为5x(单位:百元),其它成本投入为10x(单位:百元).已知“金皇后”的市场批发价为2元/斤,且销路畅通供不应求,记每亩“金皇后”的利润为f(x)(单位:百元).
(1)求f(x)的函数关系式;
(2)当施用肥料为多少斤时,每亩“金皇后”的利润最大,最大利润是多少元?(参考数据:≈1.414).
【解答】解:(1)礼品瓜“金皇后”的每亩产量L(单位:百斤)与施用肥料x(单位:百斤)满足如下关系:
L(x)=,
肥料成本投入为5x(单位:百元),其它成本投入为10x(单位:百元).
所以f(x)=2L(x)﹣15x=.
(2)①当时对称轴,
∴当时f(x)max=45.5,
②当时,,
当且仅当,即,
由①②可知:x=1.828时f(x)max≈50.16,
∴当施用肥料为182.8斤时,每亩“金皇后”的利润最大,最大利润为5016元.
29.某企业准备投入适当的广告费对产品进行促销,在一年内预计销售量Q(万件)与广告费x(万元)之间的函数关系为.已知生产此产品的年固定投入为4.5万元,每生产1万件此产品仍需再投入32万元,且能全部销售完.若每件产品的销售定价为:“平均每件生产成本的150%”与“年平均每件所占广告费的25%”之和.
(1)试将年利润W(万元)表示为年广告费x(万元)的函数.
(2)当年广告费投入多少万元时,企业年利润最大?最大利润为多少?
【解答】解:(1)由题意,产品的生产成本为(4.5+32Q)万元,
每万件销售单价为: 25%+ 150%,
∴年销售收入为( 25%+ 150%) Q=,
年利润为W===(x≥0);
(2)W=(x≥0),
设t=x+1(t≥1),可得W==55万元.
当且仅当,即t=8时上式等号成立,此时x=7万元.
∴当年广告费投入7万元时,企业年利润最大,最大利润为55万元.
30.如图,已知等腰三角形ABC中,AB=AC=5a米,BC=8a米,点P从B点沿直线BC运动到C点即停止,设点P的运动速度是a米/秒,运动时间为t秒.过P作BC的垂线l,记直线左侧部分的多边形为Ω,Ω的面积为S(t).
(1)求S(t)的表达式;
(2)记Ω的面积在t(t>0)秒内的平均变化速率为F(t)=,求F(t)的最大值.
【解答】解:(1)当0<t≤4时,BP=at,∴S(t)==,
当4<t≤8时,∴S(t)=12a2﹣=12a2﹣(t﹣8)2,
所以S(t)=.
(2)F(t)=,
当0<t≤4时,F(t)=t,在t∈[0,4]上单调递增,
∴t=4时,F(x)max=,
当4<t≤8时,F(t)==,
当且仅当t=4时,等号成立,F(x)max=,
又,
∴F(x)max=.
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