(共22张PPT)
北师大版 七年级下
1.5.1平方差公式的认识
情境引入
从前，有－个狡猾的地主，把－块边长为20米的正方形土地租给张老汉种植．第二年，他对张老汉说：“我把这块地的－边减少5米，相邻的另－边增加5米，继续租给你，租金不变，你也没有吃亏，你看如何 ”张老汉－听，觉得好像没有吃亏，就答应道：“好吧．”回到家中，他把这事和邻居们－讲，大家都说：“张老汉，你吃亏了!”他非常吃惊．
你知道张老汉是否吃亏了吗
合作学习
导入新课
5米
5米
a米
(a-5)
(a+5)米
相等吗？
原来
现在
a2
(a+5)(a-5)
原来：S=a2
少了25平方米
计算下列各题：
（1）( x+2 ) ( x-2 )； （2）( 1+ 3a ) (1- 3a )；
（3）( x+5y) ( x-5y )；（4）( 2y+z ) (2y- z )．
思考：1、观察算式结构，你发现了什么规律？
2、计算结果后，你又发现了什么规律？
(1) (x+2) (x－2)=x2-2x+2x-4=x2-4
(2) (1+3a) (1－3a )=1-3a+3a-9a2=1-9a2
(3) (x+5y) (x－5y)==x2-5xy+5xy-25y2=x2-25y2
(4) (2y+z) (2y－z)=4y2-2yz+2yz-z2=4y2-z2
(a+b)(a b)=
a2 b2
两数和与这两数差的积,等于这两数的平方差.
公式变形:
1.（a – b ) ( a + b) = a2 - b2
2.（b + a )( -b + a ) = a2 - b2
平方差公式
(a+b) (a-b)= a2 - b2
特征:
两个数的和
这两个数的差
这两数的平方差
(a+b)(a-b)=a2-b2
特征:
两个二项式相乘
(a+b)(a-b)=a2-b2
特征:
(a+b)(a-b)=a2-b2
特征:
(a+b)(a-b)=a2-b2
特征:
平方差
提炼概念
(a+b)(a-b)=a2-b2
（1）等式左边是两个二项式相乘，并且这两上二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数。
（2）等式右边是乘式中两项的平方差（即相同项的平方减去相反项的平方）。
（3）公式中的a,b可以表示一个单项式也可以表示一个多项式。
平方差公式的结构特征：
典例精讲
【例1】利用平方差公式计算：
(1) (5+6x)(5－6x)；(2) (x－2y)(x+2y)；
(3) (－m+n)(－m－n) .
【解】(1) (5+6x)(5－6x)= 52－(6x)2=25－36x2；
(2) (x－2y)(x+2y)= x2－(2y)2= x2－4y2 ；
(3) (－m+n)(－m－n) = (－m)2－n2 = m2－n2 .
【例2】利用平方差公式计算：
(1) ； (2) (ab+8)(ab－8) .
(2) (ab+8)(ab－8) =(ab)2－64=a2b2－64.
【解】
归纳概念
【思考】
(a+b)(a-b)=a2-b2 中的a或b能是多项式吗？
公式中的a、b具有广泛的含义，可以表示一个数、一个字母、一个单项式，还可以表示一个多项式.
课堂练习
1.下列各式能用平方差公式计算的是( ).
A. (4a+b)(a-b) B. (-4a-b)(-4a+b)
C. (4a+b)(-4a-b) D. (-4a+b)(4a-b)
B
2.(-4a-1)与(4a-1)的积等于( ).
A. -1+16a2 B. -1-8a2
C. 1-4a2 D. 1-16a2
D
3.若(2x＋3y)(mx－ny)＝9y2－4x2，则( )
A．m＝2，n＝3
B．m＝－2，n＝－3
C．m＝2，n＝－3
D．m＝－2，n＝3
B
4.计算：(1)(-0.3m+0.1)(-0.3m-0.1).
(2)(x2-3y)(-x2-3y).
(1)(-0.3m+0.1)(-0.3m-0.1)
=(-0.3m)2-0.12
=0.09m2-0.01.
【解】
(2)(x2-3y)(-x2-3y)
=(-3y+x2)(-3y-x2)
=(-3y)2-(x2)2=9y2-x4.
5.先化简，再求值：(2x－y)(y＋2x)－(2y＋x)(2y－x)，
其中x＝1，y＝2.
解：(2x－y)(y＋2x)－(2y＋x)(2y－x)
＝4x2－y2－(4y2－x2)
＝4x2－y2－4y2＋x2
＝5x2－5y2.
当x＝1，y＝2时，原式＝5×12－5×22＝－15.
课堂总结
本节课你学到了什么？
1.平方差公式：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.
2.符号表示：(a+b)(a－b)=a2－b2
3.注意：
紧紧抓住 “一同一反”这一特征，在应用时，只有两个二项式的积才有可能应用平方差公式；不能直接应用公式的，要经过变形才可以应用.
作业布置
教材课后配套作业题。
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1.5.1平方差公式的认识 教案
课题 1.5.1平方差公式的认识 单元 第1单元 学科 数学 年级 七年级（下）
学习目标 1.经历探索平方差公式的过程，进一步发展符号感和推理能力。2.能用公式进行简单的计算，并解决一些实际问题。
重点 平方差公式的应用；
难点 会灵活用平方差公式进行运算；
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
导入新课 一、创设情景，引出课题从前，有－个狡猾的地主，把－块边长为20米的正方形土地租给张老汉种植．第二年，他对张老汉说：“我把这块地的－边减少5米，相邻的另－边增加5米，继续租给你，租金不变，你也没有吃亏，你看如何 ”张老汉－听，觉得好像没有吃亏，就答应道：“好吧．”回到家中，他把这事和邻居们－讲，大家都说：“张老汉，你吃亏了!”他非常吃惊．你知道张老汉是否吃亏了吗 计算下列各题：（1）( x+2 ) ( x-2 )； （2）( 1+ 3a ) (1- 3a )；（3）( x+5y) ( x-5y )；（4）( 2y+z ) (2y- z )．(1) (x+2) (x－2)=x2-2x+2x-4=x2-4(2) (1+3a) (1－3a )=1-3a+3a-9a2=1-9a2(3) (x+5y) (x－5y)==x2-5xy+5xy-25y2=x2-25y2(4) (2y+z) (2y－z)=4y2-2yz+2yz-z2=4y2-z2总结结构特征：(1) 左边两个二项式必须是相同两数的和与差相乘；且左边两括号内的第一项相等、第二项符号相反[互为相反数(式)]；【来源：21·世纪·教育·网】(2) 右边是这两个数的平方差；即右边是左边括号内的第一项的平方减去第二项的平方。 思考自议经历探索平方差公式的过程，会推导平方差公式。 通过创设问题情境，让学生在数学活动中建立平方差公式模型。
讲授新课 提炼概念平方差公式( a + b) ( a - b )= a2 – b2 两数和与这两数差的积，等于它们的平方差.请注意：公式中的a，b既可代表单项式，还可代表具体的数或多项式. 三、典例精讲【例1】利用平方差公式计算：(1) (5+6x)(5－6x)；(2) (x－2y)(x+2y)；(3) (－m+n)(－m－n) .【解】(1) (5+6x)(5－6x)= 52－(6x)2=25－36x2； (2) (x－2y)(x+2y)= x2－(2y)2= x2－4y2 ； (3) (－m+n)(－m－n) = (－m)2－n2 = m2－n2 .例2 利用平方差公式计算：（1） ； （2）( ab + 8 ) ( ab - 8 )． 解： （1） （2）( ab + 8 ) ( ab - 8 )= (ab)2- 64 = a2b2- 64 ． 在探究学习中体会数学的现实意义，培养学习数学的信心. 能运用该法则准确进行有理数的加法运算. 培养观察、发现、归纳、概括、猜想能力和有条理的表达能力;
课堂检测 四、巩固训练 1.下列各式能用平方差公式计算的是( ).A. (4a+b)(a-b) B. (-4a-b)(-4a+b)C. (4a+b)(-4a-b) D. (-4a+b)(4a-b)B 2.(-4a-1)与(4a-1)的积等于( ).A. -1+16a2 B. -1-8a2C. 1-4a2 D. 1-16a2D3.若(2x＋3y)(mx－ny)＝9y2－4x2，则( )A．m＝2，n＝3 B．m＝－2，n＝－3C．m＝2，n＝－3 D．m＝－2，n＝3B4.计算：(1)(-0.3m+0.1)(-0.3m-0.1). (2)(x2-3y)(-x2-3y).(1)(-0.3m+0.1)(-0.3m-0.1) =(-0.3m)2-0.12 =0.09m2-0.01.(2)(x2-3y)(-x2-3y) =(-3y+x2)(-3y-x2) =(-3y)2-(x2)2=9y2-x4.5.先化简，再求值：(2x－y)(y＋2x)－(2y＋x)(2y－x)，其中x＝1，y＝2.解：(2x－y)(y＋2x)－(2y＋x)(2y－x) ＝4x2－y2－(4y2－x2) ＝4x2－y2－4y2＋x2 ＝5x2－5y2.当x＝1，y＝2时，原式＝5×12－5×22＝－15.
课堂小结 通过本节课的内容，你有哪些收获？1.试用语言表述平方差公式 (a+b)(a b)=a2 b2 两数和与这两数差的积，等于它们的平方差. 2.应用平方差公式 时要注意一些什么？运用平方差公式时，要紧扣公式的特征，找出相等的“项”和符号相反的“项”，然后应用公式；
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1.5.1平方差公式的认识 学案
课题 1.5.1平方差公式的认识 单元 第1单元 学科 数学 年级 七年级下册
学习目标 1.经历探索平方差公式的过程，进一步发展符号感和推理能力。 2.能用公式进行简单的计算，并解决一些实际问题。
重点 平方差公式的应用；
难点 会灵活用平方差公式进行运算；
教学过程
导入新课 【引入思考】从前，有－个狡猾的地主，把－块边长为20米的正方形土地租给张老汉种植．第二年，他对张老汉说：“我把这块地的－边减少5米，相邻的另－边增加5米，继续租给你，租金不变，你也没有吃亏，你看如何 ”张老汉－听，觉得好像没有吃亏，就答应道：“好吧．”回到家中，他把这事和邻居们－讲，大家都说：“张老汉，你吃亏了!”他非常吃惊．你知道张老汉是否吃亏了吗 计算下列各题：(1) (x+2) (x－2) (2) (1+3a) (1－3a )(3) (x+5y) (x－5y) (4)(2y+z) (2y－z) 【思考】上述各式的左边是二项式乘以二项式,即是两个数的______与它们的_______的乘积，结果等于这两数的_________.你能再举两例验证你的发现吗？平方差公式：两数______与这两数______的积,等于它们的_________，即(a+b)(a-b)=________.【思考】观察(a+b)(a-b)=a2-b2，平方差公式的结构特征是什么？
新知讲解 提炼概念平方差公式( a + b) ( a - b )= a2 – b2 两数和与这两数差的积，等于它们的平方差.请注意：公式中的a，b既可代表单项式，还可代表具体的数或多项式.典例精讲 【例1】利用平方差公式计算：(1) (5+6x)(5－6x)；(2) (x－2y)(x+2y)；(3) (－m+n)(－m－n) .【例2】利用平方差公式计算：(1)；(2) (ab+8)(ab－8) .
课堂练习 巩固训练1.下列各式能用平方差公式计算的是( ).A. (4a+b)(a-b) B. (-4a-b)(-4a+b)C. (4a+b)(-4a-b) D. (-4a+b)(4a-b) 2.(-4a-1)与(4a-1)的积等于( ).A. -1+16a2 B. -1-8a2C. 1-4a2 D. 1-16a23.若(2x＋3y)(mx－ny)＝9y2－4x2，则( )A．m＝2，n＝3 B．m＝－2，n＝－3C．m＝2，n＝－3 D．m＝－2，n＝34.计算：(1)(-0.3m+0.1)(-0.3m-0.1). (2)(x2-3y)(-x2-3y).5.先化简，再求值：(2x－y)(y＋2x)－(2y＋x)(2y－x)，其中x＝1，y＝2. 答案引入思考(1) (x+2) (x－2)=x2-2x+2x-4=x2-4(2) (1+3a) (1－3a )=1-3a+3a-9a2=1-9a2(3) (x+5y) (x－5y)==x2-5xy+5xy-25y2=x2-25y2(4) (2y+z) (2y－z)=4y2-2yz+2yz-z2=4y2-z2总结结构特征：(1) 左边两个二项式必须是相同两数的和与差相乘；且左边两括号内的第一项相等、第二项符号相反[互为相反数(式)]；【来源：21·世纪·教育·网】(2) 右边是这两个数的平方差；即右边是左边括号内的第一项的平方减去第二项的平方。提炼概念典例精讲 例1 (1) (5+6x)(5－6x)= 52－(6x)2=25－36x2； (2) (x－2y)(x+2y)= x2－(2y)2= x2－4y2 ； (3) (－m+n)(－m－n) = (－m)2－n2 = m2－n2 .例2 解： （1） （2）( ab + 8 ) ( ab - 8 )= (ab)2- 64 = a2b2- 64 ． 巩固训练1.B2.D3.B4.(1)(-0.3m+0.1)(-0.3m-0.1) =(-0.3m)2-0.12 =0.09m2-0.01.(2)(x2-3y)(-x2-3y) =(-3y+x2)(-3y-x2) =(-3y)2-(x2)2=9y2-x4.5.解：(2x－y)(y＋2x)－(2y＋x)(2y－x) ＝4x2－y2－(4y2－x2) ＝4x2－y2－4y2＋x2 ＝5x2－5y2.当x＝1，y＝2时，原式＝5×12－5×22＝－15.
课堂小结 通过本节课的内容，你有哪些收获？1.试用语言表述平方差公式 (a+b)(a b)=a2 b2 两数和与这两数差的积，等于它们的平方差. 2.应用平方差公式 时要注意一些什么？运用平方差公式时，要紧扣公式的特征，找出相等的“项”和符号相反的“项”，然后应用公式；
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