2021-2022学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册6.4.3余弦定理、正弦定理1 课件 (共21张PPT)

(共21张PPT)
6.4.3 余弦定理、正弦定理
在三角形ABC中，三个角A，B，C所对的边分别为a，b，c，怎样用a，b和C表示c？
A
B
C
a
b
c
探究1
余弦定理
　　三角形任一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍．
应用：已知两边和一个夹角，求第三边．
题型1　已知两边与夹角求第三条边
在△ABC中，
(1)已知b=8，c=3，A=60°,则a=_______
(2)已知a=7，b=8，cosC= ,则c=_______
(3)已知a=5，c=7，tanB= , 则b=_______
7
3
巩固练习
由余弦定理变形得：
应用：已知三条边求角度．
思考：余弦定理指出了三角形的三条边与其中的一个角之间的关系，应用余弦定理，我们可以解决已知三角形的三边确定三角形的角的问题，怎么确定呢？
题型2　已知三角形的三边求角
思考：勾股定理指出了直角三角形中的三条边之间的关系，余弦定理则指出了三角形的三条边与其中一个角之间的关系，你能说说这两个定理之间的关系吗？
探究2
当角C为直角时有c2=a2+b2，当角C为锐角时，这三者的关系是什么样子？钝角呢？
结论：
当角C为锐角时，a2+b2>c2，
当角C为直角时，a2+b2=c2，
当角C为钝角时，a2+b2题型3　利用余弦定理判断三角形的形状
例3、在△ABC中，若acos B+acos C=b+c，试判断该三角形的形状.
解：由acos B＋acos C＝b＋c并结合余弦定理，
整理，得(b＋c)(a2－b2－c2)＝0.
因为b＋c≠0，所以a2＝b2＋c2，
故△ABC是直角三角形.
(1)利用三角形的边角关系判断三角形的形状时，需要从“统一”入手，即使用转化思想解决问题，一般有两条思考路线
①先化边为角，再进行三角恒等变换，求出三角之间的数量关系.
②先化角为边，再进行代数恒等变换，求出三边之间的数量关系.
(2)判断三角形的形状时，经常用到以下结论
①△ABC为直角三角形 a2＝b2＋c2或c2＝a2＋b2或b2＝a2＋c2.
②△ABC为锐角三角形 a2＋b2>c2，且b2＋c2>a2，且c2＋a2>b2.
③△ABC为钝角三角形 a2＋b2④若sin 2A＝sin 2B，则A＝B或A＋B＝ .
反思感悟
一般地，三角形的三个角A，B，C和它们的对边a，b，c叫做三角形的元素，已知三角形的几个元素求其它元素的过程叫做解三角形。
例4、在△ABC中，已知a=7，b=8，锐角C满足 ，求B.(精准到1°)
解：因为 ，且C为锐角。
由余弦定理，得
所以c=3
利用计算器可得B≈98°
练习：课本P44页第2题
C
达标检测
1、在△ABC中，已知a2=b2+c2+bc，则角A等于( )
A.60° B.45° C.120° D.30°
等腰三角形
2、在△ABC中，若a=2bcosC，则△ABC的形状为________
∴△ABC为等腰三角形
已知两边与一角(非夹角)求第三条边
C
5、在△ABC中，已知a=5，b=3，角C的余弦值是方程5x2+7x-6=0的根，求第三边c的长．
解析：5x2+7x-6=0可化为(5x-3)(x+2)=0
根据余弦定理，得c2=a2+b2-2abcosC
∴c＝4，即第三边长为4.
1、余弦定理及其推论：
1、已知两边和夹角求第三边。
2、已知三边求三角。
课堂小结
a2=b2+c2 - 2bccosA
b2=c2+a2 - 2cacosB
c2=a2+b2 - 2abcosC
2、利用余弦定理可以解决的问题：