2021-2022学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册6.4.3余弦定理、正弦定理3课件(共16张PPT)

(共16张PPT)
6.4.3 余弦定理、正弦定理
变式：
sinA:sinB:sinC=a:b:c
正弦定理
在一个三角形中各边和它所对角的正弦的比相等，即
课前练习：在△ABC中，sin A:sin B:sin C=3:4:5，则△ABC是( 　)
A．直角三角形　　 B．等腰三角形
C．锐角三角形　　 D．钝角三角形
【解析】由正弦定理，得sin A:sin B:sin C=a:b:c=3:4:5，
所以可设a=3k，b=4k，c=5k，由于(3k)2+(4k)2=(5k)2，
即a2+b2=c2，所以△ABC是直角三角形．
A
题型一、判断三角形的形状
例1、在△ABC中，若sinA=2sinBcosC，且sin2A=sin2B+sin2C，试判断△ABC的形状
法一：(利用角的互余关系)
因为sin2A=sin2B+sin2C，
∴A是直角，B+C=90°，
∴2sinB cos C=2sin B cos (90°－B)=2sin2B=sinA=1，
∴a2=b2+c2，
∵0°根据正弦定理，得
法二：(利用角的互补关系)
∴a2＝b2＋c2，∴A是直角．
∵A＝180°－(B＋C)，sinA＝2sin B cos C，
∴sin (B＋C)＝sin B cos C＋cos B sin C＝2sin B cos C，
∴sin (B－C)＝0.
又－90°∴△ABC是等腰直角三角形．
因为sin2A=sin2B+sin2C，
根据正弦定理，得
思考：还有别的解法吗？
1、在△ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，且b=acosC，试判断△ABC的形状.
跟踪训练
解:因为b=acosC，由正弦定理，得sin B=sinAcosC.①
因为B=π－(A+C)，所以sinB=sin(A+C)，
所以①式变为sin(A+C)=sinAcosC.
化简得cosAsinC=0.
因为A，C∈(0，π)，所以cosA=0，A=
即△ABC是直角三角形.
(1)化角为边。将所有条件，利用正弦定理化角为边，再根据多项式的有关知识(分解因式、配方等)得到边的关系，如a＝b，a2＋b2＝c2等，进而确定三角形的形状．利用的公式为：
总结归纳
利用正弦定理判断三角形形状的两条途径
(2)化边为角。将题目中所有的条件，利用正弦定理化边为角，再根据三角函数的有关知识得到三个内角的关系，进而确定三角形的形状．利用的公式为：a＝2R sin A，b＝2R sin B，c＝2R sin C．
题型二、三角形的面积
例2、在△ABC中，若 ，求△ABC的面积S
三角形面积公式
A
B
C
c
a
b
ha
D
题型二、三角形的面积
例2、在△ABC中，若 ，求△ABC的面积S
练习1、课本P54页第22题
练习2、在△ABC中，若 ，则b=____.
练习3、在△ABC中， ，则△ABC的面积等于____.
题型三、正、余弦定理的综合应用
例3、△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，
(1)求角B的大小；
(2)若A=75°，b=2，求a，c.
由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accos B．
题型三、正、余弦定理的综合应用