2021-2022学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册7.1.1数系的扩充和复数的概念 课件(共23张PPT)

(共23张PPT)
7.1.1 数系的扩充和复数的概念
实数系
实数系的分类
小学的时候我们先学了自然数；为了衡量一个苹果分给几个小朋友的问题，引入了分数；初中时引入了负数；紧接着为了衡量边长为1的正方形的对角线的长度，引入了无理数；一步步地将数系扩充到实数系…
实数R
无理数
有理数Q
分数
整数Z
负整数
自然数N
0
正整数N*(N+)
知识回顾
1、实数对四则运算是封闭的，即两个实数进行四则运算的结果仍然是实数；
2、加法与乘法满足交换律、结合律，乘法对加法满足分配律；
3、实数和数轴上的点可以建立一 一对应的关系.
实数系
实数的性质
对于一元二次方程ax2+bx+c=0，当△=b2-4ac<0时，没有实数根．因此，在研究代数方程的过程中，如果限于实数集，有些问题就无法解决．
引入
那么，如何解决数学家在研究解方程问题时遇到的负实数开平方问题呢？
一、创设情境，引入问题
从方程的角度看，负实数能不能开平方，实际上就是方程x2=－a(a＞0)有没有解的问题．能不能把这类问题再进一步简化，
最终转化为最简单的方程x2+1=0有没有解的问题呢？
x2+1=0在实数集中无解，能否引入新数，适当地扩充实数集，使这个方程在新数集中有解呢？
一、创设情境，引入问题
问题
追问
为了解决x2+1=0这样的方程在实数系中无解的问题，设想引入一个新数i，使得i是方程x2+1=0的解，即使得i2=－1，并且i可以与实数进行四则运算，且原有的加法与乘法的运算律(包括交换律、结合律和分配律)仍然成立.
所以实数系 R 经过扩容后得到的新数集是C={a+bi|a,b∈R}
(1)i2=－1，但并没有 ；
(2) 这里只提加法与乘法运算，并没有提减法与除法，并不是复数的运算对减法和除法不成立，而是为了后面讲复数的四则运算时，分别把减法和除法定义为加法和乘法的逆运算.
注意
复数的引入
形如a+bi(a、b∈R)的数叫做复数，其中i叫做虚数单位
全体复数所成的集合C={a+bi|a,b∈R}叫做复数集，一般用字母C表示 。
(一)复数的概念
二、合作探究 掌握规律
这样，方程x2+1=0在复数集C中就有解x=i了.
实部
复数通常用字母z表示，即
虚部
练习：把下列式子化为a+bi(a、b R)的形式，并分别指出它们的实部和虚部。
2-i = ； -2i = ； 5= ； 0= .
5+0i
0+(-2)i
0+0i
2+(-1)i
思考：根据上述几个例子，复数z=a+bi可以是实数吗？满足什么条件？
(其中i称为虚数单位，a、b R)
(二)复数的代数形式
复数
z=a+bi
思考：复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间有什么关系？
虚数集
纯虚数集
实数集
复数集
(三)复数的分类
实数(b=0)
虚数(b≠0)
纯虚数(a=0，b≠0)
非纯虚数(a≠0，b≠0)
1、下列数中，
实数有 ；
虚数有 ；
其中纯虚数是 。
练一练：
2、判断下列命题是否正确：
(1)若a、b为实数，则z=a+bi为虚数。
(2)若b为实数，则z=bi必为纯虚数。
(3)若a为实数，则z=a一定不是虚数。
例1、实数m取什么值时，复数z=m+1+(m-1)i是
(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数。
解: (1)当m-1=0，即m=1时，复数z是实数。
(2)当m-1≠0，即m≠1 时，复数z是虚数。
(3)当
，即m=-1时，复数z是纯虚数。
练习、当m为何实数时，复数z=m2+m-2+(m2-1)i是：
(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数；(4)零。
(3)m=-2
(1)m=±1
(2)m≠±1
(4)m=1
如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等．
注意：两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小。但两个实数可以比较大小。
若a、b、c、d∈R，
a+bi=c+di
(四)复数相等
例2、已知(2x-1)+i=y-(3-y)i，其中x、y∈R，求x与y的值。
解：根据复数相等的定义，得方程组
练习1、课本P70练习3
练习2、课本P73习题7.1第2、3题
4、若复数z=(m+1)+(m2-9)i<0，则实数m的值为 .
5、已知关于x的方程x2+(1-2i)x+(3m-i)=0有实数根，求实数m的值.
解：设a是原方程的实数根，则a2+(1-2i)a+(3m-i)=0，
即(a2+a+3m)-(2a+1)i=0+0i，
所以a2+a+3m=0且2a+1=0，
1、判断正误(1)若a，b为实数，则z＝a＋bi为虚数．(　　)(2)复数i的实部不存在，虚部为0．(　　)(3)bi是纯虚数．(　　)(4)如果两个复数的实部的差和虚部的差都等于0，那么这两个复数相等．(　　)
达标检测
×
×
×
√
C
2、已知复数z＝a2－(2－b)i的实部和虚部分别是2和3，则实数a，b的值分别是(　　)
3、已知x2－y2＋2xyi＝2i，则实数x，y的值分别为_____________．
4、实数m分别取什么数值时，复数z＝(m2+5m+6)+(m2－2m－15)i(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数；(4)是0？
解析：(1)当m2－2m－15＝0时，复数z为实数，∴m＝5或－3.
(2)当m2－2m－15≠0时，复数z为虚数，∴m≠5且m≠－3.
复数z为纯虚数，∴m=-2.
复数z是0，∴m=-3.
小结：
二、复数有关的概念：
一、数系的扩充；
1、复数的代数形式；
2、复数的实部、虚部；
3、虚数、纯虚数；
4、复数相等。