2021-2022学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册7.1.2复数的几何意义课件(共22张PPT)

(共22张PPT)
7.1.2 复数的几何意义
课前复习
1、若复数z=(m+1)+(m2-9)i<0，则实数m的值为 .
2、已知关于x的方程x2+(1-2i)x+(3m-i)=0有实数根，求实数m的值.
解：设a是原方程的实数根，则a2+(1-2i)a+(3m-i)=0，
即(a2+a+3m)-(2a+1)i=0+0i，
所以a2+a+3m=0且2a+1=0，
追问、请回忆“复数相等”的定义.
复数a+bi与c+di相等，当且仅当a=c且b=d.
问题1、我们知道实数与数轴上的点一一对应，那么复数z=a+bi(a， b∈R)，是否可以与点Z(a, b)一一对应？
一、引入复平面
如图，点Z的横坐标是a，纵坐标是b，复数z=a+bi可以用点Z(a，b)表示. 这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴. 显然，实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数.
Z(a，b)
z=a+bi
x
y
a
b
O
因为任何一个复数z=a+bi都可以用一个有序实数对(a，b)唯一确定，并且任意给一个复数也可以唯一确定一个有序数对，所以复数z=a+bi与有序数对(a，b)是一 一对应的，而有序数对(a，b)与平面直角坐标系中的点是一 一对应的，所以复数与平面直角坐标系中的点集之间可以建立一 一对应的关系.
一、引入复平面
一、引入复平面
误区：复数z=a+bi(a， b∈R)在复平面内对应点的坐标为(a，b)，而不是(a，bi)，也就是说，复平面内虚轴上的单位长度是1，而不是i.
实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数，象限内的点都表示非纯虚数.反之，表示实数的点都在实轴上，表示纯虚数的点都在虚轴上，表示非纯虚数的点都在象限内.
例如，复平面内原点(0,0)表示实数0，实轴上的点(2,0)表示实数2，虚轴上的点(0,-1)表示纯虚数-i，点(-2,3)表示复数-2+3i等.
Z(a，b)
z=a+bi
x
y
a
b
O
由复平面的引入过程我们知道，每个复数，有复平面内唯一的一个点和它对应；反过来，复平面内的每一个点，有唯一的一个复数与它对应.
复数集C中的数与复平面内的点建立了一 一对应的关系，即
复数z=a+bi 复平面内的点Z(a，b)
一一对应
二、研究复平面的几何意义
这是复数的一种几何意义——与点对应.
注意：
(1) 复数的实质是有序数对；
(2) 复数z=a+bi(a， b∈R)中的z，书写时应小写；复平面内点Z(a，b)中的Z，书写时要大写.
练习1、在复平面内，描出表示下列复数的点(每个小正方格的边长为1).
(1) 2+5i；
(2)－3+2i；
(3)2－4i；
(4)－3－5i；
(5) 5；
(6) －3i；
y
O
x
A
B
C
D
E
F
O
练习2、说出复平面内各点所表示的复数 (每个小正方格的边长为1).
x
y
A
B
C
D
E
F
G
H
练习3、已知复数z=(m2+m-6)+(m2+m-2)i，在复平面内所对应的点位于第二象限，求实数m的取值范围.
二、研究复平面的几何意义
在平面直角坐标系中，每一个平面向量都可以用一个有序实数对来表示，而有序数对和复数又是一一对应的.这样我们就可以用平面向量来表示复数.
复数z=a+bi 平面向量，这是复数的另一种几何意义.
一一对应
如图，设复平面内的点Z表示复数z=a+bi，连接OZ，显然向量 OZ由点Z唯一确定；反过来，点Z也可以由向量OZ唯一确定，因此，复数集C中的数与复平面内以原点为起点的向量也建立了一一对应的关系(实数0与零向量对应)，即
为了方便起见，我们常把复数z=a+bi说成点Z或说成向量 OZ，并且规定， 相等的向量表示同一个复数.
与向量对应
如果b=0，那么z=a+bi是一个实数a，它的模就等于它的绝对值|a|.
向量 的模叫做复数z=a+bi的模或绝对值，记作|z|或|a+bi|.
三、复数的模
(1)|z|≥0，任意两个复数的模可以比较大小；
(2)复数的模的几何意义：复数z=a+bi的模|z|表示复数在平面内对应的点Z(a,b)到原点的距离. 类比向量的模可以作推广：|z1-z2|表示点Z1和点Z2之间的距离；
(3)复数的模，复数在复平面内对应的点到原点的距离，复数所对应向量的模，这三者是相等的.
注意：
实数a在数轴上所对应的点A到原点O的距离.
实数绝对值的几何意义:
复数的模其实是实数绝对值概念的推广
x
O
A
a
|a| = |OA|
x
O
z=a+bi
y
复数 z=a+bi在复平面上对应的点Z(a,b)到原点的距离.
复数的模的几何意义:
Z(a,b)
解：(1)复数z1，z2对应的点分别为Z1，Z2，
对应向量分别为 ， .
例1、设复数z1=4+3i，z2=4-3i.
(1)在复平面内画出复数z1，z2对应的点和向量；
(2)求复数z1，z2的模，并比较它们的模的大小.
共轭复数
四、应用举例
思考：设z=a+bi (a,b∈R ),那么
复数z=a+bi的共轭复数记作
任意两个互为共轭复数的乘积是一个实数.
一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数.虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数.
五、共轭复数
特别地，实数a的共轭复数仍是a本身
互为共轭的两个复数在复平面内所对应的点关于实轴对称. 特别地，实数和它的共轭复数在复平面内所对应的点重合，且在实轴上.
P(a,b)
x
y
Q(a,-b)
O
设复数z=a+bi(a,b∈R )在复平面内所对应的点为P(a,b)，z=a-bi 在复平面内对应的点为Q(a,-b)，如图所示，它们关于实轴对称.
共轭复数的几何意义
已知复数x2+x-2+(x2-3x+2)i是4-20i的共轭复数，求实数x的值．
解: 因为4-20i的共轭复数是4+20i，
根据复数相等的定义，可得
练习
例2、设复数z∈C，在复平面内复数z对应的点为Z，那么满足下列条件的点Z的集合是什么图形？
(1)|z|=1； (2)1<|z|<2.
解：(1)以原点为圆心，1为半径的圆.
(2)以原点为圆心，1为半径和2为半径的两个圆所夹的圆环，不包括圆环的边界.
三、应用举例
P73页练习6
6、当实数m取什么值时，复平面内表示复数z=(m2-8m+15)+(m2-5m-14)i的点分别满足下列条件？
(1)位于第四象限
(2)位于第一象限或第三象限；
(3)位于直线y=x上.
解析：
1、由复数的几何意义，得 ， ，
所以 ，所以 对应的复数为0.
课后练习
题型二　复数、共轭复数与复平面内的向量的关系
1、向量 对应的复数是5－4i，向量 对应的复数是－5＋4i，则 对应的复数是(　　)A.－10＋8i　 B.10－8i C.0 D.10＋8i
C
解析：2、由复数的几何意义，得 ， ，
.所以 对应的复数是5－5i.
2、设O是原点，向量 对应的复数分别为2－3i，－3＋2i，那么向量 对应的复数是(　　)A.－5＋5i B.－5－5i C.5＋5i D.5－5i
D
A
课后练习
3、在复平面内，若复数z＝(a2－2a)＋(a2－a－2)i对应的点在虚轴上，则a的值为(　　)A.a＝0或a＝2 B.a＝0 C.a≠1且a≠2 D.a≠－1或a≠2
解析：∵复数z＝(a2－2a)＋(a2－a－2)i对应的点在虚轴上，∴a2－2a＝0，∴a＝0或a＝2.
课后练习
4、已知3－4i＝x＋yi(x，y∈R)，则|1－5i|，|x－yi|，|y＋2i|的大小关系为____________.
解析：由3－4i＝x＋yi(x，y∈R)，得x＝3，y＝－4.