2021-2022学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册6.4.3余弦定理、正弦定理4课件(共15张PPT)

(共15张PPT)
6.4.3 余弦定理、正弦定理
一、距离问题
探索点一、两点不相通的距离例1、如图所示，A，B两点之间隔着一座小山，现要测量A，B两点间的距离，选择在同一水平面上且均能直线到达的点C，经测量AC=50m，BC=40m，点B在点C的北偏东45°方向上，点A在点C的北偏西75°方向上，计算出AB的长.
解：依题意可得∠ACB=120°，AC=50m，BC=40m，由余弦定理，得
探索点二、两点间可视但有一点不可到达的距离
例2、如图所示，设A，B两点在河的两岸，一位测量者在点A的同侧，在点A所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离为50m，C=45°，A=105°后，就可以计算A，B两点的距离为 (　　)
解析：由题意知B=30°.由正弦定理，得
探索点三、两点都不可到达的距离例3、如图，为测量河对岸A，B两点的距离，在河的这边测出CD的长为 km，∠ADB=∠CDB=30°，∠ACD=60°，∠ACB=45°，求A，B两点间的距离.
解析：∵∠ADC＝∠ADB＋∠CDB＝60°，∠ACD＝60°，
在△ABC中，由余弦定理，得
在△BCD中，∠DBC＝45°，
AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcos 45°
解题技巧(测量距离技巧)
(1)两点间不可通又不可视(如图①)：可取某点C，使得A，B与C之间的距离可直接测量，测出AC＝b，BC＝a以及∠ACB＝γ，利用余弦定理得：
(2)两点间可视但不可到达(如图②)：可选取与B同侧的点C，测出BC＝a以及∠ABC和∠ACB，先使用内角和定理求出∠BAC，再利用正弦定理求出AB.
当A，B两点之间的距离不能直接测量时，求AB的距离分为以下三类：
(3)两点都不可到达(如图③)：在河边测量对岸两个建筑物之间的距离，可先在一侧选取两点C，D，测出CD＝m，∠ACB，∠BCD，∠ADC，∠ADB，再在△BCD中求出BC，在△ADC中求出AC，最后在△ABC中，由余弦定理求出AB.
二、高度、角度问题
探索点一　利用仰角求高度
例1、(1)如图所示，测量河对岸的塔的高度AB时，可以选与塔底B在同一水平面的两个观测点C与D，测得∠BCD=15°，∠BDC=30°，CD=30m，并在C测得塔顶A的仰角为60°，则塔AB的高度为(　　)
解析：在△BCD中，由正弦定理，得
(2)如图所示，在平地上有一点A，测得一塔尖C的仰角为45°，向前行进a m到B处，又测得塔尖C的仰角为60°，则塔高是(　　)
解析：由题意知∠CAB=45°，∠CBO=60°，∠COB=90°，AB=a m，
所以∠ABC=120°，∠ACB=15°.
在△ABC中,由正弦定理,得
对于底部不可到达的建筑物的高度测量问题，由于不能直接通过解直角三角形解答，可通过构造含建筑物高度的三角形，用正弦定理、余弦定理解答. 构造三角形的方法常见的有:(1)取经过建筑物底部O的基线上两点A，B与顶部P构成Rt△PAO，Rt△PBO.(2)取与建筑物PD垂直，经过建筑物底部D的地平面上两点A，B，与顶部P，底部D构成三角形，通过测量角度及长度求解.
方法规律
探索点二　利用俯角测量高度例2、如图所示，在山顶铁塔上B处测得地面上一点A的俯角为60°，在塔底C处测得A处的俯角为45°.已知铁塔BC部分的高为30 m，求山高CD.