北师大版数学七年级下册 2.1 对顶角、余角和补角 （第1课时）课件 (共30张PPT)

(共30张PPT)
2.1 两条直线的位置关系
第二章 相交线与平行线
第1课时 对顶角、补角和余角
学习目标
1.理解对顶角、补角、余角的概念；
2.掌握对顶角、补角、余角的性质，并能运用它们的
性质进行角的运算及一些实际问题.（重点、难点）
观察下列图片，说一说直线与直线的位置关系.
导入新课
情境引入
生活中处处可见道路、房屋、山川、桥梁.在大自然的杰作和人类的创造物中，蕴含着无数的相交线和平行线.
在同一平面内，两条直线的位置关系有相交和平行两种.若两条直线只有一个公共点，我们称这两条直线为相交线.在同一平面内，不相交的两条直线叫作平行线.
如图，直线AB、CD相交于O，∠1和∠2有什么位置关系？
2
1
A
B
C
D
O
3
4
讲授新课
对顶角的概念及性质
一
探究一:
1.有公共顶点，
2.两边互为反向延长线.
请你观察图中∠1和∠2这组对顶角，你发现它们的大小有什么关系
2
1
A
B
C
D
O
探究二:
∠1=∠2
对顶角相等
如图直线AB与CD相交于点O，∠1和∠3有公共顶点O，并且它们的两边互为反向延长线，这样的两个角叫做对顶角.∠2和∠4也是对顶角.
对顶角：
A
O
C
B
D
1
3
2
4
总结归纳
对顶角的性质：
例1 下列各图中，∠1与∠2是对顶角的是（ ）
1
2
C
1
2
D
D
1
2
A
1
2
B
典例精析
方法总结：对顶角是由两条相交直线构成的，
只有两条直线相交时，才能构成对顶角．
例2 如图，直线AB、CD，EF相交于点O，∠1＝40°，∠BOC＝110°，求∠2的度数.
解：因为∠1＝40°，
∠BOC＝110°(已知)，
所以∠BOF＝∠BOC－∠1
＝110°－40°＝70°.
因为∠BOF＝∠2(对顶角相等)，
所以∠2＝70°(等量代换)．
注意：隐含条件“对顶角相等”.
3
4
如果两个角的和等于180°(平角)，就说这两个角互为补角(简称互补).可以说∠3是∠4的补角或∠4是∠3的补角.
定义：
补角和余角的概念
二
2
1
如果两个角的和等于90°(直角)，就说这两个角互为余角(简称互余).可以说∠1是∠2的余角或∠2是∠1的余角.
定义：
∠α ∠α的余角 ∠α的补角
5°
32°
45°
77°
62°23′
27°37′
117°37′
85°
175°
58°
148°
45°
135°
103°
13°
x°(x<90)
90° x°
180° x°
观察可得结论：
同一个锐角的补角比它的余角大________.
做一做
90°
图1
N
2
D
C
O
1
3
4
A
B
图2
如图1，打台球时，选择适当的方向用白球击打红球，反弹后的红球会直接入袋，此时∠1=∠2，将图1简化成图2，ON与DC交于点O，∠DON=∠CON=900，∠1=∠2.
补角和余角的性质
三
小组合作交流，解决下列问题：在图2中
问题1：哪些角互为补角？哪些角互为余角？
问题2：∠3与∠4有什么关系？为什么？
问题3：∠AOC与∠BOD有什么关系？为什么？
因为∠1= ∠2，
∠1+∠AOC=180°,
∠ 2+∠BOD=180°，
所以∠AOC=∠BOD.
同角(等角)的补角相等
N
2
D
C
O
1
3
4
A
B
图2
因为∠1= ∠2，
∠ 1+∠3=90° ,
∠ 2+∠4=90°，
所以 ∠ 3=∠4.
同角(等角)的余角相等
归纳总结：同角(等角)的补角相等，同角(等角)的余角相等.
N
2
D
C
O
1
3
4
A
B
图2
例3 如图，已知∠AOB在∠AOC内部，∠BOC＝
90°，OM、ON分别是∠AOB，∠AOC的平分线，
∠AOB与∠COM互补，求∠BON的度数．
解：∵∠AOB与∠COM互补，
∴∠AOB＋∠COM＝180°，
即∠AOB＋∠BOM＋∠COB＝180°.
∵∠COB＝90°，
∴∠AOB＋∠BOM＝90°.
∵OM是∠AOB的平分线，
∴∠BOM＝ ∠AOB，即∠AOB＋ ∠AOB＝90°，解得∠AOB＝60°，
∴∠AOC＝∠BOC＋∠AOB＝90°＋60°＝150°.
∵ON平分∠AOC得∠AON＝ ∠AOC
＝ ×150°＝75°.
由角的和差，
∴∠BON＝∠AON－∠AOB
＝75°－60°＝15°.
1.下列说法中，正确的有（　 ）
①对顶角相等
②相等的角是对顶角
③不是对顶角的两个角就不相等
④不相等的角不是对顶角
A．1个 B．2个 C．3个 D．0个
B
当堂练习
√
√
2.判断下列各图中∠1和∠2是否为对顶角，并说明
理由？
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
√
×
×
×
×
×
3.图中给出的各角，哪些互为补角？
10o
30o
60o
80o
100o
120o
150o
170o
4.图中给出的各角，哪些互为余角？
15o
24o
66o
75o
46.2o
43.8o
5.如图,已知∠AOB=90°， ∠AOC= ∠BOD，则与
∠AOC互余的角有__________________.
∠BOC和 ∠AOD
6.如图已知：直线AB与CD交于点O, ∠EOD=900,
回答下列问题：
（1）∠AOE的余角是 ；补角是 ；
（2）∠AOC的余角是 ；补角是 ；
对顶角是 ；
C
A
B
D
O
E
∠AOC
∠BOE
∠AOE
∠BOC
∠BOD
7.如图,∠COD=∠EOD=90°, C、O、E在一条直线上, 且∠2= ∠4, 请说出∠1与∠3之间的关系 并试着说明理由
O
∠1与∠3相等
(等角的余角相等).
8.若一个角的补角等于它的余角的4 倍，求这个角的度数.
解：设这个角是x°，则它的补角是(180°－x°),
余角是(90°－x°) .
根据题意，得180°－x°= 4 (90°－x°).
解得 x=60.
答：这个角的度数是60 °.
9.要测量两堵墙所成的角的度数，但人不能进入
围墙，如何测量？
A
B
O
C
D
你能想到几种方法？
互余 互补
两角间的数量关系
对应图形
性质
同角或等角的
余角相等
同角或等角的
补角相等
对顶角性质：对顶角相等.
课堂小结