2021-2022学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册8.6.3平面与平面垂直课件（31张ppt）

(共31张PPT)
8.6.3 平面与平面垂直
1. 复习
(1) 直线与平面垂直的判定定理：
如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直.
符号表示：
符号表示：若a⊥α，b⊥α，则a//b.
(2) 直线与平面垂直的性质定理：
垂直于同一平面的两条直线平行.
性质1：若a⊥α，m α，则a⊥m.
性质2：若a⊥α，b⊥α，则a//b. (性质定理)
性质3：若a⊥α，c α，且c⊥a，则c//α.
直线与平面垂直的性质定理：
垂直于同一平面的两条直线平行.
性质4：若α//β，l⊥α，则l⊥β.
α
β
(3) 直线与平面垂直的性质：
接下来我们将要探索平面与平面垂直的判定与性质.
1. 复习
2. 探求新知
像研究直线与平面垂直一样，我们首先应给出平面与平面垂直的定义. 那么，该如何定义呢？
我们在研究直线与直线垂直时，是先定义了角的概念，利用角刻画两条相交直线的位置关系，进而研究直线与直线互相垂直这一特殊位置关系.
类似地，我们要研究平面与平面互相垂直，那就需要先引入两个平面所成的角(二面角)的概念，用以刻画两个相交平面的位置关系，进而研究两个平面互相垂直. 接下来我们就来看看二面角及相关概念是如何定义的？
2. 二面角
棱AB，面分别为α，β的二面角记作二面角α-AB-β.
如图示，从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角. 这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面.
(2) 二面角的表示：
(1) 二面角的定义：
α
β
l
A
B

P

Q
有时为了方便，也可在α，β内(棱以外的半平面部分)分别取点P，Q，将这个二面角记作二面角P-AB-Q.
如果棱记作l，那么这个二面角记作二面角α-l-β或二面角P-l-Q.
3. 二面角的大小
思考 如图,在日常生活中,我们常说把门开大一些,是指哪个角大一些 受此启发,你认为应该怎样刻画二面角的大小呢
A
B
O
l
A′
B′
O′
α
β
α
β
l
A
B
O

在二面角α-l-β的棱l上任取一点O，以点O为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱l的射线OA和OB，则射线OA和OB构成的∠AOB叫做二面角的平面角.
二面角的平面角:
注意：(1)其中∠AOB的大小与点O的位置无关：
(2)表示二面角的平面角的两边一定要垂直于棱，只要有一边不垂直棱都不是二面角的平面角.
二面角的大小是用它的平面角来度量的. 二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度.
4. 二面角的范围
如图示，当∠AOB=90°，即二面角的平面角为直角时，我们把这种二面角角叫做直二面角.
α
β
l
A
B
O
因此，二面角的平面角的取值范围为__________.
一般地，两个平面α，β相交，如果它们所成的二面角α-l-β是直二面角，就说平面α与β互相垂直. 记作α⊥β.
α(β)
l
A(B)
O
当∠AOB=0°，即二面角的平面角为0°时，表示二面角的两个半平面重叠成一个半平面.
当∠AOB=180°，即二面角的平面角为180°时，表示二面角的两个半平面展开成一个平面.
α
β
l
A
B
O
[0°, 180°]
注意区分各种角的取值范围：
异面直线所成角：___________，线面角：____________.
(0°, 90°]
[0°, 90°]
例题 在正方体ABCD A1B1C1D1中，截面A1BD与底面ABCD所成锐二面角A1 BD A的正切值为________．
O
1. 求二面角大小的步骤：
(1) 作 — 作出平面角；
(2) 证 — 明所作的角满足定义，即为所求二面角证的平面角；
(3) 求 — 将作出的角放在三角形中，计算出平面角的大小.
简称为“一作二证三求”.
2. 作出二面角的平面角的方法：
方法一：(定义法) 在二面角的棱上找一个特殊点O，在两个半平面内分别作垂直于棱的射线OA，OB.
如图所示，∠AOB为二面角α- a -β的平面角．
方法二：(垂线法)过二面角的一个面内一点A作另一个平面的垂线AE，过垂足E作棱的垂线交棱于点F，连接点A与垂足F，利用线面垂直可找到二面角的平面角或其补角．
如图所示，∠AFE为二面角A- BC- D的平面角．
方法三：(垂面法)过棱上一点O作垂直于棱的平面γ，该平面与二面角的两个半平面产生交线，这两条交线所成的角即为二面角的平面角．
如图所示，∠AOB为二面角α- l -β的平面角．
【提醒】二面角的平面角的大小与顶点在棱上的位置无关，通常可根据需要选择特殊点作为平面角的顶点．
90°
O
B
P
C
A
在明确了两个平面互相垂直的定义的基础上，我们进一步研究两个平面垂直的判定和性质，先研究平面与平面垂直的判定.
观察 如图，建筑工人在砌墙时，常用铅锤来检测所砌的墙面与地面是否垂直. 如果系有铅锤的细线紧贴墙面，工人师傅就认为墙面垂直于地面，否则他就认为墙面不垂直于地面. 这种方法说明了什么道理？
β
α
a
如果一个平面存在一条直线垂直于另一个平面，那么这两个平面垂直. 即
若a α，a⊥β，则α⊥β.
这就是平面与平面垂直的判定定理
5. 平面与平面垂直的判定
5. 平面与平面垂直的判定
平面与平面垂直的判定定理：
如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直.
符号表示：
证明：
A
B
D
C
E
例7 已知：如右图, 正方体ABCD-A'B'C'D'. 求证：平面A'BD⊥平面ACC'A'.
∵ABCD-A'B'C'D'是正方体，∴AA'⊥平面ABCD.
又BD 平面ABCD，∴AA'⊥BD.
又AC⊥BD，AC∩AA'=A，∴BD⊥平面ACC'A'，
又BD 平面A'BD，∴平面A'BD⊥平面ACC'A'.
B
D
C
A′
B′
C′
D′
A
证明1：
证明2：
∵ABC-A'B'C'是正三棱柱，∴AA'⊥平面ABC.
又BD 平面ABC，∴AA'⊥BD.
∵△ABC是正三角形，且D是AC的中点，∴ AC⊥BD，
又AC∩AA'=A，∴BD⊥平面ACC'A'，
又BD 平面BDC'，∴平面BDC'⊥平面ACC'A'.
证明1：
4. 如图，在正三棱柱ABC-A′B′C′中，D是棱AC的中点.
求证：平面BDC′⊥平面ACC′A′.
B
D
C
A′
B′
C′
A
证明2：
练习
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教材159页
例8 已知：如右图, AB是⊙O的直径, PA垂直于⊙O所在 的平面, C是圆周上不同于A, B的任意一点. 求证：平面PAC⊥平面PBC.
∵点C是圆周上不同于A, B的任意一点，AB是⊙O的直径，
∴∠BCA=90°，即BC ⊥AC.
又∵PA∩AC=A，
∴BC ⊥平面PAC.
又∵BC 平面PBC，
∴平面PAC ⊥平面PBC.
证明：设⊙O所在的平面为α，由已知条件，
PA⊥α，BC α，∴PA ⊥BC.
P
A
B
O
C
练习
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教材158页
1. 如图，检查工件的相邻两个(平)面是否垂直时，只要用曲尺的一边紧靠在工件的一个面上，另一边在工件的另一个面上转动，观察尺边和这个面是否密合就可以了. 这是为什么
解：转动时，如果尺边与这个面密合，则说明另一尺边垂直于这个面，根据平面与平面垂直的判定定理可得，工件相邻两个面互相垂直.
练习
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教材158页
2. 已知直线a，b与平面α，β，γ，能使α⊥β的充分条件是( ).
(A) α⊥γ，β⊥γ (B) α∩β＝a，b⊥a，b β
(C) a//β，a//α (D) a//α，a⊥β
D
3. 如下页图，AB⊥平面BCD，BC⊥CD，你能发现哪些平面互相垂直，为什么
解：平面ABC⊥平面BCD，
平面ABD⊥平面BCD
平面ABC⊥平面ACD
理由如下：
练习
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教材158页
接下来我们研究平面与平面垂直的性质，也就是在两个平面互相垂直的条件下，能推出哪些性质.
如果两个平面互相垂直，我们可以先研究其中一个平面内的直线与另一个平面具有什么位置关系.
探究 如图，设α⊥β，α∩β=a. 则β内任意一条直线b与a有什么位置关系？相应地，b与α有什么位置关系？为什么？
a
显然，b与a平行或相交，当b//a时，b//α，当b与a相交时，b与α也相交.
下面我们分析，当b⊥a时，b与α有什么位置关系？
b
A
c
结论：若α⊥β, α∩β=a, b β, b⊥a, 则b⊥α .
这是平面与平面垂直的性质定理.
6. 平面与平面垂直的性质
平面与平面垂直的性质定理：
两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直.
符号表示：
a
b
这个定理可以用于证明直线与平面垂直.
6. 平面与平面垂直的性质
探究 设α⊥β，P α，过点P作平面β的垂线a，直线a与平面α具有什么位置关系
如图示，过点P在α内作直线b⊥c，则b⊥β.
因为过一点有且只有一条直线与β垂直，
所以直线a与直线b重合，因此a α.
解：a α，理由如下：
思考 对于两个平面互相垂直的性质，我们探究了一个平面内的直线与另一个平面的特殊位置关系. 如果直线不在两个平面内，或者把直线换成平面，你又能得到哪些结论
b//α
b
a
b
b
γ⊥β
a
证明：
例9 如图，α⊥β，b⊥ β，b α，求证：b // α.
c
b
a
例10 已知：如右图，已知PA⊥平面ABC，平面PAB⊥平面PBC.
求证：BC⊥平面PAB.
E
证明：过点A作AD⊥PB，垂足为D.
∵平面PAB⊥平面PBC, 平面PAB∩平PBC=PB，
∴AD⊥平面PBC.
∵BC 平面PBC，∴BC⊥AD.
又∵PA⊥平面ABC，BC 平面ABC，∴BC⊥PA.
又PA∩AD=A，
∴BC⊥平面PAB.
P
A
B
C
练习
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教材161页
1. 判断下列命题是否正确，正确的在括号内画“√”，错误的画“×”.
(1) 如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β.
(2) 如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面β.
(3) 如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β.
解：（1）×（2）√（3）√ .
练习
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教材161页
2. 若平面α⊥平面β，且α∩β＝l，则下列命题中正确的个数是( ).
(1) 平面α内的直线必垂直于平面β内的任意一条直线.
(2) 平面α内的已知直线必垂直于平面β内的无数条直线.
(3) 平面α内的任一条直线必垂直于平面β.
(4) 过平面α内任意一点作交线l的垂线，则此垂线必垂直于平面β.
(A) 3 (B) 2 (C) 1 (D) 0
C
B
练习
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教材162页
3. 已知α，β是两个不同的平面，m为平面α内的一条直线，则“α⊥β”是“m⊥β”的( ).
(A) 充分不必要条件 (B) 必要不充分条件
(C) 充要条件 (D) 既不充分也不必要条件
解：a//β. 理由如下：
B
a
A
b
练习
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教材162页
4. 已知平面α，β，直线a，且α⊥β，α∩β＝AB，a//α，a⊥AB，判断直线a与平面β的位置关系，并说明理由.
7. 小结
(1) 平面与平面垂直的判定定理：
(2) 平面与平面垂直的性质定理：
如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直.
符号表示：
两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直.
符号表示：