2021-2022学年湘教版八年级数学下册2.7正方形 同步练习题(word版含答案)

2021-2022学年湘教版八年级数学下册《2-7正方形》同步练习题（附答案）
一．选择题
1．正方形具有而菱形不一定有的性质是（　　）
A．对角线互相垂直 B．对角线相等
C．对边相等 D．邻边相等
2．已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论：①当AB＝BC时，它是菱形；②当AC⊥BD时，它是菱形；
③当∠ABC＝90°时，它是矩形；④当AC＝BD时，它是正方形，其中错误的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．如图，四边形ABCD是平行四边形，下列结论中错误的是（　　）
A．当 ABCD是矩形时，∠ABC＝90° B．当 ABCD是菱形时，AC⊥BD
C．当 ABCD是正方形时，AC＝BD D．当 ABCD是菱形时，AB＝AC
4．如图，在正方形ABCD中，E、F是对角线BD上的点，AB＝BF＝DE，则∠EAF的度数为（　　）
A．22.5° B．30° C．45° D．67.5°
5．如图，在菱形ABCD中，∠B＝60°，AB＝4，则以AC为边的正方形ACEF的面积为（　　）
A．8 B．12 C．16 D．20
6．正方形ABCD的一条对角线长为6，则这个正方形的面积是（　　）
A．9 B．18 C．24 D．36
7．如图，正方形ABCD的对角线相交于点O，以点O为顶点的正方形OEGF的两边OE，OF分别交正方形ABCD的两边AB，BC于点M，N，记△AOM的面积为S1，△CON的面积为S2，若正方形的边长AB＝10，S1＝16，则S2的大小为（　　）
A．6 B．7 C．8 D．9
8．如图，E是正方形ABCD的边DC上一点，过点A作FA＝AE交CB的延长线于点F，若AB＝4，则四边形AFCE的面积是（　　）
A．4 B．8 C．16 D．无法计算
9．如图，已知在正方形ABCD中，AB＝BC＝CD＝AD＝10厘米，∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，点E在边AB上，且AE＝4厘米，如果点P在线段BC上以2厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CD上由C点向D点运动，设运动时间为t秒．当△BPE与△CQP全等时，t的值为（　　）
A．2 B．2或1.5 C．2.5 D．2.5或2
10．如图，在正方形ABCD中，动点E在BC边上（点E与点B不重合），∠DAE的平分线AF与CD边交于点M，与BC边的延长线交于点F，连接EM．对于下列四个结论：①AE＝EF；②若CM＝CE，则AF＝2BC；③若EM⊥AF，则CM＝DM；④存在点E，使点E与点D关于直线AF对称．其中正确结论的个数为（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二．填空题
11．如图，在正方形ABCD的外侧，作等边△DCE，则∠AEC的度数是　 　．
12．如图，直线a经过正方形ABCD的顶点A，分别过正方形的顶点B、D作BF⊥a于点F，DE⊥a于点E，若DE＝8，AB＝10，则EF的长为　 　．
13．如图，E，F是正方形ABCD的对角线AC上的两点，AC＝8，AE＝CF＝2，则四边形BEDF的周长是 　 　．
14．如图，正方形ABCD的对角线相交于点O，正方形A'B'C'O与正方形ABCD的边长相等，若两个正方形的重叠部分（阴影部分）的面积为，则正方形A'B'C'O的面积为 　 　．
15．如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在对角线BD上，请你添加一个条件　 　，使四边形AECF是菱形．
16．在直线上依次摆着7个正方形（如图），已知倾斜放置的3个正方形的面积分别为1，2，3，水平放置的4个正方形的面积是S1，S2，S3，S4，则S1+S2+S3+S4＝　 　．
三．解答题
17．如图，四边形ACMF、BCNE是两个正方形．求证：AN＝BM．
18．如图，正方形ABCD中，点F是CD边上一点，DF＝2．连接AF并延长，交BC边延长线于点E，∠EFC＝3∠E，连接AC．
（1）求证：AC＝EC；
（2）求正方形的边长．
19．如图，已知正方形ABCD中，点E是边BC延长线上一点，连接DE，过点B作BF⊥DE，垂足为点F，BF与CD交于点G．
（1）求证：CG＝CE；
（2）若BE＝4，DG＝2，求BG的长．
20．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，过点C的直线MN∥AB，D为AB边上一点，过点D作DE⊥BC，垂足为F，交直线MN于E，连接CD，BE．
（1）求证：CE＝AD；
（2）当D为AB中点时，四边形BECD是什么特殊四边形？说明你的理由；
（3）在满足（2）的条件下，当△ABC满足什么条件时，四边形BECD是正方形？（不必说明理由）
21．（1）如图①，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、DC上的点，且∠EAF＝45°，连接EF，探究BE、DF、EF之间的数量关系，并说明理由；
（2）如图②，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E、F分别是BC、DC上的点，且∠EAF＝∠BAD，此时（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由．
22．如图，点E，F分别是正方形ABCD的对角线AC上的两个动点，∠EBF＝45°．求证：EF2＝AE2+CF2．
参考答案
一．选择题
1．解：正方形具有而菱形不一定有的性质是：对角线相等．
故选：B．
2．解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴当AB＝BC时，它是菱形，故①正确，
当AC⊥BD时，它是菱形，故②正确，
当∠ABC＝90°时，它是矩形，故③正确，
当AC＝BD时，它是矩形，不是正方形，故④错误，
故选：A．
3．解：因为矩形的四个角是直角，
故A正确，
因为菱形的对角线互相垂直，
故B正确，
因为正方形的对角线相等，
故C正确，
菱形的对角线和边长不一定相等，
例如：∠ABC＝80°，因为AB＝BC，所以∠BAC＝∠ACB＝50°，此时AC＞AB，
故选：D．
4．解：在正方形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝90°，∠ABD＝∠ADB＝45°，
∵AB＝BF＝DE，
∴∠BAF＝∠BFA＝∠DAE＝∠DEA＝（180°﹣45°）÷2＝67.5°，
∴AE＝AF，
∴∠EAF＝180°﹣2×67.5°＝45°．
故选：C．
5．解：在菱形ABCD中，AB＝BC＝4，∠B＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AC＝AB＝4，
∴正方形ACEF的边长为4，
∴正方形ACEF的面积为16，
故选：C．
6．解：在正方形中，对角线相等，所以正方形ABCD的对角线长均为6，
∵正方形又是菱形，
菱形的面积计算公式是S＝ab（a、b是正方形对角线长度）
∴S＝×6×6＝18，
故选：B．
7．解：∵四边形ABCD和四边形OA'B'C'都是正方形，
∴OB＝OC，∠OBA＝∠OCB＝45°，∠BOC＝∠A'OC'＝90°，
∴∠A'OB＝∠COC'．
在△OBM与△OCN中，
，
∴△OBM≌△OCN（ASA），
∴S1+S2＝S△OAB＝×10×10＝25，
∴S2＝25﹣16＝9，
故选：D．
8．解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC＝∠D＝90°，AB＝AD，
即∠ABF＝∠D＝90°，
在Rt△ABF和Rt△ADE中，
，
∴Rt△ABF≌Rt△ADE（HL），
∴SRt△ABF＝SRt△ADE，
∴SRt△ABF+S四边形ABCE＝SRt△ADE+S四边形ABCE，
∴S四边形AFCE＝S正方形ABCD＝16．
故选：C．
9．解：当点Q的运动速度与点P的运动速度都是2厘米/秒，若△BPE≌△CQP，则BP＝CQ，BE＝CP，
∵AB＝BC＝10厘米，AE＝4厘米，
∴BE＝CP＝6厘米，
∴BP＝10﹣6＝4厘米，
∴运动时间＝4÷2＝2（秒）；
当点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，
∴BP≠CQ，
∵∠B＝∠C＝90°，
∴要使△BPE与△OQP全等，只要BP＝PC＝5厘米，CQ＝BE＝6厘米，即可．
∴点P，Q运动的时间t＝＝（秒），
故选：D．
10．解：∵AF平分∠DAE，
∴∠DAF＝∠EAF，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD∥BC，
∴∠DAF＝∠EFA，
∴∠EFA＝∠EAF，
∴AE＝EF，故①正确；
若CM＝CE，
则DM＝BE，
∵∠B＝∠D＝90°，AB＝AD，
在△ABE和△ADM中，
，
∴△ABE≌△ADM（SAS），
∴∠BAE＝∠DAM＝∠EAF＝30°，
∴∠F＝30°，
∴AF＝2AB，
∴AF＝2BC，故②正确；
若EM⊥AF，
∴M是AF的中点，
∴AM＝FM，
在△ADM和△FMC中，
，
∴△ADM≌△FMC（AAS），
∴CM＝DM，故③正确；
只有当点E和点D重合时，
才有点E与点D关于直线AF对称．
与题意不符，故④错误．
综上所述：其中正确结论有①②③，共3个，
故选：C．
二．填空题
11．解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝CD，∠ADC＝90°．
∵△CDE是等边三角形，
∴∠CDE＝∠DEC＝60°．
∴∠ADE＝90°+60°＝150°，
∵AD＝DE，
∴∠DAE＝∠DEA＝（180°﹣∠ADE）÷2＝15°，
∴∠AEC＝∠DEC﹣∠AED＝60°﹣15°＝45°．
故答案为：45°．
12．解：∵四边形ABCD为正方形，
∴AB＝AD，∠BAD＝90°，
∴∠BAD+∠DAE＝90°，
∵BF⊥a于点F，DE⊥a于点E，
∴∠AFB＝∠AFD＝90°，
∵∠BAF+∠ABF＝90°，
∴∠ABF＝∠DAE，
在△ABF和△DAE中
，
∴△ABF≌△DAE，
∴AF＝DE＝8，BF＝AE，
在Rt△ABF中，BF＝＝6，
∴AE＝6，
∴EF＝AE+AF＝6+8＝14．
故答案为14．
13．解：如图，连接BD交AC于点O，
∵四边形ABCD为正方形，
∴BD⊥AC，OD＝OB＝OA＝OC，
∵AE＝CF＝2，
∴OA﹣AE＝OC﹣CF，即OE＝OF，
∴四边形BEDF为平行四边形，且BD⊥EF，
∴四边形BEDF为菱形，
∴DE＝DF＝BE＝BF，
∵AC＝BD＝8，OE＝OF＝＝2，
由勾股定理得：DE＝＝2，
∴四边形BEDF的周长＝4DE＝4×2＝8，
故答案为：8．
14．解：∵四边形ABCD和四边形OA'B'C'都是正方形，
∴OB＝OC，∠OBA＝∠OCB＝45°，∠BOC＝∠A'OC'＝90°，
∴∠A'OB＝∠COC'．
在△OBM与△OCN中，
，
∴△OBM≌△OCN（ASA），
∴四边形OMBN的面积等于三角形BOC的面积，
即重叠阴影部分面积不变，总是等于正方形ABCD和正方形A'B'C'O面积的，
∴正方形A'B'C'O的面积为4．
故答案为：4．
．
15．解：添加的条件为：BE＝DF，
理由：正方形ABCD中，对角线BD，
∴AB＝BC＝CD＝DA，
∠ABE＝∠CBE＝∠CDF＝∠ADF＝45°．
∵BE＝DF，
∴△ABE≌△CBE≌△DCF≌△DAF（SAS）．
∴AE＝CE＝CF＝AF，
∴四边形AECF是菱形；
故答案为：BE＝DF．
16．解：如图，∵图中的四边形为正方形，
∴∠ABD＝90°，AB＝DB，
∴∠ABC+∠DBE＝90°，
∵∠ABC+∠CAB＝90°，
∴∠CAB＝∠DBE，
在△ABC和△BDE中，
，
∴△ABC≌△BDE（AAS），
∴AC＝BE，
∵DE2+BE2＝BD2，
∴ED2+AC2＝BD2，
∵S1＝AC2，S2＝DE2，BD2＝1，
∴S1+S2＝1，
同理可得S3+S4＝3，
∴S1+S2+S3+S4＝1+3＝4．
故答案为4．
三．解答题
17．解：∵四边形ACMF和四边形CBEN都是正方形，
∴AC＝CM，NC＝BC，∠ACM＝∠BCN＝90°，
∵∠MCN＝∠NCM，
∴∠ACN＝∠BCM，
在△ACN和△MCB中，
，
∴△ACN≌△MCB（SAS），
∴AN＝BM．
18．（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DCE＝90°，
∵∠EFC＝3∠E，∠EFC+∠E＝90°，
∴4∠E＝90°，
∴∠E＝22.5°，
又∵AC是正方形对角线，
∠ACB＝45°，
∵∠ACB＝∠E+∠EAC，
∴∠EAC＝22.5°，
∴∠EAC＝∠E，
∴AC＝EC；
（2）解：设正方形的边长为x，则AC＝EC＝x，
∵AD∥BC，
∴∠DAF＝∠E，
∵∠ADC＝∠FDE＝90°，
∴x＝2+2，
∴正方形的边长为2+2．
19．（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BCG＝∠DCE＝90°，BC＝CD，
∵BF⊥DE，
∴∠DFG＝∠BCG＝90°，
∵∠BGC＝∠DGF，
∴∠CBG＝∠CDE．
在△BCG和△DCE中，
，
∴△BCG≌△DCE（SAS），
∴CG＝CE；
（2）解：由（1）△BCG≌△DCE得CG＝CE，
又∵BE＝BC+CE＝4，DG＝CD﹣CG＝2，
∴BC＝3CG＝，
在Rt△BCG中，BG＝＝＝2．
20．（1）证明：∵DE⊥BC，
∴∠DFB＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACB＝∠DFB，
∴AC∥DE，
∵MN∥AB，即CE∥AD，
∴四边形ADEC是平行四边形，
∴CE＝AD；
（2）解：四边形BECD是菱形，
理由是：∵D为AB中点，
∴AD＝BD，
∵CE＝AD，
∴BD＝CE，
∵BD∥CE，
∴四边形BECD是平行四边形，
∵∠ACB＝90°，D为AB中点，
∴CD＝BD，
∴四边形BECD是菱形；
（3）解：当∠A＝45°时，四边形BECD是正方形，
理由：∵∠ACB＝90°，
∴∠ABC＝45°，
由（2）可知，四边形BECD是菱形，
∴∠ABC＝∠CBE＝45°，
∴∠DBE＝90°，
∴四边形BECD是正方形．
21．解：（1）如图1，
EF＝BE+DF，理由如下：
延长CB到M，使得BM＝DF，连接AM，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠D＝∠ABM＝90°，
又∵BM＝DF，
∴△ADF≌△ABM（SAS），
∴AF＝AM，∠1＝∠2，
∵∠EAF＝45°，
∴∠1+∠3＝45°，
∴∠2+∠3＝∠MAE＝45°＝∠EAF，
又∵AE＝AE，
∴△EAM≌△EAF（SAS），
∴EF＝EM＝BE+BM，
又∵BM＝DF，
∴EF＝EB+DF，
（2）如图2，
EF＝BE+DF，仍然成立，理由如下：
延长CB到M，使得BM＝DF，连接AM，
∵∠ABC+∠D＝180°，∠ABC+∠4＝180°，
∴∠D＝∠4，
又∵AB＝AD，BM＝DF，
∴△ADF≌△ABM（SAS），
∴AF＝AM，∠1＝∠2，
∵，
∴∠1+∠3＝∠EAF，
∴∠MAE＝∠2+∠3＝∠EAF，
又∵AE＝AE，
∴△EAM≌△EAF（SAS），
∴EF＝EM＝BE+BM，
又∵BM＝DF，
∴EF＝EB+DF．
22．证明：如图，将△CBF绕点B逆时针旋转90°，可得△ABN，连接EN，
由旋转的性质可得BN＝BF，AN＝CF，∠BAN＝∠BCF＝45°，∠CBF＝∠ABN，
∴∠CAN＝∠CAB+∠BAN＝90°，
∴EN2＝AE2+AN2，
∵∠EBF＝45°，
∴∠CBF+∠ABE＝45°，
∴∠ABE+∠ABN＝45°＝∠NBE＝∠EBF，
在△EBF和△EBN中，
，
∴△EBF≌△EBN（SAS），
∴EF＝EN，
∴EF2＝AE2+CF2．