2021-2022学年湘教版八年级数学下册2.5矩形 同步练习题(word版含答案)

2021-2022学年湘教版八年级数学下册《2-5矩形》同步练习题（附答案）
一．选择题
1．如图，O是矩形ABCD的对角线BD的中点，E是AB边的中点．若AB＝8，OE＝3，则线段OC的长为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
2．如图所示，四边形ABCD是矩形，过点D作对角线BD的垂线，交BC的延长线于点E，取BE的中点F，连接DF，DF＝5，设AB＝x，AD＝y，则x2+（y﹣5）2的值为（　　）
A．10 B．25 C．50 D．75
3．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，对角线AC，BD相交于点O，OE⊥AC交BC于点F，EF⊥BD于点F，则OE+EF的值为（　　）
A． B．2 C． D．2
4．如图，在长方形ABCD中，AB＝CD＝8cm，BC＝12cm，点P从点B出发，以2cm/秒的速度沿BC向点C运动，同时，点Q由点C出发，以相同的速度沿CD向点D运动，设点P的运动时间为t秒，当△ABP≌△PCQ时，t的值为（　　）
A．1或3 B．2 C．2或4 D．1或2
5．矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是（　　）
A．两组对边分别相等 B．对角线相等
C．两组对边分别平行 D．对角线互相平分
二．填空题
6．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在BC边上，DF∥AB，DE∥AC，则当∠B＝　 　°时，四边形AEDF是矩形．
7．如图，在△ABC中，AC＝3，BC＝4，AB＝5，点P在AB上（不与A，B重合），过P作PE⊥AC，PF⊥BC，垂足分别是E，F，连接EF，M为EF的中点，则CM的最小值为 　 　．
8．如图，在 ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，且OA＝OD，∠OAD＝55°，则∠OAB的度数为 　 　．
9．如图，矩形ABCD中，AC的垂直平分线MN与AB交于点E，连接CE．若∠CAD＝70°，则∠DCE＝　 　°．
10．如图，矩形ABCD中，AB＝9，AD＝12，点M在对角线BD上，点N为射线BC上一动点，连接MN，DN，且∠DNM＝∠DBC，当△DMN是等腰三角形时，线段BN的长为 　 　．
11．如图，在矩形ABCD中，BC＝4，对角线AC与BD相交于点O，AN⊥BD，垂足为N，BN＝3DN，则AN长为 　 　．
12．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若AE平分∠BAD交BC于点E，且BO＝BE，则∠CAE＝　 　．
13．如图，矩形ABCD中，AB＝8，点E是AD上的一点，有AE＝4，BE的垂直平分线交BC的延长线于点F，连接EF交CD于点G，若G是CD的中点，GE＝5，则FO的长是　 　．
14．如图，在矩形ABCD中，E为边AD延长线上一点，DE＝AC，连结BE，BD．若∠CAD＝54°，则∠E＝　 　度．
15．在长方形ABCD中，AB＝CD＝6cm，BC＝10cm，点P从点B出发，以2cm/秒的速度沿BC向点C运动，与此同时点Q从点C出发，以acm/秒的速度沿CD向点D运动，当点P到达C点或点Q到达D点时，P、Q运动停止，当a＝　 　时，△ABP与△PQC全等．
三．解答题
16．在平行四边形ABCD中，过点B作BE⊥CD于点E，点F在边AB上，AF＝CE，连接DF，CF．
（1）求证：四边形DFBE是矩形；
（2）当CF平分∠DCB时，若CE＝3，BC＝5，求CD的长．
17．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AD⊥BD，点E是CD的中点，过点E作EF∥BD，交BC于点F．
（1）求证：四边形OEFB是矩形；
（2）若AD＝6，S矩形OEFB＝12，求AB的长．
18．如图，四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AO＝CO，BO＝DO，且∠ABC+∠ADC＝180°．
（1）求证：四边形ABCD是矩形．
（2）DF⊥AC，若∠ADF：∠FDC＝2：1，则∠BDF的度数是多少？
19．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，点O是斜边AC的中点，过点O作OE⊥AC，交AB于点E，过点A作AD∥BC，与BO的延长线交于点D，连接CD、DE．
（1）求证：四边形ABCD是矩形；
（2）若BC＝3，∠BAC＝30°，求DE的长．
20．如图，在 ABCD中，过点D作DF⊥BC于点F，点E在边AD上，AE＝CF，连结BE、CE．
（1）求证：四边形BFDE是矩形．
（2）若DE＝AB，∠ABC＝130°，求∠DEC的度数．
参考答案
一．选择题
1．解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠BCD＝90°，DO＝OB，
∵E是AB边的中点，
∴OE是△ADB的中位线，
∴AD＝2OE＝6，
∵AB＝8，
∴BD＝，
∴OC＝BD＝5，
故选：C．
2．解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD＝x，AD＝BC＝y，
∵BD⊥DE，点F是BE的中点，
∴DF＝BF＝EF＝5，
∴CF＝5﹣y，
∴DF2＝DC2+CF2＝x2+（y﹣5）2＝25，
故选：B．
3．解：∵AB＝2，BC＝4，
∴矩形ABCD的面积为8，AC＝＝＝2，
∴BO＝CO＝AC＝，
∵对角线AC，BD交于点O，
∴△BOC的面积为2，
∵EO⊥AO，EF⊥DO，
∴S△BOC＝S△BOE+S△COE，
2＝CO×EO+BO×EF，
∴2＝××EO+×EF，
∴（EO+EF）＝4，
∴EO+EF＝，
故选：A．
4．解：当BP＝CQ，AB＝PC时，△ABP≌△PCQ，
∵AB＝8cm，
∴PC＝8cm，
∴BP＝12﹣8＝4（cm），
∴2t＝4，解得：t＝2，
故选：B．
5．解：矩形的性质有两组对边平行且相等，对角线互相平分且相等，平行四边形的性质有两组对边平行且相等，对角线互相平分，
故选：B．
二．填空题
6．解：当∠B＝45°时，四边形AEDF是矩形．
∵DF∥AB，DE∥AC，
∴四边形AEDF是平行四边形，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C＝45°，
∴∠A＝90°，
∴四边形AEDF是矩形．
故答案为45．
7．解：∵AC＝3，BC＝4，AB＝5，
∴AC2+BC2＝25＝AB2，
∴△ABC是直角三角形且∠ACB＝90°，
又∵PE⊥AC，PF⊥BC，
∴四边形CEPF是矩形，
如图，连接CP，则CP＝EF，
∵M为EF的中点，∠ECF＝90°，
∴Rt△CEF中，CM＝EF，
∴CM＝CP，
如图，当CP⊥AB时，CP最短，
此时，×AC×BC＝×AB×CP，
∴CP＝＝，
∴CM＝CP＝1.2，即CM的最小值为1.2．
故答案为：1.2．
8．解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD，
∵OA＝OD，
∴AC＝BD，
∴四边形ABCD是矩形，
∴∠DAB＝90°，
∵∠OAD＝55°，
∴∠OAB＝∠DAB﹣∠OAD＝35°，
故答案为：35°．
9．解：∵MN是AC的垂直平分线，
∴EC＝EA，
∴∠ECA＝∠EAC，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，∠D＝90°，
∴∠DCA＝∠EAC＝90°﹣70°＝20°，
∴∠DCE＝∠DCA+∠ECA＝20°+20°＝40°，
故答案为：40．
10．解：∵四边形ABCD是矩形，AB＝9，AD＝12，
∴BC＝12，DC＝9，DC⊥BC，
①如图1中，当NM＝ND时，
∴∠NDM＝∠NMD，
∵∠MND＝∠CBD，
∴∠BDN＝∠BND，
∴BD＝BN＝＝15；
②如图2中，当DM＝DN时，
易知M与B重合，此时BC＝CN＝12，BN＝24，
③如图3中，当MN＝MD时，
∵MN＝MD，
∴∠MND＝∠MDN，
∵∠DNM＝∠DBC，
∴∠DBC＝∠MDN，
∴BN＝ND，
设BN＝DN＝x，
在Rt△DNC中，
∵DN2＝CN2+CD2，
∴x2＝（12﹣x）2+92，
∴x＝，
故答案为15或24或．
11．解：∵四边形ABCD是矩形，BC＝AD＝4，
∴BO＝OD＝OA＝OC，
∵BN＝3DN，
∴ON＝DN，
∵AN⊥BD，
∴△OAD是等腰三角形，
∴OA＝AD，
∵OA＝OD，
∴△OAD是等边三角形，
∴OD＝AD＝BC＝4，
∴AN＝，
故答案为：2．
12．解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AC＝BD，OA＝OC＝AC，OB＝OD＝BD，∠BAD＝90°，
∴OA＝OB，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE＝∠DAE＝45°，
∴△ABE是等腰直角三角形，
∴AB＝BE，
∵BO＝BE，
∴AB＝BO＝OA，
∴△BAO是等边三角形，
∴∠OAB＝60°，
∴∠CAE＝∠OAB﹣∠BAE＝15°，
故答案为：15°．
13．解：∵矩形ABCD，AB＝8，AE＝4，
∴∠A＝90°，
∴BE＝，
∵BE的垂直平分线交BC的延长线于点F，
∴EO＝，
∵G是CD的中点，
∴DG＝GC，
在△EDG与△FCG中，
∴△EDG≌△FCG，
∴EG＝GF＝5，
∴EF＝10，
∴在Rt△EFO中，OF＝．
故答案为：4
14．解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AC＝BD，
∵DE＝AC，
∴BD＝DE，
∴∠E＝∠DBE，
∵∠BDA＝∠CAD＝54°，
∴∠E+∠DBE＝∠BDA＝54°，
∴∠E＝27°．
故答案为：27．
15．解：∵四边形ABCD是长方形，
∴∠B＝∠C＝90°，
有两种情况：①当BP＝CQ，AB＝PC＝6cm时，△ABP≌△PCQ，
此时BP＝CQ＝10﹣6＝4（cm），
∵点P运动的速度是2cm/s，
∴运动的时间是＝2（秒），
即2a＝4，
解得：a＝2；
②当BP＝PC，AB＝CQ＝6cm时，△ABP≌△PQC，
此时BP＝PC＝10＝5（cm），
∵点P运动的速度是2cm/s，
∴运动的时间是2.5秒，
即2.5a＝6，
解得：a＝2.4；
故答案为：2或2.4．
三．解答题
16．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，
∵AF＝CE，
∴FB＝ED．
∴四边形DFBE是平行四边形，
∵BE⊥CD，
∴∠BED＝90°．
∴四边形DFBE是矩形；
（2）解：由（1）得：四边形DFBE是矩形，
∴DE＝BF，
∵CF平分∠DCB，
∴∠DCF＝∠BCF，
∵AB∥CD，
∴∠DCF＝∠CFB，
∴∠BCF＝∠CFB，
∴BF＝BC＝5，
∴DE＝BF＝5，
∴CD＝DE+CE＝5+3＝8．
17．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BO＝DO，AD∥BC，AB∥CD．
∵点E是CD的中点，
∴OE是△BCD的中位线．
∴，OE∥BC．
∵EF∥BD，OE∥BC，
∴四边形OEFB是平行四边形．
∵AD⊥BD，AD∥BC，
∴BC⊥BD，
∴∠CBD＝90°．
∴四边形OEFB是矩形．
（2）解：∵，S矩形OEFB＝OB×OE＝12，
∴OB＝4．
∴BD＝2OB＝8．
∵AD⊥BD，
∴∠ADB＝90°，
由勾股定理得，．
即AB的长为10．
18．（1）证明：∵AO＝CO，BO＝DO，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ABC＝∠ADC，
∵∠ABC+∠ADC＝180°，
∴∠ABC＝∠ADC＝90°，
∴平行四边形ABCD是矩形；
（2）解：由（1）得：∠ADC＝90°，四边形ABCD是矩形，
∵∠ADF：∠FDC＝2：1，AC＝BD，
∴∠FDC＝30°，
∵DF⊥AC，
∴∠DCO＝90°﹣30°＝60°，
∵AO＝CO，BO＝DO，
∴OC＝OD，
∴∠ODC＝∠DCO＝60°，
∴∠BDF＝∠ODC﹣∠FDC＝30°．
19．（1）证明：∵点O是AC的中点，
∴OA＝OC，
∵AD∥BC，
∴∠DAO＝∠BCO，∠ADO＝∠CBO，
在△OAD与△OCB中，
，
∴△OAD≌△OCB（AAS），
∴AD＝BC，
∵AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵∠ABC＝90°，
∴平行四边形ABCD是矩形；
（2）解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC＝3，
∵∠ABC＝90°，∠BAC＝30°，
∴AC＝2BC＝6，
∴OA＝3，
∵OE⊥AC，
∴∠AOE＝90°，
∵∠BAC＝30°，
∴OE＝OA＝，
∴AE＝2OE＝2，
∴DE＝＝＝．
20．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∴ED∥BF．
∵ED＝AD﹣AE，BF＝BC﹣CF，AE＝CF，
∴ED＝BF．
∴四边形BFDE是平行四边形．
∵DF⊥BC，
∴∠DFB＝90°．
∴四边形BFDE是矩形．
（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，∠ADC＝∠ABC＝130°，
∵DE＝AB，
∴DE＝CD，
∴