高一数学必修四第二章 平面向量

高一数学必修四第二章 平面向量
一、选择题
1．如图所示，ABCD中，－＋等于( )．
A． B．
C． D．
2．在矩形ABCD中，||＝，||＝1，则向量(＋＋)的长等于( )．
A．2 B．2
C．3 D．4
3．如图，D，E，F是△ABC的边AB，BC，CA的中点，则－等于( )．
A． B．
C． D．
4．下列说法中正确的是( )．
A．向量a与非零向量b共线，向量b与向量c共线，则向量a与c共线
B．任意两个模长相等的平行向量一定相等
C．向量a与b不共线，则a与b所在直线的夹角为锐角
D．共线的两个非零向量不平行
5．下面有四个命题，其中真命题的个数为( )．
①向量的模是一个正实数．
②两个向量平行是两个向量相等的必要条件．
③若两个单位向量互相平行，则这两个向量相等．
④模相等的平行向量一定相等．
A．0 B．1 C．2 D．3
6．下列说法中，错误的是( )．
A．零向量是没有方向的 B．零向量的长度为0
C．零向量与任一向量平行 D．零向量的方向是任意的
7．在△ABC中，AD，BE，CF分别是BC，CA，AB边上的中线，G是它们的交点，则下列等式中不正确的是( )．
A．＝
B．＝
C．＝－
D．＋＝
8．下列向量组中能构成基底的是( )．
A．e1＝(0，0)，e2＝(1，2) B．e1＝(-1，2)，e2＝(5，7)
C．e1＝(3，5)，e2＝(6，10) D．e1＝(2，-3)，e2＝(，-)
9．已知a＝(-1，3)，b＝(x，－1)，且a∥b，则x等于( )．
A．3 B．－2 C． D．－
10．设a，b，c是任意的非零平面向量，且相互不共线，则
①(a·b)·c－(c·a)·b＝0；②|a|－|b|＜|a－b|；③(b·c)·a－(c·a)·b不与c垂直；④(3a＋2b)·(3a－2b)＝9|a|2－4|b|2中，是真命题的是( )．
A．①② B．②③ C．③④ D．②④
二、填空题：
11．若非零向量 ?，??满足|?＋?|＝|?－?|，则 ??与 ??所成角的大小为 ．
12．在ABCD中，＝a，＝b，＝3，M为BC的中点，则＝_______．(用a，b表示)
13．已知a＋b＝2i－8j，a－b＝－8i＋16j，那么a·b＝ ．
14．设m，n是两个单位向量，向量a＝m－2n，且a＝(2，1)，则m，n的夹角为 ．
15．已知＝(6，1)．＝(x，y)．＝(-2，-3)．则向量的坐标为______．
三、解答题：
16．如图，四边形ABCD是一个梯形，AB∥CD，且AB＝2CD，M，N分别是DC和AB的中点，已知＝a，＝b，试用a，b表示和．
17．已知A(1，2)，B(2，3)，C(－2，5)，求证△ABC是直角三角形．
18．己知a＝(1，2)，b＝(－3，2)，当k为何值时，
(1)ka＋b与a－3b垂直？
(2)ka＋b与a－3b平行？平行时它们是同向还是反向？
19．已知|m|＝4，|n|＝3，m与n的夹角为60°，a＝4m－n，b＝m＋2n，
c＝2m－3n．求：
(1)a2＋b2＋c2．
(2)a·b＋2b·c－3c·a．
第二章 平面向量
参考答案
一、选择题
1．答案：C
解析：从图上可看出＝，则－＝－＝，而＋＝－＝．
2．D
解析：如图
∵＋＋
＝＋＋
＝＋
＝2．
3．D
解析：向量可以自由平移是本题的解题关键，平移
的目的是便于按向量减法法则进行运算，由图可知．
∴－＝－＝＝．
4．A
解析：向量共线即方向相同或相反，故非零向量间的共线关系是可以传递的．
模长相等的平行向量可能方向相反，故B不正确．向量不共线，仅指其所在直线不平行或不重合，夹角可能是直角，故C不对．而选项D中向量共线属于向量平行．
5．B
解析：正确解答本题的关键是把握住向量的两个要素，并从这两个要素入手区分其他有关概念．
①向量的模应是非负实数．
②是对的
③两个单位向量互相平行，方向可能相同也可能相反，因此，这两个向量不一定相等．
④模相等且方向相同的向量才相等．
6．A
解析：零向量是规定了模长为0的向量，其方向是任意的，它和任一向量共线，因此，绝不是没有方向.
7．B
解析：如图，G是重心，＝，所以B错．
＋＝＋＝＝，所以不能选D．
8．B
解析：利用e1∥e2x1y2－x2y1＝0，
可得只有B中e1，e2不平行，故应选B．
9．C
解析：由a∥b，得3x＝1，∴x＝．
10．D
解析：①平面向量的数量积不满足结合律．故①假；
②由向量的减法运算可知|a|，|b|，|a－b|恰为一个三角形的三条边长，由“两边之差小于第三边”，故②真；
③因为［(b·c)·a－(c·a)·b］·c＝(b·c)·a·c－(c·a)·b·c＝0，所以垂直．故③假；
④(3a＋2b)·(3a－2b)＝9·a·a－4b·b＝9|a|2－4|b|2成立．故④真．
二、填空题
11．答案：90°．
解析：由|?＋?|＝|?－?|，可画出几何图形，如图，
|?－?|表示的是线段AB的长度，|?＋?|表示线段OC的长度，由｜AB｜＝｜OC｜，
∴平行四边形OACB为矩形，故向量 ??与 ??所成的角为90°．
12．答案：a＋b．
解：如图，由＝3，得4＝3＝3(a＋b)，＝a＋b，
所以＝(a＋b)－(a＋b)＝－a＋b．
13．答案：－63．
解析：解方程组得
∴a·b=(－3)×5＋4×(－12)＝－63．
14．答案：90°．
解析：由a＝(2，1)，得|a|＝，
∴a2＝5，于是(m－2n)2＝5m2＋4n2－4m·n＝5．
∴m·n＝0．
∴m，n的夹角为90°．
15．答案：(x＋4，y－2)．
解析：＝(6，1)＋(x，y)＋(－2，－3)＝(x＋4，y－2)．
三、解答题
16．答案：＝b－a， =a－b
解：如图，连结CN，则ANDC．
∴四边形ANCD是平行四边形．
＝－=－b，又∵＋＋＝0，
∴＝－－＝b－a．
∴＝－＝＋＝－b＋a＝a－b．
17．解析：∵＝(2－1，3－2)＝(1，1)，＝(－2－1，5－2)＝(－3，3)．
∴·＝1×(－3)＋1×3＝0．
∴⊥．
∴△ABC是直角三角形．
18．答案：(1)当k＝19时，ka＋b与a－3b垂直；
(2)当k＝－时，ka＋b与a－3b平行，反向．
解析：(1)ka＋b＝k(1，2)＋(－3，2)＝(k－3，2k＋2)，
a－3b＝(1，2)－3(－3，2)＝(10，－4)．
当(ka＋b)·(a－3b)＝0时，这两个向量垂直．
由(k－3，2k＋2)·(10，－4)＝0，得10(k－3)＋(2k＋2)(－4)＝0．
解得k＝19，即当k＝19时，ka＋b与a－3b垂直．
(2)当ka＋b与a－3b平行时，存在实数 ?，使ka＋b＝?(a－3b)，
由(k－3，2k＋2)＝?(10，－4)，
得
解得
即当k＝－时，ka＋b与a－3b平行，此时ka＋b＝－a＋b，
∵?＝－＜0，∴－a＋b与a－3b反向．
19．答案：(1)366，(2)－157．
解析：∵｜m｜＝4，｜n｜＝3，m与n的夹角为60°，
∴m·n＝|m||n|cos 60°＝4×3×＝6．
(1)a2＋b2＋c2
＝(4m－n)2＋(m＋2n)2＋(2m－3n)2
＝16｜m｜2－8m·n＋｜n｜2＋｜m｜2＋4m·n＋4｜n｜2＋4｜m｜2－12m·n＋9｜n｜2
＝21｜m｜2－16m·n＋14｜n｜2
＝21×16－16×6＋14×9
＝366．
(2)a·b＋2b·c－3c·a
＝(4m－n)·(m＋2n)＋2(m＋2n)·(2m－3n)－3(2m－3n)·(4m－n)
＝－16｜m｜2＋51m·n－23｜n｜2
＝－16×16＋51×6－23×9
＝－157．
另解：a·b＋2b·c－3c·a＝b·(a＋2c)－3c·a＝…＝－157．