高中数学人教A版（2019） 选修三 第七章 离散型随机变量及其分布
一、单选题
1．（2022·宝鸡模拟）已知随机变量X，Y满足，Y的期望，X的分布列为：
X -1 0 1
P a b
则a，b的值分别为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【解答】解：因为
，
所以
，
则有
，
解得
.
故答案为：C.
【分析】根据期望的性质可求得
，再根据期望公式及概率之和为1，列出方程组，解之即可得解.
2．（2022·辽宁模拟）已知某批零件的长度（单位：毫米）服从正态分布，从中随机抽取一件，其长度落在区间内的概率为（ ）
（附：若随机变量服从正态分布，则，）
A．4.56% B．13.59% C．27.18% D．31.74%
【答案】B
【知识点】正态密度曲线的特点
【解析】【解答】正态分布
中，
，
所以
，
，
所以
.
故答案为：B.
【分析】由正太分布密度曲线的对称性，结合
，即可求解。
3．（2022·疏附模拟）设随机变量，若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】二项分布
【解析】【解答】解：因为随机变量
，
所以
，
解得
，所以
，
则
．
故答案为：B．
【分析】先由二项分布的概率公式结合已知条件
求出
，从而可得
，进而可求出
的值.
4．（2022·湖南模拟）已知随机变量X，Y分别满足，X～B（8，p），Y～N（μ，），且期望E（X）=E（Y），又P（Y≥3）=，则p=（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】二项分布
【解析】【解答】
且
，知
，所以
，
又
，所以
.
故答案为：D
【分析】 利用已知条件列出方程求解p即可.
5．（2022·厦门模拟）某校高三有1000人参加考试，统计发现数学成绩近似服从正态分布N(105，σ2)，且成绩优良（不低于120分）的人数为360，则此次考试数学成绩及格（不低于90分）的人数约为（ ）
A．360 B．640 C．720 D．780
【答案】B
【知识点】正态密度曲线的特点
【解析】【解答】因为
，所以
，所以此次考试数学成绩及格（不低于90分）的人数约为
.
故答案为：B
【分析】利用正态分布的性质可解.
6．（2021高三上·金华期末）随机变量ξ的分布列如下表：
ξ 1 a 9
P b b
其中，，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则当时，随b的增大而增大
B．若，则当时，随b的增大而减小
C．若，则当时，有最小值
D．若，则当时，有最大值
【答案】C
【知识点】概率的基本性质；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【解答】若 ，则 ，故A，B均错误；
若
，则
，
，其对称轴为：
，则
时，
有最小值，即C正确，D错误.
故选：C.
【分析】利用已知条件结合概率的基本性质和随机变量求数学期望和方差公式，再结合函数单调性的定义得出随机变量的数学期望随着a的增大而增大，再利用二次函数的图象求最值的方法结合已知条件得出随机变量的方差的最小值，进而找出说法正确的选项。
7．（2021高三上·浙江期末）已知甲盒子中有3个红球，1个白球，乙盒子中有2个红球，2个白球，同时从甲，乙两个盒子中取出i个球进行交换，交换后，分别记甲、乙两个盒中红球个数，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】离散型随机变量的期望与方差
【解析】【解答】交换后，记甲、乙两个盒中红球个数，
当时，，
则，
则.选项AB均判断错误；
当时，，
则，
，
即，
则选项C判断正确；选项D判断错误。
故选：C
【分析】利用已知条件求出随机变量的分布列，再利用随机变量的分布列求数学期望公式，进而求出随机变量的数学期望，再结合比较法，从而找出正确的选项。
8．（2022·淮北模拟）下列说法正确的有（ ）
A．两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于0
B．若是随机变量，则.
C．已知随机变量，若，则
D．设随机变量表示发生概率为的事件在一次随机实验中发生的次数，则
【答案】D
【知识点】离散型随机变量的期望与方差；正态密度曲线的特点
【解析】【解答】解：对于A：根据相关系数的定义可知A不符合题意；
对于B：若是随机变量，则，B不符合题意；
对于C：因为随机变量服从正态分布，故，
则，C不符合题意；
对于D：随机变量的可能取值为、，故，
，当且仅当取等号，D符合题意；
故答案为：D
【分析】利用相关系数的定义判断A的正误；期望与方差的性质判断B、D的正误；正态分布的性质判断C的正误.
二、多选题
9．（2022·福建模拟）已知随机事件A，B发生的概率分别为，下列说法正确的有（ ）
A．若，则A，B相互独立
B．若A，B相互独立，则
C．若，则
D．若，则
【答案】A,B,C
【知识点】相互独立事件的概率乘法公式；条件概率与独立事件
【解析】【解答】因为随机事件A，B发生的概率分别为，
对于A，因为，所以A，B相互独立，A符合题意；
对于B，若A，B相互独立，则，B符合题意；
对于C，若，则，C符合题意；
对于D，若，则，D不符合题意.
故答案为：ABC
【分析】利用已知条件结合独立事件判断方法，再结合独立事件乘法求概率公式，事件的包含关系结合条件概率公式，进而找出说法正确的选项。
10．（2022·广东模拟）已知甲盒中有1个白球和2个黑球，乙盒中有2个白球和3个黑球，从乙盒中随机抽取个球放入甲盒中．放入i个球后，甲盒中含有黑球的个数记为，现从甲盒中取1个球是黑球的概率记为，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B,D
【知识点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【解答】当时，，
当时，，
所以，B符合题意，A不正确；
随机变量，的分布列如下：
2 3 2 3 4
P P
所以，，D符合题意，C不正确．
故答案为：BD
【分析】利用已知条件结合组合数公式和古典概型求概率公式以及互斥事件加法求概率公式，进而求出随机变量的分布列，再结合比较法得出的大小关系，再利用随机变量的分布列结合数学期望公式，进而求出随机变量的数学期望，从而找出正确的选项。
11．（2021高三上·湖北月考）下列说法正确的是（ ）
A．设离散型随机变量X等可能取1，2，3，…，n，若，则
B．设随机变量X服从二项分布，则
C．设离散型随机变量服从两点分布，若，则
D．设随机变量x服从正态分布且，则
【答案】A,C
【知识点】二项分布；正态密度曲线的特点
【解析】【解答】解：由题意知，
对于A：，，A符合题意；
对于B：设随机变量服从二项分布，则，B不符合题意；
对于C，因为且，
，C符合题意；
对于D，随机变量服从正态分布，
正态曲线的对称轴是．
，所以
，
，D不符合题意；
故答案为：AC．
【分析】直接利用离散型随机变量，排列组合数，正态分布的应用，逐项进行判断，可得答案.
12．（2022·广东模拟）设随机变量的分布列如下：
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
则（ ）
A．当为等差数列时，
B．数列的通项公式可能为
C．当数列满足时，
D．当数列满足时，
【答案】B,C,D
【知识点】数列的概念及简单表示法；等差数列概念与表示；等比数列概念与表示；离散型随机变量及其分布列
【解析】【解答】由题目可知 ；
对于A，若 为等差数列，则 不成立，比如公差为0时， ，A不正确；
对于B，显然 ，又 ，
，因此B符合题意；
对于C，由 ，则 ，
所以 ，因此C符合题意；
对于D， 令 ，
则
即 ， ，于是有
，解得 ，于是有
因此D符合题意.
故答案为：BCD
【分析】由离散型随机变量分布列的性质，结合数列知识逐项判断即可。
三、填空题
13．（2022·河南模拟）为了弘扬中华民族敬老爱老的传统美德，切实关爱社区老年人的身体健康，社区卫生服务中心联合医院为老年人进行免费体检，并送上健康的祝福.已知重阳节当天，医院彩超室接待了80岁以上的老年人5位，70岁到80岁之间的老年人3位，为了进一步了解各年龄阶段老年人的健康情况，现从8人中随机抽取3人，则抽取的3人中80岁以上的老年人人数的数学期望为 .
【答案】
【知识点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差；超几何分布
【解析】【解答】用随机变量X表示抽取的3人中80岁以上的老年人人数，
则X可能的取值为0，1，2，3，且
.
所以随机变量X的分布列为
X 0 1 2 3
P
所以
.
故答案为：
【分析】随机变量X服从超几何分布，计算概率，列出分布列，利用期望公式计算即可得答案。
14．（2021高三上·高邮月考）甲、乙两名运动员在羽毛球场进行羽毛球比赛，已知每局比赛甲胜的概率为P，乙胜的概率为1-p，且各局比赛结果相互独立.当比赛采取5局3胜制时，甲用4局赢得比赛的概率为 .现甲、乙进行7局比赛，采取7局4胜制，则甲获胜时比赛局数X的数学期望为
【答案】
【知识点】离散型随机变量的期望与方差
【解析】【解答】因为当比赛采取5局3胜制时，甲用4局赢得比赛的概率为 ，
且每局比赛甲胜的概率为p，乙胜的概率为1-p，
所以 ，
解得 ，
X的可能取值为：4，5，6，7，
则 ，
，
X的分布列为：
X 4 5 6 7
p
所以采取7局4胜制，则甲获胜时比赛局数x的数学期望为：
故答案为：
【分析】 当比赛采取5局3胜制时，甲用4局赢得比赛的概率为，列方程求出 ，采取7局4胜27制，甲获胜时比赛局数X的可能取值为4， 5， 6，7，分别求出相应的概率，由此能求出采取7局4胜制，甲获胜时比赛局数X的数学期望.
15．（2021高三上·潍坊期中）已知 ，且 ，则 的方差为 ．
【答案】18
【知识点】离散型随机变量的期望与方差；二项分布
【解析】【解答】因为 ，所以 ，且
则 ，因此 的方差为18。
故答案为：18。
【分析】利用已知条件结合二项分布求方差公式和方差的性质，从而求出随机变量Y的方差。
16．（2020高二上·昌平期末）在射击训练中，某射击运动员一次射击命中的概率为 ，连续两次射击命中的概率为 .已知他第一发子弹命中，则他第二发子弹命中的概率为 .
【答案】
【知识点】条件概率与独立事件
【解析】【解答】设第一次命中为事件 ，第二次命中为事件 ，由 ，得 ，
故答案为 .
【分析】根据题意由条件概率的公式，代入数值计算出结果即可。
四、解答题
17．（2022·福建模拟）为了买到包括星黛露毛线玩具，达菲雪莉玫和星黛露毛绒玩具钥匙圈等商品，12月29日凌晨，约5000名游客在上海迪士尼外夜排长龙，此现象在网络上引发了广泛讨论.为了解广大民对下通玩偶的喜爱程度，某市一玩具商城随机抽取了100名市民，以分数表示对卡通玩偶的喜爱程度（喜爱程度越高，分数越高，满分为100分）到如下频率分布直方图.
（1）试估计该市市民对卡通玩偶平均喜爱程度的分数值；
（2）用上述100名市民对玩偶喜爱程度分数值的频率分布估算所有排队游客分数值的概率分布，在所有游客中随机抽取2人，对分数值在区间内的游客送一个玩偶，分数值在区间内的游客赠送两个玩偶，分数值低于70分的游客不送玩偶，记总共送出的玩偶个数为，求.
【答案】（1）解：该市市民对卡通玩偶平均喜爱程度的分数值为：
.
（2）解：由频率分布直方图可得分数值在区间内概率为，
分数值在区间内的概率为，分数值低于70的概率为，
而的取值可为0，1，2，3，4，
又；；
；；
，
故的分布列为：
0 1 2 3 4
故.
【知识点】频率分布直方图；众数、中位数、平均数；相互独立事件的概率乘法公式；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】（1）根据公式可求该市市民对卡通玩偶平均喜爱程度的分数值；
（2）利用独立事件的乘法公式可求的取不同值时对应的概率，从而可得其分布列，利用公式可求其数学期望.
18．（2022·江西模拟）2022年2月4日至2月20日，第24届冬季奥林匹克运动会在北京和张家口隆重举行.北京市各校大学生争相出征服务冬奥会，经统计某校在校大学生有9000人，男生与女生的人数之比是2：1，按性别用分层抽样的方法从该校大学生中抽取9名参加冬奥会比赛场馆服务培训，培训分4天完成，每天奖励若干名“优秀学员”，累计获2次或2次以上者可获2022冬奥会吉祥物“冰墩墩”或“雪容融”一个.
（1）若从这抽取的9名大学生中随机选出3人服务“国家体育馆”，求选出的3人中至少有一位是女生的概率.
（2）设参加服务培训的大学生甲每天获“优秀学员”奖励的概率均为，记同学甲获得“优秀学员”的次数为X，试求X的分布列及其数学期望，并以获得“优秀学员”的次数期望为参考，试预测该同学甲能否获得冬奥会吉祥物？
【答案】（1）解：由题可知，抽取的9名大学生中，6名男生，3名女生；
则选出的3名学生中至少有一名女生的概率
（2）解：由题可知
，
，
所以X的分布列
X 0 1 2 3 4
P
所以即能获得吉祥物.
【知识点】互斥事件与对立事件；二项分布
【解析】【分析】（1） 由分层抽样的方法抽取的9名大学生中，6名男生，3名女生，再根据对立事件的概率计算公式计算即可；
（2）由题可知甲获得“优秀学员”的次数服从二项分布，计算概率列出分布列，再计算期望即可判断.
19．（2022·赣州模拟）将8株某种果树的幼苗分种在4个坑内，每坑种2株，每株幼苗成活的概率为0.5.若一个坑内至少有1株幼苗成活，则这个坑不需要补种，若一个坑内的幼苗都没成活，则这个坑需要补种，每补种1个坑需15元，用X表示补种费用.
（1）求一个坑不需要补种的概率；
（2）求4个坑中恰有2个坑需要补种的概率；
（3）求X的数学期望.
【答案】（1）解：一个坑不需要补种就是2株幼苗中至少有1株成活，
所以其概率
（2）解：每坑要补种的概率，所以4个坑中恰有2个坑需要补种的概率
（3）解：设4个坑中需要补种的坑数为Y，则，所以，
而，故元
【知识点】相互独立事件的概率乘法公式；条件概率与独立事件；二项分布
【解析】【分析】（1）利用对立事件概率公式求概率；
（2）每坑要补种的概率
，然后由独立重复试验的概率公式计算；
（3）设4个坑中需要补种的坑数为Y，则
，
，由二项分布的期望公式计算可得．
20．（2022·北京市模拟）“双减”政策实施以来，各地纷纷推行课后服务“5+2"模式，即学校每周周一至周五5天都要面向所有学生提供课后服务，每天至少2小时．某学校的课后服务有学业辅导体育锻炼、实践能力创新培养三大类别，为了解该校学生上个月参加课后服务的情况，该校从全校学生中随机抽取了100人作为样本．发现样本中未参加任何课后服务的有14人，样本中仅参加某一类课后服务的学生分布情况如下：
每周参加活动天数 课后服务活动 1天 2~4天 5天
仅参加学业辅导 10人 11人 4人
仅参加体育锻炼 5人 12人 1人
仅参加实践能力创新培养 3人 12人 1人
（1）从全校学生中随机抽取1人．估计该学生上个月至少参加了两类课后服务活动的概率；
（2）从全校学生中随机抽取3人．以频率估计概率，以X表示这3人中上个月仅参加学业辅导的人数．求X的分布列和数学期望；
（3）老样本中上个月未参加任何课后服务的学生有人在本月选择仅参加学业辅导．样本中其他学生参加课后服务的情况在本月没有变化．从全校学生中随机抽取3人．以频率估计概率，以X表示这3人中上个月仅参加学业辅导的人数，以Y表示这3人中本月仅参加学业辅导的人数．试判断方差、的大小关系（结论不要求证明）．
【答案】（1）解：由题意得，样本中仅参加某一类课后服务的学生共有
（人）
又样本中未参加任何课后服务的有14人，
故样本中上个月至少参加了两类课后服务活动的学生共有（人）
则从全校学生中随机抽取1人，该学生上个月至少参加了两类课后服务活动的频率为
由此，可估计该学生上个月至少参加了两类课后服务活动的概率
（2）解：样本中，上个月仅参加学业辅导的有（人），对应频率为0.25
以频率估计概率，从全校学生中随机抽取1人，上个月仅参加学业辅导的概率为0.25，
X的可能取值为0，1，2，3，
X的分布列为
X 0 1 2 3
P
X的数学期望
（3）解：由题意可知随机变量X服从二项分布，故.
又知：上个月未参加任何课后服务的学生有人在本月选择仅参加学业辅导（样本中其他学生参加课后服务的情况在本月没有变化．），
则本月从全校学生中随机抽取1人仅参加学业辅导的概率估计为P ，且.
以Y表示这3人中本月仅参加学业辅导的人数，由题意可知随机变量Y服从二项分布，
故，.
【知识点】离散型随机变量的期望与方差；二项分布
【解析】【分析】（1） 由题意得，可取出样本中仅参加某一类课后服务的学生共有59人，未参加任何课后服务的有14人 ，可得 本中上个月至少参加了两类课后服务活动的学生共有27人，然后求解概率即可；
（2）X的可能取值为0，1，2，3， 求出概率，得到分布列，然后求解即可；
（3） 由题意可知随机变量X，Y服从二项分布，分别求方差，判断方差的大小即可.
21．2022年冬奥会在北京举行，冬奥会吉祥物“冰墩墩”自亮相以来就好评不断，出现了“一墩难求”的现象.主办方现委托某公司推出一款以“冰墩墩”为原型的纪念品在专卖店进行售卖.已知这款纪念品的生产成本为80元/件，为了确定其销售价格，调查了对这款纪念品有购买意向的消费者（以下把对该纪念品有购买意向的消费者简称为消费者）的心理价位，并将收集的100名消费者的心理价位整理如下：
心理价位（元/件） 90 100 110 120
人数 10 20 50 20
假设当且仅当这款纪念品的销售价格小于或等于某位消费者的心理价位时，该消费者就会购买该纪念品.公司为了满足更多消费者的需求，规定每位消费者最多只能购买一件该纪念品.设这款纪念品的销售价格为x（单位：元/件），，且每位消费者是否购买该纪念品相互独立.用样本的频率分布估计总体的分布，频率视为概率.
（1）若，试估计消费者购买该纪念品的概率；已知某时段有4名消费者进店，X为这一时段该纪念品的购买人数，试求X的分布列和数学期望；
（2）假设共有M名消费者，设该公司售卖这款纪念品所得总利润为Y（单位：元），当该纪念品的销售价格x定为多少时，Y的数学期望达到最大值？
【答案】（1）解：时，消费者购买该纪念品的概率，
由题意，，，
，同理，，，，
的分布列为：
0 1 2 3 4
；
（2）解：由（1）知时，（时等号成立），
时，（时等号成立），
时，（时等号成立），
，因此最大，此时．
所以当该纪念品的销售价格定为110元多少时，Y的数学期望达到最大值．
【知识点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】（1）确定X服从二项分布，计算出 消费者购买该纪念品的概率 ，即可求解；
（2）分别得到
时，，时，
，
时，
求出最值，即可求解。
22．（2022·湛江模拟）中医药传承数千年，治病救人济苍生.中国工程院院士张伯礼在接受记者采访时说：“中医药在治疗新冠肺炎中发挥了核心作用，能显著降低轻症病人发展为重症病人的几率.对改善发热 咳嗽 乏力等症状，中药起效非常快，对肺部炎症的吸收和病毒转阴都有明显效果.”2021年12月某地爆发了新冠疫情，医护人员对确诊患者进行积极救治.现有6位症状相同的确诊患者，平均分成A，B两组，A组服用甲种中药，B组服用乙种中药.服药一个疗程后，A组中每人康复的概率都为，B组3人康复的概率分别为，，.
（1）设事件C表示A组中恰好有1人康复，事件D表示B组中恰好有1人康复，求；
（2）若服药一个疗程后，每康复1人积2分，假设认定：积分期望值越高药性越好，请问甲 乙两种中药哪种药性更好？
【答案】（1）解：依题意有，，
.
又事件C与D相互独立，
则，
所以.
（2）解：设A组中服用甲种中药康复的人数为，则，
所以.
设A组的积分为，则，
所以.
设B组中服用乙种中药康复的人数为，则的可能取值为：0，1，2，3，
，
，
，
，
故的分布列为
0 1 2 3
所以，
设B组的积分为，则，
所以，
因为，
所以甲种中药药性更好.
【知识点】相互独立事件的概率乘法公式；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差；二项分布
【解析】【分析】(1)分别计算出示A组中恰好有1人康复，B组中恰好有1人康复的概率，根据相互独立事件同时发生的概率的计算方法，求得答案；
(2)根据二项分布的期望公式求得A组中服用甲种中药康复人数积分的期望值，再计算出B组中服用乙种中药康复人数积分的期望值，比较可得答案.
1 / 1高中数学人教A版（2019） 选修三 第七章 离散型随机变量及其分布
一、单选题
1．（2022·宝鸡模拟）已知随机变量X，Y满足，Y的期望，X的分布列为：
X -1 0 1
P a b
则a，b的值分别为（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·辽宁模拟）已知某批零件的长度（单位：毫米）服从正态分布，从中随机抽取一件，其长度落在区间内的概率为（ ）
（附：若随机变量服从正态分布，则，）
A．4.56% B．13.59% C．27.18% D．31.74%
3．（2022·疏附模拟）设随机变量，若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·湖南模拟）已知随机变量X，Y分别满足，X～B（8，p），Y～N（μ，），且期望E（X）=E（Y），又P（Y≥3）=，则p=（ ）
A． B． C． D．
5．（2022·厦门模拟）某校高三有1000人参加考试，统计发现数学成绩近似服从正态分布N(105，σ2)，且成绩优良（不低于120分）的人数为360，则此次考试数学成绩及格（不低于90分）的人数约为（ ）
A．360 B．640 C．720 D．780
6．（2021高三上·金华期末）随机变量ξ的分布列如下表：
ξ 1 a 9
P b b
其中，，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则当时，随b的增大而增大
B．若，则当时，随b的增大而减小
C．若，则当时，有最小值
D．若，则当时，有最大值
7．（2021高三上·浙江期末）已知甲盒子中有3个红球，1个白球，乙盒子中有2个红球，2个白球，同时从甲，乙两个盒子中取出i个球进行交换，交换后，分别记甲、乙两个盒中红球个数，则（ ）
A． B．
C． D．
8．（2022·淮北模拟）下列说法正确的有（ ）
A．两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于0
B．若是随机变量，则.
C．已知随机变量，若，则
D．设随机变量表示发生概率为的事件在一次随机实验中发生的次数，则
二、多选题
9．（2022·福建模拟）已知随机事件A，B发生的概率分别为，下列说法正确的有（ ）
A．若，则A，B相互独立
B．若A，B相互独立，则
C．若，则
D．若，则
10．（2022·广东模拟）已知甲盒中有1个白球和2个黑球，乙盒中有2个白球和3个黑球，从乙盒中随机抽取个球放入甲盒中．放入i个球后，甲盒中含有黑球的个数记为，现从甲盒中取1个球是黑球的概率记为，则（ ）
A． B．
C． D．
11．（2021高三上·湖北月考）下列说法正确的是（ ）
A．设离散型随机变量X等可能取1，2，3，…，n，若，则
B．设随机变量X服从二项分布，则
C．设离散型随机变量服从两点分布，若，则
D．设随机变量x服从正态分布且，则
12．（2022·广东模拟）设随机变量的分布列如下：
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
则（ ）
A．当为等差数列时，
B．数列的通项公式可能为
C．当数列满足时，
D．当数列满足时，
三、填空题
13．（2022·河南模拟）为了弘扬中华民族敬老爱老的传统美德，切实关爱社区老年人的身体健康，社区卫生服务中心联合医院为老年人进行免费体检，并送上健康的祝福.已知重阳节当天，医院彩超室接待了80岁以上的老年人5位，70岁到80岁之间的老年人3位，为了进一步了解各年龄阶段老年人的健康情况，现从8人中随机抽取3人，则抽取的3人中80岁以上的老年人人数的数学期望为 .
14．（2021高三上·高邮月考）甲、乙两名运动员在羽毛球场进行羽毛球比赛，已知每局比赛甲胜的概率为P，乙胜的概率为1-p，且各局比赛结果相互独立.当比赛采取5局3胜制时，甲用4局赢得比赛的概率为 .现甲、乙进行7局比赛，采取7局4胜制，则甲获胜时比赛局数X的数学期望为
15．（2021高三上·潍坊期中）已知 ，且 ，则 的方差为 ．
16．（2020高二上·昌平期末）在射击训练中，某射击运动员一次射击命中的概率为 ，连续两次射击命中的概率为 .已知他第一发子弹命中，则他第二发子弹命中的概率为 .
四、解答题
17．（2022·福建模拟）为了买到包括星黛露毛线玩具，达菲雪莉玫和星黛露毛绒玩具钥匙圈等商品，12月29日凌晨，约5000名游客在上海迪士尼外夜排长龙，此现象在网络上引发了广泛讨论.为了解广大民对下通玩偶的喜爱程度，某市一玩具商城随机抽取了100名市民，以分数表示对卡通玩偶的喜爱程度（喜爱程度越高，分数越高，满分为100分）到如下频率分布直方图.
（1）试估计该市市民对卡通玩偶平均喜爱程度的分数值；
（2）用上述100名市民对玩偶喜爱程度分数值的频率分布估算所有排队游客分数值的概率分布，在所有游客中随机抽取2人，对分数值在区间内的游客送一个玩偶，分数值在区间内的游客赠送两个玩偶，分数值低于70分的游客不送玩偶，记总共送出的玩偶个数为，求.
18．（2022·江西模拟）2022年2月4日至2月20日，第24届冬季奥林匹克运动会在北京和张家口隆重举行.北京市各校大学生争相出征服务冬奥会，经统计某校在校大学生有9000人，男生与女生的人数之比是2：1，按性别用分层抽样的方法从该校大学生中抽取9名参加冬奥会比赛场馆服务培训，培训分4天完成，每天奖励若干名“优秀学员”，累计获2次或2次以上者可获2022冬奥会吉祥物“冰墩墩”或“雪容融”一个.
（1）若从这抽取的9名大学生中随机选出3人服务“国家体育馆”，求选出的3人中至少有一位是女生的概率.
（2）设参加服务培训的大学生甲每天获“优秀学员”奖励的概率均为，记同学甲获得“优秀学员”的次数为X，试求X的分布列及其数学期望，并以获得“优秀学员”的次数期望为参考，试预测该同学甲能否获得冬奥会吉祥物？
19．（2022·赣州模拟）将8株某种果树的幼苗分种在4个坑内，每坑种2株，每株幼苗成活的概率为0.5.若一个坑内至少有1株幼苗成活，则这个坑不需要补种，若一个坑内的幼苗都没成活，则这个坑需要补种，每补种1个坑需15元，用X表示补种费用.
（1）求一个坑不需要补种的概率；
（2）求4个坑中恰有2个坑需要补种的概率；
（3）求X的数学期望.
20．（2022·北京市模拟）“双减”政策实施以来，各地纷纷推行课后服务“5+2"模式，即学校每周周一至周五5天都要面向所有学生提供课后服务，每天至少2小时．某学校的课后服务有学业辅导体育锻炼、实践能力创新培养三大类别，为了解该校学生上个月参加课后服务的情况，该校从全校学生中随机抽取了100人作为样本．发现样本中未参加任何课后服务的有14人，样本中仅参加某一类课后服务的学生分布情况如下：
每周参加活动天数 课后服务活动 1天 2~4天 5天
仅参加学业辅导 10人 11人 4人
仅参加体育锻炼 5人 12人 1人
仅参加实践能力创新培养 3人 12人 1人
（1）从全校学生中随机抽取1人．估计该学生上个月至少参加了两类课后服务活动的概率；
（2）从全校学生中随机抽取3人．以频率估计概率，以X表示这3人中上个月仅参加学业辅导的人数．求X的分布列和数学期望；
（3）老样本中上个月未参加任何课后服务的学生有人在本月选择仅参加学业辅导．样本中其他学生参加课后服务的情况在本月没有变化．从全校学生中随机抽取3人．以频率估计概率，以X表示这3人中上个月仅参加学业辅导的人数，以Y表示这3人中本月仅参加学业辅导的人数．试判断方差、的大小关系（结论不要求证明）．
21．2022年冬奥会在北京举行，冬奥会吉祥物“冰墩墩”自亮相以来就好评不断，出现了“一墩难求”的现象.主办方现委托某公司推出一款以“冰墩墩”为原型的纪念品在专卖店进行售卖.已知这款纪念品的生产成本为80元/件，为了确定其销售价格，调查了对这款纪念品有购买意向的消费者（以下把对该纪念品有购买意向的消费者简称为消费者）的心理价位，并将收集的100名消费者的心理价位整理如下：
心理价位（元/件） 90 100 110 120
人数 10 20 50 20
假设当且仅当这款纪念品的销售价格小于或等于某位消费者的心理价位时，该消费者就会购买该纪念品.公司为了满足更多消费者的需求，规定每位消费者最多只能购买一件该纪念品.设这款纪念品的销售价格为x（单位：元/件），，且每位消费者是否购买该纪念品相互独立.用样本的频率分布估计总体的分布，频率视为概率.
（1）若，试估计消费者购买该纪念品的概率；已知某时段有4名消费者进店，X为这一时段该纪念品的购买人数，试求X的分布列和数学期望；
（2）假设共有M名消费者，设该公司售卖这款纪念品所得总利润为Y（单位：元），当该纪念品的销售价格x定为多少时，Y的数学期望达到最大值？
22．（2022·湛江模拟）中医药传承数千年，治病救人济苍生.中国工程院院士张伯礼在接受记者采访时说：“中医药在治疗新冠肺炎中发挥了核心作用，能显著降低轻症病人发展为重症病人的几率.对改善发热 咳嗽 乏力等症状，中药起效非常快，对肺部炎症的吸收和病毒转阴都有明显效果.”2021年12月某地爆发了新冠疫情，医护人员对确诊患者进行积极救治.现有6位症状相同的确诊患者，平均分成A，B两组，A组服用甲种中药，B组服用乙种中药.服药一个疗程后，A组中每人康复的概率都为，B组3人康复的概率分别为，，.
（1）设事件C表示A组中恰好有1人康复，事件D表示B组中恰好有1人康复，求；
（2）若服药一个疗程后，每康复1人积2分，假设认定：积分期望值越高药性越好，请问甲 乙两种中药哪种药性更好？
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【解答】解：因为
，
所以
，
则有
，
解得
.
故答案为：C.
【分析】根据期望的性质可求得
，再根据期望公式及概率之和为1，列出方程组，解之即可得解.
2．【答案】B
【知识点】正态密度曲线的特点
【解析】【解答】正态分布
中，
，
所以
，
，
所以
.
故答案为：B.
【分析】由正太分布密度曲线的对称性，结合
，即可求解。
3．【答案】B
【知识点】二项分布
【解析】【解答】解：因为随机变量
，
所以
，
解得
，所以
，
则
．
故答案为：B．
【分析】先由二项分布的概率公式结合已知条件
求出
，从而可得
，进而可求出
的值.
4．【答案】D
【知识点】二项分布
【解析】【解答】
且
，知
，所以
，
又
，所以
.
故答案为：D
【分析】 利用已知条件列出方程求解p即可.
5．【答案】B
【知识点】正态密度曲线的特点
【解析】【解答】因为
，所以
，所以此次考试数学成绩及格（不低于90分）的人数约为
.
故答案为：B
【分析】利用正态分布的性质可解.
6．【答案】C
【知识点】概率的基本性质；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【解答】若 ，则 ，故A，B均错误；
若
，则
，
，其对称轴为：
，则
时，
有最小值，即C正确，D错误.
故选：C.
【分析】利用已知条件结合概率的基本性质和随机变量求数学期望和方差公式，再结合函数单调性的定义得出随机变量的数学期望随着a的增大而增大，再利用二次函数的图象求最值的方法结合已知条件得出随机变量的方差的最小值，进而找出说法正确的选项。
7．【答案】C
【知识点】离散型随机变量的期望与方差
【解析】【解答】交换后，记甲、乙两个盒中红球个数，
当时，，
则，
则.选项AB均判断错误；
当时，，
则，
，
即，
则选项C判断正确；选项D判断错误。
故选：C
【分析】利用已知条件求出随机变量的分布列，再利用随机变量的分布列求数学期望公式，进而求出随机变量的数学期望，再结合比较法，从而找出正确的选项。
8．【答案】D
【知识点】离散型随机变量的期望与方差；正态密度曲线的特点
【解析】【解答】解：对于A：根据相关系数的定义可知A不符合题意；
对于B：若是随机变量，则，B不符合题意；
对于C：因为随机变量服从正态分布，故，
则，C不符合题意；
对于D：随机变量的可能取值为、，故，
，当且仅当取等号，D符合题意；
故答案为：D
【分析】利用相关系数的定义判断A的正误；期望与方差的性质判断B、D的正误；正态分布的性质判断C的正误.
9．【答案】A,B,C
【知识点】相互独立事件的概率乘法公式；条件概率与独立事件
【解析】【解答】因为随机事件A，B发生的概率分别为，
对于A，因为，所以A，B相互独立，A符合题意；
对于B，若A，B相互独立，则，B符合题意；
对于C，若，则，C符合题意；
对于D，若，则，D不符合题意.
故答案为：ABC
【分析】利用已知条件结合独立事件判断方法，再结合独立事件乘法求概率公式，事件的包含关系结合条件概率公式，进而找出说法正确的选项。
10．【答案】B,D
【知识点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【解答】当时，，
当时，，
所以，B符合题意，A不正确；
随机变量，的分布列如下：
2 3 2 3 4
P P
所以，，D符合题意，C不正确．
故答案为：BD
【分析】利用已知条件结合组合数公式和古典概型求概率公式以及互斥事件加法求概率公式，进而求出随机变量的分布列，再结合比较法得出的大小关系，再利用随机变量的分布列结合数学期望公式，进而求出随机变量的数学期望，从而找出正确的选项。
11．【答案】A,C
【知识点】二项分布；正态密度曲线的特点
【解析】【解答】解：由题意知，
对于A：，，A符合题意；
对于B：设随机变量服从二项分布，则，B不符合题意；
对于C，因为且，
，C符合题意；
对于D，随机变量服从正态分布，
正态曲线的对称轴是．
，所以
，
，D不符合题意；
故答案为：AC．
【分析】直接利用离散型随机变量，排列组合数，正态分布的应用，逐项进行判断，可得答案.
12．【答案】B,C,D
【知识点】数列的概念及简单表示法；等差数列概念与表示；等比数列概念与表示；离散型随机变量及其分布列
【解析】【解答】由题目可知 ；
对于A，若 为等差数列，则 不成立，比如公差为0时， ，A不正确；
对于B，显然 ，又 ，
，因此B符合题意；
对于C，由 ，则 ，
所以 ，因此C符合题意；
对于D， 令 ，
则
即 ， ，于是有
，解得 ，于是有
因此D符合题意.
故答案为：BCD
【分析】由离散型随机变量分布列的性质，结合数列知识逐项判断即可。
13．【答案】
【知识点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差；超几何分布
【解析】【解答】用随机变量X表示抽取的3人中80岁以上的老年人人数，
则X可能的取值为0，1，2，3，且
.
所以随机变量X的分布列为
X 0 1 2 3
P
所以
.
故答案为：
【分析】随机变量X服从超几何分布，计算概率，列出分布列，利用期望公式计算即可得答案。
14．【答案】
【知识点】离散型随机变量的期望与方差
【解析】【解答】因为当比赛采取5局3胜制时，甲用4局赢得比赛的概率为 ，
且每局比赛甲胜的概率为p，乙胜的概率为1-p，
所以 ，
解得 ，
X的可能取值为：4，5，6，7，
则 ，
，
X的分布列为：
X 4 5 6 7
p
所以采取7局4胜制，则甲获胜时比赛局数x的数学期望为：
故答案为：
【分析】 当比赛采取5局3胜制时，甲用4局赢得比赛的概率为，列方程求出 ，采取7局4胜27制，甲获胜时比赛局数X的可能取值为4， 5， 6，7，分别求出相应的概率，由此能求出采取7局4胜制，甲获胜时比赛局数X的数学期望.
15．【答案】18
【知识点】离散型随机变量的期望与方差；二项分布
【解析】【解答】因为 ，所以 ，且
则 ，因此 的方差为18。
故答案为：18。
【分析】利用已知条件结合二项分布求方差公式和方差的性质，从而求出随机变量Y的方差。
16．【答案】
【知识点】条件概率与独立事件
【解析】【解答】设第一次命中为事件 ，第二次命中为事件 ，由 ，得 ，
故答案为 .
【分析】根据题意由条件概率的公式，代入数值计算出结果即可。
17．【答案】（1）解：该市市民对卡通玩偶平均喜爱程度的分数值为：
.
（2）解：由频率分布直方图可得分数值在区间内概率为，
分数值在区间内的概率为，分数值低于70的概率为，
而的取值可为0，1，2，3，4，
又；；
；；
，
故的分布列为：
0 1 2 3 4
故.
【知识点】频率分布直方图；众数、中位数、平均数；相互独立事件的概率乘法公式；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】（1）根据公式可求该市市民对卡通玩偶平均喜爱程度的分数值；
（2）利用独立事件的乘法公式可求的取不同值时对应的概率，从而可得其分布列，利用公式可求其数学期望.
18．【答案】（1）解：由题可知，抽取的9名大学生中，6名男生，3名女生；
则选出的3名学生中至少有一名女生的概率
（2）解：由题可知
，
，
所以X的分布列
X 0 1 2 3 4
P
所以即能获得吉祥物.
【知识点】互斥事件与对立事件；二项分布
【解析】【分析】（1） 由分层抽样的方法抽取的9名大学生中，6名男生，3名女生，再根据对立事件的概率计算公式计算即可；
（2）由题可知甲获得“优秀学员”的次数服从二项分布，计算概率列出分布列，再计算期望即可判断.
19．【答案】（1）解：一个坑不需要补种就是2株幼苗中至少有1株成活，
所以其概率
（2）解：每坑要补种的概率，所以4个坑中恰有2个坑需要补种的概率
（3）解：设4个坑中需要补种的坑数为Y，则，所以，
而，故元
【知识点】相互独立事件的概率乘法公式；条件概率与独立事件；二项分布
【解析】【分析】（1）利用对立事件概率公式求概率；
（2）每坑要补种的概率
，然后由独立重复试验的概率公式计算；
（3）设4个坑中需要补种的坑数为Y，则
，
，由二项分布的期望公式计算可得．
20．【答案】（1）解：由题意得，样本中仅参加某一类课后服务的学生共有
（人）
又样本中未参加任何课后服务的有14人，
故样本中上个月至少参加了两类课后服务活动的学生共有（人）
则从全校学生中随机抽取1人，该学生上个月至少参加了两类课后服务活动的频率为
由此，可估计该学生上个月至少参加了两类课后服务活动的概率
（2）解：样本中，上个月仅参加学业辅导的有（人），对应频率为0.25
以频率估计概率，从全校学生中随机抽取1人，上个月仅参加学业辅导的概率为0.25，
X的可能取值为0，1，2，3，
X的分布列为
X 0 1 2 3
P
X的数学期望
（3）解：由题意可知随机变量X服从二项分布，故.
又知：上个月未参加任何课后服务的学生有人在本月选择仅参加学业辅导（样本中其他学生参加课后服务的情况在本月没有变化．），
则本月从全校学生中随机抽取1人仅参加学业辅导的概率估计为P ，且.
以Y表示这3人中本月仅参加学业辅导的人数，由题意可知随机变量Y服从二项分布，
故，.
【知识点】离散型随机变量的期望与方差；二项分布
【解析】【分析】（1） 由题意得，可取出样本中仅参加某一类课后服务的学生共有59人，未参加任何课后服务的有14人 ，可得 本中上个月至少参加了两类课后服务活动的学生共有27人，然后求解概率即可；
（2）X的可能取值为0，1，2，3， 求出概率，得到分布列，然后求解即可；
（3） 由题意可知随机变量X，Y服从二项分布，分别求方差，判断方差的大小即可.
21．【答案】（1）解：时，消费者购买该纪念品的概率，
由题意，，，
，同理，，，，
的分布列为：
0 1 2 3 4
；
（2）解：由（1）知时，（时等号成立），
时，（时等号成立），
时，（时等号成立），
，因此最大，此时．
所以当该纪念品的销售价格定为110元多少时，Y的数学期望达到最大值．
【知识点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】（1）确定X服从二项分布，计算出 消费者购买该纪念品的概率 ，即可求解；
（2）分别得到
时，，时，
，
时，
求出最值，即可求解。
22．【答案】（1）解：依题意有，，
.
又事件C与D相互独立，
则，
所以.
（2）解：设A组中服用甲种中药康复的人数为，则，
所以.
设A组的积分为，则，
所以.
设B组中服用乙种中药康复的人数为，则的可能取值为：0，1，2，3，
，
，
，
，
故的分布列为
0 1 2 3
所以，
设B组的积分为，则，
所以，
因为，
所以甲种中药药性更好.
【知识点】相互独立事件的概率乘法公式；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差；二项分布
【解析】【分析】(1)分别计算出示A组中恰好有1人康复，B组中恰好有1人康复的概率，根据相互独立事件同时发生的概率的计算方法，求得答案；
(2)根据二项分布的期望公式求得A组中服用甲种中药康复人数积分的期望值，再计算出B组中服用乙种中药康复人数积分的期望值，比较可得答案.
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