高中数学人教A版（2019） 必修二 解三角形月考试卷

登录二一教育在线组卷平台 助您教考全无忧
高中数学人教A版（2019） 必修二 解三角形月考试卷
一、单选题
1．（2021高一下·长春期末）在 中，已知 ， ， ，则角C为（　　）
A． B．
C． 或 D．
2．（2021高一下·抚顺期末）在 中，若 ，则角 等于（　　）
A． B． C． D．
3．（2021高一下·肇庆期末）在 中，内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，若 ， ，当 有两解时， 的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
4．（2021高一下·无锡期末） 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，若 ， ，则 的值为（　　）
A．2 B． C．6 D．
5．（2021高一下·南京期末）在 中，内角 、 、 所对的边分别为 、 、 ，满足 ，则 =（　　）
A． B． C． D．
6．（2021高一下·厦门期末） 的内角 ， ， 的对边分别是 ， ， .已知 ， ， 边上的中线长度为 ，则 （　　）
A． B． C．1 D．
7．（2021高一下·大连期末）在 中，角 、 、 所对的边分别是 、 、 ，若 ，则 是（　　）
A．等边三角形
B．有一内角是 的直角三角形
C．等腰直角三角形
D．有一内角是 的等腰三角形
8．（2021高一下·延庆期末）在中，给出如下命题：
① 若 ，则 是锐角三角形
② 若 ，则 是等腰三角形
③ 若 ，则 是等腰直角三角形
④ 若 ，则 是等腰或直角三角形
其中，所有正确命题的序号是 （　　）
A．①② B．②③ C．②④ D．③④
二、多选题
9．（2021高一下·吴江期中）甲，乙两楼相距 ，从乙楼底仰望甲楼顶的仰角为 ，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为 ，则下列说法正确的有（　　）
A．甲楼的高度为 B．甲楼的高度为
C．乙楼的高度为 D．乙楼的高度为
10．（2021高一下·沈阳期末）若△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足 ，则下列结论正确的是（　　）
A．角C一定为锐角 B．a2 + 2b2 - c2 = 0
C．3tanA + tanC = 0 D．tanB的最大值为
11．（2021高一下·河北期末）在锐角 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知 ，且 ，则（　　）
A． B．角B的取值范围是
C． 的取值范围是 D． 的取值范围是
12．（2021高一下·泰州期末）在平面直角坐标系 中， 的三个顶点O，A，B的坐标分别为 ， ， ，设 ， ， ，则（　　）
A．
B．
C． (R为 外接圆的半径)
D．
三、填空题
13．（2021高一下·阳江期末）在△ABC中，D是AB的中点，∠ACD与∠CBD互为余角，AD＝2，AC＝3，则sinA的值为　 　.
14．（2021高一下·连云港期末）在 中， ， ， ，延长 到 ，使得 ，则 的长为　 　．
15．（2021高一下·肇庆期末）已知 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，点 在边 上，且 ， ，， ，则 的面积的最大值为　 　.
16．（2021高一下·泉州期末）锐角 的内切圆的圆心为 ，内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， .若 ，且 的外接圆半径为1，则 周长的取值范围为　 　.
四、解答题
17．（2021高三上·信阳开学考）如图，在 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足asinB+bcosA=c ，线段BC的中点为D.
（1）求角B的大小；
（2）已知 ，求 的大小.
18．（2022高一下·普宁月考）记 是内角 ， ， 的对边分别为 ， ， .已知 ，点 在边 上， .
（1）证明： ；
（2）若 ，求 .
19．（2021高一下·嘉兴期末）在 中，内角 ， ， 对应的边分别为 ， ， ，设 ， ，且 .
（1）求 的值；
（2）若 ， ，点 满足 ，求 的长.
20．（2021高一下·南海期末）在条件：① ，②③ ， ．且 ，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中：
中，内角 ， ， 所对边长分别是 ， ， ．若 ， ， ▲ ．求 的面积．
（选择多个条件时，按你第一个选择结果给分）
21．（2021高一下·阳江期末）在锐角 中,角 的对边分别为 , 边上的中线 ,且满足 .
（1）求 的大小；
（2）若 ，求 的周长的取值范围
22．（2021高一下·越秀期末）如图， 、 是某海域位于南北方向相距 海里的两个观测点，现位于 点北偏东 、 点南偏东 的 处有一艘渔船遇险后抛锚发出求救信号，位于 点正西方向且与 点相距50海里的 处的救援船立即前往营救，其航行速度为40海里/小时.
（1）求 、 两点间的距离；
（2）该救援船前往营救渔船时的目标方向线（由观测点看目标的视线）的方向是南偏东多少度（精确到 ）？救船到达 处需要乡长时间？
（参考数据： ， ）
答案解析部分
1．【答案】C
【考点】正弦定理的应用
【解析】【解答】解：由正弦定理得，
则
又∵C∈(0,π)
∴C=60°或120°
故答案为：C
【分析】根据正弦定理直接求解即可.
2．【答案】B
【考点】余弦定理
【解析】【解答】由题意 ， 是三角形内角，所以 ．
故答案为：B．
【分析】 直接利用余弦定理和三角函数的值的应用求出结果.
3．【答案】A
【考点】同角三角函数间的基本关系；正弦定理
【解析】【解答】 ，即 , 则
由 ，解得 ,则
当 有两解时， ，则 ，所以 ，
故答案为：A.
【分析】 由题意利用同角三角函数基本关系式可求sin A的值，进而根据正弦定理可得当C有两解时，bsinA4．【答案】B
【考点】正弦定理
【解析】【解答】 。
故答案为：B．
【分析】利用已知条件结合正弦定理的性质，从而求出 的值 。
5．【答案】D
【考点】正弦定理；余弦定理
【解析】【解答】在 中，
由正弦定理可化成 ，
，
由余弦定理可得： 。
故答案为：D．
【分析】利用已知条件结合正弦定理得出，再利用余弦定理变形求出角C的余弦值。
6．【答案】C
【考点】余弦定理
【解析】【解答】在 中，由余弦定理 ，
因为 ， ， 边上的中线长度为 ，
所以 ，化简可得 ，
又因为 ，
由余弦定理得 ，整理可得 ，
所以 。
故答案为：C
【分析】利用 已知条件结合余弦定理得出，再利用结合余弦定理，得出，从而求出的值。
7．【答案】C
【考点】同角三角函数间的基本关系；正弦定理
【解析】【解答】因为 ，由正弦定理可得 ，
因为 ，则 ，所以， ，
因为 ， ，则 ，
因此， 为等腰直角三角形.
故答案为：C.
【分析】由正弦定理可得 ，根据同角三角函数基本关系式可求，结合角的范围可求，即可得解三角形的形状.
8．【答案】C
【考点】正弦定理；余弦定理
【解析】【解答】①，由正弦定理得 为锐角，但无法判断 角的大小，所以①错误.
②， ，则 是等腰三角形，所以②正确.
③，假设 ，则 ，但三角形 不是直角三角形，所以③错误.
④， ， ，
，
，
，
，
，
，
，
所以 或 ，
所以三角形 是等腰或直角三角形. ④正确.
故答案为：C
【分析】根据正弦定理、余弦定理逐项进行判断，可得答案。
9．【答案】A,C
【考点】余弦定理的应用
【解析】【解答】如图示，
在 中，∠ABD=60°，BD=20m，
∴
在 中，设 ，
由余弦定理得： ，即 ，
解得： ，
则乙楼的高度分别为 。
故答案为：AC
【分析】利用已知条件结合余弦定理，进而求出甲楼和乙楼的高度。
10．【答案】B,C,D
【考点】二倍角的余弦公式；正弦定理；余弦定理
【解析】【解答】 可化为 即 ，
故 ，故 为钝角，A不符合题意.
又 ，整理得到 ，B符合题意.
而 又可化为 ，
所以 即 ，C符合题意.
又 ，
因为 为钝角，故 为锐角，故 ，
当且仅当 时等号成立，D符合题意.
故答案为：BCD．
【分析】先利用二倍角的余弦、诱导公式可得，从而可判断A的正误；分别利用余弦定理和正弦定理化简，可判断BC的正误；利用基本不等式可判断D的正误。
11．【答案】A,C,D
【考点】正弦定理
【解析】【解答】因为 ，所以 ，所以 或 ．
因为 ，所以 ，所以 ，则 ，A符合题意．
因为 ，所以 ．
因为 是锐角三角形，
所以 即 解得 ，
所以 ，则 ，B不符合题意，D符合题意．
因为 ，所以 ，所以 ，则C符合题意，
故答案为：ACD.
【分析】由 ，得 ，即 或 ，根据已知条件验证可判断A；因为 是锐角三角形，所以 即 解得 ， ，可判断B,D；由 ，得 ，即可判断D。
12．【答案】B,D
【考点】正弦定理
【解析】【解答】解：对A，由正弦定理知： ，
，A不符合题意；
对B，
，B符合题意；
对C，由正弦定理知： ，
，C不符合题意；
对D，由题意知： ，
则点 到直线 的距离 ，
，
即 ，D符合题意.
故答案为：BD.
【分析】 利用正弦定理,三角形的面积公式及模长公式逐一判断即可求解结论.
13．【答案】 或
【考点】正弦定理；余弦定理
【解析】【解答】解：如图所示：在△ADC中，设∠ACD＝θ，
则∠CBD ，
又AD＝2，AC＝3，
利用余弦定理： .
在△ADC中，利用正弦定理： ，
故 ，
所以： ，
解得：cosA ，
在△ACD中，利用余弦定理： ，
所以 ，
整理得：CD4﹣9CD2+20＝0
解得： 或 .
①当CD＝2时，cosA .
所以sinA ；
②CD 时，cosA ，
所以sinA .
故答案为： 或 .
【分析】 首先利用余弦定理和正弦定理求出CD的长，进一步利用三角函数关系式的恒等变换求出结果.
14．【答案】7
【考点】正弦定理；余弦定理
【解析】【解答】如图所示，在 中，由正弦定理得 ，
则 ，
因为 ，所以 ，
在 中，由余弦定理得，
。
故答案为：7。
【分析】利用已知条件结合正弦定理求出AC的长，再利用两角互补的性质，由 得出 ，在 中，由余弦定理得出AD的长。
15．【答案】
【考点】基本不等式；余弦定理
【解析】【解答】 的面积 ，
如图，过 作 的平行线，交 于点 .
在 中， ， ， ， .
由余弦定理，得 ，
所以 ，
当且仅当 时， 的最大值为 ，
故 的面积 ，最大为 .
故答案为： .
【分析】 过D作AB的平行线，交AC于点E，在△ADE中，由余弦定理，基本不等式可求bc的最大值，进而根据三角形的面积公式即可求解.
16．【答案】
【考点】正弦定理；余弦定理
【解析】【解答】解：由余弦定理，得 ，即 ，
因为 ，所以 .
由正弦定理，得 .
因为 ，
由内切圆的性质可得 ，
所以 ，
在 中，由余弦定理，得 ，
即 ，
解得 ，又 ，
所以 ，
所以 周长的取值范围 .
故答案为： .
【分析】 直接利用三角函数关系式的恒等变换求出A的值,再利用正弦定理和余弦定理的应用及基本不等式的应用求出三角形的周长的范围.
17．【答案】（1）由正弦定理得 .
而 .
由以上两式得 ，即 .
由于 ，所以 ，又由于得 ，得 .
（2）设 ，在 中，由正弦定理有 .
由余弦定理有 ，整理得，由于 ，所以 ， .
在 中，由余弦定理有 .
所以 ，所以 ， .
【考点】两角和与差的正弦公式；正弦定理的应用；余弦定理的应用
【解析】【分析】（1）根据正弦定理，结合两角和的正弦公式求解即可；
（2）根据正弦定理及余弦定理求解即可.
18．【答案】（1）证明：由题设， ，由正弦定理知： ，即 ，∴ ，又 ，
∴ ，得证.
（2）解：由题意知： ，
∴ ，同 ，
∵ ，
∴ ，整理得 ，又 ，
∴ ，整理得 ，解得 或 .......10分
由余弦定理知： ，
当 时， 不合题意；当 时， ；
综上， .
【考点】正弦定理的应用；余弦定理的应用
【解析】【分析】（1）根据正弦定理的边角关系有
,结合已知即可证结论.
（2）分别应用余弦定理求得cos∠ADB与cos∠CDB，求得边a与c的关系，然后利用余弦定理即可求得 cos∠ABC的值.
19．【答案】（1）因为 ， ，且 ，所以 ，
，即 ，
解得 或 ，
因为 ，所以 .
（2）因为 ，所以 ，解得 或 （舍去），
又因为 ，所以 ，
，
即 ，
所以 的长为 .
【考点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；数量积的坐标表达式；数量积判断两个平面向量的垂直关系；余弦定理
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合数量积的坐标表示和二倍角的余弦公式，进而解一元二次方程求出角C的余弦值，再利用三角形中角C的取值范围，进而求出满足要求的角C的余弦值。
（2）利用已知条件结合余弦定理得出b的值，再利用共线定理结合平面向量基本定理得出 ， 再利用数量积求向量的模的公式结合数量积的定义，从而求出向量的模，进而求出CM的长。
20．【答案】解：选择条件①：由正弦定理知， ，
，
，
，
，
化简得， ，
， ，即 ，
， ，即 ，
，
的面积 ．
选择条件②：
， ，
由余弦定理知， ，
， ，
的面积 ．
选择条件③：
， ，且 ，
，
由正弦定理知， ，
，
， ，即 ，
， ， ，
的面积 ．
【考点】正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】 选择条件①:利用正弦定理将已知等式中的边化角，再结合三角形的内角和定理、两角和的正弦公式、辅助角公式进行化简运算，推出 ，然后由 得解；选择条件②:结合已知条件和余弦定理，可得 ，再由得解；选择条件③:结合平面向量共线的条件和正弦定理，推出 ，再由得解.
21．【答案】（1）在 中，由余弦定理得： ， ①
在 中，由余弦定理得： ， ②
因为 ，所以 ，
①+②得： ，
即 ， 代入已知条件 ，
得 ，即 ，
，
又 ，所以 .
（2）在 中由正弦定理得 ，又 ，
所以 ， ，
∴ ，
∵ 为锐角三角形，
∴
∴ ，∴ ．
∴ 周长的取值范围为 ．
【考点】正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】 (1)根据余弦定理建立方程关系进行求解即可;
(2)利用正弦定理，结合辅助角公式进行化简求出a+b+c的范围即可求解.
22．【答案】（1）在 中， ， ，则 ，
，
由正弦定理 得 （海里），
（2） 中， ，由余弦定理
，
， （小时），
， 为锐角，
所以 ．
救援船前往营救渔船时的目标方向线方向是南偏东 ．
【考点】正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】 (1)依题意得∠BAC,∠ABC, AB的值,利用三角形内角和定理可求∠ACB的值，进而在△ABC中，由正弦定理可得BC的值；
(2)依题意得∠DBC = 120°, BD= 50，在ODBC中，由余弦定理可求CD的值，可求救搜船到达C处需要的时间，在△DBC中，由余弦定理得cos∠BDC≈0.93,可求∠BDC≈21.79°,从而可求该救援船前往营救渔船时的方向是南偏东 。
二一教育在线组卷平台（zujuan.21cnjy.com）自动生成 1 / 1登录二一教育在线组卷平台 助您教考全无忧
高中数学人教A版（2019） 必修二 解三角形月考试卷
一、单选题
1．（2021高一下·长春期末）在 中，已知 ， ， ，则角C为（　　）
A． B．
C． 或 D．
【答案】C
【考点】正弦定理的应用
【解析】【解答】解：由正弦定理得，
则
又∵C∈(0,π)
∴C=60°或120°
故答案为：C
【分析】根据正弦定理直接求解即可.
2．（2021高一下·抚顺期末）在 中，若 ，则角 等于（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【考点】余弦定理
【解析】【解答】由题意 ， 是三角形内角，所以 ．
故答案为：B．
【分析】 直接利用余弦定理和三角函数的值的应用求出结果.
3．（2021高一下·肇庆期末）在 中，内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，若 ， ，当 有两解时， 的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【考点】同角三角函数间的基本关系；正弦定理
【解析】【解答】 ，即 , 则
由 ，解得 ,则
当 有两解时， ，则 ，所以 ，
故答案为：A.
【分析】 由题意利用同角三角函数基本关系式可求sin A的值，进而根据正弦定理可得当C有两解时，bsinA4．（2021高一下·无锡期末） 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，若 ， ，则 的值为（　　）
A．2 B． C．6 D．
【答案】B
【考点】正弦定理
【解析】【解答】 。
故答案为：B．
【分析】利用已知条件结合正弦定理的性质，从而求出 的值 。
5．（2021高一下·南京期末）在 中，内角 、 、 所对的边分别为 、 、 ，满足 ，则 =（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【考点】正弦定理；余弦定理
【解析】【解答】在 中，
由正弦定理可化成 ，
，
由余弦定理可得： 。
故答案为：D．
【分析】利用已知条件结合正弦定理得出，再利用余弦定理变形求出角C的余弦值。
6．（2021高一下·厦门期末） 的内角 ， ， 的对边分别是 ， ， .已知 ， ， 边上的中线长度为 ，则 （　　）
A． B． C．1 D．
【答案】C
【考点】余弦定理
【解析】【解答】在 中，由余弦定理 ，
因为 ， ， 边上的中线长度为 ，
所以 ，化简可得 ，
又因为 ，
由余弦定理得 ，整理可得 ，
所以 。
故答案为：C
【分析】利用 已知条件结合余弦定理得出，再利用结合余弦定理，得出，从而求出的值。
7．（2021高一下·大连期末）在 中，角 、 、 所对的边分别是 、 、 ，若 ，则 是（　　）
A．等边三角形
B．有一内角是 的直角三角形
C．等腰直角三角形
D．有一内角是 的等腰三角形
【答案】C
【考点】同角三角函数间的基本关系；正弦定理
【解析】【解答】因为 ，由正弦定理可得 ，
因为 ，则 ，所以， ，
因为 ， ，则 ，
因此， 为等腰直角三角形.
故答案为：C.
【分析】由正弦定理可得 ，根据同角三角函数基本关系式可求，结合角的范围可求，即可得解三角形的形状.
8．（2021高一下·延庆期末）在中，给出如下命题：
① 若 ，则 是锐角三角形
② 若 ，则 是等腰三角形
③ 若 ，则 是等腰直角三角形
④ 若 ，则 是等腰或直角三角形
其中，所有正确命题的序号是 （　　）
A．①② B．②③ C．②④ D．③④
【答案】C
【考点】正弦定理；余弦定理
【解析】【解答】①，由正弦定理得 为锐角，但无法判断 角的大小，所以①错误.
②， ，则 是等腰三角形，所以②正确.
③，假设 ，则 ，但三角形 不是直角三角形，所以③错误.
④， ， ，
，
，
，
，
，
，
，
所以 或 ，
所以三角形 是等腰或直角三角形. ④正确.
故答案为：C
【分析】根据正弦定理、余弦定理逐项进行判断，可得答案。
二、多选题
9．（2021高一下·吴江期中）甲，乙两楼相距 ，从乙楼底仰望甲楼顶的仰角为 ，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为 ，则下列说法正确的有（　　）
A．甲楼的高度为 B．甲楼的高度为
C．乙楼的高度为 D．乙楼的高度为
【答案】A,C
【考点】余弦定理的应用
【解析】【解答】如图示，
在 中，∠ABD=60°，BD=20m，
∴
在 中，设 ，
由余弦定理得： ，即 ，
解得： ，
则乙楼的高度分别为 。
故答案为：AC
【分析】利用已知条件结合余弦定理，进而求出甲楼和乙楼的高度。
10．（2021高一下·沈阳期末）若△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足 ，则下列结论正确的是（　　）
A．角C一定为锐角 B．a2 + 2b2 - c2 = 0
C．3tanA + tanC = 0 D．tanB的最大值为
【答案】B,C,D
【考点】二倍角的余弦公式；正弦定理；余弦定理
【解析】【解答】 可化为 即 ，
故 ，故 为钝角，A不符合题意.
又 ，整理得到 ，B符合题意.
而 又可化为 ，
所以 即 ，C符合题意.
又 ，
因为 为钝角，故 为锐角，故 ，
当且仅当 时等号成立，D符合题意.
故答案为：BCD．
【分析】先利用二倍角的余弦、诱导公式可得，从而可判断A的正误；分别利用余弦定理和正弦定理化简，可判断BC的正误；利用基本不等式可判断D的正误。
11．（2021高一下·河北期末）在锐角 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知 ，且 ，则（　　）
A． B．角B的取值范围是
C． 的取值范围是 D． 的取值范围是
【答案】A,C,D
【考点】正弦定理
【解析】【解答】因为 ，所以 ，所以 或 ．
因为 ，所以 ，所以 ，则 ，A符合题意．
因为 ，所以 ．
因为 是锐角三角形，
所以 即 解得 ，
所以 ，则 ，B不符合题意，D符合题意．
因为 ，所以 ，所以 ，则C符合题意，
故答案为：ACD.
【分析】由 ，得 ，即 或 ，根据已知条件验证可判断A；因为 是锐角三角形，所以 即 解得 ， ，可判断B,D；由 ，得 ，即可判断D。
12．（2021高一下·泰州期末）在平面直角坐标系 中， 的三个顶点O，A，B的坐标分别为 ， ， ，设 ， ， ，则（　　）
A．
B．
C． (R为 外接圆的半径)
D．
【答案】B,D
【考点】正弦定理
【解析】【解答】解：对A，由正弦定理知： ，
，A不符合题意；
对B，
，B符合题意；
对C，由正弦定理知： ，
，C不符合题意；
对D，由题意知： ，
则点 到直线 的距离 ，
，
即 ，D符合题意.
故答案为：BD.
【分析】 利用正弦定理,三角形的面积公式及模长公式逐一判断即可求解结论.
三、填空题
13．（2021高一下·阳江期末）在△ABC中，D是AB的中点，∠ACD与∠CBD互为余角，AD＝2，AC＝3，则sinA的值为　 　.
【答案】 或
【考点】正弦定理；余弦定理
【解析】【解答】解：如图所示：在△ADC中，设∠ACD＝θ，
则∠CBD ，
又AD＝2，AC＝3，
利用余弦定理： .
在△ADC中，利用正弦定理： ，
故 ，
所以： ，
解得：cosA ，
在△ACD中，利用余弦定理： ，
所以 ，
整理得：CD4﹣9CD2+20＝0
解得： 或 .
①当CD＝2时，cosA .
所以sinA ；
②CD 时，cosA ，
所以sinA .
故答案为： 或 .
【分析】 首先利用余弦定理和正弦定理求出CD的长，进一步利用三角函数关系式的恒等变换求出结果.
14．（2021高一下·连云港期末）在 中， ， ， ，延长 到 ，使得 ，则 的长为　 　．
【答案】7
【考点】正弦定理；余弦定理
【解析】【解答】如图所示，在 中，由正弦定理得 ，
则 ，
因为 ，所以 ，
在 中，由余弦定理得，
。
故答案为：7。
【分析】利用已知条件结合正弦定理求出AC的长，再利用两角互补的性质，由 得出 ，在 中，由余弦定理得出AD的长。
15．（2021高一下·肇庆期末）已知 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，点 在边 上，且 ， ，， ，则 的面积的最大值为　 　.
【答案】
【考点】基本不等式；余弦定理
【解析】【解答】 的面积 ，
如图，过 作 的平行线，交 于点 .
在 中， ， ， ， .
由余弦定理，得 ，
所以 ，
当且仅当 时， 的最大值为 ，
故 的面积 ，最大为 .
故答案为： .
【分析】 过D作AB的平行线，交AC于点E，在△ADE中，由余弦定理，基本不等式可求bc的最大值，进而根据三角形的面积公式即可求解.
16．（2021高一下·泉州期末）锐角 的内切圆的圆心为 ，内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， .若 ，且 的外接圆半径为1，则 周长的取值范围为　 　.
【答案】
【考点】正弦定理；余弦定理
【解析】【解答】解：由余弦定理，得 ，即 ，
因为 ，所以 .
由正弦定理，得 .
因为 ，
由内切圆的性质可得 ，
所以 ，
在 中，由余弦定理，得 ，
即 ，
解得 ，又 ，
所以 ，
所以 周长的取值范围 .
故答案为： .
【分析】 直接利用三角函数关系式的恒等变换求出A的值,再利用正弦定理和余弦定理的应用及基本不等式的应用求出三角形的周长的范围.
四、解答题
17．（2021高三上·信阳开学考）如图，在 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足asinB+bcosA=c ，线段BC的中点为D.
（1）求角B的大小；
（2）已知 ，求 的大小.
【答案】（1）由正弦定理得 .
而 .
由以上两式得 ，即 .
由于 ，所以 ，又由于得 ，得 .
（2）设 ，在 中，由正弦定理有 .
由余弦定理有 ，整理得，由于 ，所以 ， .
在 中，由余弦定理有 .
所以 ，所以 ， .
【考点】两角和与差的正弦公式；正弦定理的应用；余弦定理的应用
【解析】【分析】（1）根据正弦定理，结合两角和的正弦公式求解即可；
（2）根据正弦定理及余弦定理求解即可.
18．（2022高一下·普宁月考）记 是内角 ， ， 的对边分别为 ， ， .已知 ，点 在边 上， .
（1）证明： ；
（2）若 ，求 .
【答案】（1）证明：由题设， ，由正弦定理知： ，即 ，∴ ，又 ，
∴ ，得证.
（2）解：由题意知： ，
∴ ，同 ，
∵ ，
∴ ，整理得 ，又 ，
∴ ，整理得 ，解得 或 .......10分
由余弦定理知： ，
当 时， 不合题意；当 时， ；
综上， .
【考点】正弦定理的应用；余弦定理的应用
【解析】【分析】（1）根据正弦定理的边角关系有
,结合已知即可证结论.
（2）分别应用余弦定理求得cos∠ADB与cos∠CDB，求得边a与c的关系，然后利用余弦定理即可求得 cos∠ABC的值.
19．（2021高一下·嘉兴期末）在 中，内角 ， ， 对应的边分别为 ， ， ，设 ， ，且 .
（1）求 的值；
（2）若 ， ，点 满足 ，求 的长.
【答案】（1）因为 ， ，且 ，所以 ，
，即 ，
解得 或 ，
因为 ，所以 .
（2）因为 ，所以 ，解得 或 （舍去），
又因为 ，所以 ，
，
即 ，
所以 的长为 .
【考点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；数量积的坐标表达式；数量积判断两个平面向量的垂直关系；余弦定理
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合数量积的坐标表示和二倍角的余弦公式，进而解一元二次方程求出角C的余弦值，再利用三角形中角C的取值范围，进而求出满足要求的角C的余弦值。
（2）利用已知条件结合余弦定理得出b的值，再利用共线定理结合平面向量基本定理得出 ， 再利用数量积求向量的模的公式结合数量积的定义，从而求出向量的模，进而求出CM的长。
20．（2021高一下·南海期末）在条件：① ，②③ ， ．且 ，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中：
中，内角 ， ， 所对边长分别是 ， ， ．若 ， ， ▲ ．求 的面积．
（选择多个条件时，按你第一个选择结果给分）
【答案】解：选择条件①：由正弦定理知， ，
，
，
，
，
化简得， ，
， ，即 ，
， ，即 ，
，
的面积 ．
选择条件②：
， ，
由余弦定理知， ，
， ，
的面积 ．
选择条件③：
， ，且 ，
，
由正弦定理知， ，
，
， ，即 ，
， ， ，
的面积 ．
【考点】正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】 选择条件①:利用正弦定理将已知等式中的边化角，再结合三角形的内角和定理、两角和的正弦公式、辅助角公式进行化简运算，推出 ，然后由 得解；选择条件②:结合已知条件和余弦定理，可得 ，再由得解；选择条件③:结合平面向量共线的条件和正弦定理，推出 ，再由得解.
21．（2021高一下·阳江期末）在锐角 中,角 的对边分别为 , 边上的中线 ,且满足 .
（1）求 的大小；
（2）若 ，求 的周长的取值范围
【答案】（1）在 中，由余弦定理得： ， ①
在 中，由余弦定理得： ， ②
因为 ，所以 ，
①+②得： ，
即 ， 代入已知条件 ，
得 ，即 ，
，
又 ，所以 .
（2）在 中由正弦定理得 ，又 ，
所以 ， ，
∴ ，
∵ 为锐角三角形，
∴
∴ ，∴ ．
∴ 周长的取值范围为 ．
【考点】正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】 (1)根据余弦定理建立方程关系进行求解即可;
(2)利用正弦定理，结合辅助角公式进行化简求出a+b+c的范围即可求解.
22．（2021高一下·越秀期末）如图， 、 是某海域位于南北方向相距 海里的两个观测点，现位于 点北偏东 、 点南偏东 的 处有一艘渔船遇险后抛锚发出求救信号，位于 点正西方向且与 点相距50海里的 处的救援船立即前往营救，其航行速度为40海里/小时.
（1）求 、 两点间的距离；
（2）该救援船前往营救渔船时的目标方向线（由观测点看目标的视线）的方向是南偏东多少度（精确到 ）？救船到达 处需要乡长时间？
（参考数据： ， ）
【答案】（1）在 中， ， ，则 ，
，
由正弦定理 得 （海里），
（2） 中， ，由余弦定理
，
， （小时），
， 为锐角，
所以 ．
救援船前往营救渔船时的目标方向线方向是南偏东 ．
【考点】正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】 (1)依题意得∠BAC,∠ABC, AB的值,利用三角形内角和定理可求∠ACB的值，进而在△ABC中，由正弦定理可得BC的值；
(2)依题意得∠DBC = 120°, BD= 50，在ODBC中，由余弦定理可求CD的值，可求救搜船到达C处需要的时间，在△DBC中，由余弦定理得cos∠BDC≈0.93,可求∠BDC≈21.79°,从而可求该救援船前往营救渔船时的方向是南偏东 。
二一教育在线组卷平台（zujuan.21cnjy.com）自动生成 1 / 1