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必考点02 平面向量基本定理及坐标运算
题型一 平面向量基本定理及其应用
例题1如图，在直角梯形ABCD中，AB＝2AD＝2DC，E为BC边上一点，＝3，F为AE的中点，则＝( )
A.－ B.－
C．－＋ D．－＋
例题2在△ABC中，点P是AB上一点，且＝＋，Q是BC的中点，AQ与CP的交点为M，又＝t，则实数t的值为________．
【解题技巧提炼】
平面向量基本定理的实质及应用思路
(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算．
(2)用平面向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．
题型二 平面向量的坐标运算
例题1已知M(3，－2)，N(－5，－1)，且＝，则P点的坐标为( )
A．(－8,1) B．
C. D．(8，－1)
例题2向量a，b，c在正方形网格中的位置如图所示，若c＝λa＋μb(λ，μ∈R)，则＝________.
【解题技巧提炼】
求解向量坐标运算问题的一般思路
(1)向量问题坐标化
向量的坐标运算，使得向量的线性运算都可用坐标来进行，实现了向量运算完全代数化，将数与形紧密结合起来，通过建立平面直角坐标系，使几何问题转化为数量运算．
(2)巧借方程思想求坐标
向量的坐标运算主要是利用加法、减法、数乘运算法则进行，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，求解过程中要注意方程思想的运用．
(3)妙用待定系数法求系数
利用坐标运算求向量的基底表示，一般先求出基底向量和被表示向量的坐标，再用待定系数法求出系数．
题型三 给值求角
例题1已知点A(4,0)，B(4,4)，C(2,6)，则AC与OB的交点P的坐标为________．
例题2(1)已知向量a＝(1,2)，b＝(2，－2)，c＝(1，λ)．若c∥(2a＋b)，则λ＝________.
(2)已知向量＝(k,12)，＝(4,5)，＝(－k,10)，且A，B，C三点共线，则k＝________.
【解题技巧提炼】
利用两向量共线的条件求向量坐标．一般地，在求与一个已知向量a共线的向量时，可设所求向量为λa(λ∈R)，然后结合其他条件列出关于λ的方程，求出λ的值后代入λa即可得到所求的向量．
平面向量共线的坐标表示问题的常见类型及解题策略
利用两向量共线求参数．如果已知两向量共线，求某些参数的取值时，利用“若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件是x1y2＝x2y1”解题比较方便．
题型一 平面向量基本定理及其应用
1．在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD，M，N分别为CD，BC的中点．若＝λ＋μ，则λ＋μ等于________．
2．如图，已知平行四边形ABCD的边BC，CD的中点分别是K，L，且＝e1，＝e2，试用e1，e2表示，.
题型二 平面向量的坐标运算
1．已知平行四边形ABCD中，＝(3,7)，＝(－2,3)，对角线AC与BD交于点O，则的坐标为________．
2．已知A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)．设＝a，＝b，＝c，且＝3c，＝－2b，
(1)求3a＋b－3c；
(2)求满足a＝mb＋nc的实数m，n；
(3)求M，N的坐标及向量的坐标．
题型三 平面向量共线的坐标表示
1．设向量＝(1，－2)，＝(2m，－1)，＝(－2n,0)，m，n∈R，O为坐标原点，若A，B，C三点共线，则m＋n的最大值为( )
A．－3 B．－2
C．2 D．3
2．已知梯形ABCD中，AB∥DC，且DC＝2AB，三个顶点A(1,2)，B(2,1)，C(4,2)，则点D的坐标为________．
3．已知在平面直角坐标系xOy中，P1(3,1)，P2(－1,3)，P1，P2，P3三点共线且向量与向量a＝(1，－1)共线，若＝λ＋(1－λ)，则λ＝________.
4．已知a＝(1,0)，b＝(2,1)．
(1)当k为何值时，ka－b与a＋2b共线？
(2)若＝2a＋3b，＝a＋mb且A，B，C三点共线，求m的值．
一、单选题
1．如图，由4个全等的直角三角形与一个小正方形拼成一个大正方形，设，则下列关系正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．设，向量，，，若，则（ ）
A． B． C．1 D．3
3．如图，在中，设，，若点E在上，且，则=（ ）
A． B． C． D．
4．如图，在菱形中，，为的中点，若，且，则（ ）
A． B． C． D．
5．已知向量，，，若，则实数的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．6
6．已知是不共线的向量，，若A，B，C三点共线，则实数的值为（ ）
A．2 B．或1 C． D．2或
7．已知向量，则下列说法错误的个数是（ ）
① 若，则的值为-2；② 的最小值为1；③ 若，则的值为2；④ 若与的夹角为钝角，则的取值范围是
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
二、多选题
8．已知、、均为非零向量，下列命题错误的是（ ）
A．， B．可能成立
C．若，则 D．若，则或
9．下列说法中错误的为（ ）
A．若，，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是
B．向量，不能作为平面内所有向量的一组基底
C．若，则在方向上的投影向量的模为
D．非零向量和满足，则与的夹角为
10．古代典籍《周易》中的“八卦”思想对我国建筑中有一定影响．下图是受“八卦”的启示，设计的正八边形的八角窗，若是正八边形的中心，且，则（ ）
A．与能构成一组基底 B．
C． D．
三、填空题
11．已知向量，，若，则___________.
12．如图，在中，D是的中点，E是的中点，F是的中点，若，，则用，表示的结果为______．
13．已知向量，，若，，则______．
四、解答题
14．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A，B，C满足
(1)求证：A，B，C三点共线，并求和值．
(2)已知，，，若函数的最小值为，求实数m的值
15．如图，设，是平面内相交成角的两条数轴，分别是与x轴、y轴正方向同向的单位向量，若向量，则把有序数对叫做向量在坐标系中的坐标，记，已知在该坐标系下
(1)计算的大小
(2)求与的夹角大小
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必考点02 平面向量基本定理及坐标运算
题型一 平面向量基本定理及其应用
例题1如图，在直角梯形ABCD中，AB＝2AD＝2DC，E为BC边上一点，＝3，F为AE的中点，则＝( )
A.－ B.－
C．－＋ D．－＋
【答案】C
【解析】如图，取AB的中点G，连接DG，CG，易知四边形DCBG为平行四边形，所以＝＝－＝－，∴＝＋＝＋＝＋＝＋，于是＝－＝－＝－＝－＋，故选C.
例题2在△ABC中，点P是AB上一点，且＝＋，Q是BC的中点，AQ与CP的交点为M，又＝t，则实数t的值为________．
【答案】
【解析】因为＝＋，所以3＝2＋，即2－2＝－，所以2＝.
即P为AB的一个三等分点(靠近A点)，
又因为A，M，Q三点共线，设＝λ.
所以＝－＝λ－＝λ－＝＋，又＝t＝t(－)＝t＝－t.
故解得故t的值是.
【解题技巧提炼】
平面向量基本定理的实质及应用思路
(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算．
(2)用平面向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．
题型二 平面向量的坐标运算
例题1已知M(3，－2)，N(－5，－1)，且＝，则P点的坐标为( )
A．(－8,1) B．
C. D．(8，－1)
【答案】B
【解析】设P(x，y)，则＝ (x－3，y＋2)，而＝(－8,1)＝，所以解得所以P.
例题2向量a，b，c在正方形网格中的位置如图所示，若c＝λa＋μb(λ，μ∈R)，则＝________.
【答案】4
【解析】以向量a和b的交点为原点建立如图所示的平面直角坐标系(设每个小正方形的边长为1)，
则A(1，－1)，B(6,2)，C(5，－1)，
所以a＝＝(－1,1)，b＝＝(6,2)，c＝＝(－1，－3)．因为c＝λa＋μb，所以(－1，－3)＝λ(－1,1)＋μ(6,2)，
即解得λ＝－2，μ＝－，所以＝4.
【解题技巧提炼】
求解向量坐标运算问题的一般思路
(1)向量问题坐标化
向量的坐标运算，使得向量的线性运算都可用坐标来进行，实现了向量运算完全代数化，将数与形紧密结合起来，通过建立平面直角坐标系，使几何问题转化为数量运算．
(2)巧借方程思想求坐标
向量的坐标运算主要是利用加法、减法、数乘运算法则进行，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，求解过程中要注意方程思想的运用．
(3)妙用待定系数法求系数
利用坐标运算求向量的基底表示，一般先求出基底向量和被表示向量的坐标，再用待定系数法求出系数．
题型三 给值求角
例题1已知点A(4,0)，B(4,4)，C(2,6)，则AC与OB的交点P的坐标为________．
【答案】(3,3)
【解析】法一：由O，P，B三点共线，可设＝λ＝(4λ，4λ)，则＝－＝(4λ－4,4λ)．
又＝－＝(－2,6)，
由与共线，得(4λ－4)×6－4λ×(－2)＝0，
解得λ＝，所以＝＝(3,3)，
所以点P的坐标为(3,3)．
法二：设点P(x，y)，则＝(x，y)，因为＝(4,4)，
且与共线，所以＝，即x＝y.
又＝(x－4，y)，＝(－2,6)，且与共线，
所以(x－4)×6－y×(－2)＝0，解得x＝y＝3，
所以点P的坐标为(3,3)．
例题2(1)已知向量a＝(1,2)，b＝(2，－2)，c＝(1，λ)．若c∥(2a＋b)，则λ＝________.
(2)已知向量＝(k,12)，＝(4,5)，＝(－k,10)，且A，B，C三点共线，则k＝________.
【答案】(1) (2)－
【解析】(1)因为2a＋b＝(4,2)，c∥(2a＋b)，
所以4λ＝2，解得λ＝.
(2)＝－＝(4－k，－7)，
＝－＝(－2k，－2)．
因为A，B，C三点共线，所以，共线，
所以－2×(4－k)＝－7×(－2k)，解得k＝－.
【解题技巧提炼】
利用两向量共线的条件求向量坐标．一般地，在求与一个已知向量a共线的向量时，可设所求向量为λa(λ∈R)，然后结合其他条件列出关于λ的方程，求出λ的值后代入λa即可得到所求的向量．
平面向量共线的坐标表示问题的常见类型及解题策略
利用两向量共线求参数．如果已知两向量共线，求某些参数的取值时，利用“若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件是x1y2＝x2y1”解题比较方便．
题型一 平面向量基本定理及其应用
1．在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD，M，N分别为CD，BC的中点．若＝λ＋μ，则λ＋μ等于________．
【答案】
【解析】因为＝＋＝＋＝＋(＋)＝2＋＋＝2－－，所以＝－，所以λ＝－，μ＝，所以λ＋μ＝.
2．如图，已知平行四边形ABCD的边BC，CD的中点分别是K，L，且＝e1，＝e2，试用e1，e2表示，.
【解析】设＝x，＝y，则＝x，＝－y.
由＋＝，＋＝，
得
①＋②×(－2)，得x－2x＝e1－2e2，
即x＝－(e1－2e2)＝－e1＋e2，所以＝－e1＋e2.
同理可得y＝－e1＋e2，即＝－e1＋e2.
题型二 平面向量的坐标运算
1．已知平行四边形ABCD中，＝(3,7)，＝(－2,3)，对角线AC与BD交于点O，则的坐标为________．
【答案】
【解析】因为＝＋＝(－2,3)＋(3,7)＝(1,10)，
所以＝＝，所以＝.
2．已知A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)．设＝a，＝b，＝c，且＝3c，＝－2b，
(1)求3a＋b－3c；
(2)求满足a＝mb＋nc的实数m，n；
(3)求M，N的坐标及向量的坐标．
【解析】由已知得a＝(5，－5)，b＝(－6，－3)，c＝(1,8)．
(1)3a＋b－3c＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1,8)
＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)．
(2)∵a＝(5，－5)，mb＋nc＝(－6m＋n，－3m＋8n)，
∴解得
(3)设O为坐标原点，∵＝－＝3c，
∴＝3c＋＝(3,24)＋(－3，－4)＝(0,20)．
∴M(0,20)．又∵＝－＝－2b，
∴＝－2b＋＝(12,6)＋(－3，－4)＝(9,2)，
∴N(9,2)，∴＝(9，－18)．
综上可知，M(0,20)，N(9,2)，＝(9，－18).
题型三 平面向量共线的坐标表示
1．设向量＝(1，－2)，＝(2m，－1)，＝(－2n,0)，m，n∈R，O为坐标原点，若A，B，C三点共线，则m＋n的最大值为( )
A．－3 B．－2
C．2 D．3
【答案】A
【解析】由题意易知，∥，其中＝－＝(2m－1,1)，＝－＝(－2n－1,2)，所以(2m－1)×2＝1×(－2n－1)，得2m＋1＋2n＝1,2m＋1＋2n≥2，所以2m＋n＋1≤2－2，即m＋n≤－3.
2．已知梯形ABCD中，AB∥DC，且DC＝2AB，三个顶点A(1,2)，B(2,1)，C(4,2)，则点D的坐标为________．
【答案】(2,4)
【解析】∵在梯形ABCD中，DC＝2AB，AB∥DC，
∴＝2.设点D的坐标为(x，y)，
则＝(4－x，2－y)，＝(1，－1)，
∴(4－x,2－y)＝2(1，－1)，
∴解得故点D的坐标为(2,4)．
3．已知在平面直角坐标系xOy中，P1(3,1)，P2(－1,3)，P1，P2，P3三点共线且向量与向量a＝(1，－1)共线，若＝λ＋(1－λ)，则λ＝________.
【答案】－1
【解析】设＝(x，y)，则由∥a知x＋y＝0，于是＝(x，－x)．若＝λ＋(1－λ)，则有(x，－x)＝λ(3,1)＋(1－λ)·(－1,3)＝(4λ－1,3－2λ)，即所以4λ－1＋3－2λ＝0，解得λ＝－1.
4．已知a＝(1,0)，b＝(2,1)．
(1)当k为何值时，ka－b与a＋2b共线？
(2)若＝2a＋3b，＝a＋mb且A，B，C三点共线，求m的值．
【解析】(1)ka－b＝k(1,0)－(2,1)＝(k－2，－1)，
a＋2b＝(1,0)＋2(2,1)＝(5,2)．
因为ka－b与a＋2b共线，所以2(k－2)－(－1)×5＝0，
即2k－4＋5＝0，得k＝－.
(2)＝2a＋3b＝2(1,0)＋3(2,1)＝(8,3)，
＝a＋mb＝(1,0)＋m(2,1)＝(2m＋1，m)．
因为A，B，C三点共线，所以∥.
所以8m－3(2m＋1)＝0，即2m－3＝0，所以m＝.
一、单选题
1．如图，由4个全等的直角三角形与一个小正方形拼成一个大正方形，设，则下列关系正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】依题意，，因，则，
于是得
，即，
则.故选：B
2．设，向量，，，若，则（ ）
A． B． C．1 D．3
【答案】C
【解析】向量，，，
，
，解得：.
则.故选：C
3．如图，在中，设，，若点E在上，且，则=（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为，所以，
在中，，
所以，故选：B
4．如图，在菱形中，，为的中点，若，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设菱形的边长为，为的中点，则，
又，则，因，则，
由得：
，解得，
所以.故选：A
5．已知向量，，，若，则实数的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．6
【答案】D
【解析】因为，，
所以，
因为， ，
所以，解得，故选：D
6．已知是不共线的向量，，若A，B，C三点共线，则实数的值为（ ）
A．2 B．或1 C． D．2或
【答案】D
【解析】，，三点共线，
故可设，，
，解得或2，故选：．
7．已知向量，则下列说法错误的个数是（ ）
① 若，则的值为-2；② 的最小值为1；③ 若，则的值为2；④ 若与的夹角为钝角，则的取值范围是
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】D
【解析】对于①，若，则，解得，①错；
对于②，，②错；
对于③，由，得，解得，③正确；对于④，因与的夹角为钝角，则，解得，又与不共线，即，解得，
因此，的取值范围是且，④错，
所以说法错误的个数是3.故选：D
二、多选题
8．已知、、均为非零向量，下列命题错误的是（ ）
A．， B．可能成立
C．若，则 D．若，则或
【答案】ACD
【解析】仍是向量，不是向量，A错；
不妨取，，，则，
，此时，B对；
若，，，则，但，C错；
若，，则，但，，D错.故选：ACD.
9．下列说法中错误的为（ ）
A．若，，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是
B．向量，不能作为平面内所有向量的一组基底
C．若，则在方向上的投影向量的模为
D．非零向量和满足，则与的夹角为
【答案】ACD
【解析】对于A，，，与的夹角为锐角，
，
且（时与的夹角为），所以且，故A错误；
对于B，向量，即共线，故不能作为平面内所有向量的一组基底，B正确；对于C，若，当与反向时，则在方向上的投影为，故C错误；
对于D，因为，两边平方得，则，
，
故，而向量的夹角范围为，
得与的夹角为，故D项错误．故选：ACD
10．古代典籍《周易》中的“八卦”思想对我国建筑中有一定影响．下图是受“八卦”的启示，设计的正八边形的八角窗，若是正八边形的中心，且，则（ ）
A．与能构成一组基底 B．
C． D．
【答案】BD
【解析】连接BG，CF，由正八边形的性质可知，，，
所以，所以AH与CF是共线向量，所以与不能构成一组基底，A项错误；又，所以．所以，B项正确；
由上过程可知，连结交于点,
在直角三角形中，为的中点，则,
又，所以，C项错误；
又正八边形的每一个内角为：，
延长,相交于点，则所以，故，
所以，D项正确．
故选:BD.
三、填空题
11．已知向量，，若，则___________.
【答案】##-1.5
【解析】因为，所以，解得.故答案为：.
12．如图，在中，D是的中点，E是的中点，F是的中点，若，，则用，表示的结果为______．
【答案】
【解析】由题意，可得，
是的中点，E是的中点，F是的中点，
∴，同理，，，
.故答案为： .
13．已知向量，，若，，则______．
【答案】
【解析】设，由，，得，，解得，，所以．故答案为：
四、解答题
14．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A，B，C满足
(1)求证：A，B，C三点共线，并求和值．
(2)已知，，，若函数的最小值为，求实数m的值
【解析】(1)由题意知，，即，
所以，则，为公共点，所以A，B，C三点共线，
则.
(2)易知，，，
则，，
所以，
令，
则，，其对称轴方程是.
当时，的最小值为，解得（舍）；
当时，的最小值为，解得（舍）；
当时，的最小值为，解得.
综上可知，实数的值为.
15．如图，设，是平面内相交成角的两条数轴，分别是与x轴、y轴正方向同向的单位向量，若向量，则把有序数对叫做向量在坐标系中的坐标，记，已知在该坐标系下
(1)计算的大小
(2)求与的夹角大小
【解析】(1)依题意，
，
；
(2) ， ，
，
；综上，，.
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