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必考点01 平面向量的概念及运算
题型一 平面向量的有关概念
例题1设a0为单位向量，下列命题中：①若a为平面内的某个向量，则a＝|a|·a0；②若a与a0平行，则a＝|a|a0；③若a与a0平行且|a|＝1，则a＝a0，假命题的个数是( )
A．0 B．1
C．2 D．3
【答案】D
【解析】向量是既有大小又有方向的量，a与|a|a0的模相同，但方向不一定相同，故①是假命题；若a与a0平行，则a与a0的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时a＝－|a|a0，故②③也是假命题．
综上所述，假命题的个数是3.
例题2 给出下列命题：
①两个具有公共终点的向量，一定是共线向量；
②λa＝0(λ为实数)，则λ必为零；
③λ，μ为实数，若λa＝μb，则a与b共线．
其中错误的命题的个数为( )
A．0 B．1
C．2 D．3
【答案】D
【解析】①错误，两向量共线要看其方向而不是起点或终点．②错误，当a＝0时，不论λ为何值，λa＝0.③错误，当λ＝μ＝0时，λa＝μb＝0，此时，a与b可以是任意向量．故错误的命题有3个，故选D.
【解题技巧提炼】
向量有关概念的关键点
(1)向量定义的关键是方向和长度．
(2)非零共线向量的关键是方向相同或相反，长度没有限制．
(3)相等向量的关键是方向相同且长度相等．
(4)单位向量的关键是长度都是一个单位长度．
(5)零向量的关键是长度是0，规定零向量与任意向量共线．
题型二 向量的线性运算
例题1(1)在△ABC中，＝，若＝a，＝b，则＝( )
A.a＋b B．a＋b
C.a－b D.a－b
(2)(一题多解)已知A，B，C三点不共线，且点O满足16－12－3＝0，则( )
A.＝12＋3 B．＝12－3
C.＝－12＋3 D.＝－12－3
【答案】(1)A (2)A
【解析】（1)∵＝a，＝b，＝，
∴－＝(－)，
∴＝＋＝a＋b.故选A.
(2)法一：对于A.＝12＋3＝12(－)＋3(－)＝12＋3－15，整理，可得16－12－3＝0，这与题干中条件相符合，故选A.
法二：已知A，B，C三点不共线，且点O满足16－12－3＝0，所以16－12＝0，所以＝12＋3，故选A.
例题2在△ABC中，AB＝2，BC＝3，∠ABC＝60°，AD为BC边上的高，O为AD的中点，若＝λ＋μ，其中λ，μ∈R，则λ＋μ等于( )
A．1 B．
C. D.
【答案】D
【解析】由题意易得＝＋＝＋，
则2＝＋，
即＝＋.所以λ＝，μ＝，
故λ＋μ＝＋＝.
【解题技巧提炼】
看个性 1.是向量的线性运算，即用几个已知向量表示某个向量，基本技巧为： 一般共起点的向量求和用平行四边形法则；求差用三角形法则；求首尾相连向量的和用三角形法则. 2.是1.的逆运算．解决此类问题可以通过研究向量间的关系，通过向量的运算将向量表示出来，进行比较求参数的值.
找共性 (1)进行向量运算时，要尽可能转化到平行四边形或三角形中，选用从同一顶点出发的向量或首尾相接的向量，运用向量加、减法运算及数乘运算来求解． (2)除了充分利用相等向量、相反向量和线段的比例关系外，有时还需要利用三角形中位线、相似三角形对应边成比例等平面几何的性质，把未知向量转化为与已知向量有直接关系的向量来求解.
题型三 向量共线定理及应用
例题1设两个非零向量a与b不共线．
(1)若＝a＋b，＝2a＋8b，＝3(a－b)，求证：A，B，D三点共线；
(2)试确定实数k，使ka＋b和a＋kb共线．
【解析】(1)证明：∵＝a＋b，＝2a＋8b，＝3(a－b)，
∴＝＋＝2a＋8b＋3(a－b)＝5(a＋b)＝5，
∴，共线，又它们有公共点B，
∴A，B，D三点共线．
(2)∵ka＋b与a＋kb共线，
∴存在实数λ，使ka＋b＝λ(a＋kb)，即(k－λ)a＝(λk－1)b.
又a，b是两个不共线的非零向量，
∴∴k2－1＝0.∴k＝±1.
【解题技巧提炼】
利用向量共线定理证明三点共线
若存在实数λ，使＝λ，则A，B，C三点共线．
[提醒] (1)使用向量共线基本定理的大前提是至少有一个向量是非零向量．
(2)证明三点共线时，需说明共线的两向量有公共点．
题型一 平面向量的有关概念
1.给出下列命题：
①若|a|＝|b|，则a＝b；
②若A，B，C，D是不共线的四点，则＝是四边形ABCD为平行四边形的充要条件；
③若a＝b，b＝c，则a＝c；
④两向量a，b相等的充要条件是|a|＝|b|且a∥b.
其中正确命题的序号是________．
【答案】②③
【解析】①不正确．两个向量的模相等，但它们的方向不一定相同，因此由|a|＝|b|推不出a＝b.②正确．若＝，则||＝||且∥.
又∵A，B，C，D是不共线的四点，
∴四边形ABCD是平行四边形．反之，若四边形ABCD是平行四边形，
则AB綊DC且与方向相同，因此＝.
③正确．∵a＝b，∴a，b的长度相等且方向相同．
∵b＝c，∴b，c的长度相等且方向相同．
∴a，c的长度相等且方向相同，∴a＝c.
④不正确．当a∥b，但方向相反时，即使|a|＝|b|，也不能得到a＝b，故不是a＝b的充要条件．
2.设a是非零向量，λ是非零实数，下列结论中正确的是( )
A．a与λa的方向相反 B．a与λ2a的方向相同
C．|－λa|≥|a| D．|－λa|≥|λ|·a
【答案】B
【解析】对于A，当λ>0时，a与λa的方向相同，当λ<0时，a与λa的方向相反，B正确；对于C，|－λa|＝|－λ||a|，由于|－λ|的大小不确定，故|－λa|与|a|的大小关系不确定；对于D，|λ|a是向量，而|－λa|表示长度，两者不能比较大小．
题型二 向量的线性运算
1．在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则＝( )
A.－ B．－
C.＋ D.＋
【答案】A
【解析】作出示意图如图所示.＝＋＝＋＝×(＋)＋(－)＝－.
2.如图，在直角梯形ABCD中，＝，＝2，且＝r＋s，则2r＋3s＝________.
【答案】3
【解析】根据图形，由题意可得＝＋＝＋＝＋(＋＋)＝＋(＋)＝＋＝＋.
因为＝r＋s，所以r＝，s＝，则2r＋3s＝1＋2＝3.
题型三 向量共线定理及应用
1．在四边形ABCD中，＝a＋2b，＝－4a－b，＝－5a－3b，则四边形ABCD的形状是( )
A．矩形 B．平行四边形
C．梯形 D．以上都不对
【答案】C
【解析】由已知，得＝＋＋＝－8a－2b＝2(－4a－b)＝2，故∥.又因为与不平行，所以四边形ABCD是梯形．
2．已知O为△ABC内一点，且＝(＋)，＝t，若B，O，D三点共线，则t＝( )
A. B．
C. D.
【答案】B
【解析】设E是BC边的中点，则(＋)＝，由题意得＝，所以＝＝(＋)＝＋，又因为B，O，D三点共线，所以＋＝1，解得t＝，故选B.
3．已知P是△ABC所在平面内的一点，若＝λ＋，其中λ∈R，则点P一定在( )
A．△ABC的内部 B．AC边所在直线上
C．AB边所在直线上 D．BC边所在直线上
【答案】B
【解析】由＝λ＋得－＝λ，＝λ.则，为共线向量，又，有一个公共点P，所以C，P，A三点共线，即点P在直线AC上．
一、单选题
1．下列结论中正确的是（ ）
①若且，则；
②若，则且；
③若与方向相同且，则；
④若，则与方向相反且.
A．①③ B．②③ C．③④ D．②④
【答案】B
【解析】①若且，则或，则①错；
②若，则且，正确；
③若与方向相同且，则，正确；
④若，则与方向不定，且与大小也不定，则④错．故选：B
2．如图所示，梯形ABCD为等腰梯形，则两腰上的向量与的关系是（ ）
A．＝ B． C．＞ D．＜
【答案】B
【解析】与是等腰梯形的两腰，则它们必不平行，但长度相同，故，
又向量不是实数，是不能比较大小的.故选：B.
3．已知，是不共线向量，则下列各组向量中是共线向量的有（ ）
①，；②，；③，.
A．①② B．①③
C．②③ D．①②③
【答案】A
【解析】①中，与显然共线；②中，因为，故与共线；
③中，设，得，无解，故与不共线.故选：A.
4．下列各式的结果一定为零向量的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】对于A，不一定为零向量，不选A；
对于B，，满足题意；
对于C，，不一定为零向量, 不选C；对于D，，不一定为零向量，不选D.故选：B
5．如图，向量，，，则向量可以表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】故选：C.
6．设，是两个不共线的向量，若向量与向量共线，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为，是两个不共线的向量，且向量与向量共线，所以，即，所以，解得，
故选：D
二、多选题
7．等边三角形中，，，与交于F，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABC
【解析】如下图所示：
选项A：，为中点，，A正确；
选项B：，B正确；
选项C：,,由于三点共线，，故，设，由此可得，
，C正确；
选项D：，D错误.故选：ABC.
8．下列命题中，不正确的是（ ）
A．有相同起点的两个非零向量不共线 B．向量与不共线，则与都是非零向量
C．若与共线，与共线，则与共线 D．“”的充要条件是且
【答案】ACD
【解析】有相同起点的两个非零向量，若方向相同或相反，则两向量共线，故A不正确；因为零向量与任何向量都平行，所以B正确；
当为零向量时，与不一定共线，故C不正确；
当与互为相反向量时，显然由“且”推不出“”，故D不正确.
故选：ACD
三、填空题
9．如图所示，每个小正方形的边长都是1，在其中标出了6个向量，在这6个向量中：
（1）有两个向量的模相等，这两个向量是________，它们的模都等于________；
（2）存在着共线向量，这些共线的向量是________，它们的模的和等于________.
【答案】
【解析】结合图形可知，（1）；
（2）因为，所以，所以向量共线，
.
故答案：（1） （2）
10．如图，根据图示填空：
（1）______；（2）______；
（3）______；（4）______；（5）______．
【答案】
【解析】由平面向量的加法和减法法则得：
（1）在中，，即 ；
（2）在中，，即；
（3）在四边形ABCD中，，即；
（4）在五边形ABCDE中，，即；
（5）在四边形ABCD中，，即，
所以.
四、解答题
11．如图，设O是 ABCD对角线的交点，则
(1)与的模相等的向量有多少个？
(2)与的模相等，方向相反的向量有哪些？
(3)写出与共线的向量．
【解析】(1)在平行四边形中，为对角线的交点，所以，且，所以与的模相等的向量有，，三个向量．
(2)与的模相等且方向相反的向量为，.
(3)与共线的向量有，，.
12．在平行四边形中，，，设，．
(1)用，表示；
(2)用，表示．
【解析】(1)，且四边形是平行四边形
(2)
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必考点01 平面向量的概念及运算
题型一 平面向量的有关概念
例题1设a0为单位向量，下列命题中：①若a为平面内的某个向量，则a＝|a|·a0；②若a与a0平行，则a＝|a|a0；③若a与a0平行且|a|＝1，则a＝a0，假命题的个数是( )
A．0 B．1
C．2 D．3
例题2 给出下列命题：
①两个具有公共终点的向量，一定是共线向量；
②λa＝0(λ为实数)，则λ必为零；
③λ，μ为实数，若λa＝μb，则a与b共线．
其中错误的命题的个数为( )
A．0 B．1
C．2 D．3
【解题技巧提炼】
向量有关概念的关键点
(1)向量定义的关键是方向和长度．
(2)非零共线向量的关键是方向相同或相反，长度没有限制．
(3)相等向量的关键是方向相同且长度相等．
(4)单位向量的关键是长度都是一个单位长度．
(5)零向量的关键是长度是0，规定零向量与任意向量共线．
题型二 向量的线性运算
例题1(1)在△ABC中，＝，若＝a，＝b，则＝( )
A.a＋b B．a＋b
C.a－b D.a－b
(2)(一题多解)已知A，B，C三点不共线，且点O满足16－12－3＝0，则( )
A.＝12＋3 B．＝12－3
C.＝－12＋3 D.＝－12－3
例题2在△ABC中，AB＝2，BC＝3，∠ABC＝60°，AD为BC边上的高，O为AD的中点，若＝λ＋μ，其中λ，μ∈R，则λ＋μ等于( )
A．1 B．
C. D.
【解题技巧提炼】
看个性 1.是向量的线性运算，即用几个已知向量表示某个向量，基本技巧为： 一般共起点的向量求和用平行四边形法则；求差用三角形法则；求首尾相连向量的和用三角形法则. 2.是1.的逆运算．解决此类问题可以通过研究向量间的关系，通过向量的运算将向量表示出来，进行比较求参数的值.
找共性 (1)进行向量运算时，要尽可能转化到平行四边形或三角形中，选用从同一顶点出发的向量或首尾相接的向量，运用向量加、减法运算及数乘运算来求解． (2)除了充分利用相等向量、相反向量和线段的比例关系外，有时还需要利用三角形中位线、相似三角形对应边成比例等平面几何的性质，把未知向量转化为与已知向量有直接关系的向量来求解.
题型三 向量共线定理及应用
例题1设两个非零向量a与b不共线．
(1)若＝a＋b，＝2a＋8b，＝3(a－b)，求证：A，B，D三点共线；
(2)试确定实数k，使ka＋b和a＋kb共线．
【解题技巧提炼】
利用向量共线定理证明三点共线
若存在实数λ，使＝λ，则A，B，C三点共线．
[提醒] (1)使用向量共线基本定理的大前提是至少有一个向量是非零向量．
(2)证明三点共线时，需说明共线的两向量有公共点．
题型一 平面向量的有关概念
1.给出下列命题：
①若|a|＝|b|，则a＝b；
②若A，B，C，D是不共线的四点，则＝是四边形ABCD为平行四边形的充要条件；
③若a＝b，b＝c，则a＝c；
④两向量a，b相等的充要条件是|a|＝|b|且a∥b.
其中正确命题的序号是________．
2.设a是非零向量，λ是非零实数，下列结论中正确的是( )
A．a与λa的方向相反 B．a与λ2a的方向相同
C．|－λa|≥|a| D．|－λa|≥|λ|·a
题型二 向量的线性运算
1．在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则＝( )
A.－ B．－
C.＋ D.＋
2.如图，在直角梯形ABCD中，＝，＝2，且＝r＋s，则2r＋3s＝________.
题型三 向量共线定理及应用
1．在四边形ABCD中，＝a＋2b，＝－4a－b，＝－5a－3b，则四边形ABCD的形状是( )
A．矩形 B．平行四边形
C．梯形 D．以上都不对
2．已知O为△ABC内一点，且＝(＋)，＝t，若B，O，D三点共线，则t＝( )
A. B．
C. D.
3．已知P是△ABC所在平面内的一点，若＝λ＋，其中λ∈R，则点P一定在( )
A．△ABC的内部 B．AC边所在直线上
C．AB边所在直线上 D．BC边所在直线上
一、单选题
1．下列结论中正确的是（ ）
①若且，则；
②若，则且；
③若与方向相同且，则；
④若，则与方向相反且.
A．①③ B．②③ C．③④ D．②④
2．如图所示，梯形ABCD为等腰梯形，则两腰上的向量与的关系是（ ）
A．＝ B． C．＞ D．＜
3．已知，是不共线向量，则下列各组向量中是共线向量的有（ ）
①，；②，；③，.
A．①② B．①③
C．②③ D．①②③
4．下列各式的结果一定为零向量的是（ ）
A． B．
C． D．
5．如图，向量，，，则向量可以表示为（ ）
A． B． C． D．
6．设，是两个不共线的向量，若向量与向量共线，则（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
7．等边三角形中，，，与交于F，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
8．下列命题中，不正确的是（ ）
A．有相同起点的两个非零向量不共线 B．向量与不共线，则与都是非零向量
C．若与共线，与共线，则与共线 D．“”的充要条件是且
三、填空题
9．如图所示，每个小正方形的边长都是1，在其中标出了6个向量，在这6个向量中：
（1）有两个向量的模相等，这两个向量是________，它们的模都等于________；
（2）存在着共线向量，这些共线的向量是________，它们的模的和等于________.
10．如图，根据图示填空：
（1）______；（2）______；
（3）______；（4）______；（5）______．
四、解答题
11．如图，设O是 ABCD对角线的交点，则
(1)与的模相等的向量有多少个？
(2)与的模相等，方向相反的向量有哪些？
(3)写出与共线的向量．
12．在平行四边形中，，，设，．
(1)用，表示；
(2)用，表示．
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