中小学教育资源及组卷应用平台
必考点04 解三角形
题型一 利用正余弦定理解三角形
例题1[在△ABC中，内角A，B，C的对边a，b，c成公差为2的等差数列，C＝120°.
(1)求边长a；
(2)求AB边上的高CD的长．
【解析】(1)由题意得，b＝a＋2，c＝a＋4，
由余弦定理cos C＝得cos 120°＝，即a2－a－6＝0，所以a＝3或a＝－2(舍去)．所以a＝3.
(2)法一：由(1)知a＝3，b＝5，c＝7，
由三角形的面积公式得
absin∠ACB＝c×CD，
所以CD＝＝＝，
即AB边上的高CD＝.
法二：由(1)知a＝3，b＝5，c＝7，
由正弦定理得＝＝.
即sin A＝，
在Rt△ACD中，CD＝ACsin A＝5×＝.
即AB边上的高CD＝.
例题1(2019·全国卷Ⅰ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.设(sin B－sin C)2＝sin2A－sin Bsin C.
(1)求A；
(2)若a＋b＝2c，求sin C.
[【解析】(1)由已知得sin2B＋sin2C－sin2A＝sin Bsin C，故由正弦定理得b2＋c2－a2＝bc.
由余弦定理得cos A＝＝.
因为0°
(2)由(1)知B＝120°－C，由题设及正弦定理得sin A＋sin(120°－C)＝2sin C，即＋cos C＋sin C＝2sin C，可得cos(C＋60°)＝－.
由于0°sin C＝sin(C＋60°－60°)
＝sin(C＋60°)cos 60°－cos(C＋60°)sin 60°＝.
【解题技巧提炼】
1．已知△ABC中的某些条件(a，b，c和A，B，C中至少含有一条边的三个条件)求边长时可用公式a＝，b＝，c＝，a2＝b2＋c2－2bccos A，b2＝a2＋c2－2accos B，c2＝a2＋b2－2abcos C.
2．已知△ABC的外接圆半径R及角，可用公式a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C.
[提醒] 已知△ABC的两边及其一边的对角求边时可用正弦定理，但要对解的个数作出判断，也可用余弦定理解一元二次方程求得．
涉及解三角形中的最值(范围)问题时若转化为边求解可利用基本不等式或二次函数；若转化为角求解可利用三角函数的有界性、单调性．
1．已知△ABC中某些条件求角时，可用以下公式sin A＝，sin B＝，sin C＝，cos A＝，cos B＝，cos C＝.
2．已知△ABC的外接圆半径R及边，可用公式sin A＝，sin B＝，sin C＝.
[提醒] (1)注意三角形内角和定理(A＋B＋C＝π)的应用．
(2)解三角形中经常用到两角和、差的三角函数公式．
题型二 判断三角形形状
例题1设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcos C＋ccos B＝asin A，则△ABC的形状为( )
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．不确定
【答案】B
【解析】(1)法一：因为bcos C＋ccos B＝asin A，
由正弦定理知sin Bcos C＋sin Ccos B＝sin Asin A，
得sin(B＋C)＝sin Asin A.
又sin(B＋C)＝sin A，得sin A＝1，
即A＝，因此△ABC是直角三角形．
法二：因为bcos C＋ccos B＝b·＋c·＝＝a，所以asin A＝a，即sin A＝1，故A＝，因此△ABC是直角三角形．
例题2在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若＝，(b＋c＋a)(b＋c－a)＝3bc，则△ABC的形状为( )
A．直角三角形 B．等腰非等边三角形
C．等边三角形 D．钝角三角形
【答案】C
【解析】因为＝，所以＝，所以b＝c.
又(b＋c＋a)(b＋c－a)＝3bc，
所以b2＋c2－a2＝bc，
所以cos A＝＝＝.
因为A∈(0，π)，所以A＝，
所以△ABC是等边三角形．
【解题技巧提炼】
[解题技法]
1．判定三角形形状的2种常用途径
2．判定三角形的形状的注意点
在判断三角形的形状时一定要注意解是否唯一，并注重挖掘隐含条件．另外，在变形过程中要注意角A，B，C的范围对三角函数值的影响，在等式变形中，一般两边不要约去公因式，应移项提取公因式，以免漏解．
题型三 三角形面积问题
例题1△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知asin＝bsin A.
(1)求B；
(2)若△ABC为锐角三角形，且c＝1，求△ABC面积的取值范围．
【解析】(1)由题设及正弦定理得sin Asin＝sin Bsin A．因为sin A≠0，所以sin＝sinB
由A＋B＋C＝180°，可得sin＝cos，故cos＝2sincos.
因为cos≠0，所以sin＝，所以B＝60°.
(2)由题设及(1)知△ABC的面积S△ABC＝a.
由(1)知A＋C＝120°，
由正弦定理得a＝＝＝＋.
由于△ABC为锐角三角形，故0°由(1)知，A＋C＝120°，所以30°故因此，△ABC面积的取值范围是.
【解题技巧提炼】
1．求三角形面积的方法
(1)若三角形中已知一个角(角的大小或该角的正、余弦值)，结合题意求解这个角的两边或该角的两边之积，代入公式求面积．
(2)若已知三角形的三边，可先求其一个角的余弦值，再求其正弦值，代入公式求面积．总之，结合图形恰当选择面积公式是解题的关键．
2．已知三角形面积求边、角的方法
(1)若求角，就寻求夹这个角的两边的关系，利用面积公式列方程求解．
(2)若求边，就寻求与该边(或两边)有关联的角，利用面积公式列方程求解．
题型四 解三角形的实际应用
例题1如图，为了测量两座山峰上P，Q两点之间的距离，选择山坡上一段长度为300 m且和P，Q两点在同一平面内的路段AB的两个端点作为观测点，现测得∠PAB＝90°，∠PAQ＝∠PBA＝∠PBQ＝60°，则P，Q两点间的距离为________ m.
【答案】900
【解析】由已知，得∠QAB＝∠PAB－∠PAQ＝30°.
又∠PBA＝∠PBQ＝60°，所以∠AQB＝30°，所以AB＝BQ.
又PB为公共边，所以△PAB≌△PQB，所以PQ＝PA.
在Rt△PAB中，AP＝AB·tan 60°＝900，故PQ＝900，
所以P，Q两点间的距离为900 m.
例题2如图，为了测量河对岸电视塔CD的高度，小王在点A处测得塔顶D的仰角为30°，塔底C与A的连线同河岸成15°角，小王向前走了1 200 m到达M处，测得塔底C与M的连线同河岸成60°角，则电视塔CD的高度为________m.
[【答案】600
[【解析】在△ACM中，∠MCA＝60°－15°＝45°，∠AMC＝180°－60°＝120°，由正弦定理得＝，即＝，解得AC＝600(m)．在△ACD中，因为tan∠DAC＝＝，
所以DC＝600×＝600(m)．
例题3游客从某旅游景区的景点A处至景点C处有两条线路．线路1是从A沿直线步行到C，线路2是先从A沿直线步行到景点B处，然后从B沿直线步行到C.现有甲、乙两位游客从A处同时出发匀速步行，甲的速度是乙的速度的倍，甲走线路2，乙走线路1，最后他们同时到达C处．经测量，AB＝1 040 m，BC＝500 m，则sin∠BAC等于________．
[【答案】
[【解析】依题意，设乙的速度为x m/s，
则甲的速度为x m/s，
因为AB＝1 040 m，BC＝500 m，
所以＝，解得AC＝1 260 m.
在△ABC中，由余弦定理得，
cos∠BAC＝＝＝，
所以sin∠BAC＝＝ ＝.
【解题技巧提炼】
测量距离问题的2个策略
(1)选定或确定要创建的三角形，首先确定所求量所在的三角形，若其他量已知则直接求解；若有未知量，则把未知量放在另一确定三角形中求解．
(2)确定用正弦定理还是余弦定理，如果都可用，就选择更便于计算的定理．
测量高度问题的基本思路
高度也是两点之间的距离，其解法同测量水平面上两点间距离的方法是类似的，基本思想是把要求解的高度(某线段的长度)纳入到一个可解的三角形中，使用正、余弦定理或其他相关知识求出该高度．
测量角度问题的基本思路
测量角度问题的关键是在弄清题意的基础上，画出表示实际问题的图形，并在图形中标出有关的角和距离，再用正弦定理或余弦定理解三角形，最后将解得的结果转化为实际问题的解．
[提醒] 方向角是相对于某点而言的，因此在确定方向角时，必须先弄清楚是哪一个点的方向角．
题型五 正余弦定理在平面几何中的应用
例题1如图，在平面四边形ABCD中，DA⊥AB，DE＝1，EC＝，EA＝2，∠ADC＝，且∠CBE，∠BEC，∠BCE成等差数列．
(1)求sin∠CED；
(2)求BE的长．
【解析】设∠CED＝α.
因为∠CBE，∠BEC，∠BCE成等差数列，
所以2∠BEC＝∠CBE＋∠BCE，
又∠CBE＋∠BEC＋∠BCE＝π，所以∠BEC＝.
(1)在△CDE中，由余弦定理得EC2＝CD2＋DE2－2CD·DE·cos∠EDC，
即7＝CD2＋1＋CD，即CD2＋CD－6＝0，
解得CD＝2(CD＝－3舍去)．
在△CDE中，由正弦定理得＝，
于是sin α＝＝＝，即sin∠CED＝.
(2)由题设知0<α<，由(1)知cos α＝＝＝，又∠AEB＝π－∠BEC－α＝－α，所以cos∠AEB＝cos＝coscos α＋sinsin α＝－×＋×＝.
在Rt△EAB中，cos∠AEB＝＝＝，所以BE＝4.
【解题技巧提炼】
与平面图形有关的解三角形问题的关键及思路
求解平面图形中的计算问题，关键是梳理条件和所求问题的类型，然后将数据化归到三角形中，利用正弦定理或余弦定理建立已知和所求的关系．
具体解题思路如下：
(1)把所提供的平面图形拆分成若干个三角形，然后在各个三角形内利用正弦、余弦定理求解；
(2)寻找各个三角形之间的联系，交叉使用公共条件，求出结果．
[提醒] 做题过程中，要用到平面几何中的一些知识点，如相似三角形的边角关系、平行四边形的一些性质，要把这些性质与正弦、余弦定理有机结合，才能顺利解决问题．
题型六 解三角形与三角函数的综合问题
例题1已知函数f(x)＝cos2x＋sin(π－x)cos(π＋x)－.
(1)求函数f(x)在[0，π]上的单调递减区间；
(2)在锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知f(A)＝－1，a＝2，bsin C＝asin A，求△ABC的面积．
【解析】(1)f(x)＝cos2x－sin xcos x－＝－sin 2x－＝－sin，
令2kπ－≤2x－≤2kπ＋，k∈Z，
得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z，
又∵x∈[0，π]，
∴函数f(x)在[0，π]上的单调递减区间为和.
(2)由(1)知f(x)＝－sin，
∴f(A)＝－sin＝－1，
∵△ABC为锐角三角形，∴0∴－<2A－<，∴2A－＝，即A＝.
又∵bsin C＝asin A，∴bc＝a2＝4，
∴S△ABC＝bcsin A＝.
【解题技巧提炼】
解三角形与三角函数综合问题的一般步骤
题型一 利用正余弦定理解三角形
1．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若asin Bcos C＋csin Bcos A＝b，且a＞b，则B＝( )
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】∵asin Bcos C＋csin Bcos A＝b，
∴由正弦定理得sin Asin Bcos C＋sin Csin Bcos A＝sin B，
即sin B(sin Acos C＋sin Ccos A)＝sin B．
∵sin B≠0，∴sin(A＋C)＝，即sin B＝.
∵a＞b，∴A＞B，即B为锐角，∴B＝，故选A.
2．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知sin2B＋sin2C＝sin2A＋sin Bsin C.
(1)求角A的大小；
(2)若cos B＝，a＝3，求c的值．
【解析】(1)由正弦定理可得b2＋c2＝a2＋bc，
由余弦定理得cos A＝＝，
因为A∈(0，π)，所以A＝.
(2)由(1)可知sin A＝，
因为cos B＝，B为△ABC的内角，
所以sin B＝，
故sin C＝sin(A＋B)＝sin Acos B＋cos Asin B
＝×＋×＝.
由正弦定理＝得c＝＝＝1＋.
题型二 判断三角形形状
1．在△ABC中，cos2＝(a，b，c分别为角A，B，C的对边)，则△ABC的形状为( )
A．直角三角形 B．等边三角形
C．等腰三角形 D．等腰三角形或直角三角形
【答案】A
【解析】已知等式变形得cos B＋1＝＋1，即cos B＝ ①.由余弦定理得cos B＝，代入①得＝，整理得b2＋a2＝c2，即C为直角，则△ABC为直角三角形．
2．[在△ABC中，已知＝且还满足①a(sin A－sin B)＝(c－b)(sin C＋sin B)；②bcos A＋acos B＝csin C中的一个条件，试判断△ABC的形状，并写出推理过程．
【解析】由＝及正弦定理得＝，
即ac＋a2＝b2＋bc，∴a2－b2＋ac－bc＝0，
∴(a－b)(a＋b＋c)＝0，∴a＝b.
若选①△ABC为等边三角形．
由a(sin A－sin B)＝(c－b)(sin C＋sin B)及正弦定理，得a(a－b)＝(c－b)(c＋b)，即a2＋b2－c2＝ab.所以cos C＝＝，
又C∈(0，π)，所以C＝.
∴△ABC为等边三角形．
若选②△ABC为等腰直角三角形，
因bcos A＋acos B＝b·＋a·＝＝c＝csin C，
∴sin C＝1，∴C＝90°，∴△ABC为等腰直角三角形.
题型三 三角形面积问题
1．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若b＝6，a＝2c，B＝，则△ABC的面积为________．
【答案】6
【解析】由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accos B．
又∵ b＝6，a＝2c，B＝，
∴ 36＝4c2＋c2－2×2c2×，
∴ c＝2，a＝4，
∴ S△ABC＝acsin B＝×4×2×＝6.
2．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，(2b－a)cos C＝ccos A.
(1)求角C的大小；
(2)若c＝3，△ABC的面积S＝，求△ABC的周长．
【解析】(1)由已知及正弦定理得(2sin B－sin A)·cos C＝sin Ccos A，
即2sin Bcos C＝sin Acos C＋sin Ccos A＝sin(A＋C)＝sin B，
∵B∈(0，π)，∴sin B>0，∴cos C＝，
∵C∈(0，π)，∴C＝.
(2)由(1)知，C＝，故S＝absin C＝absin＝，
解得ab＝.
由余弦定理可得c2＝a2＋b2－2abcos C＝a2＋b2－ab＝(a＋b)2－3ab，
又c＝3，∴(a＋b)2＝c2＋3ab＝32＋3×＝25，得a＋b＝5.
∴△ABC的周长为a＋b＋c＝5＋3＝8.
题型四 解三角形的实际应用
1．甲船在A处观察乙船，乙船在它的北偏东60°的方向，相距a海里的B处，乙船正向北行驶，若甲船是乙船速度的 倍，甲船为了尽快追上乙船，朝北偏东θ方向前进，则θ＝( )
A．15° B．30°
C．45° D．60°
【答案】B
【解析】设两船在C处相遇，则由题意得∠ABC＝180°－60°＝120°，且＝，由正弦定理得＝＝，
所以sin∠BAC＝.
又因为0°<∠BAC<60°，所以∠BAC＝30°.
所以甲船应沿北偏东30°方向前进．
2．江岸边有一炮台高30 m，江中有两条船，船与炮台底部在同一水平面上，由炮台顶部测得俯角分别为45°和60°，而且两条船与炮台底部连线成30°角，则两条船相距________m.
【答案】10
【解析】如图，OM＝AOtan 45°＝30(m)，
ON＝AOtan 30°＝×30＝10(m)，
在△MON中，由余弦定理得，
MN＝ ＝＝10(m)．
3．为了测量某新建的信号发射塔AB的高度，先取与发射塔底部B的同一水平面内的两个观测点C，D，测得∠BDC＝60°，∠BCD＝75°，CD＝40 m，并在点C的正上方E处观测发射塔顶部A的仰角为30°，且CE＝1 m，则发射塔高AB＝________ m.
【答案】20＋1
【解析】如图，过点E作EF⊥AB，垂足为F，则EF＝BC，BF＝CE＝1，∠AEF＝30°.在△BCD中，由正弦定理得，
BC＝＝＝20.
所以EF＝20，在Rt△AFE中，AF＝EF·tan∠AEF＝20×＝20.
所以AB＝AF＋BF＝20＋1(m)．
题型五 正余弦定理在平面几何中的应用
1.如图，在△ABC中，D是边AC上的点，且AB＝AD,2AB＝BD，BC＝2BD，则sin C的值为________．
【答案】
【解析】设AB＝a，∵AB＝AD,2AB＝BD，BC＝2BD，∴AD＝a，BD＝，BC＝.在△ABD中，cos∠ADB＝＝，∴sin∠ADB＝，∴sin∠BDC＝.在△BDC中，＝，
sin C＝＝.
2.如图，在平面四边形ABCD中，AB⊥BC，AB＝2，BD＝，∠BCD＝2∠ABD，△ABD的面积为2.
(1)求AD的长；
(2)求△CBD的面积．
【解析】(1)由已知S△ABD＝AB·BD·sin∠ABD＝×2××sin∠ABD＝2，可得sin∠ABD＝，又∠BCD＝2∠ABD，在平面四边形ABCD中，∠BCD∈(0，π)，所以∠ABD∈，所以cos∠ABD＝.
在△ABD中，由余弦定理AD2＝AB2＋BD2－2·AB·BD·cos∠ABD，可得AD2＝5，所以AD＝.
(2)由AB⊥BC，得∠ABD＋∠CBD＝，
所以sin∠CBD＝cos∠ABD＝.
又∠BCD＝2∠ABD，
所以sin∠BCD＝2sin∠ABD·cos∠ABD＝，
∠BDC＝π－∠CBD－∠BCD＝π－－2∠ABD＝－∠ABD＝∠CBD，
所以△CBD为等腰三角形，即CB＝CD.
在△CBD中，由正弦定理＝，
得CD＝＝＝，所以S△CBD＝CB·CD·sin∠BCD＝×××＝.
题型六 解三角形与三角函数的综合问题
1.在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，(2a－c)cos B－bcos C＝0.
(1)求角B的大小；
(2)设函数f(x)＝2sin xcos xcos B－cos 2x，求函数f(x)的最大值及当f(x)取得最大值时x的值．
【解析】(1)因为(2a－c)cos B－bcos C＝0，
所以2acos B－ccos B－bcos C＝0，
由正弦定理得
2sin Acos B－sin Ccos B－cos Csin B＝0，
即2sin Acos B－sin(C＋B)＝0，
又因为C＋B＝π－A，所以sin(C＋B)＝sin A.
所以sin A(2cos B－1)＝0.
在△ABC中，sin A≠0，所以cos B＝，
又因为B∈(0，π)，所以B＝.
(2)因为B＝，所以f(x)＝sin 2x－cos 2x＝sin，
令2x－＝2kπ＋(k∈Z)，得x＝kπ＋(k∈Z)，
即当x＝kπ＋(k∈Z)时，f(x)取得最大值1.
一、单选题
1．如图，某城市有一条公路从正西方通过市中心后转向东北方，为了缓解城市交通压力，现准备修建一条绕城高速公路，并在上分别设置两个出口，若部分为直线段，且要求市中心与AB的距离为20千米，则AB的最短距离为（ ）
A．千米 B．千米
C． D．
【答案】D
【解析】
在中，，
设，
则，
当且仅当时取等号，
设，则，
又到的距离为20千米，所以，，
故（时取等号），
所以，得，
故选：D
2．某生态公园有一块圆心角为的扇形土地，打算种植花草供游人欣赏，如图所示，其半径米.若要在弧上找一点，沿线段和铺设一条观光道路，则四边形面积的最大值为（ ）
A．2500平方米 B．平方米 C．5000平方米 D．平方米
【答案】C
【解析】连接，
，
当时，等号成立.
所以四边形面积的最大值为.故选：C
3．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，，则（ ）
A．90° B．120° C．60° D．150°
【答案】C
【解析】因为，，，
所以，
由，则,
故选：C
4．已知某圆锥的轴截面是腰长为3的等腰三角形，且该三角形顶角的余弦值等于，则该圆锥的表面积等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设圆锥的底面半径为r，则，解得，
故该圆锥的表面积等于.
故选：C.
5．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则必为（ ）
A．钝角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．等腰三角形
【答案】A
【解析】因为，由正弦定理可得，即，
又因为，
所以，即，
因为，所以，
所以，所以为钝角三角形.
故选：A.
二、多选题
6．在中，角、、所对的边分别为、、，且、、，下面说法错误的是（ ）
A．
B．是锐角三角形
C．的最大内角是最小内角的倍
D．内切圆半径为
【答案】BCD
【解析】A选项，∵，、、，∴，对，
B选项，由于，则中最大角为角，
∵，∴，∴是钝角三角形，错，
C选项，假设的最大内角是最小内角的倍，则，
即，
又，即，，不符合题意，错，
D选项，∵，∴，
∴，
设的内切圆半径为，则，
∴，错，
故选：BCD.
7．在中，内角，，的对边分别为，，，且（ ）
A．若，，则
B．若，，则的面积为
C．若，则的最大值为
D．若，则周长的取值范围为
【答案】ACD
【解析】因为，所以.
对于A，B，若，则，
，解得，
的面积，A正确，B错误.
对于C，若，则，
，当且仅当时，等号成立，所以的最大值为，C正确.
对于D，若，则根据三边关系可得即解得，则，的周长为，故周长的取值范围为，D正确.
故选：ACD
三、填空题
8．在中，D为的中点，若，，，则______．
【答案】
【解析】
法一：设，因为，所以，由余弦定理，得，即，所以．所以．
法二：由D为的中点，得，所以，即，所以，所以，所以．
故答案为：.
9．如图所示，是一座垂直与地面的信号塔，点在地面上，某人（身高不计）在地面的处测得信号塔顶在南偏西70°方向，仰角为45°，他沿南偏东50°方向前进到点处，测得塔顶的仰角为30°，则塔高为______.
【答案】20
【解析】设塔高，
由题意得在直角中，，所以,
由题意得在直角中，，所以，
由题意得在中，，
所以由余弦定理得
，
所以，化简得，
解得或（舍去），
所以塔高为，故答案为：20
四、解答题
10．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知．
(1)求中的最大值；
(2)求边上的中线长．
【解析】(1)，故有，
由余弦定理可得，
又，，故．
(2)边上的中线为，则，
，
，即边上的中线长为．
11．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足.
(1)求角B的值；
(2)若，的面积为，求边上中线的长.
【解析】(1)由正弦定理得，，
，则，，
；
(2)，，，
由余弦定理，
得，，
12．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且.
(1)求A；
(2)若，求面积的最大值.
【解析】(1)由正弦定理及，
得，即，
由余弦定理，得，
∵，可得.
(2)由余弦定理得，
因为，
所以，
即，当且仅当时取等号，
∴，即面积的最大值为.
13．在中，角、、的对边分别为、、，向量，，，且.
(1)求的值；
(2)若，，求的大小.
【解析】(1)因为，，且，
所以，即，
因为，所以.
(2)因为，，，所以，
在中，由正弦定理得，
又，，所以，
所以，即，因为，所以.
14．已知向量，，.
(1)求函数的最小正周期；
(2)在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，求的面积的最大值.
【解析】(1)，
，
则其最小正周期；
(2)
由，且，
所以，
由余弦定理得，即，
所以，当且仅当时取等号，
所以的面积，
所以该三角形面积的最大值为.
15．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
(1)求B；
(2)若点M在AC上，且满足BM为的平分线，，求BC的长．
【解析】(1)在中，，
由正弦定理得：.
由余弦定理得：.
因为，所以.
(2)因为，所以.
因为，BM为的平分线，所以.
所以
.
在中，由正弦定理得：，即，解得：.
16．在中，角、、的对边分别是、、，且．
(1)求角；
(2)若，面积为，求的值.
【解析】(1)由及正弦定理得，
又，
所以，
又，所以，，即，可得，
因为，则，所以，，因此，.
(2)
解：由余弦定理，得，即，
又，则，所以．
17．在中，角，，所对的边分别为，，，且.
(1)求A；
(2)若，求面积的最大值.
【解析】(1)中，角A，，所对的边分别为，，，
且，
，
即，
，，所以，
又，；
(2)中，由正弦定理可得，
，
同理可得，，
，
，
，即，
，
由余弦定理可得，
当且仅当时，取等号，
，即的最大值为，
面积，
所以面积的最大值为.
21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
必考点04 解三角形
题型一 利用正余弦定理解三角形
例题1[在△ABC中，内角A，B，C的对边a，b，c成公差为2的等差数列，C＝120°.
(1)求边长a；
(2)求AB边上的高CD的长．
例题1(2019·全国卷Ⅰ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.设(sin B－sin C)2＝sin2A－sin Bsin C.
(1)求A；
(2)若a＋b＝2c，求sin C.
【解题技巧提炼】
1．已知△ABC中的某些条件(a，b，c和A，B，C中至少含有一条边的三个条件)求边长时可用公式a＝，b＝，c＝，a2＝b2＋c2－2bccos A，b2＝a2＋c2－2accos B，c2＝a2＋b2－2abcos C.
2．已知△ABC的外接圆半径R及角，可用公式a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C.
[提醒] 已知△ABC的两边及其一边的对角求边时可用正弦定理，但要对解的个数作出判断，也可用余弦定理解一元二次方程求得．
涉及解三角形中的最值(范围)问题时若转化为边求解可利用基本不等式或二次函数；若转化为角求解可利用三角函数的有界性、单调性．
1．已知△ABC中某些条件求角时，可用以下公式sin A＝，sin B＝，sin C＝，cos A＝，cos B＝，cos C＝.
2．已知△ABC的外接圆半径R及边，可用公式sin A＝，sin B＝，sin C＝.
[提醒] (1)注意三角形内角和定理(A＋B＋C＝π)的应用．
(2)解三角形中经常用到两角和、差的三角函数公式．
题型二 判断三角形形状
例题1设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcos C＋ccos B＝asin A，则△ABC的形状为( )
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．不确定
例题2在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若＝，(b＋c＋a)(b＋c－a)＝3bc，则△ABC的形状为( )
A．直角三角形 B．等腰非等边三角形
C．等边三角形 D．钝角三角形
【解题技巧提炼】
[解题技法]
1．判定三角形形状的2种常用途径
2．判定三角形的形状的注意点
在判断三角形的形状时一定要注意解是否唯一，并注重挖掘隐含条件．另外，在变形过程中要注意角A，B，C的范围对三角函数值的影响，在等式变形中，一般两边不要约去公因式，应移项提取公因式，以免漏解．
题型三 三角形面积问题
例题1△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知asin＝bsin A.
(1)求B；
(2)若△ABC为锐角三角形，且c＝1，求△ABC面积的取值范围．
【解题技巧提炼】
1．求三角形面积的方法
(1)若三角形中已知一个角(角的大小或该角的正、余弦值)，结合题意求解这个角的两边或该角的两边之积，代入公式求面积．
(2)若已知三角形的三边，可先求其一个角的余弦值，再求其正弦值，代入公式求面积．总之，结合图形恰当选择面积公式是解题的关键．
2．已知三角形面积求边、角的方法
(1)若求角，就寻求夹这个角的两边的关系，利用面积公式列方程求解．
(2)若求边，就寻求与该边(或两边)有关联的角，利用面积公式列方程求解．
题型四 解三角形的实际应用
例题1如图，为了测量两座山峰上P，Q两点之间的距离，选择山坡上一段长度为300 m且和P，Q两点在同一平面内的路段AB的两个端点作为观测点，现测得∠PAB＝90°，∠PAQ＝∠PBA＝∠PBQ＝60°，则P，Q两点间的距离为________ m.
例题2如图，为了测量河对岸电视塔CD的高度，小王在点A处测得塔顶D的仰角为30°，塔底C与A的连线同河岸成15°角，小王向前走了1 200 m到达M处，测得塔底C与M的连线同河岸成60°角，则电视塔CD的高度为________m.
例题3游客从某旅游景区的景点A处至景点C处有两条线路．线路1是从A沿直线步行到C，线路2是先从A沿直线步行到景点B处，然后从B沿直线步行到C.现有甲、乙两位游客从A处同时出发匀速步行，甲的速度是乙的速度的倍，甲走线路2，乙走线路1，最后他们同时到达C处．经测量，AB＝1 040 m，BC＝500 m，则sin∠BAC等于________．
【解题技巧提炼】
测量距离问题的2个策略
(1)选定或确定要创建的三角形，首先确定所求量所在的三角形，若其他量已知则直接求解；若有未知量，则把未知量放在另一确定三角形中求解．
(2)确定用正弦定理还是余弦定理，如果都可用，就选择更便于计算的定理．
测量高度问题的基本思路
高度也是两点之间的距离，其解法同测量水平面上两点间距离的方法是类似的，基本思想是把要求解的高度(某线段的长度)纳入到一个可解的三角形中，使用正、余弦定理或其他相关知识求出该高度．
测量角度问题的基本思路
测量角度问题的关键是在弄清题意的基础上，画出表示实际问题的图形，并在图形中标出有关的角和距离，再用正弦定理或余弦定理解三角形，最后将解得的结果转化为实际问题的解．
[提醒] 方向角是相对于某点而言的，因此在确定方向角时，必须先弄清楚是哪一个点的方向角．
题型五 正余弦定理在平面几何中的应用
例题1如图，在平面四边形ABCD中，DA⊥AB，DE＝1，EC＝，EA＝2，∠ADC＝，且∠CBE，∠BEC，∠BCE成等差数列．
(1)求sin∠CED；
(2)求BE的长．
【解题技巧提炼】
与平面图形有关的解三角形问题的关键及思路
求解平面图形中的计算问题，关键是梳理条件和所求问题的类型，然后将数据化归到三角形中，利用正弦定理或余弦定理建立已知和所求的关系．
具体解题思路如下：
(1)把所提供的平面图形拆分成若干个三角形，然后在各个三角形内利用正弦、余弦定理求解；
(2)寻找各个三角形之间的联系，交叉使用公共条件，求出结果．
[提醒] 做题过程中，要用到平面几何中的一些知识点，如相似三角形的边角关系、平行四边形的一些性质，要把这些性质与正弦、余弦定理有机结合，才能顺利解决问题．
题型六 解三角形与三角函数的综合问题
例题1已知函数f(x)＝cos2x＋sin(π－x)cos(π＋x)－.
(1)求函数f(x)在[0，π]上的单调递减区间；
(2)在锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知f(A)＝－1，a＝2，bsin C＝asin A，求△ABC的面积．
【解题技巧提炼】
解三角形与三角函数综合问题的一般步骤
题型一 利用正余弦定理解三角形
1．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若asin Bcos C＋csin Bcos A＝b，且a＞b，则B＝( )
A. B.
C. D.
2．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知sin2B＋sin2C＝sin2A＋sin Bsin C.
(1)求角A的大小；
(2)若cos B＝，a＝3，求c的值．
题型二 判断三角形形状
1．在△ABC中，cos2＝(a，b，c分别为角A，B，C的对边)，则△ABC的形状为( )
A．直角三角形 B．等边三角形
C．等腰三角形 D．等腰三角形或直角三角形
2．[在△ABC中，已知＝且还满足①a(sin A－sin B)＝(c－b)(sin C＋sin B)；②bcos A＋acos B＝csin C中的一个条件，试判断△ABC的形状，并写出推理过程．
题型三 三角形面积问题
1．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若b＝6，a＝2c，B＝，则△ABC的面积为________．
2．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，(2b－a)cos C＝ccos A.
(1)求角C的大小；
(2)若c＝3，△ABC的面积S＝，求△ABC的周长．
题型四 解三角形的实际应用
1．甲船在A处观察乙船，乙船在它的北偏东60°的方向，相距a海里的B处，乙船正向北行驶，若甲船是乙船速度的 倍，甲船为了尽快追上乙船，朝北偏东θ方向前进，则θ＝( )
A．15° B．30°
C．45° D．60°
2．江岸边有一炮台高30 m，江中有两条船，船与炮台底部在同一水平面上，由炮台顶部测得俯角分别为45°和60°，而且两条船与炮台底部连线成30°角，则两条船相距________m.
3．为了测量某新建的信号发射塔AB的高度，先取与发射塔底部B的同一水平面内的两个观测点C，D，测得∠BDC＝60°，∠BCD＝75°，CD＝40 m，并在点C的正上方E处观测发射塔顶部A的仰角为30°，且CE＝1 m，则发射塔高AB＝________ m.
题型五 正余弦定理在平面几何中的应用
1.如图，在△ABC中，D是边AC上的点，且AB＝AD,2AB＝BD，BC＝2BD，则sin C的值为________．
2.如图，在平面四边形ABCD中，AB⊥BC，AB＝2，BD＝，∠BCD＝2∠ABD，△ABD的面积为2.
(1)求AD的长；
(2)求△CBD的面积．
题型六 解三角形与三角函数的综合问题
1.在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，(2a－c)cos B－bcos C＝0.
(1)求角B的大小；
(2)设函数f(x)＝2sin xcos xcos B－cos 2x，求函数f(x)的最大值及当f(x)取得最大值时x的值．
一、单选题
1．如图，某城市有一条公路从正西方通过市中心后转向东北方，为了缓解城市交通压力，现准备修建一条绕城高速公路，并在上分别设置两个出口，若部分为直线段，且要求市中心与AB的距离为20千米，则AB的最短距离为（ ）
A．千米 B．千米
C． D．
2．某生态公园有一块圆心角为的扇形土地，打算种植花草供游人欣赏，如图所示，其半径米.若要在弧上找一点，沿线段和铺设一条观光道路，则四边形面积的最大值为（ ）
A．2500平方米 B．平方米 C．5000平方米 D．平方米
3．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，，则（ ）
A．90° B．120° C．60° D．150°
4．已知某圆锥的轴截面是腰长为3的等腰三角形，且该三角形顶角的余弦值等于，则该圆锥的表面积等于（ ）
A． B． C． D．
5．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则必为（ ）
A．钝角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．等腰三角形
二、多选题
6．在中，角、、所对的边分别为、、，且、、，下面说法错误的是（ ）
A．
B．是锐角三角形
C．的最大内角是最小内角的倍
D．内切圆半径为
7．在中，内角，，的对边分别为，，，且（ ）
A．若，，则
B．若，，则的面积为
C．若，则的最大值为
D．若，则周长的取值范围为
三、填空题
8．在中，D为的中点，若，，，则______．
9．如图所示，是一座垂直与地面的信号塔，点在地面上，某人（身高不计）在地面的处测得信号塔顶在南偏西70°方向，仰角为45°，他沿南偏东50°方向前进到点处，测得塔顶的仰角为30°，则塔高为______.
四、解答题
10．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知．
(1)求中的最大值；
(2)求边上的中线长．
11．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足.
(1)求角B的值；
(2)若，的面积为，求边上中线的长.
12．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且.
(1)求A；
(2)若，求面积的最大值.
13．在中，角、、的对边分别为、、，向量，，，且.
(1)求的值；
(2)若，，求的大小.
14．已知向量，，.
(1)求函数的最小正周期；
(2)在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，求的面积的最大值.
15．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
(1)求B；
(2)若点M在AC上，且满足BM为的平分线，，求BC的长．
16．在中，角、、的对边分别是、、，且．
(1)求角；
(2)若，面积为，求的值.
17．在中，角，，所对的边分别为，，，且.
(1)求A；
(2)若，求面积的最大值.
21世纪教育网(www.21cnjy.com)