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必考点06 简单几何体的表面积与体积
题型一 空间几何体的结构特征
例题1给出下列命题：
①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线；
②直角三角形绕其任一边所在直线旋转一周所形成的几何体都是圆锥；
③棱台的上、下底面可以不相似，但侧棱长一定相等．
其中正确命题的个数是( )
A．0 B．1
C．2 D.3
例题2 下列命题正确的是( )
A．两个面平行，其余各面都是梯形的多面体是棱台
B．两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台
C．直角梯形以一条直角腰所在的直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的旋转体是圆台
D．用平面截圆柱得到的截面只能是圆和矩形
【解题技巧提炼】
辨别空间几何体的2种方法
定义法 紧扣定义，由已知构建几何模型，在条件不变的情况下，变换模型中的线面关系或增加线、面等基本要素，根据定义进行判定
反例法 通过反例对结构特征进行辨析，要说明一个结论是错误的，只需举出一个反例即可
题型二 空间几何体的表面积
例题1在梯形ABCD中，∠ABC＝，AD∥BC，BC＝2AD＝2AB＝2.将梯形ABCD绕AD所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的表面积为( )
A．(5＋)π B．(4＋)π
C．(5＋2)π D.(3＋)π
例题2如图，在三棱柱ABC A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AB⊥BC，AA1＝AC＝2，直线A1C与侧面AA1B1B所成的角为30°，则该三棱柱的侧面积为( )
A．4＋4 B．4＋4
C．12 D.8＋4
【解题技巧提炼】
求解几何体表面积的类型及求法
求多面体的表面积 只需将它们沿着棱“剪开”展成平面图形，利用求平面图形面积的方法求多面体的表面积
求旋转体的表面积 可以从旋转体的形成过程及其几何特征入手，将其展开后求表面积，但要搞清它们的底面半径、母线长与对应侧面展开图中的边长关系
求不规则几何体的表面积时 通常将所给几何体分割成基本的柱体、锥体、台体，先求出这些基本的柱体、锥体、台体的表面积，再通过求和或作差，求出所给几何体的表面积
题型三 空间几何体的体积
例题1已知正三棱柱ABC A1B1C1的各棱长均为2，点D在棱AA1上，则三棱锥D BB1C1的体积为________．
例题2（1）学生到工厂劳动实践，利用3D打印技术制作模型．如图，该模型为长方体ABCD A1B1C1D1挖去四棱锥O EFGH后所得的几何体．其中O为长方体的中心，E，F，G，H分别为所在棱的中点，AB＝BC＝6 cm，AA1＝4 cm.3D打印所用原料密度为0.9 g/cm3，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为________g.
(2)如图，在多面体ABCDEF中，已知四边形ABCD是边长为1的正方形，且△ADE，△BCF均为正三角形，EF∥AB，EF＝2，则该多面体例题3如图所示，已知三棱柱ABC A1B1C1的所有棱长均为1，且AA1⊥底面ABC，则三棱锥B1 ABC1的体积为( )
A. B.
C. D.
【解题技巧提炼】
求空间几何体的体积的常用方法
公式法 对于规则几何体的体积问题，可以直接利用公式进行求解
割补法 把不规则的图形分割成规则的图形，然后进行体积计算；或者把不规则的几何体补成规则的几何体，不熟悉的几何体补成熟悉的几何体，便于计算其体积
等体积法 一个几何体无论怎样转化，其体积总是不变的．如果一个几何体的底面面积和高较难求解时，我们可以采用等体积法进行求解．等体积法也称等积转化或等积变形，它是通过选择合适的底面来求几何体体积的一种方法，多用来解决有关锥体的体积，特别是三棱锥的体积
题型四 空间几何体的体积
例题1已知三棱锥P ABC的四个顶点在球O的球面上，PA＝PB＝PC，△ABC是边长为2的正三角形，E，F分别是PA，AB的中点，∠CEF＝90°，则球O的体积为( )
A．8π B．4π
C．2π D.π
例题2(1)如图，在圆柱O1O2内有一个球O，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切．记圆柱O1O2的体积为V1，球O的体积为V2，则的值是________．
(2)已知正三棱锥的高为1，底面边长为2，内有一个球与四个面都相切，则棱锥的内切球的半径为________．
【解题技巧提炼】
[规律探求]
看个性 考向(一)是几何体的外接球 一个多面体的顶点都在球面上即为球的外接问题，解决这类问题的关键是抓住外接球的特点，即球心到多面体的顶点的距离等于球的半径． 考向(二)是几何体的内切球 求解多面体的内切球问题，一般是将多面体分割为以内切球球心为顶点，多面体的各侧面为底面的棱锥，利用多面体的体积等于各分割棱锥的体积之和求内切球的半径
找共性 解决与球有关的切、接问题，其通法是作截面，将空间几何问题转化为平面几何问题求解，其解题的思维流程是：
题型一 平面向量的有关概念
1．(多选)给出下列命题，其中真命题是( )
A．棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形
B．若三棱锥的三条侧棱两两垂直，则其三个侧面也两两垂直
C．在四棱柱中，若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱
D．存在每个面都是直角三角形的四面体
2．(一题两空)中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”(图①)．半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体．半正多面体体现了数学的对称美．图②是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1.则该半正多面体共有________个面，其棱长为________．
题型二 向量的线性运算
1.在如图所示的斜截圆柱中，已知圆柱底面的直径为40 cm，母线长最短50 cm，最长80 cm，则斜截圆柱的侧面面积S＝________cm2.
2．已知圆锥的顶点为S，母线SA，SB所成角的余弦值为，SA与圆锥底面所成角为45°，若△SAB的面积为5，则该圆锥的侧面积为________．
题型三 向量共线定理及应用
1.如图，正四棱锥P ABCD的底面边长为2 cm，侧面积为8 cm2，则它的体积为________cm3.
2.如图，已知体积为V的三棱柱ABC A1B1C1，P是棱B1B上除B1，B以外的任意一点，则四棱锥P AA1C1C的体积为________．
题型四 与球有关的切、接问题
1.如图，在矩形ABCD中，EF∥AD，GH∥BC，BC＝2，AF＝FG＝BG＝1.现分别沿EF，GH将矩形折叠使得AD与BC重合，则折叠后的几何体的外接球的表面积为( )
A．24π B．6π
C.π D.π
2．在四棱锥P ABCD中，底面ABCD是边长为2a的正方形，PD⊥底面ABCD，且PD＝2a.若在这个四棱锥内放一球，则此球的最大半径为________．
一、单选题
1．已知圆锥的表面积为，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面直径是（ ）
A． B．
C． D．
2．已知四棱锥中，底面为边长为的正方形，侧面底面，且为等边三角形，则该四棱锥外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
3．五脊殿是宋代传统建筑中的一种屋顶形式，如图所示.其屋顶上有一条正脊和四条垂脊，可近似看作一个底面为矩形的五面体.若某一五脊殿屋顶的正脊长4米，底面矩形的长为6米，宽为4米，正脊到底面矩形的距离为2米，则该五脊殿屋顶的体积的估计值为（ ）
A． B． C．32 D．64
4．已知如左图棱长为的正方体，沿阴影面将它切割成两块，拼成如右图所示的几何体，那么拼成的几何体的全面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
5．在《九章算术》中将底面为矩形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马.已知四棱锥为阳马，底面ABCD是边长为2的正方形，有两条侧棱长为3，则该阳马的表面积为（ ）
A． B．
C． D．
6．在三棱锥中，是等腰直角三角形，，且平面，则三棱锥的外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，在四棱锥中，底面是边长为的正方形，，为的中点.过作截面将此四棱锥分成上 下两部分，记上 下两部分的体积分别为，，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，在直角梯形中，，，且.以所在直线为旋转轴，将梯形旋转一周围成的几何体体积为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．六氟化硫，化学式为，在常压下是十种无色、无臭、无毒、不燃的稳定气体，有良好的绝缘性，在电器工业方面具有广泛用途.六氟化硫分子结构为正八面体结构（正八面体每个面都是正三角形，可以看作是将两个棱长均相等的正四棱锥将底面粘接在一起的几何体），如图所示，硫原子位于正八面体的中心，6个氟原子分别位于正八面体的6个顶点.若相邻两个氟原子间的距离为a（不计氟原子的大小），则（ ）
A．直线与为异面直线 B．平面平面
C．平面平面 D．八面体外接球表面积为
10．在三棱锥中，，，D，E，F分别为AB，AC，BC的中点，则以下结论正确的是（ ）
A．平面PDE⊥平面ABC B．平面PAF⊥平面ABC
C．AB//平面PFE D．三棱锥P—ABC的外接球表面积为
三、填空题
11．在地球北纬圈上有、两点，它们的经度相差，、两地沿纬线圈的弧长与、两点的球面距离之比为________
12．如图，在三棱锥中，平面，，，，则三棱锥外接球的表面积为___________.
13．已知正四棱锥O﹣ABCD的体积为，底面边长为，则以O为球心，OA为半径的球的体积为___
四、解答题
14．如图所示，正方体的棱长为，过顶点、、截下一个三棱锥.
(1)求剩余部分的体积；
(2)求三棱锥的高.
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必考点06 简单几何体的表面积与体积
题型一 空间几何体的结构特征
例题1给出下列命题：
①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线；
②直角三角形绕其任一边所在直线旋转一周所形成的几何体都是圆锥；
③棱台的上、下底面可以不相似，但侧棱长一定相等．
其中正确命题的个数是( )
A．0 B．1
C．2 D.3
【答案】A
【解析】①不一定，只有当这两点的连线平行于轴时才是母线；②不一定，当以斜边所在直线为旋转轴时，其余两边旋转形成的面所围成的几何体不是圆锥，如图所示，它是由两个同底圆锥组成的几何体；③错误，棱台的上、下底面相似且是对应边平行的多边形，各侧棱延长线交于一点，但是侧棱长不一定相等．
例题2 下列命题正确的是( )
A．两个面平行，其余各面都是梯形的多面体是棱台
B．两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台
C．直角梯形以一条直角腰所在的直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的旋转体是圆台
D．用平面截圆柱得到的截面只能是圆和矩形
【答案】C
【解析】如图所示，可排除A、B选项．对于D选项只有截面与圆柱的母线平行或垂直，截得的截面才为矩形或圆，否则截面为椭圆或椭圆的一部分，故选C.
【解题技巧提炼】
辨别空间几何体的2种方法
定义法 紧扣定义，由已知构建几何模型，在条件不变的情况下，变换模型中的线面关系或增加线、面等基本要素，根据定义进行判定
反例法 通过反例对结构特征进行辨析，要说明一个结论是错误的，只需举出一个反例即可
题型二 空间几何体的表面积
例题1在梯形ABCD中，∠ABC＝，AD∥BC，BC＝2AD＝2AB＝2.将梯形ABCD绕AD所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的表面积为( )
A．(5＋)π B．(4＋)π
C．(5＋2)π D.(3＋)π
【答案】A
【解析】∵在梯形ABCD中，∠ABC＝，AD∥BC，BC＝2AD＝2AB＝2，∴将梯形ABCD绕AD所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体是一个底面半径为AB＝1，高为BC＝2的圆柱挖去一个底面半径为AB＝1，高为BC－AD＝2－1＝1的圆锥，∴该几何体的表面积S＝π×12＋2π×1×2＋π×1×＝(5＋)π.故选A.
例题2如图，在三棱柱ABC A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AB⊥BC，AA1＝AC＝2，直线A1C与侧面AA1B1B所成的角为30°，则该三棱柱的侧面积为( )
A．4＋4 B．4＋4
C．12 D.8＋4
【答案】A
【解析】连接A1B.因为AA1⊥底面ABC，则AA1⊥BC，又AB⊥BC，AA1∩AB＝A，所以BC⊥平面AA1B1B，所以直线A1C与侧面AA1B1B所成的角为∠CA1B＝30°.又AA1＝AC＝2，所以A1C＝2，BC＝.又AB⊥BC，则AB＝，则该三棱柱的侧面积为2×2＋2×2＝4＋4.
【解题技巧提炼】
求解几何体表面积的类型及求法
求多面体的表面积 只需将它们沿着棱“剪开”展成平面图形，利用求平面图形面积的方法求多面体的表面积
求旋转体的表面积 可以从旋转体的形成过程及其几何特征入手，将其展开后求表面积，但要搞清它们的底面半径、母线长与对应侧面展开图中的边长关系
求不规则几何体的表面积时 通常将所给几何体分割成基本的柱体、锥体、台体，先求出这些基本的柱体、锥体、台体的表面积，再通过求和或作差，求出所给几何体的表面积
题型三 空间几何体的体积
例题1已知正三棱柱ABC A1B1C1的各棱长均为2，点D在棱AA1上，则三棱锥D BB1C1的体积为________．
[【答案】
[【解析】如图，取BC中点O，连接AO.∵正三棱柱ABC A1B1C1的各棱长均为2，∴AC＝2，OC＝1，则AO＝.
∵AA1∥平面BCC1B1，∴点D到平面BCC1B1的距离为.
又S＝×2×2＝2，∴V＝×2×＝.
例题2（1）学生到工厂劳动实践，利用3D打印技术制作模型．如图，该模型为长方体ABCD A1B1C1D1挖去四棱锥O EFGH后所得的几何体．其中O为长方体的中心，E，F，G，H分别为所在棱的中点，AB＝BC＝6 cm，AA1＝4 cm.3D打印所用原料密度为0.9 g/cm3，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为________g.
(2)如图，在多面体ABCDEF中，已知四边形ABCD是边长为1的正方形，且△ADE，△BCF均为正三角形，EF∥AB，EF＝2，则该多面体【答案】(1)118.8 (2)的体积为________．
【解析】(1)由题知挖去的四棱锥的底面是一个菱形，对角线长分别为6 cm和4 cm，
故V挖去的四棱锥＝××4×6×3＝12(cm3)．
又V长方体＝6×6×4＝144(cm3)，
所以模型的体积为
V长方体－V挖去的四棱锥＝144－12＝132(cm3)，
所以制作该模型所需原料的质量为132×0.9＝118.8(g)．
(2)如图，分别过点A，B作EF的垂线，垂足分别为G，H，连接DG，CH，BF，易求得EG＝HF＝，AG＝GD＝BH＝HC＝，则△BHC中BC边的高h＝.∴S△AGD＝S△BHC＝××1＝，∴V多面体＝VE ADG＋VF BHC＋VAGD BHC＝2VE ADG＋VAGD BHC＝×××2＋×1＝.
[
例题3如图所示，已知三棱柱ABC A1B1C1的所有棱长均为1，且AA1⊥底面ABC，则三棱锥B1 ABC1的体积为( )
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】知三棱锥B1 ABC1的体积等于三棱锥A B1BC1的体积，又三棱锥A B1BC1的高为，底面积为，故其体积为××＝.
【解题技巧提炼】
求空间几何体的体积的常用方法
公式法 对于规则几何体的体积问题，可以直接利用公式进行求解
割补法 把不规则的图形分割成规则的图形，然后进行体积计算；或者把不规则的几何体补成规则的几何体，不熟悉的几何体补成熟悉的几何体，便于计算其体积
等体积法 一个几何体无论怎样转化，其体积总是不变的．如果一个几何体的底面面积和高较难求解时，我们可以采用等体积法进行求解．等体积法也称等积转化或等积变形，它是通过选择合适的底面来求几何体体积的一种方法，多用来解决有关锥体的体积，特别是三棱锥的体积
题型四 空间几何体的体积
例题1已知三棱锥P ABC的四个顶点在球O的球面上，PA＝PB＝PC，△ABC是边长为2的正三角形，E，F分别是PA，AB的中点，∠CEF＝90°，则球O的体积为( )
A．8π B．4π
C．2π D.π
【答案】D
【解析】法一：∵E，F分别是PA，AB的中点，∴EF∥PB.
∵∠CEF＝90°，∴EF⊥EC，∴PB⊥EC，
又∵三棱锥P ABC为正三棱锥，∴PB⊥AC，从而PB⊥平面PAC，∴三条侧棱PA，PB，PC两两垂直．
∵△ABC是边长为2的正三角形，∴PA＝PB＝PC＝，
则球O是棱长为的正方体的外接球，设球O的半径为R，
则2R＝×，R＝，∴球O的体积V＝πR3＝π.故选D.
法二：令PA＝PB＝PC＝2x(x>0)，则EF＝x，连接FC，由题意可得FC＝.在△PAC中，cos∠APC＝＝.
在△PEC中，EC2＝PC2＋PE2－2PC·PEcos∠EPC＝4x2＋x2－2×2x·x·＝x2＋2，在△FEC中，∵∠CEF＝90°，∴FC2＝EF2＋EC2，即x2＋2＋x2＝3，∴x＝，∴PA＝PB＝PC＝2x＝.
∵AB＝BC＝CA＝2，∴三棱锥P ABC的三个侧面为等腰直角三角形，∴PA，PB，PC两两垂直，故球O是棱长为的正方体的外接球，设球O的半径为R，则2R＝×，R＝，∴球O的体积V＝πR3＝π.故选D.
例题2(1)如图，在圆柱O1O2内有一个球O，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切．记圆柱O1O2的体积为V1，球O的体积为V2，则的值是________．
(2)已知正三棱锥的高为1，底面边长为2，内有一个球与四个面都相切，则棱锥的内切球的半径为________．
【答案】(1) (2)－1
【解析】(1)设圆柱内切球的半径为R，
则由题设可得圆柱O1O2的底面圆的半径为R，高为2R，
故＝＝.
(2)如图，过点P作PD⊥平面ABC于点D，连接AD并延长交BC于点E，连接PE，
∵△ABC是正三角形，
∴AE是BC边上的高和中线，D为△ABC的中心．
∵AB＝2，∴S△ABC＝3，DE＝1，PE＝.
∴S表＝3××2×＋3＝3＋3.
∵PD＝1，∴三棱锥的体积V＝×3×1＝.
设球的半径为r，以球心O为顶点，三棱锥的四个面为底面把正三棱锥分割为四个小棱锥，
则r＝＝－1.
【解题技巧提炼】
[规律探求]
看个性 考向(一)是几何体的外接球 一个多面体的顶点都在球面上即为球的外接问题，解决这类问题的关键是抓住外接球的特点，即球心到多面体的顶点的距离等于球的半径． 考向(二)是几何体的内切球 求解多面体的内切球问题，一般是将多面体分割为以内切球球心为顶点，多面体的各侧面为底面的棱锥，利用多面体的体积等于各分割棱锥的体积之和求内切球的半径
找共性 解决与球有关的切、接问题，其通法是作截面，将空间几何问题转化为平面几何问题求解，其解题的思维流程是：
题型一 平面向量的有关概念
1．(多选)给出下列命题，其中真命题是( )
A．棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形
B．若三棱锥的三条侧棱两两垂直，则其三个侧面也两两垂直
C．在四棱柱中，若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱
D．存在每个面都是直角三角形的四面体
【答案】BCD
【解析】A不正确，根据棱柱的定义，棱柱的各个侧面都是平行四边形，但不一定全等；B正确，若三棱锥的三条侧棱两两垂直，则三个侧面构成的三个二面角都是直二面角；C正确，因为两个过相对侧棱的截面的交线平行于侧棱，又垂直于底面；D正确，如图，正方体ABCD A1B1C1D1中的三棱锥C1 ABC，四个面都是直角三角形．
2．(一题两空)中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”(图①)．半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体．半正多面体体现了数学的对称美．图②是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1.则该半正多面体共有________个面，其棱长为________．
【答案】26 －1
【解析】先求面数有如下两种方法．
由“半正多面体”的结构特征及棱数为48可知，其上部分有9个面，中间部分有8个面，下部分有9个面，共有2×9＋8＝26(个)面．
一般地，对于凸多面体
顶点数(V)＋面数(F)－棱数(E)＝2.(欧拉公式)
由题图知，棱数为48的半正多面体的顶点数为24.
故由V＋F－E＝2，得面数F＝2＋E－V＝2＋48－24＝26.再求棱长．作中间部分的横截面，由题意知该截面为各顶点都在边长为1的正方形上的正八边形ABCDEFGH，如图，设其边长为x，则正八边形的边长即为棱长．
连接AF，过H，G分别作HM⊥AF，GN⊥AF，垂足分别为M，N，则AM＝MH＝NG＝NF＝x.又AM＋MN＋NF＝1，∴ x＋x＋x＝1.
∴ x＝－1，即半正多面体的棱长为－1.
题型二 向量的线性运算
1.在如图所示的斜截圆柱中，已知圆柱底面的直径为40 cm，母线长最短50 cm，最长80 cm，则斜截圆柱的侧面面积S＝________cm2.
【答案】2 600π
【解析】将题图所示的相同的两个几何体对接为圆柱，则圆柱的侧面展开图为矩形．由题意得所求侧面展开图的面积S＝×(50＋80)×(π×40)＝2 600π(cm2)．
2．已知圆锥的顶点为S，母线SA，SB所成角的余弦值为，SA与圆锥底面所成角为45°，若△SAB的面积为5，则该圆锥的侧面积为________．
【答案】40π
【解析】如图，∵SA与底面成45°角，
∴△SAO为等腰直角三角形．
设OA＝r，则SO＝r，SA＝SB＝r.
在△SAB中，cos ∠ASB＝，
∴sin ∠ASB＝，∴S△SAB＝SA·SB·sin ∠ASB＝×(r)2×＝5，解得r＝2，
∴SA＝r＝4，即母线长l＝4，
∴S圆锥侧＝πrl＝π×2×4＝40π.
题型三 向量共线定理及应用
1.如图，正四棱锥P ABCD的底面边长为2 cm，侧面积为8 cm2，则它的体积为________cm3.
【答案】4
【解析】记正四棱锥P ABCD的底面中心为点O，棱AB的中点为H，连接PO，HO，PH，则PO⊥平面ABCD，因为正四棱锥的侧面积为8 cm2，所以8＝4××2×PH，解得PH＝2，在Rt△PHO中，HO＝，所以PO＝1，所以VP ABCD＝·S正方形ABCD·PO＝4 cm3.
2.如图，已知体积为V的三棱柱ABC A1B1C1，P是棱B1B上除B1，B以外的任意一点，则四棱锥P AA1C1C的体积为________．
【答案】
【解析】如图，把三棱柱ABC A1B1C1补成平行六面体A1D1B1C1 ADBC.设P到平面AA1C1C的距离为h，则V＝S·h＝V＝·2V＝.
题型四 与球有关的切、接问题
1.如图，在矩形ABCD中，EF∥AD，GH∥BC，BC＝2，AF＝FG＝BG＝1.现分别沿EF，GH将矩形折叠使得AD与BC重合，则折叠后的几何体的外接球的表面积为( )
A．24π B．6π
C.π D.π
【答案】C
【解析】由题意可知，折叠后的几何体是底面为等边三角形的三棱柱，底面等边三角形外接圆的半径为×＝.因为三棱柱的高为BC＝2，所以其外接球的球心与底面外接圆圆心的距离为1，则三棱柱外接球的半径为R＝＝，所以三棱柱外接球的表面积S＝4πR2＝.故选C.
2．在四棱锥P ABCD中，底面ABCD是边长为2a的正方形，PD⊥底面ABCD，且PD＝2a.若在这个四棱锥内放一球，则此球的最大半径为________．
【答案】(2－)a
【解析】由题意知，当球与四棱锥各面均相切，即内切于四棱锥时球的半径最大．作出其侧视图，如图所示．易知球的半径r＝(2－)a.
一、单选题
1．已知圆锥的表面积为，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面直径是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】设圆锥的底面半径为，母线长为，
由题意知，∴，
则圆锥的表面积，
∴，∴，故选：C.
2．已知四棱锥中，底面为边长为的正方形，侧面底面，且为等边三角形，则该四棱锥外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】如图所示，在四棱锥中，取侧面和底面正方形的外接圆的圆心分别为，分别过，作两个平面的垂线交于点O，
则由外接球的性质知，点O即为该球的球心，
取线段的中点E，连，，，，则四边形为矩形，
在等边中，可得，则，即，
在正方形中，因为，可得，
在直角中，可得，即，
所以四棱锥外接球的表面积为.故选：A.
3．五脊殿是宋代传统建筑中的一种屋顶形式，如图所示.其屋顶上有一条正脊和四条垂脊，可近似看作一个底面为矩形的五面体.若某一五脊殿屋顶的正脊长4米，底面矩形的长为6米，宽为4米，正脊到底面矩形的距离为2米，则该五脊殿屋顶的体积的估计值为（ ）
A． B． C．32 D．64
【答案】B
【解析】如图所示，将屋顶分割为一个三棱柱和两个相同的四棱锥，
三棱柱的底面是底边长为4，高为2的等腰三角形，三棱柱的高为4.
.
故选：B
4．已知如左图棱长为的正方体，沿阴影面将它切割成两块，拼成如右图所示的几何体，那么拼成的几何体的全面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】拼成的几何体比原正方体的表面增加了两个截面，减少了原来两个正方形面，
∵截面为矩形，长为，宽为，∴面积为，
∴拼成的几何体表面积为，故选：B.
5．在《九章算术》中将底面为矩形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马.已知四棱锥为阳马，底面ABCD是边长为2的正方形，有两条侧棱长为3，则该阳马的表面积为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】如图，
由题意知,,平面,
因为，
所以,故选：B
6．在三棱锥中，是等腰直角三角形，，且平面，则三棱锥的外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为是等腰直角三角形，，所以.
因为平面平面，所以，所以AP为球的直径，且，所以三棱锥的外接球的半径为2，所以三棱锥的外接球的表面积为.故选:.
7．如图，在四棱锥中，底面是边长为的正方形，，为的中点.过作截面将此四棱锥分成上 下两部分，记上 下两部分的体积分别为，，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
过作平面的垂线，垂足为，连，设的交点为，在中过作直线交于两点，由相交直线确定平面，则四边形为过的截面.由计算可得，得为正三角形，，所以为的重心，设，由向量运算可得，又，可得，所以，由三点共线，得，即，易得到平面的距离为，到平面的距离为1，因为，所以，，得，，由，，得，当且仅当取等号，所以，即的最小值为.故选：A.
8．如图，在直角梯形中，，，且.以所在直线为旋转轴，将梯形旋转一周围成的几何体体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】梯形旋转一周所围成几何体为圆台，且，，.
则.故选：B.
二、多选题
9．六氟化硫，化学式为，在常压下是十种无色、无臭、无毒、不燃的稳定气体，有良好的绝缘性，在电器工业方面具有广泛用途.六氟化硫分子结构为正八面体结构（正八面体每个面都是正三角形，可以看作是将两个棱长均相等的正四棱锥将底面粘接在一起的几何体），如图所示，硫原子位于正八面体的中心，6个氟原子分别位于正八面体的6个顶点.若相邻两个氟原子间的距离为a（不计氟原子的大小），则（ ）
A．直线与为异面直线 B．平面平面
C．平面平面 D．八面体外接球表面积为
【答案】BD
【解析】连接，根据题意可设其交于点，
则四点共面，且为的中点，
所以四边形都是平行四边形，
所以，，故A错误；
因为，，
所以平面平面，B正确；
分别取、中点M、N，连接，则的中点为，
由，平面，平面，
所以平面，
又平面，
则平面与平面的交线l与平行，
因为都是等边三角形，
所以，所以，
则为平面与平面所成的平面角，
设，则，，，
所以，故C错误；
由O到各顶点距离均为，则O为球心，外接球半径，
所以外接球表面积为，故D正确.
故选：BD.
10．在三棱锥中，，，D，E，F分别为AB，AC，BC的中点，则以下结论正确的是（ ）
A．平面PDE⊥平面ABC B．平面PAF⊥平面ABC
C．AB//平面PFE D．三棱锥P—ABC的外接球表面积为
【答案】BC
【解析】如图所示，
对于A，设AF与DE的交点为M，则AF和DE垂直，若平面PDE⊥平面ABC，那么根据面面垂直的性质定理，必有AF⊥平面PDE，此时须有成立，又因为M是AF的中点，此时须有成立，上式显然不成立，所以A不正确；
对于B，由于，，因此且PF⊥BC，，又AF，PF平面PAF，故BC⊥平面PAF，而BC平面ABC，所以平面PAF⊥平面ABC，所以B正确；
对于C，由于，EF平面PEF，AB平面PEF，因此AB//平面PFE，所以C正确；
对于D，作PN⊥平面ABC，垂足为N，则N为正三角形ABC的重心，所以，，设三棱锥P-ABC的外接球球心为O，则O在PN上，连接AO，设三棱锥P-ABC的外接球半径为R，则在中，，解得，因此其外接球表面积为，所以D不正确，故选：BC.
三、填空题
11．在地球北纬圈上有、两点，它们的经度相差，、两地沿纬线圈的弧长与、两点的球面距离之比为________
【答案】##
【解析】由题知，，
∴两地的球面距离是，
而两地纬线圈的弧长为小圆的半个圆周，
∴，∴.
故答案为：.
12．如图，在三棱锥中，平面，，，，则三棱锥外接球的表面积为___________.
【答案】
【解析】法1：因为平面，平面，
所以，，，
又，所以，
因为，平面，
所以平面，又平面，
所以，如图所示：
取PC的中点O，连接OA，OB，则，
故O为三棱锥外接球的球心.
而，
故三棱锥的外接球的半径为，
所以球的表面积为.
法2：根据题意三棱锥可以扩展为如图的长方体.
则为长方体的对角线，也是三棱锥外接球的直径.
因为，，
所以，
故三棱锥的外接球的半径为，
所以球的表面积为.故答案为：
13．已知正四棱锥O﹣ABCD的体积为，底面边长为，则以O为球心，OA为半径的球的体积为___
【答案】
【解析】如图，为正四棱锥O﹣ABCD的高，
正四棱锥的体积，
，
在直角三角形中，，
则
球的体积为.
故答案为：．
四、解答题
14．如图所示，正方体的棱长为，过顶点、、截下一个三棱锥.
(1)求剩余部分的体积；
(2)求三棱锥的高.
【解析】(1)因为
所以剩余部分的体积，
(2)由（1）知，
设三棱锥的高为，
由正方体的性质可知为等边三角形，且边长为，则
，
所以，
解得.
所以三棱锥的高为
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