8.6.1 直线与直线垂直课件-2021-2022学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册（17张ppt）

(共17张PPT)
8.6 空间直线、平面的垂直
8.6.1 直线与直线垂直
1. 复习
(1) 平面与平面平行的判定定理：
如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行.
符号表示：
b
a
α
β
P
β
α
γ
a
b
(2) 平面与平面平行的性质定理：
两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面相交，那么两天交线平行.
符号表示：
空间两条直线的位置关系：
异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点.
平行直线：在同一平面内，没有公共点；
相交直线：在同一平面内，有且只有一个公共点；
在初中我们已经研究了平行直线和相交直线. 本节我们主要研究异面直线，首先研究如何刻画两条异面直线的位置关系.
2. 探求新知
类似于研究直线与平面平行的判定, 我们自然想到要把平面与平面平行的问题转化为直线与平面平行的问题.
根据平面与平面平行的定义可知，若两个平行平面，则它们没有公共点，所以一个平面内的任意一条直线都与另一个平面没有公共点.
也就是说，如果两个平面平行,那么一个平面内的任意一条直线都与另一个平面平行.
平面与平面平行的判定问题：
思考 如何判定一个平面内的任意一条直线都平行于另一个平面呢
2. 探求新知
观察 如图示, 在正方体ABCD-A'B'C'D'中，直线A'C'与直线AB，直线A'D'与直线AB都是异面直线，直线A'C'与A'D'相对于直线AB的位置相同吗 如果不同，如何表示这种差异呢
不同.
可以用“异面直线所成角”来刻画两条异面直线的位置关系.
2. 探求新知
我们知道，平面内两条直线相交形成4个角, 其中不大于90°的角称为这两条直线所成的角(或夹角)，它刻画了一条直线相对于另一条直线倾斜的程度.
类似地，我们也可以用“异面直线所成的角”来刻画两条异面直线的位置关系.
我们把直线a′与b′所成的角叫做异面直线a与b所成的角(或夹角). 其中a′//a, b′//b.
空间
平面
异面直线所成的角：
a′
O

a′
b′
直线a、b所成角的大小与点O的位置无关.
3. 异面直线所需的角
如果两条异面直线所成的角是直角，那么我们就说这两条异面直线互相垂直. 直线a与直线b垂直，记作a⊥b.
当两条直线a, b相互平行时，我们规定它们所成的角为0°. 所以空间两条直线所成角α的取值范围是[0°, 90°].
O

α
b
a
a′
异面直线垂直：
思考：异面直线所成角的取值范围是____________.
(0°, 90°]
3. 异面直线所需的角
例1 如右图，已知正方体ABCD-A′B′C′D′.
(1)哪些棱所在的直线与直线AA′垂直？
(2)求直线BA′与CC′所成角的大小.
(3)求直线BA′与AC所成角的大小.
解：(1)与直线AA1垂直的棱所在直线有AB, BC, CD, DA, A′B′, B′C′, C′D′, D′A′.
(2) 在正方体ABCD-A′B′C′D′中, ∵CC′∥BB′, ∴∠B′BA为直线BA′与CC′所成的角. 而∠B′BA=45°. ∴直线BA′与CC′所成角的大小为45°.
(3) 连接A′C′, BC′. ∴∠BA′C′为直线BA′与AC所成的角.
在正方体ABCD-A′B′C′D′中，△A′BC′是等边三角形，∴∠BA′C′ =60°，
∴直线BA′与AC所成的角等于60°.
练习
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教材148页
1. 判断下列命题是否正确，正确的在括号内画“√”，错误的画“×”.
(1) 如果两条平行直线中的一条与已知直线垂直，那么另一条也与已知直线垂直. ( )
(2) 垂直于同一条直线的两条直线平行. ( )
√
×
练习
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教材148页
2. 如图，在长方体ABCD-A'B'C'D'的各条棱所在直线中，
(1) 与直线AB垂直的直线有_____条；
(2) 与直线AB异面且垂直的直线有______条；
(3) 与直线AB和A ‘D’都垂直的直线有______条；
(4) 与直线AB和A 'D'都垂直且相交的直线是直线________.
B
D
C
A'
B'
C'
D'
A
8
4
4
AA′
练习
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教材148页
B
D
C
A'
B'
C'
D'
A
3. 如图，在长方体ABCD-A'B'C'D'中，AB＝AD＝ ，AA'＝2，求:
(1) 直线BC和A'C'所成的角的大小；
(2) 直线AA'和BC'所成的角的大小.
解：(1) 在长方体ABCD-A′B′C′D′中, ∵BC∥B′C′,
∴∠B′C′A′为直线BC与A′C′所成的角.
在Rt△A′B′C′中， A′B′=B′C′，∴∠B′C′A′=45°.
∴直线BC与A′C′所成的角的大小为45°.
(2) ∵AA′∥BB′, ∴∠B′BC′为直线AA′与BC′所成的角.
在Rt△B′BC′中， BB′=2，B′C′=，
∴tan∠B′BC′=，∴∠B′BC′=60°，
∴直线AA′与BC′所成的角的大小为60°.
例2 如右图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，O1为底面A1B1C1D1的中心，求证：AO1⊥BD.
B
D
C
A1
B1
C1
D1
A
O1

证明：如图示，连接B1D1.
∵ABCD-A1B1C1D1是正方体，∴ BB1 DD1.
∴四边形BB1D1D是平行四边形. ∴B1D1//BD .
∴直线AO1与B1D1所成的角即为AO1与BD所成的角.
连接AB1，AD1，易证AB1=AD1.
又O1为底面A1B1C1D1的中心，
∴ O1是B1D1的中点，
∴ AO1⊥B1D1，
∴ AO1⊥BD.
练习
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教材148页
4. 如图，在正三棱柱ABC-A′B′C′中，D为棱AC的中点，AB=BB′=2.
求证：BD⊥AC′.
B
D
C
A′
B′
C′
A
E

F

证明：
如图示，取AC′的中点E，连接DE，取B′B的中点F，连接AF，EF.
G
课堂检测
C
90°
4. 小结
在研究异面直线所成角的大小时，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角．将空间问题向平面问题转化，这是我们学习立体几何的一条重要的思维途径．需要强调的是，两条异面直线所成角的范围为(0°, 90°]，解题时经常结合这一点去求异面直线所成角的大小．
(1) 求异面直线所成角的基本方法：
(2) 证明两条异面直线垂直的步骤：
① 恰当选点，用平移法构造出一个相交角．
② 证明这个角就是异面直线所成的角(或补角)．
③ 把相交角放在平面图形中，一般是放在三角形中，通过解三角形求出所构造的角的度数．
④ 给出结论：若求出的平面角为直角，垂直得证．