8.6.2 直线与平面垂直课件-2021-2022学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册（36张ppt）

(共36张PPT)
8.6.2 直线与平面垂直
1. 复习
在研究异面直线所成角的大小时，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角．将空间问题向平面问题转化，这是我们学习立体几何的一条重要的思维途径．需要强调的是，两条异面直线所成角的范围为(0°, 90°]，解题时经常结合这一点去求异面直线所成角的大小．
(1) 求异面直线所成角的基本方法：
(2) 证明两条异面直线垂直的步骤：
① 恰当选点，用平移法构造出一个相交角．
② 证明这个角就是异面直线所成的角(或补角)．
③ 把相交角放在平面图形中，一般是放在三角形中，通过解三角形求出所构造的角的度数．
④ 给出结论：若求出的平面角为直角，垂直得证．
2. 探求新知
观察1 在日常生活中，我们对直线与平面垂直有很多感性认识. 比如，旗杆与底面的位置关系，教室里相邻墙面的交线与地面的位置关系，都给我们直观的认识到直线与平面垂直.
观察2 如图示，在阳光下观察直立于底面的旗杆AB及它在地面的影子BC. 随着时间的变化，影子BC的位置在不断地变化，旗杆所在直线AB与其影子BC所在直线是否保持垂直？
A
B
C
B′
C′
α
2. 探求新知
直线AB与其影子BC所在直线始终保持垂直
2. 探求新知
观察3 如图示，将一本书打开直立在桌面上，观察书脊AB与桌面的位置关系，以及书脊与每页书和桌面的交线的位置关系，你能发现什么？
通过对以上现象的观察与分析，可得直线与平面垂直的定义和性质.
书脊AB与桌面垂直，
书脊AB与每页书和桌面的交线垂直.
3. 直线与平面垂直的定义
一般地，如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l与平面α互相垂直，记作l⊥α. 直线l叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l的垂面. 直线与平面垂直时，它们唯一的公共点P叫做垂足.
l
P
α
画直线与平面垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直.
若l⊥α，a α，则l⊥a.
a
思考 在平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直. 将这一结论推广到空间，过一点垂直于已知平面的直线有几条？为什么？

A

B
平面α的垂线垂直平面α内的任意直线.
下面我们研究直线与平面垂直的判定，就是直线与平面垂直的充分条件.
若用直线与平面垂直的定义进行判定，则无法验证直线与平面内的所有直线垂直. 那么，能否只需验证直线与平面内部分直线垂直就能判定直线与平面垂直呢？下面我们来看一个实验.
探究 准备一块三角形的纸片ABC，过△ABC的顶点A翻折纸片，得到折痕AD，将翻折后的纸片竖起放置在桌面上(BD, DC与桌面接触). 观察：
(1) 折痕AD与桌面垂直吗？
(2) 如何翻折才能使折痕AD与桌面垂直？为什么？
4. 直线与平面垂直的判定
不一定
当AD⊥BC时，折痕AD与桌面垂直.
直线与平面垂直的判定定理：
如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直.
符号表示：
思考 定理中的两条相交直线能否改成平行直线，如果改成“无数条直线”呢？
4. 直线与平面垂直的判定
不能
例3 求证：如果两条平行直线中的一条直线垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面.
已知：如图，a//b，a⊥α，求证：b⊥α.
证明：
如图，在平面α内取两条相交直线m，n.
∵a⊥α，
∴a⊥m， a⊥n.
又∵a//b，
∴b⊥m， b⊥n.
又m α，n α，且m,n是两条相交直线.
∴b⊥α.
结论：如果两条平行直线中的一条直线垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面. (证明线面垂直的另一方法)
证明：(1)
证明：(2)
证明线面垂直的方法总结：
① 线面垂直的定义．
② 线面垂直的判定定理．
③ 如果两条平行直线中的一条直线垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面．(后面学习)
④ 如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个，那么它也垂直于另一个平面．(后面学习)　
【特别提醒】要证明两条直线垂直(无论它们是异面还是共面)，通常是证明其中的一条直线垂直于另一条直线所在的一个平面．
证明：(1)
证明：(2)
练习
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教材152页
证明1：
B
D
C
S
A
证明2：
如图，一条直线l与一个平面α相交，但不与这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线，斜线和平面的交点A叫做斜足. 过斜线上斜足以外的一点P向平面α引垂线PO，过垂足O和斜足A的直线AO叫做斜线在这个平面上的射影. 平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角θ，叫做这条直线和这个平面所成的角.
直线与平面所成的角实际上就是直线与直线在平面内的射影所成的角.
当直线与平面垂直时，它与平面所成的角为90°，当直线与平面平行时，它与平面所成的角为0°，所以，直线与平面所成的角的范围为[0°, 90°].
直线与平面所成的角是直线与平面内任意一条直线所成角的最小角.
5. 直线与平面所成的角
例4 如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，求直线A1B和平面A1DCB1所成的角.
解：连接BC1交B1C于点O，连接A1O. 设正方体的棱长为a.
正方体ABCD-A1B1C1D1中，A1B1⊥平面BCC1B1，
B
D
C
A1
B1
C1
D1
A
O
∴A1B1⊥BC1，又B1C⊥BC1， ∴BC1⊥平面A1DCB1.
∴A1O是A1B在平面A1DCB1内的射影.
∴∠BA1O为A1B和平面A1DCB1所成的角.
∴ A1B和平面A1DCB1所成的角为30°.
∴BO= A1B，∠BA1O=30°.
在Rt△A1BO中， A1B= a，BO= a.
C
A
M
B
求直线与平面所成的角的步骤：
(1) 作图：作(或找)出斜线在平面上的射影，将空间角转化为平面角，过斜线上斜足以外的一点作平面的垂线，再过垂足和斜足作直线，注意斜线上点的选取以及垂足的位置要与问题中已知量有关，才能便于计算；
(2) 定角：证明某平面角就是斜线与平面所成的角；
(3) 计算：通常在垂线段、斜线和射影所组成的直角三角形中计算.
练习
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教材152页
不一定
1. 如果两条直线和一个平面所成的角相等，那么这两条直线一定平行吗？
练习
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教材152页
解：连接AC, BD, 当AC⊥BD时, A′C⊥B′D′. 理由如下：
3. 如图，在直四棱柱A′B′C′D′-ABCD中，当底面四边形ABCD满足什么条件时， A′C⊥B′D′？
∵在直四棱柱A′B′C′D′-ABCD中， AA′⊥底面ABCD.
BD 底面ABCD，
∴AA′⊥BD.
若AC⊥BD，而AA′∩AC=A.
则BD⊥平面AA′C，
而A′C 平面AA′C ，
∴则BD⊥A′C.
又∵BB′//DD′，且BB′=DD′，
∴四边形BB′D′D是平行四边形，
∴BD//B′D′，
因此B′D′⊥A′C.
D
A
C
A'
B'
C'
D'
B
4. 过△ABC所在平面α外一点P，作PO⊥α ，垂足为O，连接PA，PB，PC.
(1) 若PA=PB=PC，则点O是△ABC的____心.
(2)若PA=PB=PC，∠C=90°，则点O是AB边的____点.
(3) 若PA⊥PB，PB⊥PC，PC⊥PA，垂足都为P，则点是△ABC的____心.
B
C
P
A
O

B
C
P
A
O

B
C
P
A
O

D
F
E
外
中
垂
练习
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教材152页
下面我们研究直线与平面α垂直的性质，即探究在直线a与平面α垂直的条件下能推出哪些结论.
性质1：若a⊥α，m α，则a⊥m.
性质2：若a⊥α，b⊥α，则a//b. (性质定理)
性质3：若a⊥α，c α，且c⊥a，则c//α.
直线与平面垂直的性质定理：
垂直于同一平面的两条直线平行.
性质4：若α//β，l⊥α，则l⊥β.
α
β
6. 直线与平面垂直的性质
例5 如图，直线l平行于平面α求，求证：直线l上各点到平面α的距离相等.
证明：
α
A
A1
β
B
B1
l
过直线l上任意两点A, B分别作平面α的垂线AA1, BB1, 垂足分别为A1, B1.
∵AA1⊥α，BB1⊥α，
∴AA1//BB1.
设直线AA1，BB1确定的平面为β，β∩α=A1B1.
∵l // α，
∴l//A1B1，
∴四边形AA1B1B是矩形，
∴AA1=BB1.
∵A，B是直线l上任意两点，∴直线l上各点到平面α的距离相等.
通过此例题可知，若一条直线与一个平面平行，那这条直线上任意一点到平面的距离相等，我们把这个距离叫做直线到这个平面的距离.
如果两个平面平行，那么其中一个平面内任意一点到另一个平面的距离都相等，我们把它叫做这两个平面间的距离.
棱台体积公式推导(棱台的高就是两底面间的距离)
A
D
B
C
A′
B′
C′
D′
O
O′
P
(S′, S, h分别是棱台的上下底面积和高)
例6 推导棱台的体积公式
练习
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教材155页
1. 已知直线a, b和平面α, 且a⊥b, a⊥α, 则b与α的位置关系是______________.
平行或在平面内
α
A
A1
B
B1
2. 已知A, B两点在平面α的同侧，且它们与α的距离相等，求证：直线AB//α.
解：
过A, B两点分别作平面α的垂线AA1, BB1, 垂足分别为A1, B1. 则
又A1B1 α，
又AA1//BB1.
∴AB // α.
∴AB//A1B1.
∴四边形AA1B1B是矩形.
AA1=BB1，
练习
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教材155页
3. 如图，EA和DC都垂直于平面ABC，且EA=2DC，F是EB的中点.
求证：DF//平面ABC.
D
A
F
B
E
C
M
练习
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教材155页
解：
取AB的中点M，连接FM，CM.
∴DF // 平面ABC.
∴DF//CM.
∴四边形DCMF是平行四边形.
由F是EB的中点可得，
EA 2FM.
又EA 2DC，
∴FM DC，
又DF 平面ABC，CM 平面ABC，
4. 求证：垂直于同一条直线的两个平面互相平行. (提示：过这条直线作平面与这两个平面相交，则它们的交线平行.)
证明：
已知：如图，m⊥α，m⊥β，求证：α // β.
γ
a′
a
δ
b′
b
β
α
m
练习
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教材155页
设平面α, β都与直线l垂直，过直线l作平面γ，与α, β分别相交于直线a, b.
∵ a⊥l，b⊥l，
又a, b, l都在平面γ上，∴ a//b，
∴a, b分别是平面α, β上任意两条交线，
∴ α//β.
O
O
求点到平面的距离的方法：
从平面外一点作一个平面的垂线，这个点与垂足间的距离就是这个点到这个平面的距离．当该点到已知平面的垂线不易作出时，可利用线面平行、面面平行的性质转化为过与已知平面等距离的点作垂线，然后计算，也可以利用等积法求解．
7. 小结
如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直.
符号表示：
(1) 直线与平面垂直的判定定理：
垂直于同一平面的两条直线平行.
(2) 直线与平面垂直的性质定理：
符号表示：若a⊥α，b⊥α，则a//b.