2022年人教版七年级数学下册 第九章不等式与不等式组专项训练试题（word版含答案 ）

初中数学七年级下册第九章不等式与不等式组专项训练
（2021-2022学年 考试时间：90分钟，总分100分）
班级：__________ 姓名：__________ 总分：__________
题号 一 二 三
得分
一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）
1、﹣（﹣a）和﹣b在数轴上表示的点如图所示，则下列判断正确的是（ ）
A．﹣a＜1 B．b﹣a＞0 C．a＋1＞0 D．﹣a﹣b＜0
2、已知关于x的不等式组恰有4个整数解，则a的取值范围是（　　）
A．﹣1＜a＜﹣ B．﹣1≤a≤﹣ C．﹣1＜a≤﹣ D．﹣1≤a＜﹣
3、不等式组的解集在数轴上应表示为（ ）
A． B． C． D．
4、若，则x一定是（ ）
A．零 B．负数 C．非负数 D．负数或零
5、如果 ， 那么下列不等式中不成立的是（ ）
A． B．
C． D．
6、能说明“若xy，则axay”是假命题的a的值是（ ）
A．3 B．2 C．1 D．
7、解集如图所示的不等式组为（　　）
A． B． C． D．
8、若成立，则下列不等式成立的是（ ）
A． B．
C． D．
9、如图，天平右盘中的每个砝码的质量都是1g，则物体A的质量m（g）的取值范围，在数轴上可表示为（ ）
A． B．
C． D．
10、如果x＞y，则下列不等式正确的是（　　）
A．x﹣1＜y﹣1 B．5x＜5y C． D．﹣2x＞﹣2y
二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）
1、若点P为数轴上一个定点，点M为数轴上一点将M，P两点的距离记为MP．给出如下定义：若MP小于或等于k，则称点M为点P的k可达点．
例如：点O为原点，点A表示的数是1，则O，A两点的距离为1，1＜2，即点A可称为点O的2可达点．
（1）如图，点B1，B2，B3中，___是点A的2可达点；
（2）若点C为数轴上一个动点，
①若点C表示的数为﹣1，点C为点A的k可达点，请写出一个符合条件的k值 ___；
②若点C表示的数为m，点C为点A的2可达点，m的取值范围为 ___；
（3）若m≠0，动点C表示的数是m，动点D表示的数是2m，点C，D及它们之间的每一个点都是点A的3可达点，写出m的取值范围 ___．
2、不等式组的解集是___________．
3、 “x的3倍与2的和不大于5”用不等式表示为 _________．
4、关于的不等式的解集是，则关于的不等式的解集是___ ．
5、用“＞”或“＜”填空，并说明是根据不等式的哪条基本性质：
(1)如果x+2＞5，那么x_______3；根据是_______．
(2)如果，那么a_______；根据是________．
(3)如果，那么x________；根据是________．
(4)如果x-3＜-1，那么x_______2；根据是________．
三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）
1、对于任意一个自然数N，将其各个数位上的数字相加得到一个数，我们把这一过程称为一次操作，把这个得到的数进行同样的操作，不断进行下去，最终会得到一个一位数K，我们把N称作“K的友谊数”．例如：346→3+4+6＝13→1+3＝4，所以346是“4的友谊数”．
（1）请分别判断1357和859是否是“4的友谊数”，并说明理由；
（2）若一个三位自然数M＝100a+10b+8（1≤a≤9，1≤b≤9，a，b均为整数）是“4的友谊数”，且满足a﹣b+3能被7整除，请求出所有符合条件的三位自然数M．
2、2021年11月，我市政府紧急组织一批物资送往新冠疫情高风险地区，现已知这批物资中，食品和矿泉水共410箱，且食品比矿泉水多110箱．
（1）求食品和矿泉水各有多少箱；
（2）现计划租用，两种货车共10辆，一次性将所有物资送到群众手中，已知种货车最多可装食品40箱和矿泉水10箱，种货车最多可装食品20箱和矿泉水20箱，试通过计算帮助政府设计几种运输方案；
（3）在（2）的条件下，种货车每辆需付运费600元，种货车每辆需付运费450元，政府应该选哪种方案，才能使运费最少？最少运费是多少？
3、我校为打造书香校园，计划购进甲、乙两种规格的书柜放置新购进的图书，调查发现，若购买甲种书柜3个、乙种书柜4个，共需资金1500元；若购买甲种书柜4个，乙种书柜3个，共需资金1440元．
（1）甲、乙两种书柜每个的价格分别是多少元？
（2）若我校计划购进这两种规格的书柜共30个，其中乙种书柜的数量不少于甲种书柜的数量，学校至多能够提供资金6420元，请设计所有可行的购买方案供学校选择．
4、某童装店按每套90元的价格购进40套童装，然后按标价打九折售出，如果要获得不低于900元的利润，每套童装的标价至少是_____元．
5、阳光超市从厂家购进甲、乙两种商品进行销售，若该超市购进甲种商品3件，乙种商品2件，共需花费900元；若购进甲种商品2件，购进乙种商品1件，共需花费500元；
（1）求甲、乙两种商品每件的进价分别为多少元；
（2）由于甲、乙两种商品受到市民欢迎，十一月份超市决定购进甲、乙两种商品共80件，且保持（1）的进价不变，已知甲种商品每件的售价为150元，乙种商品每件的售价400元，要使十一月份购进的甲、乙两种商品共80件全部销售完的总利润不少于6500元，那么该超市最多购进甲种商品多少件？
---------参考答案-----------
一、单选题
1、B
【分析】
化简﹣（﹣a）＝a，根据数轴得到a＜﹣1＜﹣b＜0，再结合有理数的加减、不等式的性质逐项分析可得答案．
【详解】
解：﹣（﹣a）＝a，由数轴可得a＜﹣1＜﹣b＜0，
∵a＜﹣1，∴﹣a＞1，故A选项判断错误，不合题意；
∵﹣b＜0，∴b＞0，b﹣a＞0，故B正确，符合题意；
∵a＜﹣1，∴a+1＜0，故C判断错误，不合题意；
∵a＜﹣b，∴a+b＜0，∴﹣a﹣b＞0，故D判断错误，不合题意．
故选：B．
【点睛】
本题考查了有理数的加减法则、不等式的性质、用数轴表示数等知识，熟知相关知识并根据题意灵活应用是解题关键．
2、D
【分析】
先分别求得每个一元一次不等式的解集，再根据题意得出2a的取值范围即可解答．
【详解】
解：解不等式组得：，
∵该不等式组恰有4个整数解，
∴－2≤2a＜－1，
解得：﹣1≤a＜﹣，
故选：D．
【点睛】
本题考查解一元一次不等式组，熟练掌握一元一次不等式组的解法，得出2a的取值范围是解答的关键．
3、B
【分析】
在数轴上把不等式组的解集表示出来，即可选项答案．
【详解】
解：不等式组的解集在数轴上应表示为：
故选：B．
【点睛】
本题考查了在数轴上表示不等式组的解集等知识点，注意：在数轴上表示不等式组的解集时，包括该点时用实心点，不包括该点时用空心点．
4、D
【分析】
根据绝对值的性质可得，求解即可．
【详解】
解：∵
∴，解得
故选D
【点睛】
此题考查了绝对值和不等式的性质，解题的关键是熟练掌握绝对值和不等式的有关性质．
5、D
【分析】
根据不等式的性质逐个判断即可．不等式的性质1：不等式两边同时加上或减去同一个数，不等号的方向不改变；不等式的性质2：不等式两边同时乘以或除以同一个正数，不等号的方向不改变；不等式两边同时乘以或除以同一个负数，不等号的方向要改变．
【详解】
解：A、∵，
∴，选项正确，不符合题意；
B、∵，
∴，选项正确，不符合题意；
C、∵，
∴，选项正确，不符合题意；
D、∵，
∴，选项错误，符合题意．
故选：D．
【点睛】
此题考查了不等式的性质，解题的关键是熟练掌握不等式的性质．不等式的性质1：不等式两边同时加上或减去同一个数，不等号的方向不改变；不等式的性质2：不等式两边同时乘以或除以同一个正数，不等号的方向不改变；不等式两边同时乘以或除以同一个负数，不等号的方向要改变．
6、D
【分析】
根据不等式的性质，等式两边同时乘以或者除以一个负数，不等式的符号改变，判断即可．
【详解】
解：“若xy，则axay”是假命题，
则，
故选：D．
【点睛】
本题考查了不等式的基本性质，熟知不等式的三个基本性质是解本题的关键．
7、A
【分析】
根据图象可得数轴所表示的不等式组的解集，然后依据不等式组解集的确定方法“同大取大，同小取小，小大大小中间找，大大小小无处找”，依次确定各选项的解集进行对比即可．
【详解】
解：根据图象可得，数轴所表示的不等式组的解集为：
，
A选项解集为：，符合题意；
B选项解集为：，不符合题意；
C选项解集为：，不符合题意；
D选项解集为：，不符合题意；
故选：A．
【点睛】
题目主要考查不等式组的解集在数轴上的表示及解集的确定，理解不等式组解集的确定方法是解题关键．
8、C
【分析】
根据不等式两边加或减某个数或式子，乘或除以同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边乘或除以一个负数，不等号的方向改变解答．
【详解】
解：A、不等式a＞b两边都乘-1，不等号的方向没有改变，不符合题意；
B、不等式a＞b两边都乘-1，不等号的方向没有改变，不符合题意；
C、不等式a＞b两边都乘2，不等号的方向不变，都减1，不等号的方向不变，符合题意；
D、因为≥0，当=0时，不等式a＞b两边都乘，不等式不成立，不符合题意；
故选：C．
【点睛】
本题考查了不等式的基本性质．不等式两边同时乘以或除以同一个数或式子时，一定要注意不等号的方向是否改变．
9、A
【分析】
根据天平的图片得到m的取值范围，在数轴上表示m的取值，问题得解．
【详解】
解：由图可知，，
∴m的取值范围在数轴上表示如图：
．
故选：A
【点睛】
本题考查了用数轴表示不等式的取值范围，理解题意，正确得到不等式组是解题关键．
10、C
【分析】
根据不等式的性质解答．①不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变；②不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；③不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
【详解】
解：A．∵x＞y，
∴x﹣1＞y﹣1，故本选项不符合题意；
B．∵x＞y，
∴5x＞5y，故本选项不符合题意；
C．∵x＞y，
∴，故本选项符合题意；
D．∵x＞y，
∴﹣2x＜﹣2y，故本选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】
此题考查了不等式的性质，熟记不等式的性质并正确应用是解题的关键．
二、填空题
1、、
【分析】
（1）分别求两点间距离，满足≤2即可；
（2）①求得CA两点间距离为2，k≥2即可；②表示CA的距离为，列不等式求解即可；
（3）根据题意，，列不等式计算．
【详解】
解：（1）由题意知：2，2，2，
∴、是点A的2可达点，
故填：、；
（2）①当点C表示的数为﹣1时，≤，故k＝3，
故填：3；
②当点C表示的数为m时，≤2，解得：，
故填：；
（3）由题意知：，，
即：，，
解得：，
故填：．
【点睛】
本题考查两点间距离、不等式的应用，正确理解题意是关键．
2、
【分析】
分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
【详解】
解不等式①得：
解不等式②得：
不等式组的解集是
故答案为：
【点睛】
本题考查了解一元一次不等式组，正确掌握一元一次不等式解集确定方法是解题的关键．
3、3x+2≤5
【分析】
不大于就是小于等于的意思，根据x的3倍与2的和不大于5，可列出不等式．
【详解】
解：由题意得：3x+2≤5，
故答案为：3x+2≤5．
【点睛】
本题考查由实际问题抽象出一元一次不等式，关键是抓住关键词语，弄清运算的先后顺序和不等关系，才能把文字语言的不等关系转化为用数学符号表示的不等式．
4、x
【分析】
根据不等（2a b）x＋a 5b＞0的解集是x＜1，可得a与b的关系，根据解不等式的步骤，可得答案．
【详解】
解；不等式（2a b）x＋a 5b＞0的解集是x＜1，
∴2a b＜0，2a b＝5b a，
a＝2b，b＜0，
2ax b＞0
4bx b＞0
4bx＞b
x<，
故答案为：x<．
【点睛】
本题考查了不等式的解集，注意不等式的两边都乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变．
5、＞ 不等式基本性质1 ＞ 不等式基本性质3 ＜ 不等式基本性质2 ＜ 不等式基本性质1；
【分析】
（1）根据不等式基本性质1，不等式两边同时加上或减去一个数，不等号方向不变，求解即可；
（2）根据不等式基本性质3，不等式两边同时乘以或除以一个负数，不等号方向改变，据此求解即可；
（3）根据不等式基本性质2，不等式两边同时乘以或除以一个正数，不等号方向不变，求解即可；
（4）根据不等式基本性质1，不等式两边同时加上或减去一个数，不等号方向不变，求解即可．
【详解】
解：（1）如果x+2＞5，那么，不等号两边同时减去2，不等号方向不变，根据的是不等式基本性质1；
（2）如果，不等号两边同时乘以，那么；根据是不等式基本性质3；
（3）如果，不等号两边同时乘以，那么；根据是不等式基本性质2；
（4）如果x-3＜-1，不等号两边同时加上3，那么；根据是不等式基本性质1；
故答案为：，不等式基本性质1；，不等式基本性质3；，不等式基本性质2；，不等式基本性质1．
【点睛】
此题考查了不等式的基本性质，解题的关键是掌握不等式的基本性质．
三、解答题
1、（1）1357不是4的“友谊数”，859是4的“友谊数”，理由见解析；（2）148或958
【解析】
【分析】
（1）根据“友谊数”的定义即可判断；
（2）先由M是“4的友谊数”得出a和b的关系式，再由a﹣b+3能被7整除得出a和b所有可能的结果，即可得出答案．
【详解】
解：（1）∵1+3+5+7＝16，1+6＝7，
∴1357不是4的“友谊数”，
∵8+5+9＝22，2+2＝4，
∴859是4的“友谊数”；
（2）∵M＝100a+10b+8是“4的友谊数”，
又∵1≤a≤9，1≤b≤9，
∴10≤a+b+8≤26，
在10到26之间是“4的友谊数”的有13，22，
∴a+b+8＝13或22，
①若a+b+8＝13，则a＝5﹣b，
∴a﹣b+3＝5﹣b﹣b+3＝8﹣2b，
∵1≤b≤9，
∴﹣10≤8﹣2b≤6，
在﹣10到6之间能被7整除的有﹣7，0，
∴8﹣2b＝﹣7或0，
∴b＝7.5（舍）或b＝4，
∴a＝5﹣4＝1，
∴M＝148，
②若a+b+8＝22，则a＝14﹣b，
∴a﹣b+3＝14﹣b﹣b+3＝17﹣2b，
∵1≤b≤9，
∴﹣1≤17﹣2b≤15，
在﹣1到15之间能被7整除的有0，7，14，
∴17﹣2b＝0或7或14，
∴b＝8.5（舍）或b＝5或b＝1.5（舍），
∴a＝14﹣5＝9，
∴M＝958，
综上M的值为148或958．
【点睛】
本题考查的是新定义运算，同时考查二元一次方程的正整数解，不等式的基本性质，解本题的关键是由M是“4的友谊数”得出a和b的关系式.
2、（1）食品有260箱，矿泉水有150箱；（2）共有3种运输方案，方案1：租用种货车3辆，种货车7辆，方案2：租用种货车4辆，种货车6辆，方案3：租用种货车5辆，种货车5辆；（3）政府应该选择方案1，才能使运费最少，最少运费是4950元
【解析】
【分析】
（1）设食品有x箱，矿泉水有y箱，根据“品和矿泉水共410箱，且食品比矿泉水多110箱”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设租用A种货车m辆，则租用B种货车（10-m）辆，根据租用的10辆货车可以一次运送这批物质，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，再结合m为正整数即可得出各运输方案；
（3）根据总运费=每辆车的运费×租车辆数，可分别求出三个运输方案所需总运费，比较后即可得出结论．
【详解】
解：（1）设食品有箱，矿泉水有箱，
依题意，得，
解得，
答：食品有260箱，矿泉水有150箱；
（2）设租用种货车辆，则租用种货车辆，依题意，得
解得：3≤m≤5，
又∵m为正整数，
∴m可以为3，4，5，
∴共有3种运输方案，
方案1：租用A种货车3辆，B种货车7辆；
方案2：租用A种货车4辆，B种货车6辆；
方案3：租用A种货车5辆，B种货车5辆．
（3）选择方案1所需运费为600×3+450×7=4950（元），
选择方案2所需运费为600×4+450×6=5100（元），
选择方案3所需运费为600×5+450×5=5250元）．
∵4950＜5100＜5250，
∴政府应该选择方案1，才能使运费最少，最少运费是4950元．
【点睛】
本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组；（3）利用总运费=每辆车的运费×租车辆数，分别求出三个运输方案所需总运费．
3、（1）甲、乙两种书柜每个的价格分别为元，元；（2）第一种方案：购进甲种书柜13个，乙种书柜17个，第二种方案：购进甲种书柜14个，乙种书柜16个，第三种方案：购进甲种书柜15个，乙种书柜15个.
【解析】
【分析】
（1）设甲、乙两种书柜每个的价格分别为元，元，再根据甲种书柜3个、乙种书柜4个，共需资金1500元；甲种书柜4个，乙种书柜3个，共需资金1440元，列方程组，再解方程组即可得到答案；
（2）设计划购进甲种书柜个，则购进乙种书柜个，根据乙种书柜的数量不少于甲种书柜的数量，学校至多能够提供资金6420元，列不等式组，再解不等式组结合为正整数，从而可得答案.
【详解】
解：（1）设甲、乙两种书柜每个的价格分别为元，元，则
解得：
答：甲、乙两种书柜每个的价格分别为元，元.
（2）设计划购进甲种书柜个，则购进乙种书柜个，则
由①得：
由②得：，
所以：
又因为为正整数，
或或
所以所有可行的购买方案为：
第一种方案：购进甲种书柜13个，乙种书柜17个，
第二种方案：购进甲种书柜14个，乙种书柜16个，
第三种方案：购进甲种书柜15个，乙种书柜15个.
【点睛】
本题考查的是二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用，设出合适的未知数，确定相等关系列方程组，确定不等关系列不等式组是解本题的关键.
4、125
【解析】
【分析】
设每套童装的标价是x元，根据（售价﹣进价）×销量＝总利润列出不等式，解不等式可得出x的取值范围，即可得答案．
【详解】
设每套童装的标价是x元，
∵按标价打九折售出，要获得不低于900元的利润，
∴40×(x 90%﹣90)≥900，
解得：x≥125，
∴每套童装的标价至少125元．
故答案为：125
【点睛】
本题考查一元一次不等式的应用，理解题意，根据（售价﹣进价）×销量＝总利润列出不等式是解题关键．
5、（1）甲种商品每件进价为100，乙种商品每件进价300元；（2）30件
【解析】
【分析】
（1）设甲种商品每件进价为x元，乙种商品每件进价y元，根据等量关系：3件甲种商品的花费+2件乙种商品的花费=900；2件甲种商品的花费+1件乙种商品的花费=500，即可列出方程组，解方程组即可；
（2）设该超市购进甲种商品m件，根据不等关系：甲商品的利润+乙商品的利润≥6500，列出不等式，不等式即可，再取不等式解集中最大的整数值即可．
【详解】
（1）设甲种商品每件进价为x元，乙种商品每件进价y元，根据题意的
解得
故甲种商品每件进价为100，乙种商品每件进价300元
（2）设该超市购进甲种商品m件，根据题意得：
（150－100）m＋（400－300）（80－m）≥6500
解得m≤30
∵m为整数
∴m的最大整数值为30．
即该超市最多购进甲种商品30件．
【点睛】
本题考查了解二元一次方程组及解不等式的应用，关键是理解题意，找到等量关系和不等关系，然后列出方程组和不等式即可解决问题．