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北师版八年级下册数学2.5.2 一元一次不等式与一次函数的综合应用教学设计
课题 2.5.2 一元一次不等式与一次函数的综合应用 单元 第二单元 学科 数学 年级 八
学习目标 1.利用一次函数、一元一次不等式及一元一次方程这三者之间的关系解决生活中的实际问题.2.运用数形结合思想方便快捷解决问题.
重点 学会利用一次函数建模解决方案选择问题。
难点 会用一次函数知识解决方案选择问题,体会函数模型思想。
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
导入新课 教师提问：想一想：一次函数与一元一次不等式的关系是什么？一次函数与一元一次不等式的关系：任何一元一次不等式都可以化为ax＋b＞0或ax＋b＜0(a，b为常数，a≠0)的形式，所以解一元一次不等式就可以看成当一次函数的值大于或小于0时，求相应的自变量的取值范围．从图象上看，ax＋b＞0或ax＋b＜0的解集是使直线y＝ax＋b(a≠0)位于x轴的上方或下方的部分对应的x的取值范围． 学生回答问题。 通过复习已学知识，为后面的学习新知识做铺垫。
讲授新课 【做一做】某电信公司有甲、乙两种手机收费业务.甲种业务规定月租费10元，每通话1min收费0.3 元；乙种业务不收月租费，但每通话1min收费0.4 元. 你认为何时选择甲种业务对顾客更合算？何时选择乙种业务对顾客更合算？教师提问：在题目中你能得到哪些信息？如何解决方案选择问题？(1)根据题意分别写出方案甲、乙的函数解析式y1、y2；解：设顾客每月通话时长为x 分钟，那么甲种业务每个月的消费额为y1，乙种业务每个月的消费额为y2，根据题意可知y1=10+0.3x ， y2=0.4x(2)将方案甲、乙进行比较。当甲乙两种业务消费额 一样时，即y1= y2，得10+0.3x=0.4x，解得x=100；当甲乙两种业务消费额不一样时，①由y1>y2，得10+0.3x>0.4x，解得x<100；此时选择乙种业务比较合算.②由y1100.此时选择甲种业务比较合算.(3)根据实际情况选择方案.当顾客每个月的通话时长等于100分钟时，选择甲乙两种业务一样合算；如果通话时长大于100 分钟，选择甲种业务比较合算；如果通话时长小于100 分钟，选择乙种业务比较合算.【总结归纳】一元一次不等式与一次函数综合应用时往往还结合一元一次方程，主要用来解决现实生活中的决策问题，一般情况下分以下步骤进行解答：(1)根据题意写出每个方案的函数关系式；(2)分三种情况进行比较，解每种情况所对应的方程或不等式；(3)利用方程的解或不等式的解集及实际情况给出相应的决策．【例】某单位计划在新年期间组织员工到某地旅游，参加旅游的人数估计为10至25人，甲、乙两家旅行社的服务质量相同，且报价都是每人200元. 经过协商，甲旅行社表示可给予每位游客七五折优惠；乙旅行社表示可先免去一位游客的旅游费用，然后给予其余游客八折优惠.该单位选择哪一家旅行社支付的旅游费用较少？解：设该单位参加这次旅游的人数是x人，选择甲旅行社时，所需的费用为y1元，选择乙旅行社时，所需的费用为y2元，则：y1 = 200×0.75x, 即y1 = 150x；y2 = 200×0.8(x-1), 即y2= 160x-160.由y1= y2， 得150x=160x-160，解得x=16； 由y1 ＞ y2，得150x＞160x-160，解得x＜16；由y1 ＜ y2，得150x＜160x-160，解得x＞16 .因为参加旅游的人数为10~25人，所以：当x=16时，y1=y2 ， 甲、乙两家旅行社的收费相同；当16y2，选择乙旅行社费用较少.【总结归纳】一次函数刻画了问题中两个变量之间存在的一种相互依赖关系，而一元一次不等式则描述了问题中这两个变量满足某些特定条件时的状态.因此，可以从一次函数的角度解决一元一次不等式的问题，也可以利用一元一次不等式解决一次函数的问题. 能从不同的角度思考问题,优化解决问题的方法。学生总结归纳。利用所学知识解决问题，巩固新知。学生总结。 通过问题串，让学生体会一元一次不等式（方程）与一次函数解决方案选择问题的步骤.及时总结，充分发挥学生的主体作用，有助于学生在理解新知识的基础上，及时把知识系统化，条理化。对上环节中解决此类问题的方法进行巩固，建立解决此类问题的数学模型；让学生在合作学习的过程中进一步体验应用解决方案选择问题的步骤，解决实际问题，提高学生应用知识的能力。
课堂练习 1.如图所示，某单位准备和一个体车主或一国营出租车公司中的一家签订月租车合同，设汽车每月行驶x 千米，个体车主收费y1元，国营出租车公司收费为y2元，观察图象可知，当 时，选用个体车较合算( D ) A.x<1 500 B.x=1 500 C.x>1 200 D.x>1 5002.直线l1：y1=kx+b与直线l2：y2=x+a在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于kx+b>x+a的不等式的解为( B )A. x＞3 B. x＜3 C. x=3 D. 无法确定3.某学校计划购买若干台电脑，现从两家商场了解到同一型号电脑每台报价均为6000元，并且多买都有一定的优惠.甲商场的优惠条件是：第一台按原报价收费，其余每台优惠25%.那么商场的收费y1(元)与所买电脑台数x之间的关系式是：y1=6000+6000（1-25%）（x-1）乙商场的优惠条件是：每台优惠20%.那么乙商场的收费y2 (元)与所买电脑台数x之间的关系式是：
y2=6000（1-20%）(1) 什么情况下到甲商场购买更优惠 令y1y乙，即20x>10x＋100，解得x>10，当入园次数大于10次时，选择乙消费卡比较合算． 分层设计，让学有余力的同学加深对所学理解 通过练习来巩固、强化课堂上所学的知识，并且培养学生综合运用所学的知识和技能解决问题的能力，培养学生的应用意识。
课堂小结 本节课你学到了什么？解答决策性问题的一般步骤：(1)列出相关的一次函数解析式y1=k1x+b1(k1≠0)和y2=k2x+b2(k2≠0).(2)根据y1和y2之间的大小关系分情况求得相应的x的值.(3)比较所得的结果,根据问题要求进行判断或决策.
板书 课题：2.5.2 一元一次不等式与一次函数的综合应用解答决策性问题的一般步骤：①列解析式②比较大小③得出结论
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2.5.2 一元一次不等式与一次函数的综合应用
北师版 八年级下册
新知导入
一次函数与一元一次不等式的关系：
任何一元一次不等式都可以化为ax＋b＞0或ax＋b＜0(a，b为常数，a≠0)的形式，所以解一元一次不等式就可以看成当一次函数的值大于或小于0时，求相应的自变量的取值范围．
从图象上看，ax＋b＞0或ax＋b＜0的解集是使直线y＝ax＋b(a≠0)位于x轴的上方或下方的部分对应的x的取值范围．
想一想：一次函数与一元一次不等式的关系是什么？
新知讲解
【做一做】
某电信公司有甲、乙两种手机收费业务.甲种业务规定月租费10元，每通话1min收费0.3 元；乙种业务不收月租费，但每通话1min收费0.4 元. 你认为何时选择甲种业务对顾客更合算？何时选择乙种业务对顾客更合算？
在题目中你能得到哪些信息？
如何解决方案选择问题？
新知讲解
(1)根据题意分别写出方案甲、乙的函数解析式y1、y2；
解：设顾客每月通话时长为x 分钟，那么甲种业务每个月的消费额为y1，乙种业务每个月的消费额为y2，
根据题意可知
y1=10+0.3x ， y2=0.4x
新知讲解
(2)将方案甲、乙进行比较。
当甲、乙两种业务消费额 一样时，
即y1= y2，得10+0.3x=0.4x，解得x=100；
当甲、乙两种业务消费额不一样时，
①由y1>y2，得10+0.3x>0.4x，解得x<100；
此时选择乙种业务比较合算.
②由y1100.
此时选择甲种业务比较合算.
新知讲解
(3)根据实际情况选择方案.
当顾客每个月的通话时长等于100分钟时，选择甲、乙两种业务一样合算；
如果通话时长大于100 分钟，选择甲种业务比较合算；
如果通话时长小于100 分钟，选择乙种业务比较合算.
新知讲解
一元一次不等式与一次函数综合应用时往往还结合一元一次方程，主要用来解决现实生活中的决策问题，一般情况下分以下步骤进行解答：
(1)根据题意写出每个方案的函数关系式；
(2)分三种情况进行比较，解每种情况所对应的方程或不等式；
(3)利用方程的解或不等式的解集及实际情况给出相应的决策．
【总结归纳】
新知讲解
【例】某单位计划在新年期间组织员工到某地旅游，参加旅游的人数估计为10至25人，甲、乙两家旅行社的服务质量相同，且报价都是每人200元. 经过协商，甲旅行社表示可给予每位游客七五折优惠；乙旅行社表示可先免去一位游客的旅游费用，然后给予其余游客八折优惠.该单位选择哪一家旅行社支付的旅游费用较少？
解：设该单位参加这次旅游的人数是x人，选择甲旅行社时，所需的费用为y1元，选择乙旅行社时，所需的费用为y2元，则：
y1 = 200×0.75x, 即y1 = 150x；
y2 = 200×0.8(x-1), 即y2= 160x-160.
新知讲解
由y1 = y2， 得150x=160x-160，解得x=16；
由y1 ＞ y2，得150x＞160x-160，解得x＜16；
由y1 ＜ y2，得150x＜160x-160，解得x＞16 .
因为参加旅游的人数为10~25人，所以：
当x=16时，y1=y2 ， 甲、乙两家旅行社的收费相同；
当16当10≤x<16时，y1>y2，选择乙旅行社费用较少.
新知讲解
一次函数刻画了问题中两个变量之间存在的一种相互依赖关系，而一元一次不等式则描述了问题中这两个变量满足某些特定条件时的状态.因此，可以从一次函数的角度解决一元一次不等式的问题，也可以利用一元一次不等式解决一次函数的问题.
【总结归纳】
课堂练习
1.如图所示，某单位准备和一个体车主或一国营出租车公司中的一家签订月租车合同，设汽车每月行驶x 千米，个体车主收费y1元，国营出租车公司收费为y2元，观察图象可知，当 时，选用个体车较合算( )
A.x<1 500
B.x=1 500
C.x>1 200
D.x>1 500
D
课堂练习
2.直线l1：y1=kx+b与直线l2：y2=x+a在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于kx+b>x+a的不等式的解为( )
A. x＞3
B. x＜3
C. x=3
D. 无法确定
B
x
y
y2=x+a
y1=kx+b
课堂练习
3.某学校计划购买若干台电脑，现从两家商场了解到同一型号电脑每台报价均为6000元，并且多买都有一定的优惠.
甲商场的优惠条件是：第一台按原报价收费，其余每台优惠25%.那么商场的收费y1(元)与所买电脑台数x之间的关系式是：
乙商场的优惠条件是：每台优惠20%.那么乙商场的收费
y2 (元)与所买电脑台数x之间的关系式是：
课堂练习
(1) 什么情况下到甲商场购买更优惠
(2) 什么情况下到乙商场购买更优惠
(3) 什么情况下两家商场的收费相同
令y1所以，当购买电脑台数超过5时，到甲商场购买更优惠.
令y1＞y2，得x<5.
所以，当购买电脑台数小于5时，到乙商场购买更优惠.
令y1=y2，得x=5.
所以，当购买电脑台数等于5时，两商场收费相同.
中考链接
4.【中考·常德】某生态体验园推出了甲、乙两种消费卡，设入园次数为x时所需费用为y元，选择这两种卡消费时，y与x的函数关系如图所示，解答下列问题：
(1)分别求出选择这两种卡消费时，y关于x的函数表达式；
解：设y甲＝k1x，根据题意得5k1＝100，
解得k1＝20，∴y甲＝20x；
设y乙＝k2x＋100，
将点(20，300)的坐标代入得20k2＋100＝300，
解得k2＝10.∴y乙＝10x＋100.
中考链接
解：①y甲②y甲＝y乙，即20x＝10x＋100，解得x＝10，当入园次数等于10次时，选择两种消费卡费用一样；
③y甲>y乙，即20x>10x＋100，解得x>10，当入园次数大于10次时，选择乙消费卡比较合算．
(2)请根据入园次数确定选择哪种卡消费比较合算．
课堂总结
本节课你学到了什么？
解答决策性问题的一般步骤：
(1)列出相关的一次函数解析式y1=k1x+b1(k1≠0)和y2=k2x+b2(k2≠0).
(2)根据y1和y2之间的大小关系分情况求得相应的x的值.
(3)比较所得的结果,根据问题要求进行判断或决策.
板书设计
课题：2.5.2 一元一次不等式与一次函数的综合应用
教师板演区
学生展示区
解答决策性问题的一般步骤：
①列解析式
②比较大小
③得出结论
作业布置
课本 P53 练习题
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