北师大版数学八年级下册 4.1 因式分解 课件 (共20张PPT)

(共20张PPT)
4.1 因式分解
第四章 因式分解
学习目标
1.解掌握因式分解的意义，会判断一个变形是否为因式分解.（重点）
2.理解因式分解与整式乘法之间的联系与区别.（难点）
导入新课
复习引入
问题1：21能被哪些数整除？
1，3，7，21.
问题2：你是怎样想到的？
因为21=1×21=3×7.
思考：既然有些数能分解因数，那么类似地，有些多项式可以分解成几个整式的积吗？
可以.
因式分解的概念
一
讲授新课
问题：993-99能被100整除这个吗？
所以，993-99能被100整除.
想一想: 993-99还能被哪些整数整除
探究引入
问题探究
如图，一块菜地被分成三部分，你能用不同的方式表示这块草坪的面积吗？
a
b
c
m
方法一：m(a+b+c)
方法二：ma+mb+mc
m(a+b+c)=ma+mb+mc
整式乘法

完成下列题目：
x(x-2)=_______
(x+y)(x-y)=_______
(x+1)2=________
x2-2x
x2-y2
x2+2x+1
根据左空，解决下列问题：
x2-2x=( )( )
x2-y2=( )( )
x2+2x+1=( )2
x
x-2
x+y
x-y
x+1
做一做
联系：左右两式是同一多项式的不同表现形式.
区别：左边一栏是多项式的乘法，右边一栏是把多项式化成了几个整式的积，他们的运算是相反的.
问题2：右边一栏表示的正是多项式的因式分解，你能根据我们的分析说出什么是因式分解吗？
问题1：观察同一行中，左右两边的等式有什么区别和联系？
总结归纳
把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做因式分解，也可称为分解因式.
其中，每个整式都叫做这个多项式的因式.
判断下列各式从左到右的变形中，是否为因式分解：
辩一辩
A. x(a﹣b)=ax﹣bx
B. x2﹣1+y2=(x﹣1)(x+1)+y2
C. y2﹣1=(y+1)(y﹣1)
D. ax+by+c=x(a+b)+c
E. 2a3b=a2 2ab
F. (x+3)(x﹣3)=x2﹣9
√
×
×
×
×
×
提示：判定一个变形是因式分解的条件：(1)左边是多项式．(2)右边是积的形式. (3)右边的因式全是整式.
做一做
根据左面算式填空:
(1) 3x2-3x=_________
(2)ma+mb+mc=___________
(3) m2-16=__________
(4) x2-6x+9=________
(5) a3-a=___________
计算下列各式:
(1) 3x(x-1)= __,
(2) m(a+b+c) = ______ ,
(3)(m+4)(m-4)= _____,
(4)(x-3)2= ,
(5)a(a+1)(a-1)= __,
3x2 - 3x
ma+mb+mc
m2 -16
x2-6x+9
a3-a
3x(x-1)
m(a+b+c)
(m+4)(m-4)
(x-3)2
a(a+1)(a-1)
想一想：由a(a+1)(a-1)得到a3-a的变形是什么运算
由a3-a得到a(a+1)(a-1)的变形与它有什么不同
由a(a+1)(a-1)得到a3-a的变形是整式乘法,
由a3-a得到a(a+1)(a-1)的变形与上面的变形互为逆过程.
因式分解与整式乘法的关系
二
x2-1 (x+1)(x-1)
因式分解
整式乘法
x2-1 = (x+1)(x-1)
等式的特征：左边是多项式，右边是几个整式的乘积
想一想：整式乘法与因式分解有什么关系？
是互为相反的变形，即
例 若多项式x2+ax+b分解因式的结果为
a（x﹣2）（x+3），求a，b的值.
解：∵x2+ax+b=a（x﹣2）（x+3）
=ax2+ax-6a.
∴a=1，b=﹣6a=﹣6.
典例精析
方法归纳：对于此类问题，掌握因式分解与整式乘法为互逆运算是解题关键，应先把分解因式后的结果乘开，再与多项式的各项系数对应比较即可.
下列多项式中，分解因式的结果为-(x+y)(x-y)的是（　　）
A．x2﹣y2 B．﹣x2+y2
C．x2+y2 D．﹣x2﹣y2
B
练一练
当堂练习
2. 下列从左到右的变形中，是因式分解的有______ .　
①24x2y=4x 6xy ②（x+5）（x﹣5）=x2﹣25 ③x2+2x﹣3=（x+3）（x﹣1）
④9x2﹣6x+1=3x（x﹣2）+1 ⑤x2+1=x（x+ ）
⑥3xn+2+27xn=3xn（ x2+9）
1. 下列各式中从左到右的变形属于分解因式的是
（　　）
A. a(a+b-1)=a2+ab-a B. a2-a-2=a(a-1)-2
C. -4a2+9b2=(-2a+3b)(2a+3b) D.2x +1=x(2+ )
C
③⑥
3. 把多项式x2+4mx+5因式分解得(x+5)(x+n)，则m+n的值为 　 ．
　
解析：由题意可得
x2+4mx+5=(x+5)(x+n)
=x2+(n+5)x+5n，
5n=5，4m=n+5．
解得n=1，m= ，
m+n=1+ = .
4. 20042+2004能被2005整除吗
解: ∵20042+2004=2004(2004+1)
=2004 ×2005
∴ 20042+2004能被2005整除
5. 若多项式x4+mx3+nx﹣16含有因式(x﹣2)和(x﹣1)，
求mn的值.
解：∵x4+mx3+nx﹣16的最高次数是4，
∴可设x4+mx3+nx﹣16=(x-1)(x-2)(x2+ax+b)，
则x4+mx3+nx-16=x4+(a-3)x3+(b-3a+2)x2+(2a-3b)x+2b
比较系数得 2b=-16，b-3a+2=0，a-3=m，2a-3b=n
解得a=-2，b=-8，m=-5，n=20.
∴mn=﹣5×20=﹣100．
6. 甲、乙两个同学分解因式x2+ax+b时，甲看错了b，分解结果为(x+2)(x+4)；乙看错了a，分解结果为(x+1）(x+9)，求a+b的值.
解：分解因式甲看错了b，但a是正确的，
其分解结果为x2+ax+b=(x+2)(x+4)=x2+6x+8，
∴a=6，
同理，乙看错了a，但b是正确的，
分解结果为x2+ax+b=(x+1)(x+9)=x2+10x+9，
∴b=9，
∴a+b=15．
课堂小结
因式分解
定义：把一个多项式化成几个整式的_____的形式，叫做因式分解，也可称为___________.
其中，每个整式叫做这个多项式的_______.
与多项式乘法运算的关系
的变形过程.
前者是把一个多项式化为几个整式的_____，后者是把几个整式的______化为一个_________.
积
分解因式
因式
相反
多项式
乘积
乘积