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【北师大版八年级数学（下）单元测试卷】
第三章：图形的平移与旋转
一.选择题：（每小题3分共30分）
1．以下为四个银行的标志，其中是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．如图，将△ABC绕着点C顺时针旋转50°后得到△A′B′C，若∠A=40°，∠B=110°，则∠BCA′的度数是（ ）
A．110° B．90° C．80° D．50°
3．线段两端点坐标分别为（，4），（，1），现将它向左平移4个单位长度，得到线段，则的坐标分别为（ ）
A．（，0），（，） B．（3，7），（0，5）
C．（，4），（，1） D．（3，4），（0，1）
4．在直角坐标系中，等腰直角三角形AOB在如图所示的位置，点B的坐标为（2，0），将△AOB绕原点O按逆时针方向旋转90°，得到△A′OB′，则点A′的坐标为（ ）
A．（-1，1） B．（1，1）
C．（，） D．（﹣，）
5．如图，将绕点B顺时针旋转角a，得到，此时点A，点B，点在一条直线上，若，则旋转角（ ）
A．79° B．80° C．78° D．81°
6．如图所示是计算器上显示的数字“2021”，说法正确的是（ ）
A．是轴对称图形但不是中心对称图形
B．是中心对称图形但不是轴对称图形
C．既是轴对称图形又是中心对称图形
D．不是轴对称图形也不是中心对称图形
7．如图，在△ABC中，∠CAB=65°，将△ABC绕点A逆时针旋转能与△AED重合，若CD∥AB，则∠CAD=（ ）
A．65° B．60° C．50° D．55°
8．如图所示，将等腰直角三角形ABC绕点A逆时针旋转15°得到，若，则图中阴影部分面积为（ ）
A． B． C． D．
9．如图，点，分别在轴，轴正半轴上（含坐标原点）滑动，且满足，点为线段的中点，将线段绕点顺时针旋转得到线段，当由点向右移动时，点移动的路径长为( )
A．3 B．4 C． D．
10．如图，平面直角坐标系中，△OA1B1是边长为2的等边三角形，作△B2A2B1与△OA1B1关于点B1成中心对称，再作△B2A3B3与△B2A2B1关于点B2成中心对称，如此作下去，则△B2n﹣1A2nB2n（n是正整数）的顶点A2n的坐标是（ ）
A．（4n﹣1，﹣） B．（4n﹣1，） C．（4n+1，﹣） D．（4n+1，）
二.填空题:(每小题3分共15分)
11．一只蚂蚁由（0，0）先向上爬2个单位长度，再向右爬3个单位长度，再向下爬4个单位长度后，它所在位置的坐标是_________．
12．点A（-3，5）关于原点的对称点坐标为_________，关于轴的对称点坐标为_________．
13．若点A（-m，n-5）与点B（-1，-2m）关于原点对称，则-mn=________．
14．已知点P关于y轴对称点P的坐标为，则点P关于原点O对称的点的坐标是______．
15．如图，，，，将△ACB固定，△CDE以点C为旋转中心旋转．当A、D、E三点共线时，则BD的长为______．
三.解答题:(共55分)
16．(6分)如图，已知在△ABC中，AC＝2AB，将△ABC绕点A旋转得到△ADE，连接BD，CE．
(1)求证：△ADB∽△AEC；
(2)若S△ACE＝8，求S△ABD的值．
17．(9分)如图，在平面直角坐标系中，△ABC三个顶点的坐标分别为A(-4，3)，B(-2，4)，C(-1，1)，若把△ABC向右平移5个单位长度，再向下平移3个单位长度得到△A B C ，点A，B，C的对应点分别为A'，B'，C'．
(1)写出A'，B'，C'的坐标：A' (_____，_____)，B' (____，____)，C' (_____，____)
(2)在图中画出平移后的△A'B'C'；
(3)求△A'B'C'的面积．
18．(5分)如图，等边△ABC，点D为BC延长线上一点，连接AD，将线段AD绕点A逆时针旋转60°得到线段AE．连接CE．求证：BD＝CE．
19．(8分)如图，与为等边三角形，点A，D，E在直线BC同侧，连接AE，BD．
(1)求证：；
(2)可以看作是经过旋转得到的，请利用旋转的知识进行说明．
20．(9分)如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别是，，．
(1)将△ABC绕C点旋转180°，作出旋转后对应的△A1B1C1；
(2)平移△ABC到△A2B2C2，使点A的对应点A2的坐标为（﹣1，﹣4）；
(3)若将△A1B1C1绕某一点旋转可以得到△A2B2C2，则该旋转中心的坐标为 ．
21．(9分)正方形ABCD的边长为3，E、F分别是AB、BC边上的点，且∠EDF＝45°．将△DAE绕点D逆时针旋转90°，得到△DCM．
(1)求证：F、C、M三点在一直线上，
(2)求证：EF＝FM
(3)当AE＝1时，求EF的长．
22．(9分)在等边三角形ABC中．
(1)如图1，D、E是边BC上两动点，且∠DAE=30°，将△ABE绕点A逆时针旋转60°后，得到△ACF，连接DF；
①求证：△AED≌△AFD；
②当BE=2，CE=5时，求DE的长；
(2)如图2，点D是等边三角形ABC的边BC所在直线上的一动点，连接AD，将线段AD绕点A顺时针旋转60°得到线段AE，连接CE，当BD=2，BC=6时，CE的长为________．
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第三章：图形的平移与旋转
一.选择题：（每小题3分共30分）
1．以下为四个银行的标志，其中是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
解：A.不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B. 不是中心对称图形，故此选项不合题意；
C.不是中心对称图形，故此选项不合题意；
D.是中心对称图形，故此选项符合题意．
故选：D．
2．如图，将△ABC绕着点C顺时针旋转50°后得到△A′B′C，若∠A=40°，∠B=110°，则∠BCA′的度数是（ ）
A．110° B．90° C．80° D．50°
解：∵∠A=40°，∠B=110°，
∴∠ACB=30°，
∵△ABC绕着点C顺时针旋转50°后得到△A′B′C，
∴∠ACA′=50°，
∴∠BCA′=∠BCA+∠ACA′=30°+50°=80°．
故选：C．
3．线段两端点坐标分别为（，4），（，1），现将它向左平移4个单位长度，得到线段，则的坐标分别为（ ）
A．（，0），（，） B．（3，7），（0，5）
C．（，4），（，1） D．（3，4），（0，1）
解： 线段两端点坐标分别为，，现将它向左平移4个单位长度，
，，
点A1、B1的坐标分别为，．
故选C．
4．在直角坐标系中，等腰直角三角形AOB在如图所示的位置，点B的坐标为（2，0），将△AOB绕原点O按逆时针方向旋转90°，得到△A′OB′，则点A′的坐标为（ ）
A．（-1，1） B．（1，1）
C．（，） D．（﹣，）
解：如图，过点A作AC⊥OB于C，过点作于，
∵△AOB是等腰直角三角形，点B的横坐标为2，
∴
∵△A′OB′是△AOB绕点O逆时针旋转90°得到，
∴，，
∴点的坐标为（ 1，1）．
故选：A．
5．如图，将绕点B顺时针旋转角a，得到，此时点A，点B，点在一条直线上，若，则旋转角（ ）
A．79° B．80° C．78° D．81°
解：由旋转可知：∠ABC=∠A1BC1，
∴∠ABA1=∠CBC1=（180°-∠A1BC）=79°．
故选：A．
6．如图所示是计算器上显示的数字“2021”，说法正确的是（ ）
A．是轴对称图形但不是中心对称图形
B．是中心对称图形但不是轴对称图形
C．既是轴对称图形又是中心对称图形
D．不是轴对称图形也不是中心对称图形
解一个图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够相互重合，这个图形叫轴对称图形，
不是轴对称图形，
把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫轴对称图形，
绕中心旋转得到，不是中心对称图形，
故选：D．
7．如图，在△ABC中，∠CAB=65°，将△ABC绕点A逆时针旋转能与△AED重合，若CD∥AB，则∠CAD=（ ）
A．65° B．60° C．50° D．55°
解：∵CD∥AB，
∴∠ACD=∠CAB=65°，
∵△ABC绕点A旋转得到△AED，
∴AC=AD，
∴∠CAD=180°-2∠ACD=180°-2×65°=50°，
故选：C．
8．如图所示，将等腰直角三角形ABC绕点A逆时针旋转15°得到，若，则图中阴影部分面积为（ ）
A． B． C． D．
解:如图，设B′C′与AB交点为D，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠BAC＝45°，
∵△AB′C′是△ABC绕点A逆时针旋转15°后得到，
∴∠CAC′＝15°，AC′＝AC＝1，
∴∠C′AD＝∠BAC ∠CAC′＝45° 15°＝30°，
∵AD＝2C′D，
∴AD2＝AC′2＋C′D2，
即（2C′D）2＝12＋C′D2，
解得C′D＝
故阴影部分的面积＝
故选B
9．如图，点，分别在轴，轴正半轴上（含坐标原点）滑动，且满足，点为线段的中点，将线段绕点顺时针旋转得到线段，当由点向右移动时，点移动的路径长为( )
A．3 B．4 C． D．
解：如图，OA＋OB=6，点C为线段AB的中点
∴C点坐标（），，即C点在直线y＋x=3（0≤x≤3）上
设A（3，0），则B（0，3）
∴当点在点处时，C（0，3），此时D（3，0）
∴∠BAO=45°
当点在处时即处，C（3，0），此时D′（6，3）AA′=A′D′=3∴∠D′AA′=45°
∴△为等腰直角三角形∴
∵∠BAO=45°，∠D′AA′=45°∴∠BAD′=90°
线段 AC 绕点 A 顺时针旋转 90° 得到线段 AD
∴当C点由B到A时，D点由A到D′
∴点移动的路径长为
故选：C
10．如图，平面直角坐标系中，△OA1B1是边长为2的等边三角形，作△B2A2B1与△OA1B1关于点B1成中心对称，再作△B2A3B3与△B2A2B1关于点B2成中心对称，如此作下去，则△B2n﹣1A2nB2n（n是正整数）的顶点A2n的坐标是（ ）
A．（4n﹣1，﹣） B．（4n﹣1，） C．（4n+1，﹣） D．（4n+1，）
解∵△OA1B1是边长为2的等边三角形，
∴A1的坐标为 ，B1的坐标为（2，0），
∵△B2A2B1与△OA1B1关于点B1成中心对称，
∴点A2与点A1关于点B1成中心对称，
∵2×2﹣1＝3，纵坐标是-，
∴点A2的坐标是，
∵△B2A3B3与△B2A2B1关于点B2成中心对称，
∴点A3与点A2关于点B2成中心对称，
∵2×4﹣3＝5，纵坐标是，
∴点A3的坐标是，
∵△B3A4B4与△B3A3B2关于点B3成中心对称，
∴点A4与点A3关于点B3成中心对称，
∵2×6﹣5＝7，纵坐标是-，
∴点A4的坐标是，…，
∵1＝2×1﹣1，3＝2×2﹣1，5＝2×3﹣1，7＝2×4﹣1，…，
∴An的横坐标是2n﹣1，A2n的横坐标是2×2n﹣1＝4n﹣1，
∵当n为奇数时，An的纵坐标是，当n为偶数时，An的纵坐标是﹣，
∴顶点A2n的纵坐标是﹣，
∴顶点A2n的坐标是 ．
故选：A．
二.填空题:(每小题3分共15分)
11．一只蚂蚁由（0，0）先向上爬2个单位长度，再向右爬3个单位长度，再向下爬4个单位长度后，它所在位置的坐标是_________．
解：点（0,0）向上平移2个单位长度，得（0，2），再向右爬3个单位长度，得（3，2），再向下爬4个单位长度后，得（3，-2）.
故答案为：（3，-2）
12．点A（-3，5）关于原点的对称点坐标为_________，关于轴的对称点坐标为_________．
解：在平面直角坐标系中，两个点关于原点对称时，横纵坐标都互为相反数，
点A（-3，5）关于原点的对称点坐标为（3，-5）；
在平面直角坐标系中，两个点关于轴对称时，横坐标不变，纵坐标互为相反数，
点A（-3，5）关于轴的对称点坐标为（-3，-5），
故答案为：（3，-5），（-3，-5）．
13．若点A（-m，n-5）与点B（-1，-2m）关于原点对称，则-mn=________．
解：点A（-m，n-5）与点B（-1，-2m）关于原点对称，得-m=-（-1）=1，n-5=2m，
∴m=-1，n=3．
∴-mn=-（-1）3=1，
故答案为：1．
14．已知点P关于y轴对称点P的坐标为，则点P关于原点O对称的点的坐标是______．
解：点P关于y轴对称点P的坐标为，则点P的坐标为（-3，1）；
点P关于原点O对称的点的坐标是（3，-1）；
故答案为：（3，-1）．
15．如图，，，，将△ACB固定，△CDE以点C为旋转中心旋转．当A、D、E三点共线时，则BD的长为______．
解：如图1：当点在点的右侧时，过点作，
∵，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，为等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
如图2，当点在点的左侧时，过点作，
同理可得，，，
∴，
故答案为：或
三.解答题:(共55分)
16．(6分)如图，已知在△ABC中，AC＝2AB，将△ABC绕点A旋转得到△ADE，连接BD，CE．
(1)求证：△ADB∽△AEC；
(2)若S△ACE＝8，求S△ABD的值．
(1)证明：∵将△ABC绕点A旋转得到△ADE，
∴AC＝AE，AB＝AD，∠CAE＝∠BAD，∴＝，∴△ADB∽△AEC；
(2)解：∵AC＝2AB，∴＝2，由（1）知△ADB∽△AEC；∴＝＝4，
∵S△ACE＝8，
∴S△ABD＝2．
17．(9分)如图，在平面直角坐标系中，△ABC三个顶点的坐标分别为A(-4，3)，B(-2，4)，C(-1，1)，若把△ABC向右平移5个单位长度，再向下平移3个单位长度得到△A B C ，点A，B，C的对应点分别为A'，B'，C'．
(1)写出A'，B'，C'的坐标：A' (_____，_____)，B' (____，____)，C' (_____，____)
(2)在图中画出平移后的△A'B'C'；
(3)求△A'B'C'的面积．
解:(1)根据平移方式可得，
故答案为：
(2)如图所示，
(3)△A'B'C'的面积
18．(5分)如图，等边△ABC，点D为BC延长线上一点，连接AD，将线段AD绕点A逆时针旋转60°得到线段AE．连接CE．求证：BD＝CE．
证明：∵△ABC是等边三角形
∴∠BAC＝60°，AB＝AC
由旋转的性质可得：
∠DAE＝60°
AD＝AE
∴∠BAC＝∠DAE
∴∠BAD＝∠CAE
在△ABD和△ACE中，
∴△ABD≌△ACE（SAS）∴BD＝CE
19．(8分)如图，与为等边三角形，点A，D，E在直线BC同侧，连接AE，BD．
(1)求证：；
(2)可以看作是经过旋转得到的，请利用旋转的知识进行说明．
(1)解： 与 为等边三角形， ，，
即
在与中
(2)解：由(1)可得，， 与中C点重合，故DC的对应边EC，又 ，
绕C顺时针旋转可得
20．(9分)如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别是，，．
(1)将△ABC绕C点旋转180°，作出旋转后对应的△A1B1C1；
(2)平移△ABC到△A2B2C2，使点A的对应点A2的坐标为（﹣1，﹣4）；
(3)若将△A1B1C1绕某一点旋转可以得到△A2B2C2，则该旋转中心的坐标为 ．
(1)解：如图所示，△A1B1C1即为所求：
(2)解：如图所示，△A2B2C2即为所求：
(3)解：如图所示：
旋转中心为．
21．(9分)正方形ABCD的边长为3，E、F分别是AB、BC边上的点，且∠EDF＝45°．将△DAE绕点D逆时针旋转90°，得到△DCM．
(1)求证：F、C、M三点在一直线上，
(2)求证：EF＝FM
(3)当AE＝1时，求EF的长．
(1)证明：由旋转的性质可知，
∠DCM＝∠DAE＝90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DCB＝90°，
∴F、C、M三点在一直线上；
(2)证明：∵∠EDF＝45°，∴∠ADE+∠FDC＝45°，
由旋转的性质可知，∠CDM＝∠ADE，DE＝DM，
∴∠FDM＝∠EDF，
在△EDF和△MDF中，
，
∴△EDF≌△MDF（SAS），
∴EF＝FM；
(3)设EF＝MF＝x，∵AE＝CM＝1，BC＝3，
∴BM＝BC+CM＝3+1＝4，
∴BF＝BM﹣MF＝4﹣x，
∵EB＝AB﹣AE＝3﹣1＝2，
在Rt△EBF中，由勾股定理得EB2+BF2＝EF2，
即22+（4﹣x）2＝x2，解得：x＝2.5，
则EF＝2.5．
22．(9分)在等边三角形ABC中．
(1)如图1，D、E是边BC上两动点，且∠DAE=30°，将△ABE绕点A逆时针旋转60°后，得到△ACF，连接DF；
①求证：△AED≌△AFD；
②当BE=2，CE=5时，求DE的长；
(2)如图2，点D是等边三角形ABC的边BC所在直线上的一动点，连接AD，将线段AD绕点A顺时针旋转60°得到线段AE，连接CE，当BD=2，BC=6时，CE的长为________．
(1)解：①由旋转的性质得：△BAE≌△CAF，
∴AE=AF，∠BAE=∠CAF，
∵△ABC是等边三角形，∠DAE=30°，
∴∠BAC=60°，∠CAD+∠BAE=∠CAD+∠CAF=30°，
∴∠DAE=∠DAF=30°，
∵DA=DA，AE=AF，
∴△AED≌△AFD；
②过点F作FG⊥BC于G，设DE=x，
∵△AED≌△AFD，△BAE≌△CAF，
∴DE=FD=x，BE=CF=2，∠B=∠ACB=∠ACF=60°，CD=CE-DE=5-x，
在Rt△CFG中，∠FCG=180°-60°-60°=60°，∠CFG=30°，CF=2，
∴CG=CF=1，FG=，
在Rt△DFG中，FD=x，FG=，DG=6-x，
由勾股定理得：DG2+FG2=DF2，即(6-x)2+()2=x2，
解得：x=；
∴DE的长为；
(2)解：①当点D在线段BC上时，连接BE，且BD=2，BC=6，CD=4，
根据旋转的性质得∠DAE=60°，DA=AE，
∵△ABC是等边三角形，∠BAC=60°，AB=AC，
∴∠DAC=∠EAB，
在△DAC和△EAB中，，
∴△DAC≌△EAB，
∴BE=CD=4，∠ACB=∠ABE=60°，
过点E作EH⊥BC于H，
在Rt△EBH中，∠EBH=180°-60°-60°=60°，∠BEH=30°，BE=4，
∴BH=BE=2，EH=，
在Rt△CEH中，EH=，CH=2+2+4=8，
由勾股定理得：CE=；
②当点D在CB的延长线上时，连接BE，且BD=2，BC=6，CD=8，
根据旋转的性质得∠DAE=60°，DA=AE，
∵△ABC是等边三角形，∠BAC=60°，AB=AC，
∴∠DAC=∠EAB，
在△DAC和△EAB中，，
∴△DAC≌△EAB，
∴BE=CD=8，∠ACB=∠ABE=60°，
过点E作EM⊥BC于M，
在Rt△EBM中，∠EBM=180°-60°-60°=60°，∠BEM=30°，BE=8，
∴BM=BE=4，EH=，
在Rt△CEM中，EM=，CM=4+6=10，
由勾股定理得：CE=；
综上，CE的长为或．
故答案为：或．
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