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【北师大版八年级数学（下）单元测试卷】
第五章：分式与分式方程
一.选择题：（每小题3分共30分）
1．若分式的值为零，则x等于（ ）
A．﹣2 B．2 C．3 D．0
2．使代数式有意义的x的取值范围是（）
A．且 B．且
C．且 D．
3．方程的解为（）
A．1 B．3 C．4 D．无解
4．“五一”假期，小萌一家计划自驾车去某地踏青，手机导航系统推荐了两条线路，线路一全程120，线路二全程144，汽车在线路二上行驶的平均时速是线路一上时速的1.8倍，线路二的用时预计比线路一少40分钟，如果设汽车在线路一上行驶的平均速度为，则下列所列方程正确的是（）
A． B．
C． D．
5．若二元一次方程组的解中，y＝0，则等于（）
A． B． C． D．
6．若关于x的分式方程无解，则m的值为（ ）
A．﹣3或 B．或
C．﹣3或或 D．﹣3或
7．已知关于x的分式方程的解为非负数，则正整数m的所有个数为（）
A．3 B．4 C．5 D．6
8．若关于x的一元一次不等式组的解为x＜-1，且关于y的分式方程1的解是正整数，则所有满足条件的整数a的值之和是（ ）
A．﹣15 B．﹣10 C．﹣7 D．﹣4
9．计算 的结果是（ ）
A． B． C． D．
10．关于x的分式方程解为非负数，关于x的不等式组至少有四个整数解，则满足条件的所有整数a的积为（）
A．3 B．2 C．6 D．0
二.填空题:(每小题3分共15分)
11．已知关于x的分式方程有增根，则k＝______．
12．若，求的值为______．
13．一个长方形的面积为a3﹣4a，宽为a2﹣2a，则长为_______．
14．若方程有增根，则m＝_____．
15．阅读理解：我们知道：当a是c的因数时，（a、c为整数）的值是整数．例如，当或时，的值是整数；又如，因为，所以当或时，的值是整数．
（1）如果分式的值是整数，那么a的正整数值是_______．
（2）如果分式的值是整数，那么x的负整数值是_______．
三.解答题:(共55分)
16．(8分)计算
(1)
(2)
17．(6分)先化简，再求值：，其中x＝3．
18．(8分)以反映伟大抗美援朝精神为题材的电影《长津湖》，作为国庆献礼片，截止到2021年11月底，票房已突破57亿．电影上映期间，小明和几个同学一起看了这部电影，购票共花了192元；2019年国庆期间，小明也是和这几个同学看了当时很火的一部电影《我和我的祖国》，购票共花了140元．若他们购买《我和我的祖国》的单价比《长津湖》的单价少13元，问他们购买这两部电影的单价各是多少元？
19．(8分)先化简，再求值：，其中的值从的整数解中选取．
20．(8分)为顺利通过“国家文明城市”验收，市政府拟对城区部分路段的人行道地砖、绿化带、排水管道等公用设施全面更新改造．现有甲、乙两个工程队有意承包这项工程，经调查知道，乙工程队单独完成此项工程的时间是甲工程队单独完成此项工程时间的倍，若甲、乙两工程队合作只需天完成．
(1)甲、乙两个工程队单独完成此项工程各需多少天？
(2)市政府决定由甲、乙共同完成此项工程．若甲工程队每天的工程费用是万元，乙工程队每天的工程费用是万元，若工程费用不超过万元，则甲工程队最多工作多少天？
21．(8分)我校组织七年级同学上午8：00乘车前往离学校120千米的开化“根博园”开展研学活动，共租了若干辆大巴车，若每辆车坐45人，则余下30人没有车坐；若每辆车坐50人，则最后一辆车还剩10个座位．
(1)七年级共有多少学生？共租了几辆大巴车？
(2)张老师因有事情，8：30从学校自驾汽车以大巴车1.6倍的速度追赶，追上大巴车后继续前行，结果比车队提前15分钟到达“根博园”，求张老师追上大巴车的地点到“根博园”的路程．
22．(9分)受新冠肺炎疫情持续影响，医用防护服和防护面罩的需求大大增加，为保障一线医护人员的健康安全，重庆一医疗器械有限公司组织甲、乙两个生产组进行防护服生产，甲生产组工人的人数比乙生产组工人人数多10人，由于乙生产组采用的新生产技术，所以乙生产组每天人均生产的防护服套数是甲生产组每天人均生产的防护服套数的倍，甲生产组每天可生产防护服2160套，乙生产组每天可生产防护服1920套．
(1)求甲、乙两个生产组各有工人多少名？(4分)
(2)随着天气转谅，疫情有所反弹，医用防护服的需求急增，该公司紧急组织甲、乙两个生产组加班生产一批防护服，并且在每个生产组都加派了生产工人．甲生产组的总人数比原来增加了，每天人均生产的防护服套数比来增加了a%；乙生产组的总人数比原来增加了5a%，每天人均生产的防护服套数比原来增加了24套，现在两个生产组每天共生产防护服7200套，求a的值．(5分)
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【北师大版八年级数学（下）单元测试卷】
第五章：分式与分式方程
一.选择题：（每小题3分共30分）
1．若分式的值为零，则x等于（ ）
A．﹣2 B．2 C．3 D．0
解∵，
∴x+2＝0，x﹣3≠0，
∴x＝-2．
故选：A．
2．使代数式有意义的x的取值范围是（）
A．且 B．且
C．且 D．
解：根据题意，得
，
解得，x≤1且x≠-1．
故选：A．
3．方程的解为（）
A．1 B．3 C．4 D．无解
解：方程的两边同时乘以公分母，得
解得
经检验，是原方程的解，
故选B
4．“五一”假期，小萌一家计划自驾车去某地踏青，手机导航系统推荐了两条线路，线路一全程120，线路二全程144，汽车在线路二上行驶的平均时速是线路一上时速的1.8倍，线路二的用时预计比线路一少40分钟，如果设汽车在线路一上行驶的平均速度为，则下列所列方程正确的是（）
A． B．
C． D．
解：设汽车在线路一上行驶的平均速度为xkm/h，根据题意得
，
故选择B.
5．若二元一次方程组的解中，y＝0，则等于（）
A． B． C． D．
解：把y=0代入方程组，得 ，
故x≠0，
①÷②，得
，
，
故选择B．
6．若关于x的分式方程无解，则m的值为（ ）
A．﹣3或 B．或
C．﹣3或或 D．﹣3或
解：当（x+3）（x﹣3）＝0时，x1＝3或x2＝﹣3，
原分式方程可化为：1，
去分母，得x（x+3）＝（x+3）（x﹣3）﹣（mx﹣2），
整理得（3+m）x＝﹣7，
∵分式方程无解，
∴3+m＝0，
∴m＝﹣3，
把x1＝3或x2＝﹣3，分别代入（3+m）x＝﹣7，
得m或m，
综上所述：m的值为m或m或m＝﹣3，
故选：C．
7．已知关于x的分式方程的解为非负数，则正整数m的所有个数为（）
A．3 B．4 C．5 D．6
解：去分母，得：m+2（x-1）=3，
移项、合并，得：x=，
∵分式方程的解为非负数，
∴5-m≥0
解得：m≤5，
∵≠1，
∴m≠3，
∴m≤5且m≠3，
∴正整数解有1，2，4，5共4个，
故选：B．
8．若关于x的一元一次不等式组的解为x＜-1，且关于y的分式方程1的解是正整数，则所有满足条件的整数a的值之和是（ ）
A．﹣15 B．﹣10 C．﹣7 D．﹣4
解
解不等式①得：
解不等式②得：
∵不等式组的解集为
∴
∴
分式方程两边同乘y 4，得：
解得：
由于方程的解为正整数，且由题意知y≠4
∴且
∴且
∴且
由于为正整数，所以为2的正整数倍数
由，得
即=2，4，6，8，10
∴a=1， 1， 3， 5， 7
但，则a的值为1， 1， 3， 7
则
故选：B
9．计算 的结果是（ ）
A． B． C． D．
解：
=
=
=，
故选：A．
10．关于x的分式方程解为非负数，关于x的不等式组至少有四个整数解，则满足条件的所有整数a的积为（）
A．3 B．2 C．6 D．0
解：解分式方程得，
，且，
且，，
解不等式组得，
不等式至少有四个整数解，
，
解得，
满足条件的的整数有1，2，
满足条件的所有整数的积为2，
故选：B．
二.填空题:(每小题3分共15分)
11．已知关于x的分式方程有增根，则k＝______．
解：去分母得，，
∵分式方程有增根，
∴，则，
把代入得
，解得：，
故答案为：1．
12．若，求的值为______．
解：
故答案为：2．
13．一个长方形的面积为a3﹣4a，宽为a2﹣2a，则长为_______．
解：由题意得，
.
故答案为：
14．若方程有增根，则m＝_____．
解：，
去分母得：x＝2（x﹣3）﹣2m，
解得：x＝6+2m，
∵方程有增根，
∴x﹣3＝0，
∴x＝3，
把x＝3代入x＝6+2m中可得：
6+2m＝3，
∴m，
故答案为：．
15．阅读理解：我们知道：当a是c的因数时，（a、c为整数）的值是整数．例如，当或时，的值是整数；又如，因为，所以当或时，的值是整数．
（1）如果分式的值是整数，那么a的正整数值是_______．
（2）如果分式的值是整数，那么x的负整数值是_______．
解：(1)∵，
又∵的值是整数，
∴a+3=±1或±5，
∴a=-2或-4或2或-8，
∴a的正整数值为2；
（2）∵，
又∵的值是整数，
∴x-4=±1或±7，
∴x=5或3或11或-3，
∴x的负整数值为-3，
故答案为：（1）2；（2）-3．
三.解答题:(共55分)
16．(8分)计算
(1)
(2)
解：
=；
解：
=2x．
17．(6分)先化简，再求值：，其中x＝3．
解:原式=
=
=．
当x=3时，原式=．
18．(8分)以反映伟大抗美援朝精神为题材的电影《长津湖》，作为国庆献礼片，截止到2021年11月底，票房已突破57亿．电影上映期间，小明和几个同学一起看了这部电影，购票共花了192元；2019年国庆期间，小明也是和这几个同学看了当时很火的一部电影《我和我的祖国》，购票共花了140元．若他们购买《我和我的祖国》的单价比《长津湖》的单价少13元，问他们购买这两部电影的单价各是多少元？
解：设他们所购《长津湖》的单价是元，则他们所购《我和我的祖国》的单价是元，
根据题意，得
方程两边乘，
得，
解得，
检验：当时，，
所以，是原分式方程的解，
（元），
答：他们所购《长津湖》和《我和我的祖国》的单价分别是48元和35元．
19．(8分)先化简，再求值：，其中的值从的整数解中选取．
解：原式
的整数解为：0，，，．
∵由使分式有意义的条件可知，
∴取0和时，原分式无意义．
∴只能取，
当时，原式；
当时，原式；
当时，原式；
当时，原式．
20．(8分)为顺利通过“国家文明城市”验收，市政府拟对城区部分路段的人行道地砖、绿化带、排水管道等公用设施全面更新改造．现有甲、乙两个工程队有意承包这项工程，经调查知道，乙工程队单独完成此项工程的时间是甲工程队单独完成此项工程时间的倍，若甲、乙两工程队合作只需天完成．
(1)甲、乙两个工程队单独完成此项工程各需多少天？
(2)市政府决定由甲、乙共同完成此项工程．若甲工程队每天的工程费用是万元，乙工程队每天的工程费用是万元，若工程费用不超过万元，则甲工程队最多工作多少天？
(1)解：设甲工程队单独完成此项工程需天，则乙工程队单独完成此工程需天．
由题意，得
解得：．
经检验，是原方程的根．
．
答：甲、乙两个工程队单独完成此项工程分别需天和天．
(2)法一、设甲工程队工作天，乙工程队工作天，完成工程．
则由题意，得
由，得，
把代入，得，
解得
因为甲工程队天能独立完成，
此时需要的工程费用为：万元万元
所以甲工程队最多可以天．
答：甲工程队最多工作天．
法二、设甲工程队工作天，乙工程队工作天，完成工程．
则由题意，得
由，得，
把代入，得，
解得，
所以
因为，
，随的增大而减小，
当时，此时需要的工程费用为：万元万元
答：甲工程队最多工作天．
21．(8分)我校组织七年级同学上午8：00乘车前往离学校120千米的开化“根博园”开展研学活动，共租了若干辆大巴车，若每辆车坐45人，则余下30人没有车坐；若每辆车坐50人，则最后一辆车还剩10个座位．
(1)七年级共有多少学生？共租了几辆大巴车？
(2)张老师因有事情，8：30从学校自驾汽车以大巴车1.6倍的速度追赶，追上大巴车后继续前行，结果比车队提前15分钟到达“根博园”，求张老师追上大巴车的地点到“根博园”的路程．
(1)解:设有x辆大巴车，根据题意得：
45x+30=50x-10．
解得：x=4，
∴共有学生45x+30=45×4+30=190（人），
答：七年级共有190学生，共租了4辆大巴车．
(2)解:设大巴车的的速度为y千米/小时，则张老师驾车的速度为1.6y千米/小时，根据题意得：
解得：y=60
经检验y=60是原方程的解，
1.6x=1.6×60=96，
∴大巴车的的速度为60千米/小时，则张老师驾车的速度为96千米/小时，
∴张老师追上大巴车的时间为：（小时），
∴张老师追上大巴车的地点到“根博园”的路程为：（千米）．
22．(9分)受新冠肺炎疫情持续影响，医用防护服和防护面罩的需求大大增加，为保障一线医护人员的健康安全，重庆一医疗器械有限公司组织甲、乙两个生产组进行防护服生产，甲生产组工人的人数比乙生产组工人人数多10人，由于乙生产组采用的新生产技术，所以乙生产组每天人均生产的防护服套数是甲生产组每天人均生产的防护服套数的倍，甲生产组每天可生产防护服2160套，乙生产组每天可生产防护服1920套．
(1)求甲、乙两个生产组各有工人多少名？(4分)
(2)随着天气转谅，疫情有所反弹，医用防护服的需求急增，该公司紧急组织甲、乙两个生产组加班生产一批防护服，并且在每个生产组都加派了生产工人．甲生产组的总人数比原来增加了，每天人均生产的防护服套数比来增加了a%；乙生产组的总人数比原来增加了5a%，每天人均生产的防护服套数比原来增加了24套，现在两个生产组每天共生产防护服7200套，求a的值．(5分)
(1)解:设甲生产组有工人名，则乙生产组有工人（）名，
由题意得：，
解得：．
经检验，是原方程的解．
∴（名）．
答：甲生产组有工人名，乙生产组有工人名．
(2)解:甲生产组原来每天人均生产套数为（套），
乙生产组原来每天人均生产套数为（套）．
由题意得：，
解得：．
故的值为．
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