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【北师大版八年级数学（下）单元测试卷】
第六章：平行四边形
一.选择题：（每小题3分共30分）
1．已知一个正多边形的内角是140°，则它是几边形（ ）
A．10 B．9 C．8 D．7
解：设这个正多边形是正n边形，根据题意得：
（n-2）×180°÷n=140°，
解得：n=9．
经检验，n=9是原方程的解．
故选B
2．一个正多边形的一个外角是，则该正多边形的内角和是（ ）
A． B． C． D．
解：该正多边形的边数为：360°÷60°=6，
该正多边形的内角和为：（6-2）×180°=720°．
故选：A．
3．如图，在ABCD中，AB=3，AD=5，∠ABC的平分线BE交AD于点E，则DE的长是（ ）．
A．4 B．3 C．3．5 D．2
解：∵ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠AEB=∠CBE，
BE是∠ABC的角平分线，
∴∠ABE=∠CBE，
∴∠ABE=∠AEB，
∴三角形ABE是等腰三角形，
∴AE=AB=3，
∴DE=AD－AE=5－3=2，
故选：D．
4．在平行四边形ABCD中，AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，AE=4，AF=6，平行四边形ABCD的周长为40，则平行四边形ABCD的面积是（ ）
A．36 B．48 C．40 D．24
解：设BC=x，
∵ ABCD的周长为40，
∴CD=20-x，
∵ ABCD的面积=BC AE=CD AF，
∴4x=6（20-x），
解得x=12，
∴ ABCD的面积=BC AE=12×4=48．
故选：B．
5．如图，在平行四边形OABC中，对角线相交于点E，OA边在x轴上，点O为坐标原点，已知点，，则点C的坐标为（ ）
A． B． C． D．
解：分别过E，C两点作EF⊥x轴，CG⊥x轴，垂足分别为F，G，
∴EF∥CG，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AE=CE，
∴AG=2AF，CG=2EF，
∵A（4，0），E（3，1），
∴OA=4，OF=3，EF=1，
∴AF=OA-OF=4-3=1，CG=2，
∴AG=2，
∴OG=OA-OG=4-2=2，
∴C（2，2）．
故选：D．
6．如图，△ABC中，点D，E在边BC上，∠ABC的平分线垂直AE，垂足为点N，∠ACB的平分线垂直AD，垂足为点M，连接MN．若，，则△ABC的周长为（ ）
A．17 B．18 C．19 D．20
解∵BN平分∠ABC，
∴∠ABN＝∠EBN，
∵BN⊥AE，
∴∠ANB＝∠ENB＝90°，
在△ABN和△EBN中，，
∴△ABN≌△EBN（ASA），
∴BA＝BE，AN＝NE，
同理可得：CA＝CD，AM＝MD，
∵AN＝NE，AM＝MD，MN＝，
∴DE＝2MN＝3，
∴△ABC的周长＝AB+BC+AC＝BE+BC+CD＝BC+BC+DE＝17．
故选：A．
7．如图，在中，，点，分别是边，的中点，延长至，使，若，则的长是（ ）
A．8 B．6 C．5 D．4
解：在中，，点是边的中点，，
∴，
点，分别是边，的中点，
，，
，
∴，
四边形为平行四边形，
，
故选：C
8．如图，在 ABCD中，AB＝2，BC＝4，∠D＝60°，点P、Q分别是AC和BC上的动点，在点P和点Q运动的过程中，PB+PQ的最小值为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．4
解：取BC的中点G，连接AG．在 ABCD中，AB＝2，BC＝4，∠D＝60°，
∴AB＝BG＝2，∠ABG＝∠D＝60°，
∴△ABG是等边三角形，
∴AG＝GC＝2，∠AGB＝∠BAG＝60°，
∴∠GAC＝∠GCA＝30°，
∴∠BAC＝90°，
作点B关于AC的对称点F，连接GF，交AC于点P，由对称可知，B、A、F在一条直线上，AG＝AF，
∵∠BAG＝∠F+∠AGF＝60°，
∴∠F＝∠AGF＝30°，
∴∠FGB＝90°，
当点Q与点G重合时，PB+PQ=PF+PG=FG，FG的长即为PB+PQ的最小值，
∵∠F＝∠AGF＝30°，AG＝GC＝2，
∴BF＝4，
，
∴BP+PQ的最小值为2．
故选：C．
9． ABCD中，E、F是对角线BD上不同的两点，下列条件中，不能得出四边形AECF一定为平行四边形的是（ ）
A．BE＝DF B．AF∥CE C．CE＝AF D．∠DAF＝∠BCE
解:如图，连接AC与BD相交于O，
在 ABCD中，OA＝OC，OB＝OD，要使四边形AECF为平行四边形，只需证明得到OE＝OF即可；
A、若BE＝DF，则OB﹣BE＝OD﹣DF，即OE＝OF，故本选项不符合题意；
B、AF∥CE能够利用“角角边”证明△AOF和△COE全等，从而得到OE＝OF，故本选项不符合题意；
C、若CE＝AF，则无法判断OE＝OE，故本选项符合题意；
D、由∠DAF＝∠BCE，从而可得△DAF≌△BCE，然后得出∠DFA＝∠BEC，
∴∠AFE＝∠CEF，
∴AF∥CE，
结合选项B可证明四边形AECF是平行四边形，故本选项不符合题意；
故选：C．
10．在 ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，BD＝2AD，E、F、G分别是OC、OD、AB的中点，下列结论：①GN＝NE；②AE⊥GF；③AC平分∠BCD；④AC⊥BD，其中正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴，AB＝CD，
∵E、F、G分别是OC、OD、AB的中点，
∴CD＝2EF，，AB＝2BG，
∴BG＝EF，，
∴四边形BGFE是平行四边形，
∴GN＝NE，故①正确；
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO＝CO，BO＝DO，AD＝BC，
∵BD＝2AD＝2BC，
∴BO＝BC，
又∵点E是OC的中点，
∴BE⊥AC，
∵四边形BGFE是平行四边形，
∴，
∴GF⊥AC，
即GF⊥AE，故②正确；
∵BO＝BC，
∴∠BOC＝∠BCO，
∵∠BOC＝∠ACD+∠BDC，
∴∠BOC＞∠ACD，
∴∠BCO≠∠ACD，
∴AC不平分∠BCD，故③错误；
∵BO＝BC，点E是OC的中点，
∴BE⊥AC，
∴∠BOE＜90°，
∴AC与BD不垂直，故④错误，
故选：B．
二.填空题:(每小题3分共15分)
11．如图， ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是线段AO，BO的中点，若AC+BD＝18cm，△OCD的周长是15cm，则EF＝_____cm．
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OCAC，OB=ODBD．
∵AC+BD＝18cm，
∴OC+OD＝OA+OB=9cm，
∵△OCD的周长是15cm，
∴CD＝6cm，
∵AB＝CD，点E，F分别是线段AO，BO的中点，
∴EFCD＝3cm．
故答案为：3．
12．在平面直角坐标系中，已知，点在线段上运动，分别以、为边在轴上方作等边和等边，连接，为的中点，当点从运动至点时，点运动的路径长为 __．
解：如图，延长，交于点，连接．
，都是等边三角形，
，，
，，是等边三角形，
四边形是平行四边形，
与互相平分，
点是的中点，
当点从运动至点时，点的运动轨迹是的中位线，
当点从运动至点时，点运动路径的长为，
故答案为：．
13．如图，在平行四边形中，的平分线交于E，，则的大小____________．
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠AEB=∠CBE，
∵BE平分∠ABE，
∴∠ABE=∠CBE，
∴∠AEB=∠ABE，
∵∠BED=150°，
∴∠ABE=∠AEB=30°，
∴∠A=180°﹣∠ABE﹣∠AEB=120°．
故答案为：120°．
14．如图，已知AG⊥BD，AF⊥CE，BD、CE分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，若BF＝2，ED＝3，GC＝4，则△ABC的周长为_____．
解：由AG⊥BD，BD是∠ABC的平分线，
可得∠ADB＝∠GDB＝90°，∠ABD＝∠GBD，BD为公共边，
∴△ADB≌△GDB，
∴AB＝GB，
∵AF⊥CE，CE是∠ACB的角平分线，
∴AC＝FC，
即△ABG和△ACF都是等腰三角形．
又因AG⊥BD，AF⊥CE，所以E、D分别是AF和AG的中点，
即ED是△AFG的中位线，
∴FG＝2DE，
则△ABC的周长为：AB+BC+AC＝BF+FG+BF+FG+CG+FG+CG
由BF＝2，ED＝3，GC＝4，FG＝2DE＝6得则△ABC的周长为30．
故答案为：30．
15．已知线段，．是上两点，且，是线段上一动点，在同侧分别作等边三角形和等边三角形，为线段的中点，点由点移动到点时，点移动的路径长度为___．
解：如图，分别延长、交于点，
，
，
，
，
四边形为平行四边形，
与互相平分．
为的中点，
为的中点，
即在的运动过程中，始终为的中点，
的运行轨迹为的中位线，
，
点移动的路径长度为3．
故答案为：3
三.解答题:(共55分)
16．(6分)已知：如图， ABCD中，BD是对角线，AE⊥BD于E，CF⊥BD于F．求证：BE＝DF．
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB=CD，
∴∠ABE=∠CDF，
∵AE⊥BD于E，CF⊥BD于F，
∴∠AEB=∠CFD=90°，
△ABE和△CDF中：∠AEB=∠CFD，∠ABE=∠CDF，AB=CD，
∴△ABE≌△CDF（AAS），
∴BE＝DF．
17．(8分)如图，在△ABC中，AB=3，AC=4，BC=5，△ABD，△ACE，△BCF都是等边三角形．
(1)证明：四边形AEFD是平行四边形；
(2)求∠DFE的度数．
(1)证明：∵△ABD和△FBC都是等边三角形，
∴BD=BA，BF=BC，∠DBF+∠FBA=∠ABC+∠FBA=60°，
∴∠DBF=∠ABC，
在△ABC与△DBF中，
，
∴△ABC≌△DBF（SAS），
∴AC=DF=AE=4，
同理可证：△ABC≌△EFC（SAS），
∴AB=EF=AD=3，
∴四边形AEFD是平行四边形；
(2)解：∵AB=3，AC=4，BC=5，32+42=52，
∴AB2+AC2=BC2，
∴△ABC是直角三角形，∠BAC=90°，
∵△ABD，△ACE都是等边三角形，
∴∠DAB=∠EAC=60°，
∴∠DAE=360°-60°-90°-60°=150°，
∵四边形AEFD是平行四边形，
∴∠DFE=∠DAE=150°．
18．(6分)如图，已知四边形ABCD是平行四边形，BE⊥AC，DF⊥AC，求证：BE＝DF．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∴∠BAC＝∠DCA，
∵BE⊥AC于E，DF⊥AC于F，
∴∠AEB＝∠DFC＝90°，
在△ABE和△CDF中 ，
，
∴△ABE≌△CDF（AAS）．
∴BE＝DF．
19．(8分)如图，四边形ABCD中AC、BD相交于点O，延长AD至点E，连接EO并延长交CB的延长线于点F，∠E＝∠F，AD＝BC．
(1)求证：O是线段AC的中点：
(2)连接AF、EC，证明四边形AFCE是平行四边形．
(1)证明：∵∠E＝∠F，
∴ADBC，
∵AD＝BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴AC，BD互相平分，
即O是线段AC的中点；
(2)证明：如图，
∵AD BC，
∴∠EAC＝∠FCA，
在△OAE和△OCF中，
，
∴△OAE≌△OCF，∴OE＝OF，
又AO=CO，∴四边形AFCE是平行四边形．
20．(8分)如图，在中，点D在上，点E在上，，且，．
(1)求证：；
(2)若，．求证：．
(1)证明:∵BF∥AD，且BF=DE，
∴四边形BDEF是平行四边形，∴BD=EF，
又CD=EF，∴BD=CD．
(2)延长AD到G，使DG=AD，连接BG，
在△CDA和△BDG中，
，
∴△CDA≌△BDG，
∴BG=AC，∠CAD=∠BGD，
又∵∠BED=∠CAD，
∴∠BED=∠G，
∴BE=BG，
∴BE=AC，
又AD=BE，
∴AC=AD．
21．(9分)如图，在平面直角坐标系中，，，且，满足．
(1)求直线的解析式；
(2)若为直线上一点，且是以为底的等腰直角三角形，求的值；
(3)在（2）条件下，设为坐标平面内的一点，如果以点，，，为顶点的四边形是平行四边形，写出满足条件的点的坐标（本小题直接写出答案，不要求写解题过程）．
(1)解：根据题意：，，
A（2，0），，
设直线的解析式为 则有；，
，
直线的解析式为
(2)解：过点分别向轴 轴作垂线，垂足分别为，如图，
是以为底的等腰直角三角形，
，，
∵∠EMF=90°，
∵∠BME＋∠EMA=∠AMF＋∠EMA=90°，
∴∠BME=∠AMF，
在Rt△MBE与Rt△MAF中
∴Rt△MBE≌Rt△MAF（AAS）
，BE=AF
∴k1=1
，
(3)解：由（2）BE=AF，设BE=x，则4－x=2＋x，解得x=1，即M（3，3）
当以点，，，为顶点的四边形是平行四边形，如图：
当， A（2，0），B（0，4），
∵AN=BM，，
∴N（﹣1，1）；
当AM∥BN时
A（2，0），B（0，4），
∵AB=MN′，BN′=AM，
∴N′（1，7），
当AN″∥BM，时，A（2，0），B（0，4），
∵AB=N″M，BM=AN″
∴N″（5，﹣1）
综上所述：N（-1，1）或N′（1，7）或N″（5，﹣1）
22．(10分)如图，已知关于x轴的对称点A在直线：上，与直线：交于点B．
(1)求直线的解析式与点B的坐标；
(2)上是否存在一点P，使得，若存在，求出P点坐标，若不存在，说明理由；
(3)已知点，M、N是上两个动点，且（N在M的右侧），当的值最小时，直接写出点M、N的坐标；已知点E是平面内除原点外一点，点M、N、C、E组成的四边形是平行四边形，直接写出点E的坐标，若不存在，说明理由．
(1)解：∵
∴点关于轴的对称点
点A在直线：上，
直线：
与直线：交于点B．
联立
解得
(2)存在点P使得，理由如下：
过作轴交直线于点，如图，
设直线的解析式为
则
解得
直线的解析式为
则
设P(t,-2t+5)，则即
即
解得或
或
(3)如图，过点D作l1的平行线，作C点关于l1的对称点C'，过点C'作ND的平行线交l1于M，过点C作CV⊥x轴交于V点，过点C'作C'U⊥x轴交于U点，设分别交轴于点S,T
四边形MRDN是平行四边形，
ND=MR，
由对称性可知C'M=CM，
CM＋ MN ＋ ND=C'M＋ MN+MRMN+C'R，
当C'、M、R三点共线时，CM+MN+ND的值最小，
，令，得，令，得
，
∠BSO = 45°，
关于对称，
SU = C'U = SV = CV,
C(-1,-1),
C'U=SU=1,
设
设直线的解析式为
设直线的解析式为
解得
设，使得组成的四边形是平行四边形
①为对角线时，
解得
②为对角线时，
解得
③为对角线时，
解得
（不符合题意，舍）
综上所述，的坐标为或
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第六章：平行四边形
一.选择题：（每小题3分共30分）
1．已知一个正多边形的内角是140°，则它是几边形（ ）
A．10 B．9 C．8 D．7
2．一个正多边形的一个外角是，则该正多边形的内角和是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，在ABCD中，AB=3，AD=5，∠ABC的平分线BE交AD于点E，则DE的长是（ ）．
A．4 B．3 C．3．5 D．2
4．在平行四边形ABCD中，AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，AE=4，AF=6，平行四边形ABCD的周长为40，则平行四边形ABCD的面积是（ ）
A．36 B．48 C．40 D．24
5．如图，在平行四边形OABC中，对角线相交于点E，OA边在x轴上，点O为坐标原点，已知点，，则点C的坐标为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，△ABC中，点D，E在边BC上，∠ABC的平分线垂直AE，垂足为点N，∠ACB的平分线垂直AD，垂足为点M，连接MN．若，，则△ABC的周长为（ ）
A．17 B．18 C．19 D．20
7．如图，在中，，点，分别是边，的中点，延长至，使，若，则的长是（ ）
A．8 B．6 C．5 D．4
8．如图，在 ABCD中，AB＝2，BC＝4，∠D＝60°，点P、Q分别是AC和BC上的动点，在点P和点Q运动的过程中，PB+PQ的最小值为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．4
9． ABCD中，E、F是对角线BD上不同的两点，下列条件中，不能得出四边形AECF一定为平行四边形的是（ ）
A．BE＝DF B．AF∥CE C．CE＝AF D．∠DAF＝∠BCE
10．在 ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，BD＝2AD，E、F、G分别是OC、OD、AB的中点，下列结论：①GN＝NE；②AE⊥GF；③AC平分∠BCD；④AC⊥BD，其中正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二.填空题:(每小题3分共15分)
11．如图， ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是线段AO，BO的中点，若AC+BD＝18cm，△OCD的周长是15cm，则EF＝_____cm．
12．在平面直角坐标系中，已知，点在线段上运动，分别以、为边在轴上方作等边和等边，连接，为的中点，当点从运动至点时，点运动的路径长为 __．
13．如图，在平行四边形中，的平分线交于E，，则的大小____________．
14．如图，已知AG⊥BD，AF⊥CE，BD、CE分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，若BF＝2，ED＝3，GC＝4，则△ABC的周长为_____．
15．已知线段，．是上两点，且，是线段上一动点，在同侧分别作等边三角形和等边三角形，为线段的中点，点由点移动到点时，点移动的路径长度为___．
三.解答题:(共55分)
16．(6分)已知：如图， ABCD中，BD是对角线，AE⊥BD于E，CF⊥BD于F．求证：BE＝DF．
17．(8分)如图，在△ABC中，AB=3，AC=4，BC=5，△ABD，△ACE，△BCF都是等边三角形．
(1)证明：四边形AEFD是平行四边形；
(2)求∠DFE的度数．
18．(6分)如图，已知四边形ABCD是平行四边形，BE⊥AC，DF⊥AC，求证：BE＝DF．
19．(8分)如图，四边形ABCD中AC、BD相交于点O，延长AD至点E，连接EO并延长交CB的延长线于点F，∠E＝∠F，AD＝BC．
(1)求证：O是线段AC的中点：
(2)连接AF、EC，证明四边形AFCE是平行四边形．
20．(8分)如图，在中，点D在上，点E在上，，且，．
(1)求证：；
(2)若，．求证：．
21．(9分)如图，在平面直角坐标系中，，，且，满足．
(1)求直线的解析式；
(2)若为直线上一点，且是以为底的等腰直角三角形，求的值；
(3)在（2）条件下，设为坐标平面内的一点，如果以点，，，为顶点的四边形是平行四边形，写出满足条件的点的坐标（本小题直接写出答案，不要求写解题过程）．
22．(10分)如图，已知关于x轴的对称点A在直线：上，与直线：交于点B．
(1)求直线的解析式与点B的坐标；
(2)上是否存在一点P，使得，若存在，求出P点坐标，若不存在，说明理由；
(3)已知点，M、N是上两个动点，且（N在M的右侧），当的值最小时，直接写出点M、N的坐标；已知点E是平面内除原点外一点，点M、N、C、E组成的四边形是平行四边形，直接写出点E的坐标，若不存在，说明理由．
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