人教版数学八年级下册 16.1 第1课时 二次根式的概念 课件(共22张PPT)

(共22张PPT)
第十六章 二次根式
16.1 二根次式
第1课时 二次根式的概念
1.会判断一个式子是不是二次根式.
2.会求被开方数中所含字母的取值范围.
重点难点：
1.理解二次根式的概念．
2.掌握二次根式有意义的条件.
3.会利用二次根式的非负性解决相关问题.
学习目标：
情景导入
思考 用带根号的式子填空，这些结果有什么特点？
(1)一张海报为正方形，若面积为2 m2，则边长为_____m；若面积为S m2，则边长为_____m．
(2)一张的海报为长方形，若长是宽的2倍，面积为6 m2，则它的宽为_____m．
(3)一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时间 t（单位：s）与开始落下的高度h（单位：m）满足关系 h =5t2，如果用含有 h 的式子表示 t ，那么 t 为_____．
问题1 这些式子分别表示什么意义？
分别表示2，S，3， 的算术平方根．
上面问题中，得到的结果分别是： ， ， ， ．
①根指数都为2;
②被开方数为非负数.
问题2 这些式子有什么共同特征？
一般地，我们把形如 （a≥0）的式子叫做二次根式. “ ”称为二次根号.注意：a可以是数，也可以是式.
两个必备特征
①外貌特征：含有“ ”
②内在特征：被开方数a ≥ 0
知识精讲
知识点一 二次根式的概念
被开方数可以是非负的数或单项式、多项式、分式等
例1 下列各式中，哪些是二次根式？哪些不是？
解：(1)(4)(6)均是二次根式，其中a2+1属于“非负数+正数”的形式一定大于零.(2)(3)(5)(7)均不是二次根式.
是否含二次根号
被开方数是不是非负数
二次根式
不是二次根式
是
是
否
否
分析：
解：设长方形的长、宽分别为3x cm，2x cm，
由题意得2x×3＝18，
解得x ＝ (负值舍去)．
答：长方形的长、宽应分别取3 cm和2 cm.
1.要画一个面积为 18 cm2的长方形，使它的长与宽之比为3 : 2，它的长、宽各应取多少？
针对练习
3.下列式子不一定是二次根式的是(　　)
A. B. C. D.
2.下列式子一定是二次根式的是( )
A. B. C. D.
C
A
4.下列式子： 中，一定是二次根式的有(　　)
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
C
知识点二 二次根式有意义的条件
式子 只有在条件a≥0时才叫二次根式．即a≥0是 为二次根式的前提条件.
1．二次根式有意义的条件是被开方数(式)为非负数；反
之也成立，即： 有意义 a≥0.
2．二次根式无意义的条件是被开方数(式)为负数；反之
也成立，即： 无意义 a＜0.
总结：
例2 当x是怎样的实数时, 在实数范围内有意义
解：由 x-2 ≥ 0，得 x ≥ 2.
当x ≥ 2时， 在实数范围内有意义.
【变式题1】当x是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？
解：（1）由题意得x－1＞0，
∴x＞1.
解：（2）∵被开方数需大于或等于零，
∴3+x≥0，∴x≥－3.
∵分母不能等于零，
∴x－1≠0，∴x≠1.
∴x≥－3 且x≠1.
归纳：要使二次根式在实数范围内有意义，即需满足被开方数≥0，列不等式求解即可.若式子为分式，应同时考虑分母不为零.
【变式题2】当x是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？
解：(1)∵无论x为何实数，
∴当x=1时， 在实数范围内有意义.
(2)∵无论x为何实数，－x2－2x－3=－(x+1)2－2＜0，
∴无论x为何实数， 在实数范围内都无意义.
归纳：被开方数是多项式时，需要对组成多项式的项进行恰当分组凑成含完全平方的形式，再进行分析讨论.
(2)多个二次根式相加如 有意义的条件：
(3)二次根式作为分式的分母如 有意义的条件： A＞0；
(4)二次根式与分式的和如 有意义的条件：A≥0且B≠0.
(1)单个二次根式如 有意义的条件：A≥0；
归纳：
1.当a是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？
(1) (2) (3) (4)
解：(1)由a－1≥0，得a≥1，所以当a≥1时， 在实数范围内有意义．
(2)由2a＋3≥0，得a≥－ ，所以当a≥－ 时， 在实数范围内有意义．
(3)由－a≥0，得a≤0，所以当a≤0时， 在实数范围内有意义．
(4)由5－a≥0，得a≤5，所以当a≤5时， 在实数范围内有意义．
针对练习
2.二次根式 中，x 的取值范围是(　　)
A．x≥1 B．x＞1
C．x≤1 D．x＜1
A
3.要使式子 有意义，则实数a的取值范围是(　　)
A．a≥－1 B．a≠2
C．a≥－1且a≠2 D．a＞2
C
4.当 x =______时，二次根式 取最小值，其最小值为______．
－1
0
二次根式的实质是表示一个非负数（或式）的算术平方根.对于任意一个二次根式 ，我们知道：
（1）a为被开方数，为保证其有意义，可知a ≥ 0；
（2） 表示一个数或式的算术平方根，可知 ≥ 0.
二次根式的被开方数非负
二次根式的值非负
二次根式的双重非负性
知识点三 二次根式的双重非负性
例3 若 ，求a -b+c的值.
解：由题意可知a－5=0,b－6=0,c－2=0,
解得a=5,b=6,c=2.
所以a－b+c=5－6+2=1.
归纳：多个非负数的和为零，则可得每个非负数均为零.初中阶段学过的非负数主要有绝对值、偶次幂及二次根式.
2.实数a，b满足 ＋4a2＋4ab＋b2＝0，则ba的值为(　　)
A．2 B. C．－2 D．－
针对练习
1.若 ，则xy＝________.
9
B
3.已知实数x，y满足|x－4|＋ ＝0，则以x，y的值为两边长的等腰三角形的周长是(　　)
A．20或16 B．20 C．16 D．以上答案均不对
B
4.二次根式 中，字母 a 的取值范围是( )
A.a＜0 B.a≤0 C.a≥0 D.a＞0
当堂检测
1.已知一个正方形的面积是3，那么它的边长是 .
2.使 有意义的x的取值范围是 .
x≥－3
3.下列各式中一定是二次根式的是( )
B
D
5.当a是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？
6.若x，y是实数，且 y ＜ ,求 的值.
解：根据题意得
∴x = 1.
∵y ＜ ,
∴y ＜ ，
∴ .
课堂小结
二次根式
定义
带有二次根号
在有意义条件下求字母的取值范围
被开方数必须为非负数，
被开方数为非负数(a ≥ 0)
二次根式的双重非负性
二次根式 中,a≥0且 ≥0