复数 知识点与题型归纳 学案

复数知识点与题型归纳
一、知识点
1．复数的有关概念
(1)复数的概念：
形如a＋bi(a，b∈R)的数叫复数，其中a，b分别是它的实部和虚部．若b＝0，则a＋bi为实数；若b≠0，则a＋bi为虚数；若a＝0且b≠0，则a＋bi为纯虚数．
(2)复数相等：a＋bi＝c＋di a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R)．
(3)共轭复数：a＋bi与c＋di共轭 a＝c，b＝－d(a，b，c，d∈R)．
(4)复数的模：
向量的模叫做复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模，记作|z|或|a＋bi|，即|z|＝|a＋bi|＝.
2．复数的几何意义
(1)复数z＝a＋bi复平面内的点Z(a，b)(a，b∈R)．
(2)复数z＝a＋bi(a，b∈R) 平面向量.
3．复数的运算
(1)复数的加、减、乘、除运算法则
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则
①加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i；
②减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i；
③乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i；
④除法：＝＝＝＋i(c＋di≠0)．
(2)复数加法的运算定律
复数的加法满足交换律、结合律，即对任何z1，z2，z3∈C，有z1＋z2＝z2＋z1，(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)．
4.常用结论
1．(1±i)2＝±2i；＝i；＝－i.
2．i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i(n∈N*)．
3．，，，.
二、巩固练习
题型一.复数的有关概念
1．(2019·全国卷Ⅲ)若z(1＋i)＝2i，则z＝(　　)
A．－1－i B．－1＋i C．1－i D．1＋i
2．已知i为虚数单位，若复数z＝＋i(a∈R)的实部与虚部互为相反数，则a＝(　　)
A．－5 B．－1 C．－ D．－
3．若(1－mi)(m＋i)＜0，其中i为虚数单位，则m的值为(　　)
A．－1 B．－2 C．－3 D．－4
4．若复数z＝＋1为纯虚数，则实数a＝(　　)
A．－2 B．－1 C．1 D．2
5．已知复数（i虚数单位），则z（　　）
A． B．2 C．1 D．
6．若b+2i，其中a，b∈R，i是虚数单位，则a+b的值（　　）
A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．3
7．若复数z满足＝i，其中i为虚数单位，则共轭复数＝(　　)
A．1＋i B．1－i C．－1－i D．－1＋i
8．设复数z满足i，则|z|＝（　　）
A．1 B． C． D．2
9．若复数z满足，则下列说法正确的是（　　）
A．z的虚部为i B．z为实数 C．|z| D．z2i
10．若复数Z的实部为1，且|Z|＝2，则复数Z的虚部是（　　）
A． B．± C．±i D．i
11．－3＋2i是方程2x2＋px＋q＝0的一个根，且p，q∈R，则p＋q＝ .
题型二.复数的几何意义
1．(1)(2019·全国卷Ⅰ)设复数z满足|z－i|＝1，z在复平面内对应的点为(x，y)，则(　　)
A．(x＋1)2＋y2＝1 B．(x－1)2＋y2＝1
C．x2＋(y－1)2＝1 D．x2＋(y＋1)2＝1
2．设i是虚数单位，的复数z的共轭复数，z＝1+2i，则复数z+i 在复平面内对应的点位于（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．设(1－i)x＝1＋yi，其中x，y是实数，则x＋yi在复平面内所对应的点位于(　　)
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
4．设a∈R，若复数在复平面内对应的点位于实轴上，则a＝（　　）
A．0 B．﹣1 C．1 D．
5．如图，在复平面内，复数z1，z2对应的向量分别是，，则复数z1·z2对应的点位于(　　)
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
6．在复平面内，O是坐标原点，向量对应的复数是﹣2+i，若点A关于实轴
的对称点为点B，则向量对应的复数的模为　 　．
7．设复数z1，z2在复平面内对应的点关于实轴对称，z1＝2＋i，则＝(　　)
A．1＋i B.＋i C．1＋i D．1＋i
8．已知i为虚数单位，且复数z满足，则复数z在复平面内的点到原点的距离为（　　）
A． B． C． D．
9.已知复数z1＝－1＋2i，z2＝1－i，z3＝3－4i，它们在复平面内对应的点分别为A，B，C，若＝λ＋μ
(λ，μ∈R)，则λ＋μ的值是 ．
10.若复数z满足|z－i|≤(i为虚数单位)，则z在复平面内所对应的图形的面积为 ．
题型三.复数的指数幂运算
1．若复数z（i为虚数单位），则复数在复平面上对应的点所在的象限为（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．已知a为实数，若复数为纯虚数，则的值为（　　）
A．1 B．0 C．1+i D．1﹣i
3．已知复数z满足z i2020＝1+i2019（其中i为虚数单位），则复数z的虚部是（　　）
A．﹣1 B．1 C．﹣i D．i
4．设i是虚数单位，则复数z＝（）2013＝（　　）
A．﹣1 B．1 C．﹣i D．i
5．已知复数z＝﹣1+i，则（　　）
A．﹣1 B．1 C．﹣i D．i
6．若Z＝1+i，则＝（　　）
A．0 B．1 C． D．2
当z时，z100+z50+1的值等于　 　．
8．已知复数z＝，则复数z在复平面内对应点的坐标为 ．
题型四.待定系数在复数中的应用——最值问题
1．若复数z满足3z4+2i，则z＝（　　）
A．1+i B．1﹣i C．﹣1﹣i D．﹣1+i
2．设复数z满足z2＝3+4i（i是虚数单位），则z的模为（　　）
A．25 B．5 C． D．2+i
3．设复数z满足，，，则＝　 　．
4．已知z∈C，且，则|z﹣2﹣2i|（i为虚数单位）的最小值是（　　）
A．21 B．21 C． D．2
5．设复数z1，z2满足，，则的最大值为（　　）
A．3+2 B．2 C．3 D．6
已知复数z＝x+yi（x，y∈R）满足条件|z﹣4i|＝|z+2|，则2x+4y的最小值是　 　．
三、答案与解析
题型一.复数的有关概念
1.【解答】：(1)由题意得z＝＝＝1＋i，故选D.
2.【解答】：z＝＋i＝＋i＝＋i，
因为复数z＝＋i(a∈R)的实部与虚部互为相反数，所以－＝，解得a＝－.故选D.
3.【解答】：因为(1－mi)(m＋i)＝2m＋(1－m2)i＜0，所以解得m＝－1，故选A.
4.【解答】：因为复数z＝＋1＝＋1＝－i，因为z为纯虚数，所以，
所以a＝－2.故选A.
5.【解答】：由题意知，利用性质，得z2，故选：B．
6.【解答】：因为ai﹣1＝b+2i，其中a、b∈R，i是虚数单位，所以a＝﹣2，b＝﹣1，所以a+b＝﹣3．
故选：A．
7.【解答】：由题意，得z＝i(1－i)＝1＋i，所以＝1－i，故选B.
8.【解答】：因为复数z满足i，所以1+z＝i﹣zi，所以z（1+i）＝i﹣1，所以zi，所以|z|＝1，故选：A．
9.【解答】：因为z（1﹣i）＝2i，所以z1+i，
则|z|；由于z的虚部是1，则A，B错，z2，则D错．故选：C．
10.【解答】：复数Z的实部为1，设Z＝1+bi．|Z|＝2，可得2，解得b．复数Z的虚部是．
故选：B．
11.【解答】：由题意得2(－3＋2i)2＋p(－3＋2i)＋q＝0，即2(5－12i)－3p＋2pi＋q＝0，
即(10－3p＋q)＋(－24＋2p)i＝0，所以，所以p＝12，q＝26，所以p＋q＝38.
题型二.复数的几何意义
1.【解答】：设复数z与i分别表示复平面内的点Z与点P，则P(0,1)，且|z－i|表示复平面内点Z与点P之间的距离，所以点Z(x，y)到点P(0,1)的距离为定值1，所以Z的轨迹是以(0,1)为圆心，1为半径的圆，故选C.
2.【解答】：因为z＝1+2i，所以z+i 1+2i+i（1﹣2i）＝1+2i+i+2＝3+3i．
所以复数z+i 在复平面内对应的点的坐标为（3，3），位于第一象限．故选：A．
3.【解答】：因为x，y是实数，所以(1－i)x＝x－xi＝1＋yi，所以，解得，所以x＋yi在复平面内所对应的点为(1，－1)，位于第四象限．故选D.
4.【解答】：因为复数（1+i）（a+i）＝（a﹣1）+（a+1）i在复平面内对应的点位于实轴上，所以a+1＝0，即a＝﹣1．故选：B．
5.【解答】：由已知＝(－2，－1)，＝(0,1)，所以z1＝－2－i，z2＝i，z1z2＝1－2i，
它所对应的点为(1，－2)，在第四象限．故选D.
6.【解答】：因为向量对应的复数是﹣2+i，所以A（﹣2，1），又点A关于实轴的对称点为点B，
所以B（﹣2，﹣1）．所以向量对应的复数为﹣2﹣i，该复数的模为|﹣2﹣i|．故答案为：．
【解答】：因为复数z1，z2在复平面内对应的点关于实轴对称，z1＝2＋i，所以z2＝2－i，
所以＝＝＝＋i，故选B.
8.【解答】：由，得z＝2i2i，
所以复数z在复平面内的点的坐标为（，），到原点的距离为．故选：B．
【解答】：由条件得＝(3，－4)，＝(－1,2)，＝(1，－1)，根据＝λ＋μ
得(3，－4)＝λ(－1,2)＋μ(1，－1)＝(－λ＋μ，2λ－μ)，所以，解得，所以λ＋μ＝1.
【解答】：设z＝x＋yi(x，y∈R)，由|z－i|≤得|x＋(y－1)i|≤，所以，所以
x2＋(y－1)2≤2，所以z在复平面内所对应的图形是以点(0,1)为圆心，以r=的圆及其内部，它的面积为2π.
题型三.复数的指数幂运算
1.【解答】解：因为z1+i，所以1﹣i，
所以复数在复平面对应的点的坐标是（﹣1，﹣1）；所以它对应的点在第三象限，故选：C．
2.【解答】：复数z＝（a2﹣1）+（a+1）i为纯虚数，可得a＝1，1﹣i．
故选：D．
3.【解答】：因为i4＝1，所以i2020＝i4×505＝1，i2019＝i4×504+3＝﹣i，则z i2020＝1+i2019化为z＝1﹣i，
所以z的虚部为﹣1．故选：A．
4.【解答】：因为，所以z＝（）2013＝i2013＝（i2）1006 i＝i．故选：D．
5.【解答】：因为z＝﹣1+i，所以．故选：A．
6.【解答】：因为Z＝1+i，所以Z2﹣Z＝（1+i）2﹣（1+i）＝1+2i+i2﹣1﹣i＝i2+i＝﹣1+i，
所以|Z2﹣Z|．故选：C．
7.【解答】：因为zi，所以z22i+（i）2＝﹣i，可得z4＝﹣1
根据复数乘方的含义，得z100＝（z4）25＝﹣1，z50＝（z4）12 z2＝﹣i，所以z100+z50+1＝﹣1﹣i+1＝﹣i
故答案为：﹣i
8.【解答】：因为i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＋i4n＋4＝i＋i2＋i3＋i4＝0，而2 018＝4×504＋2，
所以z＝＝＝＝＝＝i，对应的点为(0,1)．
题型四.待定系数在复数中的应用——最值问题
1.【解答】：设z＝a+bi（a，b∈R），则3z3（a+bi）+a﹣bi＝4a+2bi＝﹣4+2i，
所以，即a＝﹣1，b＝1．所以z＝﹣1+i．故选：D．
2.【解答】：法一、设z＝a+bi（a，b∈R），由z2＝3+4i，得（a+bi）2＝a2﹣b2+2abi＝3+4i，
所以，解得或．所以．故选：C．
法二、由z2＝3+4i，得，则|z|．故选：C．
3.【解答】：设z1＝a+bi，z2＝c+di，（a，b，c，d为实数），
因为复数z满足，所以且a2+b2＝1，c2+d2＝4，
所以a2+c2+2ac+b2+d2+2bd＝4，即2ac+2bd＝﹣1，
则|z1﹣z2|．故答案为：．
4,。【解答】：因为|z|＝1且z∈C，作图如图：因为|z﹣2﹣2i|的几何意义为单位圆上的点M到复平面上的点
P（2，2）的距离，所以|z﹣2﹣2i|的最小值为：|OP|﹣1＝21．故选：A．
5.【解答】：因为|z1﹣1|＝1，|z2+3i|＝2，
所以z1，对应的点在以A（1，0）为圆心，以1为半径的圆上，
z2对应的点在以B（0，﹣3）为圆心，以2为半径的圆上，
则|z1﹣z2|的几何意义是两圆上点的距离，
则|z1﹣z2|的最大值为AB+1+2＝33．
故选：C．
6.【解答】：因为复数z＝x+yi（x，y∈R）满足条件|z﹣4i|＝|z+2|，所以|x+yi﹣4i|＝|x+yi+2|，
所以|x+（y﹣4）i|＝|x+2+yi|，所以，化为x+2y＝3．
则2x+4y≥224，因此2x+4y的最小值是．
故答案为：．