沪科版数学七年级下册 《 6.2.1 实数的概念及分类》教案

6.2 实数 教案
6.2.1 实数的概念及分类
【教学目标】
1.了解无理数和实数的概念，会对一组实数进行分类.
2.知道实数与数轴上的点是一一对应的关系.
【教学重点】
无理数、实数的概念.
【教学难点】
无理数、实数的概念及实数与数轴上的点一一对应关系的理解.
教学过程
一、组织教学，复习提问
1.有理数是怎样分类的？
有理数或有理数
2.把下列各数填在相应的括号里.
－2，－，－2.5，0，0.，1，，，，，－0.
整数：{　　　　　　　　　　}
分数：{　　　　　　　　　　}
归纳：任何一个有理数，都可以化成有限小数或无限循环小数的形式.反之，任何一个有限小数或无限循环小数都可以写成一个分数的形式.因此，任何一个有理数都可以写成分数的形式.
多媒体课件展示图1和图2及思考题：
图1是由4条横线、5条竖线构成的方格网，它们相邻的行距、列距都是1.从这些纵横线相交得出的20个点(称为格点)中，我们可以选择其中4个格点作为顶点连接成一个正方形，叫做格点正方形.你能找出多少种面积互不相同的格点正方形？
二、创设情境，引入新课
1.创设情境.
问题1：(1)有面积分别是1、4、9的格点正方形吗？分别有几个？边长是多少？
(2)有面积是2的格点正方形吗？把它画出来，有几个？
(3)有面积是5的格点正方形吗？把它画出来，有几个？
师：请同学们认真观察、思考图1及思考题，可以互相讨论，然后回答问题.
生1：面积是1的格点正方形有12个，边长是1；面积是4的格点正方形有6个，边长是2；面积是9的格点正方形有2个，边长是3.
生2：如图2，四个边长为1的相邻正方形的对角线围成一个面积为2的格点正方形.
师：为什么？
生1：因为四个边长为1的相邻正方形的总面积为4，它们的对角线围成的格点正方形的面积是总面积的一半，所以四个边长为1的相邻正方形的对角线围成的格点正方形是一个面积为2的格点正方形.图1中有6个面积为2的格点正方形.
生2：以一个面积为9的格点正方形相邻两边长的点和点的连线为边长依次围成的正方形是面积为5的格点正方形.
师：为什么？
生1：因为一个面积为9的格点正方形相邻两边长的点和点的连线为边长依次围成的正方形的面积等于9减去4个三角形的面积，而这4个三角形刚好拼成4个格点正方形，它们的面积为4，所以一个面积为9的格点正方形相邻两边长的点和点的连线为边长依次围成的正方形是面积为5的格点正方形.
生2：我用面积为9的格点正方形纸，经过剪纸验证了这个格点正方形是面积为5的格点正方形.
生3：可以画出4个面积为5的格点正方形.
问题2：(1)一个面积为2的格点正方形边长是多少？
(2)一个面积为5的格点正方形边长是多少？
师：请同学们认真观察、思考，可以互相讨论，然后回答问题2.
生1：正方形的面积等于边长的平方，我们已知正方形的面积，求边长，就是已知一个数的平方，求这个数.可以用开平方运算.
生2：(1)设边长为x，则x2＝2；因为x＞0，所以x＝.
(2)设边长为x，则x2＝5；因为x＞0，所以x＝.
2.引入新课.
问题3：、是怎样的数？
师：请同学们结合问题1和问题2进行思考，可以互相讨论，然后回答问题3.、存在吗？、又是怎样的一个数？
生：、分别是面积为2、5的格点正方形的边长，应当是存在的.
师：下面我们来共同探究是怎样的一个数.首先，请同学们想一想，介于哪两个整数之间？
生：因为1＜2＜4，所以＜＜，即1＜＜2.这说明不能是整数.
师：1和2之间的一位小数有1.1，1.2，…，1.9，那么是其中的哪个小数呢？如何确定？
生：在这九个数中找出平方最接近2的那两个小数，这两个小数是1.4和1.5.因为1.42＝1.96，1.52＝2.25，1.96＜2＜2.25，所以＜＜，即1.4＜＜1.5.
师：这又有什么意义？
生：是介于1.4和1.5之间的一个两位小数.
师：1.4和1.5之间的两位小数有1.41，1.42，…，1.49，那么是其中的哪个小数呢？如何确定？
生：同样是在这九个数中找出平方最接近2的那两个小数，这两个小数是1.41和1.42.因为1.412＝1.988 1，1.422＝2.016 4，1.988 1＜2＜2.016 4，所以＜＜，即1.41＜＜1.42.
师：这又有什么意义？
生：是介于1.41和1.42之间的一个三位小数.
师：类似地，可得1.414＜＜1.415，……像上面这样逐步逼近，我们可以得到：
＝1.414 213 5…
它可以根据需要，想算到哪位，就可以算到哪位，即可无限继续算下去.
因此，是一个无限不循环小数，它不是有理数.同样也是一个无限不循环小数，它也不是有理数，同学们课后可以用课本上同样的方法去探究.
3.无理数的概念
师：有理数包括哪些数？
生：有理数包括整数和分数.
师：整数和分数可以统一写成什么形式？
生：整数可以看作分母为1的分数.因此，整数和分数可以统一写成分数的形式.
师：这就是说，有理数总可以写成(m、n是正整数，且m≠0)的形式.分数能化成小数的形式吗？请同学们举例说明.有理数呢？
生：3＝＝3.0，＝0.5，＝0.，＝0..分数都可以化为有限小数或无限循环小数.因此，任何有理数都可以化为有限小数或无限循环小数.
师：＝1.4142135…是无限循环小数吗？是有理数吗？
生：不是无限循环小数，不是有理数，是无限不循环小数.
师：今天引入一个新概念，我们把无限不循环小数叫做无理数.因此，是无理数.
此外，＝1.732050808…，＝1.44224957…，π＝3.14159265…
这些数都是无限不循环小数.许多开方开不尽的数都是无限不循环小数.圆周率π以及以后要学的自然对数的底等数虽然不用根号的形式表示，但它们也是无限不循环小数，它们都是无理数.
师：有同学说无理数就是开方开不尽的数，对不对？
生1：不对.如圆周率π不是开方开不尽的数，但它是无理数.
生2：只能说开方开不尽的数是无理数，但不能说无理数就是开方开不尽的数，因为所有无限不循环小数都是无理数，不仅仅是开方开不尽的数才是无理数.
师：类似的，无理数可分为正无理数与负无理数.如、、π是正无理数，－、－、－π是负无理数.
4.实数的概念.
师：有理数和无理数统称为实数.这样，我们认识的数的范围又扩大了.
5.实数的分类.
师：我们可以将实数按如下方式分类.(多媒体展示实数分类表)
实数
三、例题分析
1.教师出示课本第12页练习题.
师：π、、－都是无理数吗？
生：π是无理数，＝8、－＝－2都是有理数.
师：因此，用根号形式表示的数并非都是无理数，必须先认真观察计算，不能一看见用根号形式表示的数就盲目认为是无理数.
师：用根号形式表示的数与无理数是怎样的关系？
生：用根号形式表示的数，不一定是无理数，无理数不一定是用根号形式表示的数.
师：0.2如何写成分数的形式？
生：0.2＝＝.
2.按大小对实数进行分类.(多媒体展示分类表)
师：实数还可以如何分类？为什么？
生：因为有理数、无理数都有正、负之分，所以实数也可以有正、负之分，可分为正实数、负实数和零.
师：有同学说实数可分为正实数、负实数.对不对？为什么？
生：不对，将0遗漏了.
师：请同学们注意，实数按大小分类时，不能将0遗漏.
3.思考，每一个有理数都可用数轴上的一个点来表示，那无理数也能用数轴上的点表示吗？如呢？
师：以数轴上的单位长度为边作一个正方形，以原点为圆心，这个正方形对角线长为半径画弧，以数轴正半轴的交点记作A，与数轴负半轴的交点记作A′，图中点A、点A′两点分别表示什么数？
生1：因为图中正方形可以看成是面积为1的格点正方形，它的对角线长就是面积为2的格点正方形的边长，因此，对角线长应是，也就是点A表示的数是.
生2：因为A′点在数轴负半轴上，OA′的长也是对角线长，所以A′点表示的数是－.
师：通过以上演示，同学们发现了什么？
生：无理数、－都能用数轴上的点来表示.
师：一般地，与有理数一样，每个无理数也都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的点不是表示无理数就是表示有理数.所以实数和数轴上的点一一对应.
四、提升练习
问题：直径为1个单位长度的圆从原点沿数轴向右滚动一周，圆上的一点A由原点到达A′，点A′表示的是什么数？
师：要求出点A′表示的是什么数，同学们是怎么想的？
生1：要求出点A′表示的是什么数，只要求出点A从原点沿数轴向右滚动一周到点A′的路程长度就行了.
生2：我知道，就是圆的周长，圆的周长等于直径乘以π.
生3：点A′表示的数是π.
师：由此，无理数π也可以用数轴上的点来表示.
五、课堂小结
1.无理数与有理数的区别是什么？
2.实数可以怎样分类？
3.实数与数轴上的点有怎样的对应关系？
学生回答，教师评价.