(共25张PPT)
北师大版 七年级下
1.5.2平方差公式的应用
情境引入
思考：
(a+b)(a-b)=a2-b2
平方差公式：
数相同
数相同
加
减
乘
平方差
合作学习
导入新课
王敏同学去商店买了单价是9.8元/千克的糖果10.2千克，售货员刚拿起计算器，王敏就说出应付99.96元，结果与售货员计算出的结果相吻合.售货员很惊讶地说：“你好像是个神童，怎么算得这么快？”
王敏同学说：“过奖了，我利用了在数学上刚学过的一个公式.”
你知道王敏同学用的是一个什么样的公式吗？
上节课我们学方差公式，你能通过下面的正方形验证它吗？
a
a
b
请表示图中阴影部分的面积。
S阴影=a2-b2
a2
b2
a
b
沿着所画虚线将阴影部分剪开，拼成一个长方形，长方形的长和宽分别是多少？
a+b
a-b
（a+b）（a-b）
现在的面积是多少？
a
a
b
b
a+b
a-b
b
b
几何验证平方差公式
a
a
b
b
a2-b2
a
b
b
b
(a+b)(a-b)
(a+b)(a-b)=a2-b2
a-b
a-b
提炼概念
平方差公式的数学表达式在使用上有三个优点：
（1）公式具体，易于理解；
（2）公式的特征也表现得突出，易于初学者“套用”；
（3）形式简洁。但数学表达式中的a与b有概括性及抽象性，需要正确确定a和b代表的内容。
计算下列各组算式。
7×9=
8×8=
11×13=
12×12=
79×81=
80×80=
【想一想】
这些算式有什么特点？
63
64
143
144
6399
6400
请用字母表示这一规律，你能说明它的正确性吗
（a+1）(a-1)=a2-1
验证：（a+1）(a-1)
=a2-12
=a2-1
∴（a+1）(a-1)=a2-1是正确的。
典例精讲
【例3】用平方差公式进行计算：
(1)103×97； (2)118×122.
=(120－2) (100+2)
=1202－22
=14 396 .
=(100+3) (100－3)
=1002－32
=9 991 ；
【例4】计算：
(1) a2(a+b)(a-b) +a2b2； (2) (2x-5)(2x+5)-2x (2x-3).
= (2x)2-25-(4x2 -6x)
= 4x2-25-4x2 +6x
= 6x-25
=a2(a2-b2) +a2b2
=a4-a2b2 +a2b2
=a4
平方差公式
单项式乘多项式
归纳概念
公式：（a+b)(a-b)=a2-b2
公式中的a，b可表示
(1)单项式
(2)具体数
(3)多项式
三个表示
(1)简化某些多项式的乘法运算
(2)提供有理数乘法的速算方法
两种作用
课堂练习
1.下列各式中不能用平方差公式计算的是( )
A．(x－y)(－x＋y)
B．(－x＋y)(－x－y)
C．(－x－y)(x－y)
D．(x＋y)(－x＋y)
A
2.如图1，将边长为x的大正方形剪去一个边长为1的小正方形（阴影部分），并将剩余部分沿虚线剪开，得到两个长方形，再将这两个长方形拼成图2所示长方形．这两个图能解释下列哪个等式（ ）
A．x2﹣2x+1＝（x-1）2 B．x2-1＝（x+1）（x-1）
C．x2+2x+1＝（x+1）2 D．x2-x＝x（x-1）
B
3.某同学化简a(a＋2b)－(a＋b)(a－b)出现了错误，解答过程如下：
原式＝a2＋2ab－(a2－b2)(第一步)
＝a2＋2ab－a2－b2(第二步)
＝2ab－b2(第三步)．
(1)该同学解答过程从第 步开始出错，
错误原因是_____________________；
二
去括号时没有变号
解：原式＝a2＋2ab－(a2－b2)
＝a2＋2ab－a2＋b2
＝2ab＋b2.
（2）写出此题正确的解答过程．
4. 计算：
(1)（a – 2)(a + 2)(a2 + 4)
=（a2 – 4）（a2 + 4）
= a4 – 16
(2)（x + y + 1）（x – y – 1）
= [ x +（y + 1）][ x –（y + 1）]
= x2 – （y + 1）2
= x2 – y2 – 2y – 1
(3)(a + b + c) (a + b – c)
= (a + b)2 – c2
= a2 + 2ab + b2 – c2
(4)20152 – 2014×2016
= 20152 – (2015 – 1)×(2015 + 1)
= 20152 – (20152 – 12)
= 1
5.计算：
（1）(x+2y)(x－2y)+(x+1)(x－1)
（2）
解：（1）(x+2y)(x－2y)+(x+1)(x－1)
= x2-4y2+x2-1
=2 x2-4y2-1
(2)
6. 王大伯家把一块边长为a米的正方形土地租给了邻居李大妈．今年王大伯对李大妈说：“我把这块地一边减少4米，另外一边增加4米，继续原价租给你，你看如何？”李大妈一听，就答应了．你认为李大妈吃亏了吗？为什么？
解：李大妈吃亏了．理由如下：原正方形的面积为a2，改变边长后面积为(a＋4)(a－4)＝a2－16.∵a2＞a2－16，∴李大妈吃亏了．
课堂总结
平方差公式的应用及注意事项
两个应用
四点注意
1.利用平方差公式简化一些数字计算.
2.逆用平方差公式进行化简、计算.
1.必须符合平方差公式的结构特征.
2.有些式子虽然不能直接应用公式，但经过适当变形或变换符号后可以运用公式进行化简、计算.
3.计算结果一定要注意字母的系数，指数的变化.
4.在运算过程中，有时可以反复应用公式.
作业布置
教材课后配套作业题。
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1.5.2平方差公式的应用 教案
课题 1.5.2平方差公式的应用 单元 第1单元 学科 数学 年级 七年级（下）
学习目标 1.通过实例，了解平方差公式的几何背景，会运用平方差公式进行一些简便运算；2.通过观察图形的拼接，验证平方差公式，了解平方差公式的几何背景，发展几何直观，从中体会数形结合的数学思想.
重点 对上一节课平方差公式的进一步巩固，并拓展到有关数的简便运算当中去。
难点 通过拼图游戏，对平方差公式进行几何意义解释。
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
导入新课 一、创设情景，引出课题王敏同学去商店买了单价是9.8元/千克的糖果10.2千克，售货员刚拿起计算器，王敏就说出应付99.96元，结果与售货员计算出的结果相吻合.售货员很惊讶地说：“你好像是个神童，怎么算得这么快？” 王敏同学说：“过奖了，我利用了在数学上刚学过的一个公式.” 你知道王敏同学用的是一个什么样的公式吗？上节课我们学方差公式，你能通过下面的正方形验证它吗？请表示图中阴影部分的面积。沿着所画虚线将阴影部分剪开，拼成一个长方形，长方形的长和宽分别是多少？比较(1)(2)的结果，你能验证平方差公式吗？(a+b)(a-b)=a2-b2议一议：(1)计算下列各组算式，并观察它们的共同特点:7×9= 8×8=11×13= 12×12=79×81= 80×80=(2)从以上的过程中，你发现了什么规律？ 平方差公式(3)请用字母表示这一规律，你能说明它的正确性吗 师：让我们一起验证一下。（a+1）(a-1) =a2-12 =a2-1 ∴（a+1）(a-1)=a2-1是正确的。 思考自议利用正方形面积转换成长方形面积，通过等积变形，得出平方差公式，使学生体会平方差公式的实际意义，理解数学知识与现实生活的密切联系，培养学生学数学，用数学的习惯． 在复习上节课知识的基础上，引入本节课的平方差公式的几何解释，并为进一步应用平方差公式，简化数字运算和较复杂化简计算做好知识准备.
讲授新课 提炼概念平方差公式在用于简便运算的应用时，关键是找到这两个数的平均数，再将原两个数与这个平均数进行比较变形成两数的和与这两数的差的积的形式，使之符号公式的特点，再用平方差公式可求解． 三、典例精讲【例3】用平方差公式进行计算：(1)103×97； (2)118×122.【解】(1)103×97 (2)118×122=(100+3) (100－3) =(120－2) (100+2)=1002－32 =1202－22=9 991 ； =14 396 .【例4】计算：a2(a+b)(a-b) +a2b2； (2) (2x-5)(2x+5)-2x (2x-3).(1) a2(a+b)(a-b) +a2b2； (2) (2x-5)(2x+5)-2x (2x-3). =a2(a2-b2) +a2b2 = (2x)2-25-(4x2 -6x) =a4-a2b2 +a2b2 = 4x2-25-4x2 +6x =a4 ； = 6x-25上面两个小题，是整式的混合运算，平方差公式的应用，能使运算简便；还需注意的是运算顺序以及结果一定要化简. 运用平方差公式，进行简单的混合运算，巩固平方差公式，体会平方差公式在解决计算类问题的简便作用. 能运用该法则准确进行有理数的加法运算. 通过特例进行归纳，让学生经历由特殊到一般的探究过程，最后利用符号表示出一般规律.进而验证猜想的正确性.让学生体会到符号运算，在验证猜想时的重要作用，也为例3数的简便运算做好知识的铺垫．
课堂检测 四、巩固训练 1.下列各式中不能用平方差公式计算的是( )A．(x－y)(－x＋y) B．(－x＋y)(－x－y)C．(－x－y)(x－y) D．(x＋y)(－x＋y)A2.如图1，将边长为x的大正方形剪去一个边长为1的小正方形（阴影部分），并将剩余部分沿虚线剪开，得到两个长方形，再将这两个长方形拼成图2所示长方形．这两个图能解释下列哪个等式（ ）A．x2﹣2x+1＝（x-1）2 B．x2-1＝（x+1）（x-1） C．x2+2x+1＝（x+1）2 D．x2-x＝x（x-1）B3.某同学化简a(a＋2b)－(a＋b)(a－b)出现了错误，解答过程如下：原式＝a2＋2ab－(a2－b2)(第一步)＝a2＋2ab－a2－b2(第二步)＝2ab－b2(第三步)．(1)该同学解答过程从第 步开始出错，错误原因是_____________________；（2）写出此题正确的解答过程．二，去括号时没有变号解：原式＝a2＋2ab－(a2－b2)＝a2＋2ab－a2＋b2＝2ab＋b2.4. 计算：(1)（a – 2)(a + 2)(a2 + 4) =（a2 – 4）（a2 + 4）= a4 – 16(2)（x + y + 1）（x – y – 1）= [ x +（y + 1）][ x –（y + 1）]= x2 – （y + 1）2= x2 – y2 – 2y – 1（3）(a + b + c) (a + b – c)= (a + b)2 – c2= a2 + 2ab + b2 – c2(4)20152 – 2014×2016 = 20152 – (2015 – 1)×(2015 + 1)= 20152 – (20152 – 12)= 15.计算：（1）(x+2y)(x－2y)+(x+1)(x－1)（2）解：（1）(x+2y)(x－2y)+(x+1)(x－1)= x2-4y2+x2-1=2 x2-4y2-1（2）6. 王大伯家把一块边长为a米的正方形土地租给了邻居李大妈．今年王大伯对李大妈说：“我把这块地一边减少4米，另外一边增加4米，继续原价租给你，你看如何？”李大妈一听，就答应了．你认为李大妈吃亏了吗？为什么？解：李大妈吃亏了．理由如下：原正方形的面积为a2，改变边长后面积为(a＋4)(a－4)＝a2－16.∵a2＞a2－16，∴李大妈吃亏了．
课堂小结
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1.5.2平方差公式的应用 学案
课题 1.5.2平方差公式的应用 单元 第1单元 学科 数学 年级 七年级下册
学习目标 1.通过实例，了解平方差公式的几何背景，会运用平方差公式进行一些简便运算；2.通过观察图形的拼接，验证平方差公式，了解平方差公式的几何背景，发展几何直观，从中体会数形结合的数学思想.
重点 对上一节课平方差公式的进一步巩固，并拓展到有关数的简便运算当中去。
难点 通过拼图游戏，对平方差公式进行几何意义解释。
教学过程
导入新课 【引入思考】王敏同学去商店买了单价是9.8元/千克的糖果10.2千克，售货员刚拿起计算器，王敏就说出应付99.96元，结果与售货员计算出的结果相吻合.售货员很惊讶地说：“你好像是个神童，怎么算得这么快？” 王敏同学说：“过奖了，我利用了在数学上刚学过的一个公式.” 你知道王敏同学用的是一个什么样的公式吗？想一想上节课学方差公式，叙述一下它的内容。平方差公式：文字语言:__________________________________符号语言:__________________________________我们学方差公式，你能通过下面的正方形验证它吗？请表示图中阴影部分的面积。沿着所画虚线将阴影部分剪开，拼成一个长方形，长方形的长和宽分别是多少？现在的面积是多少？_______________________________________（3）比较(1)(2)的结果，你能验证平方差公式吗？平方差公式的数学表达式在使用上有三个优点：______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________【想一想】(1)计算下列各组算式，并观察它们的共同特点:7×9= 11×13= 79×81=8×8= 12×12= 80×80=(2)从以上的过程中，你发现了什么规律？___________________________________________________________________________________________________________________(3)请用字母表示这一规律，你能说明它的正确性吗 __________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________【例3】用平方差公式进行计算：(1)103×97； (2)118×122.【总结提升】平方差公式在用于简便运算的应用时，关键是找到这两个数的平均数，再将原两个数与这个平均数进行比较变形成两数的和与这两数的差的积的形式，使之符号公式的特点，再用平方差公式可求解．【例4】计算：a2(a+b)(a-b) +a2b2； (2) (2x-5)(2x+5)-2x (2x-3).
新知讲解 提炼概念平方差公式在用于简便运算的应用时，关键是找到这两个数的平均数，再将原两个数与这个平均数进行比较变形成两数的和与这两数的差的积的形式，使之符号公式的特点，再用平方差公式可求解．典例精讲 【例3】用平方差公式进行计算：(1)103×97； (2)118×122.【例4】计算：a2(a+b)(a-b) +a2b2； (2) (2x-5)(2x+5)-2x (2x-3).
课堂练习 巩固训练1.下列各式中不能用平方差公式计算的是( )A．(x－y)(－x＋y) B．(－x＋y)(－x－y)C．(－x－y)(x－y) D．(x＋y)(－x＋y)2.如图1，将边长为x的大正方形剪去一个边长为1的小正方形（阴影部分），并将剩余部分沿虚线剪开，得到两个长方形，再将这两个长方形拼成图2所示长方形．这两个图能解释下列哪个等式（ ）A．x2﹣2x+1＝（x-1）2 B．x2-1＝（x+1）（x-1） C．x2+2x+1＝（x+1）2 D．x2-x＝x（x-1）3.某同学化简a(a＋2b)－(a＋b)(a－b)出现了错误，解答过程如下：原式＝a2＋2ab－(a2－b2)(第一步)＝a2＋2ab－a2－b2(第二步)＝2ab－b2(第三步)．(1)该同学解答过程从第 步开始出错，错误原因是_____________________；（2）写出此题正确的解答过程．4. 计算：(1)（a – 2)(a + 2)(a2 + 4) (2)（x + y + 1）（x – y – 1）（3）(a + b + c) (a + b – c)(4)20152 – 2014×2016 5.计算：（1）(x+2y)(x－2y)+(x+1)(x－1)（2）6. 王大伯家把一块边长为a米的正方形土地租给了邻居李大妈．今年王大伯对李大妈说：“我把这块地一边减少4米，另外一边增加4米，继续原价租给你，你看如何？”李大妈一听，就答应了．你认为李大妈吃亏了吗？为什么？ 答案引入思考(a+b)(a-b)=a2-b2 议一议平方差公式（a+1）(a-1) =a2-12 =a2-1 ∴（a+1）(a-1)=a2-1是正确的。提炼概念典例精讲 例3 (1)103×97 (2)118×122=(100+3) (100－3) =(120－2) (100+2)=1002－32 =1202－22=9 991 ； =14 396 .例4 (1) a2(a+b)(a-b) +a2b2； (2) (2x-5)(2x+5)-2x (2x-3). =a2(a2-b2) +a2b2 = (2x)2-25-(4x2 -6x) =a4-a2b2 +a2b2 = 4x2-25-4x2 +6x =a4 ； = 6x-25巩固训练1.A2.B3.二，去括号时没有变号解：原式＝a2＋2ab－(a2－b2)＝a2＋2ab－a2＋b2＝2ab＋b2.4.(1)（a – 2)(a + 2)(a2 + 4) =（a2 – 4）（a2 + 4）= a4 – 16(2)（x + y + 1）（x – y – 1）= [ x +（y + 1）][ x –（y + 1）]= x2 – （y + 1）2= x2 – y2 – 2y – 1（3）(a + b + c) (a + b – c)= (a + b)2 – c2= a2 + 2ab + b2 – c2(4)20152 – 2014×2016 = 20152 – (2015 – 1)×(2015 + 1)= 20152 – (20152 – 12)= 15.解：（1）(x+2y)(x－2y)+(x+1)(x－1)= x2-4y2+x2-1=2 x2-4y2-1（2）6.解：李大妈吃亏了．理由如下：原正方形的面积为a2，改变边长后面积为(a＋4)(a－4)＝a2－16.∵a2＞a2－16，∴李大妈吃亏了．
课堂小结
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