上海市金山中学2012-2013学年高二上学期期末考试数学试题

金山中学2012-2013学年高二上学期期末考试数学试题
（考试时间：120分钟　满分：150分）
一、填空题（本大题满分56分，共14小题，每小题满分4分）
1．计算矩阵的乘积______________
2.计算行列式=____________
3.直线的倾斜角为，则的值是___________
4．=___________
5.已知直线与圆相切，则的值为___________
6.以抛物线的焦点为圆心，且过坐标原点的圆的方程为___________
7.已知方程表示椭圆，则的取值范围为___________
8．若向量，，且，那么的值为___________
9.若直线经过原点，且与直线的夹角为300，则直线方程为___________10．若三条直线，和只有两个不同的交点，则实数的值为__________
11.执行右边的程序框图，则输出的结果是___________
12.若点O和点F分别为双曲线的中心和左焦点，点P为双曲线右支上的任意一点，则的取值范围为__________
13.已知，B是圆F：(F为圆心)上一动点，线段AB的垂直平分线交BF于P，则动点P的轨迹方程为___________
14.双曲线的左、右焦点分别为，，点在其右支上，且满足，，则横坐标的值是___________
二、选择题（本大题满分20分，共4小题，每小题满分5分）
15.与双曲线有共同的渐近线，且过点（2，2）的双曲线标准方程为（ ）
（A） （B） （C） （D）
16.在等比数列中，，公比.若，则=( )
（A）9 （B）10 （C）11 （D）12
17.已知抛物线的焦点为，点，在抛物线上，且，则有( )
（A） （B）
（C） （D）
18.已知是定义域为正整数集的函数，对于定义域内任意的，若成立，则成立，下列命题成立的是( )
（A）若成立，则对于任意，均有成立
（B）若成立，则对于任意的，均有成立
（C）若成立，则对于任意的，均有成立
（D）若成立，则对于任意的，均有成立
三、解答题（74分）
19.（12分）过椭圆的右焦点的直线L与圆相切，并且直线L过抛物线的焦点。
(1)求、的坐标；
(2)求直线L的方程。
20.（12分）已知一个圆与轴相切，在直线上截得弦长为2，且圆心在直线上，求此圆的方程.
21.（14分）已知，直线，为平面上的动点，过点作的垂线，垂足为点，且．
（1）求动点的轨迹的方程；
（2）过点的直线交轨迹于两点，点O是直角坐标系的原点，求面积的最小值，并求出当的面积取到最小值时直线的方程。
22.（18分）已知两定点，满足条件的点的轨迹是曲线，直线与曲线交于两点，如果，且曲线上存在点，使.
(1)求曲线的方程；
(2)求实数的值；
(3)求实数的值。
23.（18分）已知数列、、，点，，在一直线上。
求数列的通项公式；
（2）若数列满足，求数列的通项公式；
（3）若数列的前项和为，且满足（为常数）,问点，，，是否在同一直线上，请说明理由。

金山中学2012学年度第一学期高二年级数学学科期末考试
参考答案
一、填空题（本大题满分56分，共14小题，每小题满分4分）
1．计算矩阵的乘积______________
2.计算行列式=____________
3.直线的倾斜角为，则的值是___3________
4．=___________
5.已知直线与圆相切，则的值为________8；-18
6.以抛物线的焦点为圆心，且过坐标原点的圆的方程为___________
7.已知方程表示椭圆，则的取值范围为______
8．若向量，，且，那么的值为_____2______
9.若直线经过原点，且与直线的夹角为300，则直线方程为___________
10．若三条直线，和只有两个不同的交点，则实数的值为____-3；6_______
11.执行右边的程序框图，则输出的结果是_____10______
12.若点O和点F分别为双曲线的中心和左焦点，点P为双曲线右支上的任意一点，则的取值范围为__________
13.已知，B是圆F：(F为圆心)上一动点，线段AB的垂直平分线交BF于P，则动点P的轨迹方程为___________
14.双曲线的左、右焦点分别为，，点在其右支上，且满足，，则横坐标的值是___4026___
二、选择题（本大题满分20分，共4小题，每小题满分5分）
15.与双曲线有共同的渐近线，且过点（2，2）的双曲线标准方程为（ B ）
（A） （B） （C） （D）
16.在等比数列中，，公比.若，则=( C )
（A）9 （B）10 （C）11 （D）12
17.已知抛物线的焦点为，点，在抛物线上，且，则有（ C ）
（A） （B）
（C） （D）
18.已知是定义域为正整数集的函数，对于定义域内任意的，若成立，则成立，下列命题成立的是( D )
（A）若成立，则对于任意，均有成立
（B）若成立，则对于任意的，均有成立
（C）若成立，则对于任意的，均有成立
（D）若成立，则对于任意的，均有成立
三、解答题（74分）
19.（12分）过椭圆的右焦点的直线L与圆相切，并且直线L过抛物线的焦点。
(1)求、的坐标；
(2)求直线L的方程。
解：(1)由椭圆方程得的坐标（1,0）------------2分
由抛物线方程得的坐标（0,2）---------------------2分
(2)设直线L的方程为：-----------------------------------2分
则------------------------------------------------------2分
所以----------------------------------------------------------------2分
因此直线L的方程为：----------------------------2分
20.（12分）已知一个圆与y轴相切，在直线上截得弦长为2，且圆心在直线上，求此圆的方程.
解：设圆的方程为：
则：-------------------------------------------------------------------2分
---------------------------------------------------------------------2分
-------------------------------------------------------------4分
所以或-----------------------------------------------------2分
因此圆的方程为：，-------2分
21.（14分）已知，直线，为平面上的动点，过点作的垂线，垂足为点，且．
（1）求动点的轨迹的方程；
（2）过点的直线交轨迹于两点，点O是直角坐标系的原点，求面积的最小值，并求出当的面积取到最小值时直线的方程。（9分）
解：（1）设点，则，由得：
，化简得．-----------------------------6分
（2）当直线与轴垂直时，、，；--------------2分
当直线与轴不垂直时，可设直线的方程为，、，
将抛物线方程与直线方程联立，消去整理得：
，
=，------------5分
所以面积的最小值为2，此时直线的方程为=1。-------------------------1分
22. （18分）已知两定点，满足条件的点的轨迹是曲线，直线与曲线交于两点，如果，且曲线上存在点，使。
(1)求曲线的方程；
(2)求实数的值；
(3)求实数的值。
解：（1）由双曲线的定义可知，曲线是以为焦点的双曲线的左支，且，易知
故曲线的方程为--------------------6分

（2）设，由题意建立方程组
消去，得
又已知直线与双曲线左支交于两点，有
解得--------4分
又∵
依题意得 整理后得
∴或 但 ∴-----4分
（3）设，由已知，得
∴，
又，
∴点曲线上，所以
将点的坐标代入曲线的方程，得
∴----------------------------------------------4分
23.（18分）已知数列、、，点，，在一直线上。
求数列的通项公式；
（2）若数列满足，求数列的通项公式；
（3）若数列的前项和为，且满足（为常数）,问点，，，是否在同一直线上，请说明理由。
解：（1）由已知得：，----------------------------------------2分
----------------------------2分
又因为点，，在一直线上，
所以
因此----------------------------------------------------------2分
（2）由（1）得-------------------------------2分
所以
当时，
所以-----------------------------------------------------------------2分
当时，符合上式------------------------------------------------1分
综上------------------------------------------------------------------1分