辽宁省某重点中学2013届高三上学期期末考试数学（文）试题

2012～2013学年度（上）期末考试
高三数学试卷（文科）

第Ⅰ卷（选择题，共60分）
一、选择题：本大题共12道小题，每题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的。
1、已知集合,集合，则（ ）
A． B． C． D．
2、在复平面内，复数对应的点位于 （ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3、在一组样本数据（，不全相等）的散点图中，若所有样本点（）都在直线上，则这组样本数据的样本相关系数为（ ）
A. B. C. D. 1
4、以下有关命题的说法错误的是（ ）
A．命题“若，则”的逆否命题为“若,则”
B．“”是“”的充分不必要条件
C．若为假命题，则、均为假命题
D．对于命题，使得，则，则
5、 已知等差数列中，是方程的两根，则等于（ ）
A. B. C. D.
6、已知一个几何体的主视图及左视图均是边长为2的正
三角形，俯视图是直径为2的圆，则此几何体的外接球的
表面积为（ ）
A． B． C． D．
7、对任意非零实数，定义的算
法原理如上右程序框图所示。设为函数
的最大值，为双曲线
的离心率，则计算机执行该运
算后输出结果是( )
A． B． C． D．
8、将函数的图象向左平移个单位, 再向上平移1个单位,所得图象的函数解析式是 ( )
A. B. C. D.
9、是两个不重合的平面，在下列条件中，可判断平面
平行的是 ( )
A.是平面内两条直线，且
B.内不共线的三点到的距离相等
C.都垂直于平面
D.是两条异面直线，，且
10、已知变量满足则的最大值为（ ）
A． 8 B．4 C．3 D．2
11、已知函数，正实数、、满足，若实数是函数的一个零点，那么下列四个判断：①；②；③；④．其中可能成立的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
12、已知函数，若与的图象有三个不同交点，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
二、填空题：本大题共4道小题，每题5分，共20分。把答案填在题中横线上
13、已知，，若，则 。
14、已知，则的值是 。
15、考察下列一组等式：
；…，根据这些等式反映的结果，可以得出一个关于正整数的等式，这个等式可以表示为 。
16、已知、是椭圆=1()的两个焦点，是短轴的一个端点，设△的面积为，则的最大值是 。
三、解答题：本大题共6道小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17、（本小题满分10分）
在△中，、、分别是角、、的对边，且。
（1）求角的大小；
（2）若，，求△的面积。
18、（本小题满分12分）
某高校大一学生共有1150人，其中男生有830人，女生320人，现用分层抽样方法从新生中共抽查115人，测试他们面对突发事件时，心理稳定程度。
（1）设男、女生被抽查的人数分别为，求的值；
（2）将测试表格的数据填满，并回答是否有99%的把握认为“男生比女生更不稳定”。
附：
19、（本小题满分12分）
一个多面体的三视图（正视图、侧视图、俯视图）如图所示，分别是的中点。
（1）求证：平面；
（2）求证：平面；
（3）若这个多面体的六个顶点都在同一个球面上，求这个球的体积。
20、（本小题满分12分）
设椭圆：()的离心率与双曲线的离心率互为倒数，且内切于圆。
（1）求椭圆的方程；
（2）若直线交椭圆于、两点，椭圆上一点，
求△面积的最大值。
21、（本小题满分12分）
已知函数：
（1）讨论函数的单调性；
（2）若对于任意的，若函数在区间上有最值，求实数的取值范围.
请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分。做答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应题号下方的方框涂黑。
22、（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲
如图，是⊙的直径，弦、的延长线相交于
点，垂直的延长线于点
求证：（1）∠∠；
（2）。
23、（本小题满分10 分）选修4—4：坐标系与参数方程
已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与直角坐标系的轴的正半轴重合．设点为坐标原点, 直线（参数R）与曲线的极坐标方程为
（1）求直线与曲线的普通方程；
（2）设直线与曲线相交于两点，证明：。
24、（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲
设函数．
（1）求不等式的解集；
（2）若，恒成立，求实数的取值范围．
2012～2013学年度（上）期末考试
高三数学试卷（文科）答案

选择题：
D C A C C A B B D C B A
二、填空题：
13、 3 14、 15、 （N* ） 16、
三、解答题：
17、解：（1）
∴
∴

∴ ………………………………………………………………5分
（2）∵
∴
∴
∴………………………10分
18、解：（1） ………………4分
（2）
……………………………………6分
…………………10分
∴没有99%的把握认为“男生比女生更不稳定”。…………………12分
19、证明：由题意可知，这个几何体是直三棱柱，且,

(Ⅰ)连接，由直三棱柱的性质得
平面
∴ 则四边形为矩形
由矩形的性质得过的中点
在中，由中位线性质得
又平面 平面
∴平面 …………………………………4分
(Ⅱ)∵平面 平面
∴
在正方形中，
又∵
∴平面 又
∴平面 ……………………………………………………8分
(Ⅲ)∵多面体为直三棱柱
∴
∵是直角三角形斜边的中线
∴
同理
∴是这个多面体的外接球的球心，半径为…………………10分
∴球的体积为………………………………12分
20、解：（1）双曲线的离心率为，则椭圆的离心率为 ……………2分
得：
所求椭圆M的方程为． ………………………………………6分
(2 ) 直线的直线方程：.
由，得，
由，得 ………………………………8分
∵， .
∴
………………………………………9分
又到的距离为.
则
当且仅当取等号
∴．　　　　 ………………………………………………12分

21、解： （1）由已知得的定义域为，且，…………2分
当时，的单调增区间为，减区间为；
当时，的单调增区间为，无减区间；…………………………6分
（2）
在区间上有最值，在区间上总不是单调函数，
又 …………………………………………………………9分
由题意知：对任意恒成立，
因为
对任意，恒成立
∴ ∵ ∴
………………………………12分
22、证明：（1）连结因为为圆的直径，所以∠
又 ∠ 则四点共圆…………………………4分
∴∠∠ …………………………………………………………………5分
（2）由（1）知 ………………………………………………6分
又△∽△ ∴即 …………………8分
∴ ……10分
23、解：（1）由直线的参数方程消去得普通方程
由曲线的极坐标方程两边同乘得曲线的普通方程为 …………5分
（2）设,由消去得…………6分
∴………………………………8分
∴………………………………………………………10分
24、解：（1） ………………………………………2分
∴


综上或………………………………………………………………5分
（2）由（1）知
∴ ∴ ∴………………………10分