北师大版七年级数学下册2.1 第1课时 对顶角、补角与余角 教学设计

《两条直线的位置关系（1）》教学设计
教材来源：初中七年级《数学（下册）》教科书/北京师范大学出版社2013版
内容来源：初中七年级《数学（下册）》第二章第一节
主 题：《两条直线的位置关系（1）》对顶角、补角与余角
课 时：1课时
授课对象：七年级学生
一、目标确定的依据
（一）课程标准相关要求
1.理解对顶角、余角、补角等概念，探索并掌握对顶角相等、同角（等角）的余角相等、同角（等角）的补角相等的性质.
（二）教师教学用书相关目标
1.经历观察、操作（包括测量、画、折）、想象、推理（本章侧重合情推理）、交流等过程，积累数学活动经验、发展空间观念、推理能力和有条理的表达能力；
2.在现实情境中了解平面上两条直线的相交和平行的位置关系；
3.在具体情境中了解对顶角、余角、补角等概念，知道同角（等角）的余角相等、同角（等角）的补角、对顶角相等.
本节课课标内容分解如下：
从认知层次进行分解：
从能力层次进行分解：
（三）教材分析
在七年级上学期时，学生已通过对 “丰富的图形世界” “基本平面图形” 两章内容的学习，了解了线段、射线、直线和角及其表示方法，进一步丰富了对空间图形与平面图形的认识. 本章对相交线与平行线进一步的学习，在此基础上，本课时对 “两条直线的位置关系” 进行探究，学生了解到了相交和平行是同一平面内两条直线的基本位置关系，对补角、余角、对顶角有了一定的认识，通过观察、操作、归纳、类比、猜测等活动，发展学生的空间观念，有意识的培养学生有条理的思考、表达，渗透数学语言的三种形式（文字语言、图形语言、符号语言）的转换，为后续探究平行线的相关知识积累活动经验.
（四）学情分析
1.学生的已有基础
基本知识和技能：
在七年级上学期时，学生已通过对 “丰富的图形世界” “基本平面图形” 两章内容的学习，了解了线段、射线、直线和角及其表示方法，在具体问题过程具有一定的说理意识.
基本活动经验：
在之前的基本平面图形的学习中，学生积累了一定的动手操作经验，在观察、猜想的基础上对一些基本图形的进行了探究、交流，具备了一定的与同伴合作交流的能力.
2.学生面临的问题
（1）对于探究过程中理由表述不清.
（2）不能类比补角的性质来探究余角的性质.
依据《课程标准》，根据教材内容和学生的实际情况，确定本节课的学习目标为：
1.通过观察中国古代建筑模型，会描述平面内两条直线的位置关系；
2.会辨别两个角对否是对顶角、互为补角、互为佘角，并利用其性质进行实际应用；
3.通过动手操作和小组合作，发展空间观念、推理能力和初步的几何语言表达能力.
二、学习重、难点
重点：对顶角的定义和性质，补角和余角的定义和性质.
难点：利用类比补角的性质来探究余角的性质.
三、评价设计
（一）评价标准
1.通过观察生活中的窗棂图案，会描述两直线的位置关系；
2.通过自主探究和小组合作，会用语言说明操作过程和理由；
3.能应用补角和余角的性质解决实际问题.
（二）评价任务
针对目标1，设计了表现式评价，让学生描述两直线的位置关系，比较平行和相交的区别，并且明确现阶段研究的是同一平面内两直线的位置关系.
针对目标2，设计了交流式评价和表现式评价，通过动手操作感受对顶角的性质，独立完成后利用小组交流，引导学生有条理性的表达自己的思路.
针对目标3，设计了交流式评价和表现式评价，通过小组合作，引导学生类比之前学习的内容，将新知进行转化，小组讨论、完善，同时让学生畅所欲言，总结本节课的收获.
（三）评价样题
若∠ABE=∠BEF=∠ACF=∠CFE=90°
类比补角的性质来验证自己的猜想.
活动要求：小组合作，交流探讨，利用图中标出数字的角验证猜想，一人画图，一人写说理过程，一人解说，一人拍照上传.
四、教法与学法
本课时采用小组合作、自主探究的学习方法，设计一系列探索活动，运用类比、转化的思想鼓励学生先思考，后交流再进行语言表述.
五、课前准备
多媒体课件、三角尺等；学生需准备三角尺、量角器、剪刀、透明纸、平板电脑.
六、教学过程
一、观察生活 发现关系
1.通过观察河南省社旗县清山会馆的窗棂图案，会描述在同一平面内两直线的位置关系是相交和平行，若两条直线只有一个公共点，我们称这两条直线为相交线，在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线.
从定义上思考：区别相交线和平行线的关键点是什么？
2.举例生活中两条直线平行和相交的例子.
【学习评价】关注学生是否能通过观察、分析、归纳两直线的位置的关系.
【设计意图】通过中国古代建筑的引入，使学生体会在同一平面内两条直线有哪些位置关系，在进行观察、比较的同时，一方面是对两条直线的位置关系的归纳总结，另一方面加强学生对两直线位置关系的准确认知，培养学生的语言表达能力.
二、动手实践 探究关系
活动1：特殊位置关系的角
（1）通过观察两直线相交形成的特殊位置和数量关系的角，仔细观察∠1和∠2具有什么样的关系呢？
学生发言后师生共同总结∠1与∠2位置上的特点：
直线AB与CD相交于点O，∠1与∠2有公共顶点O，它们的两边互为反向延长线，这样的两个角叫做对顶角.
【学习评价】关注学生是否能通过观察、分析、归纳∠1与∠2的数量关系和位置关系.
【设计意图】设置开放性问题，让学生畅所欲言，意在让学生自己发现∠1和∠2的特殊的数量关系和位置关系，从而引出对顶角的定义和性质.
（2）如何验证∠1和∠2的数量关系是相等呢？
时间：2分钟 活动要求：请独立完成验证.
预设学生可能出现的问题：学生可能会用度量法验证，但是∠1和∠2度数不一样，在用叠合法验证∠1和∠2的大小时不知道如何操作，学生不会想到用数学推理的方法验证∠1和∠2的关系.
解决方案：对活动提出具体要求：学生先独立完成，相互交流，指导学生动手操作并告诉学生定范围的误差是允许的，叠合法有时不易操作，鼓励学生用数学说理的方法验证∠1和∠2大小关系.
师生共析：总结验证∠1和∠2大小关系的三种方法得出对顶角的性质.
∵∠1+∠3=180°，∠2+∠3=180°，
∴∠1+∠3=∠2+∠3，
∴∠1=∠2.
对顶角的性质：对顶角相等.
几何语言：∵直线AB与CD相交于点O，∴∠1=∠2，∠3=∠4（对顶角相等）.
【学习评价】关注学生能否自主用度量法和叠合法比较两个角的大小.
【设计意图】在操作过程进行语言的引导，发展学生的有条理性的表达：通过自主探究，培养学生主动探究数学原理的能力.
活动2：特殊数量关系的角
（1）互补的定义：刚才在验证∠1和∠2大小关系，在此过程中你还发现了哪些特殊数量关系的角呢？
学生发言后师生共同总结特殊数量关系的角：
如果两个角的和是180°，那么称这两个角互为补角.
追问：互补是几个角之间的关系？互补和角的位置有关吗？你能找到生活中互补的例子吗？如果一个角为α，如何表示它的补角？
【学习评价】关注学生是否能准确理解互补的定义并对其进行辨析且能找到生活中的互补例子.
【设计意图】通过让学生找出特殊数量关系的角引出互补的定义，但是图中互补的角的位置关系也很特殊，所以要注重学生对概念的进一步辨析，明确互补是指的两角之间的数量关系，跟位置无关.
（2）互补的性质：
∠3有几个补角呢？它们有什么数量关系？同一个角的两个补角都具有一样的数量关系吗？
∵∠1是∠3的补角，∠1=180°-∠3，
又∵∠2是∠3的补角，∠2=180°-∠3，
∴∠1=∠2.
师生共同总结：结论1：同角的补角相等.
几何语言：∵∠1+∠3=180°，
∴∠1=∠2（同角的补角相等）.
如果∠3是∠1的补角，∠4是∠2的补角，∠1=∠2，那么∠3和∠4有什么数量关系呢？
∵∠3是∠1的补角，∠3=180°-∠1，
又∵∠4是∠2的补角，∠4=180°-∠2，
,又∵∠1=∠2，∴∠3=∠4.
师生共同总结：结论2：等角的补角相等.
几何语言：∵∠1+∠3=180°，∠2+∠4=180°，
又∵∠1=∠2，
∴∠3=∠4（等角的补角相等）.
【学习评价】关注学生是否能利用互补的角来探索同角或等角的补角相等.
【设计意图】利用平角的定义和对顶角的性质来探究同角或等角的补角相等，注意利用特殊图形更加有利于学生对性质的理解，注重学生的思考过程，淡化证明规范书写.
三、合作探究 类比关系
1.如图所示作射线OE，使得∠DOE=90°，除了互补图中还有哪些特殊数量关系的角呢？
学生发言后师生共同总结：
如果两个角的和是90°，那么称这两个角互为余角.
2.你能类比补角的定义和性质来对余角的定义进行辨析并且猜想余角的性质吗？
猜想：同角或等角的余角相等.
3.若∠ABE=∠BEF=∠ACF=∠CFE=90°，类比补角的性质来验证自己的猜想
时间：5分钟
活动要求：小组合作，交流探讨，利用图中标出数字的角验证猜想，一人画图，一人写说理过程一人解说，一人拍照上传.
师生共同总结，得出结论：同角或等角的余角相等.
【学习评价】关注学生是否能类比互补的定义和性质来探究余角的定义性质.
【设计意图】此环节的设计意在让学生利用类比的数学思想，来探究互余的定义和性质，让学生利用平角的定义和对顶角的性质来小组合作探究同角或等角的补角相等，注意利用特殊图形更加有利于学生对性质的理解，注重学生的思考过程，淡化证明规范书写.
四、实践巩固 应用关系
实际生活中，在打台球时，选择适当的方向用白球击打红球，反弹后红球直接入袋，此时∠1=∠2，∠D0N=∠C0N=90°，你能利用所学知识解决以下问题吗？
问题1：有哪些角互为补角？有哪些角互为余角？
问题2：∠3与∠4有什么关系？为什么？
问题3：∠AOC与∠BOD有什么关系？为什么？
【学习评价】关注学生是否能灵活运用所学知识解决实际问题.
【设计意图】此环节的设计意在看学生是否会学以致用，看学生能否利用补角和余角的性质解决实际问题.
五、当堂检测 明确关系
时间：3分钟
要求：完成平板推送题目. 对错误率较高的题目进行小组交流. 组内互助，总结反思.
【学习评价】关注学生是否掌握所学知识.
【设计意图】利用平板推送检测学生对本节课的掌握情况，利用平板统计正确率，快找到学生的薄弱点和不足，及时查漏补缺.
六、归纳小结 反思关系
通过本节课的探素与交流你有哪些收获？
【学习评价】关注学生能否用自己的语言这节课总结.
【设计意图】对整节课内容进行再回顾，整合知识要点.
七、布置作业 评价关系
如图，将一个长方形纸片沿着直线EF折叠，点C落在点H处；再将∠D沿着EE折叠，使DE落在直线EH上：
问题1：∠FEG等于多少度？为什么？
问题2：上述折纸的图形中，还有哪些角互为余角？哪些角互为补角？
板书设计
【设计意图】本节课以知识树的形式进行设计，意在让学生学会知识网络的建构和方法的总结并引导学生注意知识间的联系，为后续学习平行线和证明做好铺垫.