初中数学苏科版九年级下册 6.5 相似三角形的性质 同步训练

初中数学苏科版九年级下册 6.5 相似三角形的性质 同步训练
一、单选题
1．（2020九上·无锡月考）若△ABC∽△A'B'C'，∠A＝30°，∠C＝110°，则∠B'的度数为（　　）
A．30° B．50° C．40° D．70°
【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；相似三角形的性质
【解析】【解答】解：∵∠A=30°，∠C=110°，
∴∠B=40°，
∵△ABC∽△A′B′C′，
∴∠B′=∠B=40°，
故答案为：C.
【分析】根据三角形内角和定理求出∠B=40°，根据相似三角形的对应角相等解答即可.
2．（2020·南京模拟）已知△ABC∽△DEF，△ABC与△DEF面积之比为1 4.若BC＝1，则EF的长是（　　）
A．2 B．2 C．4 D．16
【答案】B
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：∵△ABC∽△DEF，△ABC与△DEF的面积之比为1：4，
∴（BC：EF）2=1：4，
解得BC：EF=1：2，
∵BC=1，
∴EF=2.
故答案为：B.
【分析】根据相似三角形面积的比等于相似比的平方列出比例式，代入数值计算即可得解.
3．（2020九上·浦东期中）已知 与 相似，且 ，那么下列结论中，一定成立的是（　　）
A． B．
C．相似比为 D．相似比为
【答案】D
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：∵B可以与E对应，也可以与F对应，∴∠B=∠E或∠B=∠F，A不一定成立；
同上，AB可以与DE对应，也可以与DF对应，∴ 或 ，B不一定成立；
同上，AB可以与DE对应，也可以与DF对应，∴相似比可能是 ，也可能是 ，C不一定成立；
∵∠A=∠D ，即∠A与∠D是对应角，∴它们的对边一定是对应比，即BC与EF是对应比，
∴相似比为 ，∴D一定成立，
故答案为：D ．
【分析】根据相似三角形的性质找到对应边及对应角，再逐项判定即可。
4．（2020·重庆模拟）要制作两个形状相同的三角形框架，其中一个三角形的三边长分别为4厘米，6厘米和9厘米，另一个三角形的最长边是18厘米，则它的最短边是（　　）
A．2厘米 B．4厘米 C．8厘米 D．12厘米
【答案】C
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：设另一个三角形的最短边长是x厘米，根据题意，
得： ，解得：x=8.
即另一个三角形的最短边长是8厘米.
故答案为：C.
【分析】根据相似三角形的对应边成比例解答即可.
5．（2020九上·宁阳期中）已知两个相似三角形一组对应高分别是15和5，面积之差为80，则较大三角形的面积为（　　）
A．90 B．180 C．270 D．3600
【答案】A
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】由题意得，两个三角形的相似比为：15∶5=3∶1，
故面积比为：9∶1，
设两个三角形的面积分别为9x，x，
则9x－x=80，
解得：x=10，
故较大三角形的面积为：9x=90．
故答案为：A．
【分析】由两个三角形的高之比可得出两个三角形的相似比，进而得出两个三角形的面积之比，根据两个三角形的面积之比设未知数，列方程，求出较大三角形的面积即可．
6．（2020九上·景县期末）平面直角坐标系中，已知点O(0，0)、A(0，2)、B(1，0)，点P是反比例函数y= 象上的一个动点，过点P作PQ⊥x轴，垂足为点Q若以点O、P、Q为顶点的三角形与△OAB相似，则相应的点P共有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】
解：∵点P在反比例函数y=-上
∴设点P的坐标为（x，y）
当△PQO∽△AOB时，
∵PQ=y，OQ=-x，OA=2，OB=1
∴y=-2x
∵xy=-1，∴-2x2=-1
x=±，即点P的坐标为（，-）或（-，）
同理，当△PQO∽△BOA时，求得P（-，）或（，-）
∴相应的点共有4个。
故答案为：D.
【分析】分别从三角形相似入手即可，根据相似三角形的性质以及反比例函数的解析式即可得到点P的坐标。
7．（2018九上·渭滨期末）如图，在平行四边形ABCD中，点E是边AD的中点，EC交对角线BD于点F，则S△CDF：S四边形ABFE等于（　　）
A．1：3 B．2：5 C．3：5 D．4：9
【答案】B
【知识点】平行四边形的性质；相似三角形的性质
【解析】【解答】∵四边形ABCD为平行四边形，
∴ED∥BC，BC=AD，
∴△DEF∽△BCF，
∴
∵AE=DE，
设△DEF的面积为S．则△CDF的面积为2S，△BFC的面积为4S，△BCD
的面积=△ABD的面积=6S，
∴四边形ABFE的面积为5S，
∴S△CDF：S四边形ABFE=2：5，
故选：B．
【分析】由△DEF∽△BCF，推出 ,由AE=DE，推出 设△DEF的面积为S．则△CDF的面积为2S，△BFC的面积为4S，△BCD的面积=△ABD的面积=6S，推出四边形ABFE的面积为5S，由此即可解决问题；
8．（2020九上·昌黎期中）如图所示，△ABC是等边三角形，若被一边平行于BC的矩形所截，AB被截成三等份，则图中阴影部分的面积是△ABC面积的（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：∵AB被三等分
∴△AEH∽△AFG∽△ABC
∴，
∴S△AFG：S△ABC=4：9，S△AEH：S△ABC=1：9
∴S△AFG=S△ABC，S△AEH=S△ABC
∴S阴影面积=S△AFG-S△AEH=S△ABC-S△ABC=S△ABC
故答案为：C.
【分析】根据题意，由相似三角形的性质，求出答案即可。
9．（2020九上·奉化期末）如图，在△ABC中，点D，E，F分别在边AB，AC，BC上，且DE∥BC，EF∥AB，若AB=3BD。则S△ADE：S△EFC的值为（　　）
A．4：1 B．3：2 C．2：1 D．3：1
【答案】A
【知识点】三角形的面积；平行四边形的判定与性质；相似三角形的性质
【解析】【解答】解：∵AB=3BD，
∴AD=2BD，
∵DE∥BC，EF∥AB ，
∴四边形DBFE是平行四边形，
∴EF=BD，
∴AD=2EF，即AD：EF=2∶1，
∵DE∥BC，
∴∠AED=∠ECF，∠ADE=∠B
∵EF∥AB ，
∴∠EFC=∠B，
∴∠EFC=∠ADE，
∴△ADE∽△EFC，
∴S△ADE：S△EFC =AD2：EF2=4：1.
故答案为：A.
【分析】由AB=3BD，可得AD=2BD，再由两组对边分别平行得四边形DBFE是平行四边形，可得EF=BD，从而得出AD和EF的比值，接着利用平行得性质推得两组对角相等，证得△ADE∽△EFC，则由三角形相似的性质求得面积之比.
10．（2019九上·长沙期中）如图，矩形ABCD中，AB=2, AD=2 ，动点P从点A出发向终点D运动，连BP，并过点C作CH⊥BP，垂足为H.①△ABP∽△HCB;②AH的最小值为 - ; ③在运动过程中，BP扫过的面积始终等于CH扫过的面积:④在运动过程中，点H的运动路径的长为 , 其中正确的有（　　）
A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④
【答案】B
【知识点】相似三角形的性质；四边形的综合；四边形-动点问题
【解析】【解答】① CH⊥BP，矩形ABCD中 ，
△ABP∽△HCB，故①符合题意；
②连接 ，
当 在同一直线上时， 最短，
此时 ，
即 的最小值为 ，故②符合题意；
③如图所示，
在运动过程中， 扫过的面积 ， 扫过的面积 ，
扫过的面积不等于 扫过的面积，故③不符合题意；
④在运动过程中，点H的运动路线（轨迹）长为 ，故④符合题意；
故答案为：①②④.
【分析】根据CH⊥BP，矩形ABCD中 ,可知
，可证△ABP∽△HCB；根据当 在同一直线上时， 最短，即可得出 的最小值；根据 扫过的面积 ， 扫过的面积 ，即可得出 扫过的面积不等于 扫过的面积；根据点H的运动路线（轨迹）为 ，运用弧长公式即可得出结果.
二、填空题
11．（2020九上·阜阳期末）已知△ABC∽△DEF，且S△ABC＝6，S△DEF＝3，则对应边 ＝　 　．
【答案】
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】
又
（因实际意义不能为负，舍去负值）
故答案为： .
【分析】根据相似三角形的性质“相似三角形的面积比等于对应边的比的平方”即可得.
12．（2020九上·玉屏月考）已知△ABC的三边分别是4，5，6，则与它相似△A′B′C′的最长边为12，则△A′B′C′的周长是　 　.
【答案】30
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】∵△ABC∽△A′B′C′，且其最大边为12，所以边长12对应的边只能是△ABC中边长为6的边，
∴△A′B′C′的另两边的长为8，10，
故△A′B′C′的周长为8+10+12=30.
故答案为：30.
【分析】根据相似三角形的对应边成比例可知最长边12对应的边为6，于是可得相似比为6∶12=1∶2，根据相似比可求得另两边的长，根据三角形的周长等于三角形三边之和可求解.
13．（2019九上·上海月考）已知点G是 的重心， ，那么点G与边 中点之间的距离是　 　．
【答案】3
【知识点】相似三角形的性质；相似三角形的应用
【解析】【解答】解：如图，D是BC边的中点；
∵G是△ABC的重心，
∴AG=2GD=6，即GD=3；
故答案为：3.
【分析】根据三角形重心的性质进行求解．
14．（2020九上·鼓楼月考）如图，在△ABC中，AB＝9，AC＝6，D为AB边上一点，且△ABC∽△ACD，则AD＝　 　．
【答案】4
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：∵△ABC∽△ACD，∴ ，
∵AB＝9，AC＝6，∴ ，解得：AD＝4．
故答案为：4．
【分析】根据相似三角形的性质得出，据此即可求出AD的长.
15．（2020九上·无锡月考）如图是小孔成像原理的示意图，根据图中标注的尺寸，如果物体AB的高度为36cm，那么它在暗盒中所成的像CD的高度应为　 　cm.
【答案】16
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】 解：
∽
，
又
.
故答案为：16.
【分析】正确理解小孔成像的原理，因为
所以
∽
，则有
而AB的值已知，所以可求出CD.
16．（2019九上·丹东月考）如图，正方形ABCD中，AB=4，E为BC中点，两个动点M和N分别在边CD和AD上运动且MN=1，若△ABE与以D、M、N为顶点的三角形相似，则DM为　 　.
【答案】 或
【知识点】勾股定理；正方形的性质；相似三角形的性质
【解析】【解答】∵E为BC中点，
∴BE=1，
由勾股定理得，AE= ，
当△ABE∽△MDN时， ，即 ，
解得，DM= ，
同理，当△ABE∽△NDM时，DM= ，
∴DM为 或 .
【分析】根据线段的中点可得BE=1，利用勾股定理可得AE=， 若△ABE与以D、M、N为顶点的三角形相似，分别两种情况讨论：①当△ABE∽△MDN时，②当△ABE∽△NDM时，分别利用相似三角形的对应边成比例求出DM的长即可.
17．如图，△ABC中，AB=8厘米，AC=16厘米，点P从A出发，以每秒2厘米的速度向B运动，点Q从C同时出发，以每秒3厘米的速度向A运动，其中一个动点到端点时，另一个动点也相应停止运动，那么，当以A、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似时，运动时间为　 　
【答案】 s或4s
【知识点】相似三角形的性质；三角形-动点问题
【解析】【解答】解：设运动了ts，
根据题意得：AP=2tcm，CQ=3tcm，
则AQ=AC-CQ=16-3t（cm），
当△APQ∽△ABC时， ，
即 ，
解得：t= ；
当△APQ∽△ACB时， ，
即 ，
解得：t=4；
故当以A、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似时，运动时间是： s或4s
【分析】设运动了ts，利用两点的运动速度，可用含t的代数式分别表示出AP、CQ、AQ的长，分情况讨论：当△APQ∽△ABC时；当△APQ∽△ACB时。利用相似三角形的性质，得出对应边成比例，分别建立关于t的方程，求出t的值即可。
18．（2019九上·北京期中）如图，在△ABC中，AM：MD=4，BD：DC=2：3，则AE：EC=　 　．
【答案】8：5
【知识点】平行线分线段成比例；相似三角形的性质
【解析】【解答】解：如图，过点D作DF∥BE交AC于点F．
∴EF：FC=BD：DC，AM：MD=AE：EF．
∵BD：DC=2：3，
∴EF：FC=BD：DC=2：3．
设EF=2a，则CF=3a．
∵AM：MD=AE：EF，
∵AM：MD=4：1
∴AE：EF=4：1
∴AE=8a
∴AE：EC=8a：5a=8：5．
故答案为：8：5．
【分析】过点D做DF平行BE，可知AM：MD=AE：EF=4：1，BD：DC=EF：FC=2：3，设EF=2a，则FC=3a，即EC=5a，由AE：EF=4：1，可知AE=8a，即可得AE与EC的比值。
三、解答题
19．（2020九上·合浦期中）如图，已知在△ABC中，AB= ，AC=2 ，BC=3，点M为AB的中点，在线段AC上取点N，使△AMN与△ABC相似，求线段MN的长.
【答案】解：当△AMN∽△ABC时，
∵点M为AB的中点，AB= ，AC=2 ，BC=3，
∴ ，
∴ ，
解得：MN= ，
当△ANM∽△ABC时，
∵ ，即： ，
解得：MN= .
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【分析】分△AMN∽△ABC与△ANM∽△ABC两种情况进行讨论，即可求解.
20．（2019九上·乐安期中）如图，已知 ， ， ，求 的度数．
【答案】解：∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴
【知识点】三角形内角和定理；相似三角形的性质；相似三角形的判定
【解析】【分析】根据三角形内角和定理求出∠ACB=70°，根据相似三角形的性质得出 = ，∠BAD=∠CAE，求出 = ，∠BAC=∠DAE，推出△BAC∽△DAE，根据相似三角形的性质得出∠AED=∠ACB即可．
21．（2019九上·平顶山期中）如图，在△ABC中，点D是AB的中点，DE∥BC交AC于点E，DF∥BE交AC于点F，若EF＝3，求AC的长.
【答案】解：∵点D是AB的中点，
∴AB＝2AD＝2DB，
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴ ＝ ，
∴AC＝2AE，
∵DF∥BE，
∴△ADF∽△ABE，
∴ ＝ ，
∴AE＝2AF，且AE＝AF+EF，
∴EF＝AF＝3，
∴AE＝6，
∴AC＝2AE＝12.
【知识点】相似三角形的性质；相似三角形的判定
【解析】【分析】通过证明△ADE∽△ABC，可得 ＝ ，可得AC＝2AE，通过证明△ADF∽△ABE，可得 ＝ ，可求AF＝EF＝3，即可求解.
22．如图， ，且△ABC与△ADE周长差为4，求△ABC与△ADE的周长．
【答案】解：∵ ，∴ ，即 ＝ .
又C△ABC－C△ADE＝4，∴C△ABC＝24，C△ADE＝20
【知识点】比例的性质；相似三角形的性质
【解析】【分析】利用等比的性质，可得出两三角形的周长比为6：5，再由C△ABC－C△ADE＝4，解方程组，就可求出两三角形的周长。
23．（2016九上·海珠期末）如图，点C、D在线段AB上，△PCD是等边三角形，且△ACP∽△PDB，求∠APB的度数．
【答案】解：∵△PCD是等边三角形，
∴∠PCD=60°，
∴∠ACP=120°，
∵△ACP∽△PDB，
∴∠APC=∠B，又∠A=∠A，
∴△ACP∽△ABP，
∴∠APB=∠ACP=120°．
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【分析】根据等边三角形的性质得到∠PCD=60°，根据相似三角形的判定定理证明△ACP∽△ABP，根据相似三角形的性质得到答案．
24．（2020九上·慈溪月考）如图，在 ABCD中，AE：EB=3：2，DE交AC于点F.
（1）求证：△AEF∽△CDF.
（2）求△CDF与△AEF周长之比.
（3）如果△CDF的面积为50cm2，直接写出四边形BCFE的面积.
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴CD∥AB，
∴∠DCF=∠EAF，∠CDF=∠AEF，
∴△AEF∽△CDF；
（2）解：∵AE：EB=2：3，
∴AE：AB=3：5，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD=AB，
∴CD：AE=5：3，
∴ △CDF与△AEF周长之比=5：3；
（3）62cm2
【知识点】平行四边形的性质；相似三角形的性质；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】解：（3）∵△AEF∽△CDF，
∴AF：FC=AE：CD=3：5，
∴S△AFD：S△CDF=3：5，
∴S△AFD=S△CDF=30cm2，
∴S△ABC=S△ADC=S△AFD+S△CDF=50+30=80cm2，
∵S△AEF：S△CDF=9：25，
∴S△AEF=S△CDF=18cm2，
∴四边形BCFE的面积=S△ABC-S△AEF=80-18=62cm2.
【分析】（1）根据平行四边形的性质得出CD∥AB，然后根据平行四边形的性质得出△AEF和△CDF的两组角对应相等，从而证出∴△AEF∽△CDF；
（2）根据线段的关系得出AE和AB的比值，结合平行四边形的性质得出CD和AE的比值，于是由相似三角形的性质即可得出周长之比；
（3）根据相似三角形的性质得出AF和FC的比值，然后等高三角形面积的特点求出△AFD的面积，从而求出△ABC的面积，再根据相似的性质求出△AEF的面积，则四边形BCFE的面积可求.
25．（2020九上·子洲期中）如图，在 中点D，E，F分别在 ， ， 边上， ， .
（1）求证： ；
（2）若 ， 的面积是20，求 的面积.
【答案】（1）证明：∵DE∥AC，
∴∠DEB＝∠FCE，
∵EF∥AB，
∴∠DBE＝∠FEC，
∴△BDE∽△EFC；
（2）解：∵ ，
∴ ＝ ，
∵EF∥AB，
∴△EFC∽△BAC，
∴ ＝（ ）2＝（ ）2＝ ，
∴S△ABC＝ S△EFC＝ ×20＝45.
【知识点】相似三角形的性质；相似三角形的判定
【解析】【分析】（1）根据平行线的性质可得∠DEB＝∠FCE，∠DBE＝∠FEC，进而可得结论；
（2）由已知条件可得 ＝ ，易证△EFC∽△BAC，再根据相似三角形的面积的比等于相似比的平方求解即可.
26．（2020九上·高明期末）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝20cm，AC＝15cm，在这个直角三角形内有一个内接正方形，正方形的一边FG在BC上，另两个顶点E、H分别在边AB、AC上．
（1）求BC边上的高；
（2）求正方形EFGH的边长．
【答案】（1）解：作AD⊥BC于D，交EH于O，如图所示：
∵在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝20cm，AC＝15cm，
∴BC＝ ＝25（cm），
∵ BC×AD＝ AB×AC，
∴AD＝ ＝ ＝12（cm）；
即BC边上的高为12cm；
（2）解：设正方形EFGH的边长为xcm，
∵四边形EFGH是正方形，
∴EH∥BC，
∴∠AEH＝∠B，∠AHE＝∠C，
∴△AEH∽△ABC．
∴ ＝ ，即 ＝ ，
解得：x＝ ，
即正方形EFGH的边长为 cm．
【知识点】相似三角形的性质；相似三角形的应用
【解析】【分析】（1）由勾股定理求出BC＝25cm，再由三角形面积即可得出答案；（2）设正方形边长为x，证出△AEH∽△ABC，得出比例式，进而得出答案．
27．（2019九上·南丰期中）如图，在边长为4的正方形ABCD中，动点E以每秒1个单位长度的速度从点A开始沿边AB向点B运动，动点F以每秒2个单位长度的速度从点B开始沿边BC向点C运动，动点E比动点F先出发1秒，其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动设点F的运动时间为t秒．
（1）如图1，连接DE，AF．若DE⊥AF，求t的值；
（2）如图2，连结EF，DF．当t为何值时，△EBF∽△DCF？
【答案】（1）解：∵DE⊥AF，
∴∠AOE=90°，
∴∠BAF+∠AEO=90°，
∵∠ADE+∠AEO=90°，
∴∠BAF=∠ADE，
又∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠ABF=∠DAE=90°，
在△ABF和△DAE中，
，
∴△ABF≌△DAE（ASA）
∴AE=BF，
∴1+t=2t，
解得t=1；
（2）解：如图2，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=4，
∵BF=2t，AE=1+t，
∴FC=4-2t，BE=4-1-t=3-t，
当△EBF∽△DCF时，
，
∴ = ，
解得，t1= ，t2= （舍去），
故t= ．
所以当t= 时，△EBF∽△DCF.
【知识点】正方形的性质；相似三角形的性质；三角形全等的判定（ASA）
【解析】【分析】（1）利用正方形的性质及条件，得出△ABF≌△DAE，由AE=BF列式计算．（2）利用△EBF∽△DCF，得出 ，列出方程求解．
28．（2020九上·深圳月考）如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4．动点P从点A出发沿AC向终点C运动，同时动点Q从点B出发沿BA向点A运动，到达A点后立刻以原来的速度沿AB返回．点P，Q运动速度均为每秒1个单位长度，当点P到达点C时停止运动，点Q也同时停止．连结PQ，设运动时间为t（t >0）秒．
（1）当点Q从B点向A点运动时（未到达A点），若△APQ ∽△ABC，求t的值；
（2）伴随着P，Q两点的运动，线段PQ的垂直平分线为直线l．
①当直线l经过点A时，射线QP交AD边于点E，求AE的长；
②是否存在t的值，使得直线l经过点B？若存在，请求出所有t的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：∵△APQ∽△ABC ∴ ， 即 解得
（2）解：①如图①，线段PQ的垂直平分线为l经过点A，
则AP=AQ，
即3－t=t，∴t=1.5，∴AP=AQ=1.5，
过点Q作QO∥AD交AC于点O，
则 ∴ ，
，∴PO=AO－AP=1．
由△APE∽△OPQ，得 ．
②（ⅰ）如图②，当点Q从B向A运动时l经过点B，
BQ＝BP＝AP＝t，∠QBP＝∠QAP
∵∠QBP＋∠PBC＝90°，∠QAP＋∠PCB＝90°
∴∠PBC＝∠PCB CP＝BP＝AP＝t
∴CP＝AP＝ AC＝ ×5＝2.5∴t＝2.5
（ⅱ）如图③，当点Q从A向B运动时l经过点B，
BP＝BQ＝3－（t－3）＝6－t，AP＝t，PC＝5－t，
过点P作PG⊥CB于点G，由△PGC∽△ABC，
得
，BG＝4－
由勾股定理得 ，即
，解得 ．
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理；矩形的性质；平行线分线段成比例；相似三角形的性质
【解析】【分析】（1）由题意得AP=t，AQ=3-t， 由△APQ∽△ABC，可得，据此求出t值即可；
（2）①如图①，线段PQ的垂直平分线为l经过点A，可得AP=AQ，即3－t=t，求出t=1.5，即得AP=AQ=1.5，过点Q作QO∥AD交AC于点O，可得， 据此求出AO，OQ，PO的长，由△APE∽△OPQ，得 从而求出AE的长；
②分两种情况 (ⅰ）如图②，当点Q从B向A运动时l经过点B，（ⅱ）如图③，当点Q从A向B运动时l经过点B， 据此分别解答即可.
1 / 1初中数学苏科版九年级下册 6.5 相似三角形的性质 同步训练
一、单选题
1．（2020九上·无锡月考）若△ABC∽△A'B'C'，∠A＝30°，∠C＝110°，则∠B'的度数为（　　）
A．30° B．50° C．40° D．70°
2．（2020·南京模拟）已知△ABC∽△DEF，△ABC与△DEF面积之比为1 4.若BC＝1，则EF的长是（　　）
A．2 B．2 C．4 D．16
3．（2020九上·浦东期中）已知 与 相似，且 ，那么下列结论中，一定成立的是（　　）
A． B．
C．相似比为 D．相似比为
4．（2020·重庆模拟）要制作两个形状相同的三角形框架，其中一个三角形的三边长分别为4厘米，6厘米和9厘米，另一个三角形的最长边是18厘米，则它的最短边是（　　）
A．2厘米 B．4厘米 C．8厘米 D．12厘米
5．（2020九上·宁阳期中）已知两个相似三角形一组对应高分别是15和5，面积之差为80，则较大三角形的面积为（　　）
A．90 B．180 C．270 D．3600
6．（2020九上·景县期末）平面直角坐标系中，已知点O(0，0)、A(0，2)、B(1，0)，点P是反比例函数y= 象上的一个动点，过点P作PQ⊥x轴，垂足为点Q若以点O、P、Q为顶点的三角形与△OAB相似，则相应的点P共有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．（2018九上·渭滨期末）如图，在平行四边形ABCD中，点E是边AD的中点，EC交对角线BD于点F，则S△CDF：S四边形ABFE等于（　　）
A．1：3 B．2：5 C．3：5 D．4：9
8．（2020九上·昌黎期中）如图所示，△ABC是等边三角形，若被一边平行于BC的矩形所截，AB被截成三等份，则图中阴影部分的面积是△ABC面积的（　　）
A． B． C． D．
9．（2020九上·奉化期末）如图，在△ABC中，点D，E，F分别在边AB，AC，BC上，且DE∥BC，EF∥AB，若AB=3BD。则S△ADE：S△EFC的值为（　　）
A．4：1 B．3：2 C．2：1 D．3：1
10．（2019九上·长沙期中）如图，矩形ABCD中，AB=2, AD=2 ，动点P从点A出发向终点D运动，连BP，并过点C作CH⊥BP，垂足为H.①△ABP∽△HCB;②AH的最小值为 - ; ③在运动过程中，BP扫过的面积始终等于CH扫过的面积:④在运动过程中，点H的运动路径的长为 , 其中正确的有（　　）
A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④
二、填空题
11．（2020九上·阜阳期末）已知△ABC∽△DEF，且S△ABC＝6，S△DEF＝3，则对应边 ＝　 　．
12．（2020九上·玉屏月考）已知△ABC的三边分别是4，5，6，则与它相似△A′B′C′的最长边为12，则△A′B′C′的周长是　 　.
13．（2019九上·上海月考）已知点G是 的重心， ，那么点G与边 中点之间的距离是　 　．
14．（2020九上·鼓楼月考）如图，在△ABC中，AB＝9，AC＝6，D为AB边上一点，且△ABC∽△ACD，则AD＝　 　．
15．（2020九上·无锡月考）如图是小孔成像原理的示意图，根据图中标注的尺寸，如果物体AB的高度为36cm，那么它在暗盒中所成的像CD的高度应为　 　cm.
16．（2019九上·丹东月考）如图，正方形ABCD中，AB=4，E为BC中点，两个动点M和N分别在边CD和AD上运动且MN=1，若△ABE与以D、M、N为顶点的三角形相似，则DM为　 　.
17．如图，△ABC中，AB=8厘米，AC=16厘米，点P从A出发，以每秒2厘米的速度向B运动，点Q从C同时出发，以每秒3厘米的速度向A运动，其中一个动点到端点时，另一个动点也相应停止运动，那么，当以A、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似时，运动时间为　 　
18．（2019九上·北京期中）如图，在△ABC中，AM：MD=4，BD：DC=2：3，则AE：EC=　 　．
三、解答题
19．（2020九上·合浦期中）如图，已知在△ABC中，AB= ，AC=2 ，BC=3，点M为AB的中点，在线段AC上取点N，使△AMN与△ABC相似，求线段MN的长.
20．（2019九上·乐安期中）如图，已知 ， ， ，求 的度数．
21．（2019九上·平顶山期中）如图，在△ABC中，点D是AB的中点，DE∥BC交AC于点E，DF∥BE交AC于点F，若EF＝3，求AC的长.
22．如图， ，且△ABC与△ADE周长差为4，求△ABC与△ADE的周长．
23．（2016九上·海珠期末）如图，点C、D在线段AB上，△PCD是等边三角形，且△ACP∽△PDB，求∠APB的度数．
24．（2020九上·慈溪月考）如图，在 ABCD中，AE：EB=3：2，DE交AC于点F.
（1）求证：△AEF∽△CDF.
（2）求△CDF与△AEF周长之比.
（3）如果△CDF的面积为50cm2，直接写出四边形BCFE的面积.
25．（2020九上·子洲期中）如图，在 中点D，E，F分别在 ， ， 边上， ， .
（1）求证： ；
（2）若 ， 的面积是20，求 的面积.
26．（2020九上·高明期末）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝20cm，AC＝15cm，在这个直角三角形内有一个内接正方形，正方形的一边FG在BC上，另两个顶点E、H分别在边AB、AC上．
（1）求BC边上的高；
（2）求正方形EFGH的边长．
27．（2019九上·南丰期中）如图，在边长为4的正方形ABCD中，动点E以每秒1个单位长度的速度从点A开始沿边AB向点B运动，动点F以每秒2个单位长度的速度从点B开始沿边BC向点C运动，动点E比动点F先出发1秒，其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动设点F的运动时间为t秒．
（1）如图1，连接DE，AF．若DE⊥AF，求t的值；
（2）如图2，连结EF，DF．当t为何值时，△EBF∽△DCF？
28．（2020九上·深圳月考）如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4．动点P从点A出发沿AC向终点C运动，同时动点Q从点B出发沿BA向点A运动，到达A点后立刻以原来的速度沿AB返回．点P，Q运动速度均为每秒1个单位长度，当点P到达点C时停止运动，点Q也同时停止．连结PQ，设运动时间为t（t >0）秒．
（1）当点Q从B点向A点运动时（未到达A点），若△APQ ∽△ABC，求t的值；
（2）伴随着P，Q两点的运动，线段PQ的垂直平分线为直线l．
①当直线l经过点A时，射线QP交AD边于点E，求AE的长；
②是否存在t的值，使得直线l经过点B？若存在，请求出所有t的值；若不存在，请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；相似三角形的性质
【解析】【解答】解：∵∠A=30°，∠C=110°，
∴∠B=40°，
∵△ABC∽△A′B′C′，
∴∠B′=∠B=40°，
故答案为：C.
【分析】根据三角形内角和定理求出∠B=40°，根据相似三角形的对应角相等解答即可.
2．【答案】B
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：∵△ABC∽△DEF，△ABC与△DEF的面积之比为1：4，
∴（BC：EF）2=1：4，
解得BC：EF=1：2，
∵BC=1，
∴EF=2.
故答案为：B.
【分析】根据相似三角形面积的比等于相似比的平方列出比例式，代入数值计算即可得解.
3．【答案】D
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：∵B可以与E对应，也可以与F对应，∴∠B=∠E或∠B=∠F，A不一定成立；
同上，AB可以与DE对应，也可以与DF对应，∴ 或 ，B不一定成立；
同上，AB可以与DE对应，也可以与DF对应，∴相似比可能是 ，也可能是 ，C不一定成立；
∵∠A=∠D ，即∠A与∠D是对应角，∴它们的对边一定是对应比，即BC与EF是对应比，
∴相似比为 ，∴D一定成立，
故答案为：D ．
【分析】根据相似三角形的性质找到对应边及对应角，再逐项判定即可。
4．【答案】C
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：设另一个三角形的最短边长是x厘米，根据题意，
得： ，解得：x=8.
即另一个三角形的最短边长是8厘米.
故答案为：C.
【分析】根据相似三角形的对应边成比例解答即可.
5．【答案】A
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】由题意得，两个三角形的相似比为：15∶5=3∶1，
故面积比为：9∶1，
设两个三角形的面积分别为9x，x，
则9x－x=80，
解得：x=10，
故较大三角形的面积为：9x=90．
故答案为：A．
【分析】由两个三角形的高之比可得出两个三角形的相似比，进而得出两个三角形的面积之比，根据两个三角形的面积之比设未知数，列方程，求出较大三角形的面积即可．
6．【答案】D
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】
解：∵点P在反比例函数y=-上
∴设点P的坐标为（x，y）
当△PQO∽△AOB时，
∵PQ=y，OQ=-x，OA=2，OB=1
∴y=-2x
∵xy=-1，∴-2x2=-1
x=±，即点P的坐标为（，-）或（-，）
同理，当△PQO∽△BOA时，求得P（-，）或（，-）
∴相应的点共有4个。
故答案为：D.
【分析】分别从三角形相似入手即可，根据相似三角形的性质以及反比例函数的解析式即可得到点P的坐标。
7．【答案】B
【知识点】平行四边形的性质；相似三角形的性质
【解析】【解答】∵四边形ABCD为平行四边形，
∴ED∥BC，BC=AD，
∴△DEF∽△BCF，
∴
∵AE=DE，
设△DEF的面积为S．则△CDF的面积为2S，△BFC的面积为4S，△BCD
的面积=△ABD的面积=6S，
∴四边形ABFE的面积为5S，
∴S△CDF：S四边形ABFE=2：5，
故选：B．
【分析】由△DEF∽△BCF，推出 ,由AE=DE，推出 设△DEF的面积为S．则△CDF的面积为2S，△BFC的面积为4S，△BCD的面积=△ABD的面积=6S，推出四边形ABFE的面积为5S，由此即可解决问题；
8．【答案】C
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：∵AB被三等分
∴△AEH∽△AFG∽△ABC
∴，
∴S△AFG：S△ABC=4：9，S△AEH：S△ABC=1：9
∴S△AFG=S△ABC，S△AEH=S△ABC
∴S阴影面积=S△AFG-S△AEH=S△ABC-S△ABC=S△ABC
故答案为：C.
【分析】根据题意，由相似三角形的性质，求出答案即可。
9．【答案】A
【知识点】三角形的面积；平行四边形的判定与性质；相似三角形的性质
【解析】【解答】解：∵AB=3BD，
∴AD=2BD，
∵DE∥BC，EF∥AB ，
∴四边形DBFE是平行四边形，
∴EF=BD，
∴AD=2EF，即AD：EF=2∶1，
∵DE∥BC，
∴∠AED=∠ECF，∠ADE=∠B
∵EF∥AB ，
∴∠EFC=∠B，
∴∠EFC=∠ADE，
∴△ADE∽△EFC，
∴S△ADE：S△EFC =AD2：EF2=4：1.
故答案为：A.
【分析】由AB=3BD，可得AD=2BD，再由两组对边分别平行得四边形DBFE是平行四边形，可得EF=BD，从而得出AD和EF的比值，接着利用平行得性质推得两组对角相等，证得△ADE∽△EFC，则由三角形相似的性质求得面积之比.
10．【答案】B
【知识点】相似三角形的性质；四边形的综合；四边形-动点问题
【解析】【解答】① CH⊥BP，矩形ABCD中 ，
△ABP∽△HCB，故①符合题意；
②连接 ，
当 在同一直线上时， 最短，
此时 ，
即 的最小值为 ，故②符合题意；
③如图所示，
在运动过程中， 扫过的面积 ， 扫过的面积 ，
扫过的面积不等于 扫过的面积，故③不符合题意；
④在运动过程中，点H的运动路线（轨迹）长为 ，故④符合题意；
故答案为：①②④.
【分析】根据CH⊥BP，矩形ABCD中 ,可知
，可证△ABP∽△HCB；根据当 在同一直线上时， 最短，即可得出 的最小值；根据 扫过的面积 ， 扫过的面积 ，即可得出 扫过的面积不等于 扫过的面积；根据点H的运动路线（轨迹）为 ，运用弧长公式即可得出结果.
11．【答案】
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】
又
（因实际意义不能为负，舍去负值）
故答案为： .
【分析】根据相似三角形的性质“相似三角形的面积比等于对应边的比的平方”即可得.
12．【答案】30
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】∵△ABC∽△A′B′C′，且其最大边为12，所以边长12对应的边只能是△ABC中边长为6的边，
∴△A′B′C′的另两边的长为8，10，
故△A′B′C′的周长为8+10+12=30.
故答案为：30.
【分析】根据相似三角形的对应边成比例可知最长边12对应的边为6，于是可得相似比为6∶12=1∶2，根据相似比可求得另两边的长，根据三角形的周长等于三角形三边之和可求解.
13．【答案】3
【知识点】相似三角形的性质；相似三角形的应用
【解析】【解答】解：如图，D是BC边的中点；
∵G是△ABC的重心，
∴AG=2GD=6，即GD=3；
故答案为：3.
【分析】根据三角形重心的性质进行求解．
14．【答案】4
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：∵△ABC∽△ACD，∴ ，
∵AB＝9，AC＝6，∴ ，解得：AD＝4．
故答案为：4．
【分析】根据相似三角形的性质得出，据此即可求出AD的长.
15．【答案】16
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】 解：
∽
，
又
.
故答案为：16.
【分析】正确理解小孔成像的原理，因为
所以
∽
，则有
而AB的值已知，所以可求出CD.
16．【答案】 或
【知识点】勾股定理；正方形的性质；相似三角形的性质
【解析】【解答】∵E为BC中点，
∴BE=1，
由勾股定理得，AE= ，
当△ABE∽△MDN时， ，即 ，
解得，DM= ，
同理，当△ABE∽△NDM时，DM= ，
∴DM为 或 .
【分析】根据线段的中点可得BE=1，利用勾股定理可得AE=， 若△ABE与以D、M、N为顶点的三角形相似，分别两种情况讨论：①当△ABE∽△MDN时，②当△ABE∽△NDM时，分别利用相似三角形的对应边成比例求出DM的长即可.
17．【答案】 s或4s
【知识点】相似三角形的性质；三角形-动点问题
【解析】【解答】解：设运动了ts，
根据题意得：AP=2tcm，CQ=3tcm，
则AQ=AC-CQ=16-3t（cm），
当△APQ∽△ABC时， ，
即 ，
解得：t= ；
当△APQ∽△ACB时， ，
即 ，
解得：t=4；
故当以A、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似时，运动时间是： s或4s
【分析】设运动了ts，利用两点的运动速度，可用含t的代数式分别表示出AP、CQ、AQ的长，分情况讨论：当△APQ∽△ABC时；当△APQ∽△ACB时。利用相似三角形的性质，得出对应边成比例，分别建立关于t的方程，求出t的值即可。
18．【答案】8：5
【知识点】平行线分线段成比例；相似三角形的性质
【解析】【解答】解：如图，过点D作DF∥BE交AC于点F．
∴EF：FC=BD：DC，AM：MD=AE：EF．
∵BD：DC=2：3，
∴EF：FC=BD：DC=2：3．
设EF=2a，则CF=3a．
∵AM：MD=AE：EF，
∵AM：MD=4：1
∴AE：EF=4：1
∴AE=8a
∴AE：EC=8a：5a=8：5．
故答案为：8：5．
【分析】过点D做DF平行BE，可知AM：MD=AE：EF=4：1，BD：DC=EF：FC=2：3，设EF=2a，则FC=3a，即EC=5a，由AE：EF=4：1，可知AE=8a，即可得AE与EC的比值。
19．【答案】解：当△AMN∽△ABC时，
∵点M为AB的中点，AB= ，AC=2 ，BC=3，
∴ ，
∴ ，
解得：MN= ，
当△ANM∽△ABC时，
∵ ，即： ，
解得：MN= .
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【分析】分△AMN∽△ABC与△ANM∽△ABC两种情况进行讨论，即可求解.
20．【答案】解：∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴
【知识点】三角形内角和定理；相似三角形的性质；相似三角形的判定
【解析】【分析】根据三角形内角和定理求出∠ACB=70°，根据相似三角形的性质得出 = ，∠BAD=∠CAE，求出 = ，∠BAC=∠DAE，推出△BAC∽△DAE，根据相似三角形的性质得出∠AED=∠ACB即可．
21．【答案】解：∵点D是AB的中点，
∴AB＝2AD＝2DB，
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴ ＝ ，
∴AC＝2AE，
∵DF∥BE，
∴△ADF∽△ABE，
∴ ＝ ，
∴AE＝2AF，且AE＝AF+EF，
∴EF＝AF＝3，
∴AE＝6，
∴AC＝2AE＝12.
【知识点】相似三角形的性质；相似三角形的判定
【解析】【分析】通过证明△ADE∽△ABC，可得 ＝ ，可得AC＝2AE，通过证明△ADF∽△ABE，可得 ＝ ，可求AF＝EF＝3，即可求解.
22．【答案】解：∵ ，∴ ，即 ＝ .
又C△ABC－C△ADE＝4，∴C△ABC＝24，C△ADE＝20
【知识点】比例的性质；相似三角形的性质
【解析】【分析】利用等比的性质，可得出两三角形的周长比为6：5，再由C△ABC－C△ADE＝4，解方程组，就可求出两三角形的周长。
23．【答案】解：∵△PCD是等边三角形，
∴∠PCD=60°，
∴∠ACP=120°，
∵△ACP∽△PDB，
∴∠APC=∠B，又∠A=∠A，
∴△ACP∽△ABP，
∴∠APB=∠ACP=120°．
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【分析】根据等边三角形的性质得到∠PCD=60°，根据相似三角形的判定定理证明△ACP∽△ABP，根据相似三角形的性质得到答案．
24．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴CD∥AB，
∴∠DCF=∠EAF，∠CDF=∠AEF，
∴△AEF∽△CDF；
（2）解：∵AE：EB=2：3，
∴AE：AB=3：5，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD=AB，
∴CD：AE=5：3，
∴ △CDF与△AEF周长之比=5：3；
（3）62cm2
【知识点】平行四边形的性质；相似三角形的性质；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】解：（3）∵△AEF∽△CDF，
∴AF：FC=AE：CD=3：5，
∴S△AFD：S△CDF=3：5，
∴S△AFD=S△CDF=30cm2，
∴S△ABC=S△ADC=S△AFD+S△CDF=50+30=80cm2，
∵S△AEF：S△CDF=9：25，
∴S△AEF=S△CDF=18cm2，
∴四边形BCFE的面积=S△ABC-S△AEF=80-18=62cm2.
【分析】（1）根据平行四边形的性质得出CD∥AB，然后根据平行四边形的性质得出△AEF和△CDF的两组角对应相等，从而证出∴△AEF∽△CDF；
（2）根据线段的关系得出AE和AB的比值，结合平行四边形的性质得出CD和AE的比值，于是由相似三角形的性质即可得出周长之比；
（3）根据相似三角形的性质得出AF和FC的比值，然后等高三角形面积的特点求出△AFD的面积，从而求出△ABC的面积，再根据相似的性质求出△AEF的面积，则四边形BCFE的面积可求.
25．【答案】（1）证明：∵DE∥AC，
∴∠DEB＝∠FCE，
∵EF∥AB，
∴∠DBE＝∠FEC，
∴△BDE∽△EFC；
（2）解：∵ ，
∴ ＝ ，
∵EF∥AB，
∴△EFC∽△BAC，
∴ ＝（ ）2＝（ ）2＝ ，
∴S△ABC＝ S△EFC＝ ×20＝45.
【知识点】相似三角形的性质；相似三角形的判定
【解析】【分析】（1）根据平行线的性质可得∠DEB＝∠FCE，∠DBE＝∠FEC，进而可得结论；
（2）由已知条件可得 ＝ ，易证△EFC∽△BAC，再根据相似三角形的面积的比等于相似比的平方求解即可.
26．【答案】（1）解：作AD⊥BC于D，交EH于O，如图所示：
∵在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝20cm，AC＝15cm，
∴BC＝ ＝25（cm），
∵ BC×AD＝ AB×AC，
∴AD＝ ＝ ＝12（cm）；
即BC边上的高为12cm；
（2）解：设正方形EFGH的边长为xcm，
∵四边形EFGH是正方形，
∴EH∥BC，
∴∠AEH＝∠B，∠AHE＝∠C，
∴△AEH∽△ABC．
∴ ＝ ，即 ＝ ，
解得：x＝ ，
即正方形EFGH的边长为 cm．
【知识点】相似三角形的性质；相似三角形的应用
【解析】【分析】（1）由勾股定理求出BC＝25cm，再由三角形面积即可得出答案；（2）设正方形边长为x，证出△AEH∽△ABC，得出比例式，进而得出答案．
27．【答案】（1）解：∵DE⊥AF，
∴∠AOE=90°，
∴∠BAF+∠AEO=90°，
∵∠ADE+∠AEO=90°，
∴∠BAF=∠ADE，
又∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠ABF=∠DAE=90°，
在△ABF和△DAE中，
，
∴△ABF≌△DAE（ASA）
∴AE=BF，
∴1+t=2t，
解得t=1；
（2）解：如图2，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=4，
∵BF=2t，AE=1+t，
∴FC=4-2t，BE=4-1-t=3-t，
当△EBF∽△DCF时，
，
∴ = ，
解得，t1= ，t2= （舍去），
故t= ．
所以当t= 时，△EBF∽△DCF.
【知识点】正方形的性质；相似三角形的性质；三角形全等的判定（ASA）
【解析】【分析】（1）利用正方形的性质及条件，得出△ABF≌△DAE，由AE=BF列式计算．（2）利用△EBF∽△DCF，得出 ，列出方程求解．
28．【答案】（1）解：∵△APQ∽△ABC ∴ ， 即 解得
（2）解：①如图①，线段PQ的垂直平分线为l经过点A，
则AP=AQ，
即3－t=t，∴t=1.5，∴AP=AQ=1.5，
过点Q作QO∥AD交AC于点O，
则 ∴ ，
，∴PO=AO－AP=1．
由△APE∽△OPQ，得 ．
②（ⅰ）如图②，当点Q从B向A运动时l经过点B，
BQ＝BP＝AP＝t，∠QBP＝∠QAP
∵∠QBP＋∠PBC＝90°，∠QAP＋∠PCB＝90°
∴∠PBC＝∠PCB CP＝BP＝AP＝t
∴CP＝AP＝ AC＝ ×5＝2.5∴t＝2.5
（ⅱ）如图③，当点Q从A向B运动时l经过点B，
BP＝BQ＝3－（t－3）＝6－t，AP＝t，PC＝5－t，
过点P作PG⊥CB于点G，由△PGC∽△ABC，
得
，BG＝4－
由勾股定理得 ，即
，解得 ．
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理；矩形的性质；平行线分线段成比例；相似三角形的性质
【解析】【分析】（1）由题意得AP=t，AQ=3-t， 由△APQ∽△ABC，可得，据此求出t值即可；
（2）①如图①，线段PQ的垂直平分线为l经过点A，可得AP=AQ，即3－t=t，求出t=1.5，即得AP=AQ=1.5，过点Q作QO∥AD交AC于点O，可得， 据此求出AO，OQ，PO的长，由△APE∽△OPQ，得 从而求出AE的长；
②分两种情况 (ⅰ）如图②，当点Q从B向A运动时l经过点B，（ⅱ）如图③，当点Q从A向B运动时l经过点B， 据此分别解答即可.
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