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人教版数学九年级下册 第二十七章 相似 27.2.2 相似三角形的性质 同步练习
一、单选题
1．（2020九上·嘉祥月考）如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形(阴影部分)与△ABC相似的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】勾股定理；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：在△ABC中，AB=，BC=2，AC=；
A.三角形的三边长分别为1，，2；
B.三角形的三边长分别为1，，；
C.三角形的三边长分别为，，3；
D.三角形的三边长分别为2，，
由相似三角形的对应边成比例，即可得到B符合条件。
故答案为：B.
【分析】根据勾股定理，分别计算得到△ABC和阴影三角形的边长，根据相似三角形的对应边成比例，判断得到答案即可。
2．（2020九上·德惠月考）如图，△ABC中，点D、E分别在AB、AC边上，则下列条件中，不一定能使△AED∽△ABC的是（ ）
A．∠2=∠B B．∠1=∠C C． D．
【答案】D
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：根据题意可知，∠A=∠A
A.添加∠2=∠B，∵∠A=∠A，∴△AED∽△ABC，选项错误；
B.添加∠1=∠C，∵∠A=∠A，∴△AED∽△ABC，选项错误；
C.添加，∵∠A=∠A，∴△AED∽△ABC，选项错误；
D.添加，不能判定△AED∽△ABC，本选项正确。
故答案为：D.
【分析】根据题意，由相似三角形的判定定理，判断得到答案即可。
3．（2020九上·包河月考）如图，已知△ABC∽△DAC，∠B=36 ，∠D=117 ，则∠BAD的度数为（ ）
A．36 B．117 C．143 D．153
【答案】D
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵△ABC∽△DAC，∠B=36°，∠D=117°
∴∠DAC=∠B=36°，∠BAC=∠D=117°
∴∠BAD=∠BAC+∠DAC=117°+36°=153°
故答案为：D.
【分析】根据题意，由相似三角形的性质，求出∠DAC和∠BAC的度数，继而求和即可得到答案。
4．（2020九上·亳州月考）△ABC与△DEF的相似比为2：3，且△ABC的周长为40，则△DEF的周长是（ ）
A．20 B．40 C．60 D．80
【答案】C
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵△ABC∽△DEF，且相似比为2:3
∴△ABC的周长：三角形DEF的周长=2:3
又∵△ABC的周长为40
∴△DEF的周长为60
故答案为：C.
【分析】根据题意，由相似三角形的周长比等于对应比，即可得到三角形DEF的周长。
5．（2020九上·合肥月考）如图，在平行四边形ABCD中，E为CD上一点，DE：CE=2：3，连结AE、BD交于点F，则S△DEF：S△ADF：S△ABF等于（ ）
A．2：3：5 B．4：9：25 C．2：5：25 D．4：10：25
【答案】D
【知识点】平行四边形的判定与性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形
∴DC=AB，DC∥AB
∵DE：CE=2:3
∴DE：AB=2:5
∵DC∥AB
∴△DEF∽△BAF
∴，
∴
∴S△DEF：S△ADF：S△ABF=4：10：25
故答案为：D.
【分析】根据平行四边形的性质以及相似三角形的判定和性质，求出对应边的比，根据等高三角形的面积比等于对应边的比，即可得到答案。
6．（2020九上·东阿期中）将矩形OABC如图放置，O为坐标原点，若点A（﹣1，2），点B的纵坐标是 ，则点C的坐标是（ ）
A．（4，2） B．（3， ） C．（3， ） D．（2， ）
【答案】B
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】如图，过点A作AE⊥x轴于点E，过点B作BF⊥x轴于点F，过点A作AN⊥BF于点N，
过点C作CM⊥x轴于点M．
∵∠EAO+∠AOE=90°，∠AOE+∠MOC=90°，
∴∠EAO=∠COM，
又∵∠AEO=∠CMO=90°，
∴△AEO∽△OMC，
∴ ，
∵∠BAN+∠OAN=90°，∠EAO+∠OAN=90°，
∴∠BAN=∠EAO=∠COM，
在△ABN和△OCM中，
，
∴△ABN≌△OCM（AAS），
∴BN=CM．
∵点A（﹣1，2），点B的纵坐标是 ，
∴BN ，
∴CM ，
∴ ，
∴MO=3，
∴点C的坐标是：（3， ）．
故答案为：B．
【分析】首先构造直角三角形，利用相似三角形的判定与性质以及结合全等三角形的判定与性质得出CM＝ ，MO＝3，进而得出答案．
二、填空题
7．（2020九上·宝山月考）当两个相似三角形的相似比为 时，这两个相似三角形-定是-对全等三角形。
【答案】1
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：两个相似三角形的相似比为1时，这两个相似三角形一定是一对全等三角形.
故答案为：1．
【分析】本题主要考查了相似三角形的性质，正确理解全等是特殊的相似是解题关键．直接利用全等三角形的性质得出答案．
8．（2020九上·无锡月考）如图是小孔成像原理的示意图，根据图中标注的尺寸，如果物体AB的高度为36cm，那么它在暗盒中所成的像CD的高度应为 cm.
【答案】16
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】 解：
∽
，
又
.
故答案为：16.
【分析】正确理解小孔成像的原理，因为
所以
∽
，则有
而AB的值已知，所以可求出CD.
9．（2020九上·北京期中）如果两个相似三角形的面积比为4：9，那么这两个三角形的相似比为 ．
【答案】2：3
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】∵两个相似三角形的面积比为4：9，
∴两个相似三角形的相似比为2：3．
故填：2：3．
【分析】根据相似三角形的面积比等于相似比的平方可直接得出结果．
10．（2020九上·亳州月考）如图，
点P是矩形ABCD内一点，连接PA、PB、PC、PD，已知AB＝3，BC＝4；则①PA+PB+PC+PD的最小值为 ；
②若△PAB∽△PDA，则PA＝ ．
【答案】10；2.4
【知识点】三角形的面积；矩形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：①当点P为矩形ABCD两对角线交点时，PA+PB+PC+PD的值最小，根据勾股定理可得，PA+PB+PC+PD的最小值为AC+BD=10；
②∵△PAB∽△PDA，
∴∠PAB=∠PDA，∠PAB+∠PAD=∠PDA+∠PAD=90°
∴∠APD=108°-（∠PDA+∠PAD）=90°
同理可得，∠APB=90°
∴∠BPD=180°
∴点B、P、D三点共线
∴PA=2.4
【分析】①根据题意，由矩形的性质以及勾股定理，即可得到答案；
②根据相似三角形的性质以及三角形的内角和定理求出∠APB的度数，根据三角形的面积公式计算得到答案即可。
11．（2020九上·滕州期中）如图，四边形ABCD为平行四边形，E、F为CD边的两个三等分点，连接AF、BE交于点G，则 ．
【答案】1：9
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：在平行四边形 中， ，且 ，∴ ，又∵E、F为 边的两个三等分点，∴ ，即 ，∴ ，
故答案为：1：9．
【分析】利用相似三角形的性质面积比等于相似比的平方即可解决问题；
12．（2020九上·二连浩特期中）在△ABC中，AB=6，AC=5，点D在边AB上，且AD=2，点E在边AC上，当AE= 时，以A，D，E为顶点的三角形与△ABC相似．
【答案】 或
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：如图所示：
∵AB=6，AC=5，点D在边AB上，且AD=2，
∴当以A，D，E为顶点的三角形与△ABC相似时，则有：①当 时，
∵∠A=∠A，
∴△AED∽△ABC，
∴ ；②当 时，∠A=∠A，
∴△ADE∽△ABC，
∴ ，
综上所述：以A，D，E为顶点的三角形与△ABC相似时， 或 ；
故答案为 或 ．
【分析】以A，D，E为顶点的三角形与△ABC相似时，则 或 ，分情况进行讨论求解AE的长即可．
13．（2020九上·萧山期中）如图，在 中， ， ，点D为AC上一点，作 交BC于点E，点C关于DE的对称点为点O，以OA为半径作⊙O恰好经过点C，并交直线DE于点M，N则MN的值为 ．
【答案】
【知识点】垂径定理；轴对称的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：如图，连接OC，延长CO交AB于H，交圆于F，连接BF，再连接OC、OM，OC交MN于K，
∵△ACB为等腰三角形，
∴CH⊥AB，
CH===4，
∵∠FBC=∠BHC=90°，∠BCH=∠BCF，
∴△BHC∽△FBC，
∴BC：CH=CF：BC，
，
∴OM=，
∵ 点C关于DE的对称点为点O，
∴OK=KC=，
∴MK=，
∴MN=2MK=.
故答案为： .
【分析】连接OC，延长CO交AB于H，交圆于F，连接BF，再连接OC、OM，OC交MN于K，根据等腰三角形的性质，先求出CH的长，再利用相似三角形的性质求出CF的长，则知圆的半径的长，再由对称的性质得出OK的长，然后根据勾股定理即可求出MK的长，则知MN的长.
三、解答题
14．（2020九上·亳州月考）如图，在△ABC中，DE∥BC，分别交AB，AC于点D，E，若DE＝4，BC＝AE＝6，求EC的长．
【答案】解： ∵DE∥BC
∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C
∴△ADE∽△ABC
∴
∴
∴AC=9
∴EC=AC-AE=9-6=3
【知识点】平行线的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】根据题意，由平行线的性质证明得到△ADE∽△ABC，根据相似三角形的对应边成比例求出AC的长度，继而根据AE的长度即可得到EC。
15．（2020九上·上海月考）在 中， 为BC边上的中线， 于点 的延长线交于点，求 的值
【答案】解：过点B作BF⊥BC交CE的延长线于点F，如图所示：
∵ ，
∴∠BCF+∠ACD=90°，
∵ ，
∴∠CAM+∠ACD=90°，
∴∠BCF=∠CAM，
又∵∠ACM=∠CBF=90°，
∴BF∥AC，△ACM≌△CBF，
∴BF=CM=BM= ，∠F=∠ACE，∠EBF=∠CAE，
∴△ACE∽△BFE，
∴ ．
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】过点B作BF⊥BC交CE的延长线于点F，由题意易得BF∥AC，△ACM≌△CBF，则有BF=CM，进而可得△ACE∽△BFE，然后根据相似三角形的性质可求解．
16．（2020九上·浦东月考）如图，已知正方形ABCD中，BE平分 且交CD边于点E，延长BC至F使 ，联接DF，延长BE交DF于点G．求证： ．
【答案】∵四边形ABCD为正方形，
∴BC=DC，∠BCE=∠FDC=90°，
在 和 中 ，
∴ ，
∴
∵BE平分∠DBC，
∴ ，
∴∠DBG=∠FDC，
∵∠BGD=∠DGE，
∴
∴ ，
∴ ．
【知识点】正方形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】根据正方形的性质可得BC=CD，利用SAS可证明△BCE≌△DCF，可得∠EBC=∠FDC，由BE平分 即可证明∠FDC=∠DBG，根据∠BGD=∠DGE即可证明 ，根据相似三角形的性质即可得答案．
17．（2020·拱墅模拟）已知：△ABC与△ABD中，∠CAB＝∠DBA＝β，且∠ADB+∠ACB＝180°.
提出问题：如图1，当∠ADB＝∠ACB＝90°时，求证：AD＝BC；
类比探究：如图2，当∠ADB≠∠ACB时，AD＝BC是否还成立？并说明理由.
综合运用：如图3，当β＝18°，BC＝1，且AB⊥BC时，求AC的长.
【答案】解：提出问题：
解：在△DBA和△CAB中，
∵ .
∴△DBA≌△CAB（AAS），
∴AD＝BC；
类比探究：
结论仍然成立.
理由：作∠BEC＝∠BCE，BE交AC于E.
∵∠ADB+∠ACB＝∠AEB+∠BEC＝180°，
∴∠ADB＝∠AEB.
∵∠CAB＝∠DBA，AB＝BA，
∴△DBA≌△EAB（AAS），
∴BE＝AD，
∵∠BEC＝∠BCE，
∴BC＝BE，
∴AD＝BC.
综合运用：
作∠BEC＝∠BCE，BE交AC于E.
由（2）得，AD＝BC＝BE＝1.在Rt△ACB中，∠CAB＝18°，
∴∠C＝72°，∠BEC＝∠C＝72°.由∠CFB＝∠CAB+∠DBA＝36°，
∴∠EBF＝∠CEB﹣∠CFB＝36°，
∴EF＝BE＝1.在△BCF中，∠FBC＝180°﹣∠BFC﹣∠C＝72°，
∴∠FBC＝∠BEC，∠C＝∠C，
∴△CBE∽△CFB.
∴ ＝ ，令CE＝x，
∴1＝x（x+1）.
解得，x＝ ，
∴CF＝ .
由∠FBC＝∠C，
∴BF＝CF.又AF＝BF，
∴AC＝2CF＝ +1.
【知识点】全等三角形的判定与性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】提出问题：根据AAS可证△DBA≌△CAB，可得AD＝BC；
类比探究：作∠BEC＝∠BCE，BE交AC于E，可得∠ADB＝∠AEB.根据AAS可证△DBA≌△EAB，可得BE＝AD . 由∠BEC＝∠BCE，可得BC＝BE，从而求出AD＝BC.
综合运用：作∠BEC＝∠BCE，BE交AC于E.由（2）得，AD＝BC＝BE＝1.根据两角分别相等可证△CBE∽△CFB.，可得 ＝ ，令CE＝x，可得1＝x（x+1），解出方程即得CF的长，继而求出AC的长.
四、综合题
18．（2020九上·江城月考）如图，正方形ABCD中，M为BC上一点，点F是AM的中点，EF⊥AM，垂足为点F，交AD的延长线于点E，交DC于点N。
（1）求证：△ABM∽△EFA；
（2）若AB=12，BM=5，求DE的长。
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠B=90° ，AD∥BC，
∴∠AMB=∠EAF，
∵EF⊥AM，
∵∠AFE=90° ，∠B=∠AFE，
∴△ABM∽△EFA
（2）解：∵∠B=90°， AB=12， BM=5，
∴AM==13， AD=12，
．：点F是AM的中点，
∴AF=AM=6.5
∵△ABM∽△EFA，
∴AE=16.9，
∴DE=AE-AD=4.9
【知识点】勾股定理；正方形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据正方形的性质得到AB=AD，∠B=90°，AD∥BC，得到∠AMB=∠EAF，继而由∠B=∠AFE，得到结论即可；
（2）根据勾股定理，计算得到AM，得到AF，继而由△ABM∽△EFA，得到对应边成比例，求出AE，即可得到DE的长度。
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人教版数学九年级下册 第二十七章 相似 27.2.2 相似三角形的性质 同步练习
一、单选题
1．（2020九上·嘉祥月考）如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形(阴影部分)与△ABC相似的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2020九上·德惠月考）如图，△ABC中，点D、E分别在AB、AC边上，则下列条件中，不一定能使△AED∽△ABC的是（ ）
A．∠2=∠B B．∠1=∠C C． D．
3．（2020九上·包河月考）如图，已知△ABC∽△DAC，∠B=36 ，∠D=117 ，则∠BAD的度数为（ ）
A．36 B．117 C．143 D．153
4．（2020九上·亳州月考）△ABC与△DEF的相似比为2：3，且△ABC的周长为40，则△DEF的周长是（ ）
A．20 B．40 C．60 D．80
5．（2020九上·合肥月考）如图，在平行四边形ABCD中，E为CD上一点，DE：CE=2：3，连结AE、BD交于点F，则S△DEF：S△ADF：S△ABF等于（ ）
A．2：3：5 B．4：9：25 C．2：5：25 D．4：10：25
6．（2020九上·东阿期中）将矩形OABC如图放置，O为坐标原点，若点A（﹣1，2），点B的纵坐标是 ，则点C的坐标是（ ）
A．（4，2） B．（3， ） C．（3， ） D．（2， ）
二、填空题
7．（2020九上·宝山月考）当两个相似三角形的相似比为 时，这两个相似三角形-定是-对全等三角形。
8．（2020九上·无锡月考）如图是小孔成像原理的示意图，根据图中标注的尺寸，如果物体AB的高度为36cm，那么它在暗盒中所成的像CD的高度应为 cm.
9．（2020九上·北京期中）如果两个相似三角形的面积比为4：9，那么这两个三角形的相似比为 ．
10．（2020九上·亳州月考）如图，
点P是矩形ABCD内一点，连接PA、PB、PC、PD，已知AB＝3，BC＝4；则①PA+PB+PC+PD的最小值为 ；
②若△PAB∽△PDA，则PA＝ ．
11．（2020九上·滕州期中）如图，四边形ABCD为平行四边形，E、F为CD边的两个三等分点，连接AF、BE交于点G，则 ．
12．（2020九上·二连浩特期中）在△ABC中，AB=6，AC=5，点D在边AB上，且AD=2，点E在边AC上，当AE= 时，以A，D，E为顶点的三角形与△ABC相似．
13．（2020九上·萧山期中）如图，在 中， ， ，点D为AC上一点，作 交BC于点E，点C关于DE的对称点为点O，以OA为半径作⊙O恰好经过点C，并交直线DE于点M，N则MN的值为 ．
三、解答题
14．（2020九上·亳州月考）如图，在△ABC中，DE∥BC，分别交AB，AC于点D，E，若DE＝4，BC＝AE＝6，求EC的长．
15．（2020九上·上海月考）在 中， 为BC边上的中线， 于点 的延长线交于点，求 的值
16．（2020九上·浦东月考）如图，已知正方形ABCD中，BE平分 且交CD边于点E，延长BC至F使 ，联接DF，延长BE交DF于点G．求证： ．
17．（2020·拱墅模拟）已知：△ABC与△ABD中，∠CAB＝∠DBA＝β，且∠ADB+∠ACB＝180°.
提出问题：如图1，当∠ADB＝∠ACB＝90°时，求证：AD＝BC；
类比探究：如图2，当∠ADB≠∠ACB时，AD＝BC是否还成立？并说明理由.
综合运用：如图3，当β＝18°，BC＝1，且AB⊥BC时，求AC的长.
四、综合题
18．（2020九上·江城月考）如图，正方形ABCD中，M为BC上一点，点F是AM的中点，EF⊥AM，垂足为点F，交AD的延长线于点E，交DC于点N。
（1）求证：△ABM∽△EFA；
（2）若AB=12，BM=5，求DE的长。
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】勾股定理；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：在△ABC中，AB=，BC=2，AC=；
A.三角形的三边长分别为1，，2；
B.三角形的三边长分别为1，，；
C.三角形的三边长分别为，，3；
D.三角形的三边长分别为2，，
由相似三角形的对应边成比例，即可得到B符合条件。
故答案为：B.
【分析】根据勾股定理，分别计算得到△ABC和阴影三角形的边长，根据相似三角形的对应边成比例，判断得到答案即可。
2．【答案】D
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：根据题意可知，∠A=∠A
A.添加∠2=∠B，∵∠A=∠A，∴△AED∽△ABC，选项错误；
B.添加∠1=∠C，∵∠A=∠A，∴△AED∽△ABC，选项错误；
C.添加，∵∠A=∠A，∴△AED∽△ABC，选项错误；
D.添加，不能判定△AED∽△ABC，本选项正确。
故答案为：D.
【分析】根据题意，由相似三角形的判定定理，判断得到答案即可。
3．【答案】D
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵△ABC∽△DAC，∠B=36°，∠D=117°
∴∠DAC=∠B=36°，∠BAC=∠D=117°
∴∠BAD=∠BAC+∠DAC=117°+36°=153°
故答案为：D.
【分析】根据题意，由相似三角形的性质，求出∠DAC和∠BAC的度数，继而求和即可得到答案。
4．【答案】C
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵△ABC∽△DEF，且相似比为2:3
∴△ABC的周长：三角形DEF的周长=2:3
又∵△ABC的周长为40
∴△DEF的周长为60
故答案为：C.
【分析】根据题意，由相似三角形的周长比等于对应比，即可得到三角形DEF的周长。
5．【答案】D
【知识点】平行四边形的判定与性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形
∴DC=AB，DC∥AB
∵DE：CE=2:3
∴DE：AB=2:5
∵DC∥AB
∴△DEF∽△BAF
∴，
∴
∴S△DEF：S△ADF：S△ABF=4：10：25
故答案为：D.
【分析】根据平行四边形的性质以及相似三角形的判定和性质，求出对应边的比，根据等高三角形的面积比等于对应边的比，即可得到答案。
6．【答案】B
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】如图，过点A作AE⊥x轴于点E，过点B作BF⊥x轴于点F，过点A作AN⊥BF于点N，
过点C作CM⊥x轴于点M．
∵∠EAO+∠AOE=90°，∠AOE+∠MOC=90°，
∴∠EAO=∠COM，
又∵∠AEO=∠CMO=90°，
∴△AEO∽△OMC，
∴ ，
∵∠BAN+∠OAN=90°，∠EAO+∠OAN=90°，
∴∠BAN=∠EAO=∠COM，
在△ABN和△OCM中，
，
∴△ABN≌△OCM（AAS），
∴BN=CM．
∵点A（﹣1，2），点B的纵坐标是 ，
∴BN ，
∴CM ，
∴ ，
∴MO=3，
∴点C的坐标是：（3， ）．
故答案为：B．
【分析】首先构造直角三角形，利用相似三角形的判定与性质以及结合全等三角形的判定与性质得出CM＝ ，MO＝3，进而得出答案．
7．【答案】1
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：两个相似三角形的相似比为1时，这两个相似三角形一定是一对全等三角形.
故答案为：1．
【分析】本题主要考查了相似三角形的性质，正确理解全等是特殊的相似是解题关键．直接利用全等三角形的性质得出答案．
8．【答案】16
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】 解：
∽
，
又
.
故答案为：16.
【分析】正确理解小孔成像的原理，因为
所以
∽
，则有
而AB的值已知，所以可求出CD.
9．【答案】2：3
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】∵两个相似三角形的面积比为4：9，
∴两个相似三角形的相似比为2：3．
故填：2：3．
【分析】根据相似三角形的面积比等于相似比的平方可直接得出结果．
10．【答案】10；2.4
【知识点】三角形的面积；矩形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：①当点P为矩形ABCD两对角线交点时，PA+PB+PC+PD的值最小，根据勾股定理可得，PA+PB+PC+PD的最小值为AC+BD=10；
②∵△PAB∽△PDA，
∴∠PAB=∠PDA，∠PAB+∠PAD=∠PDA+∠PAD=90°
∴∠APD=108°-（∠PDA+∠PAD）=90°
同理可得，∠APB=90°
∴∠BPD=180°
∴点B、P、D三点共线
∴PA=2.4
【分析】①根据题意，由矩形的性质以及勾股定理，即可得到答案；
②根据相似三角形的性质以及三角形的内角和定理求出∠APB的度数，根据三角形的面积公式计算得到答案即可。
11．【答案】1：9
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：在平行四边形 中， ，且 ，∴ ，又∵E、F为 边的两个三等分点，∴ ，即 ，∴ ，
故答案为：1：9．
【分析】利用相似三角形的性质面积比等于相似比的平方即可解决问题；
12．【答案】 或
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：如图所示：
∵AB=6，AC=5，点D在边AB上，且AD=2，
∴当以A，D，E为顶点的三角形与△ABC相似时，则有：①当 时，
∵∠A=∠A，
∴△AED∽△ABC，
∴ ；②当 时，∠A=∠A，
∴△ADE∽△ABC，
∴ ，
综上所述：以A，D，E为顶点的三角形与△ABC相似时， 或 ；
故答案为 或 ．
【分析】以A，D，E为顶点的三角形与△ABC相似时，则 或 ，分情况进行讨论求解AE的长即可．
13．【答案】
【知识点】垂径定理；轴对称的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：如图，连接OC，延长CO交AB于H，交圆于F，连接BF，再连接OC、OM，OC交MN于K，
∵△ACB为等腰三角形，
∴CH⊥AB，
CH===4，
∵∠FBC=∠BHC=90°，∠BCH=∠BCF，
∴△BHC∽△FBC，
∴BC：CH=CF：BC，
，
∴OM=，
∵ 点C关于DE的对称点为点O，
∴OK=KC=，
∴MK=，
∴MN=2MK=.
故答案为： .
【分析】连接OC，延长CO交AB于H，交圆于F，连接BF，再连接OC、OM，OC交MN于K，根据等腰三角形的性质，先求出CH的长，再利用相似三角形的性质求出CF的长，则知圆的半径的长，再由对称的性质得出OK的长，然后根据勾股定理即可求出MK的长，则知MN的长.
14．【答案】解： ∵DE∥BC
∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C
∴△ADE∽△ABC
∴
∴
∴AC=9
∴EC=AC-AE=9-6=3
【知识点】平行线的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】根据题意，由平行线的性质证明得到△ADE∽△ABC，根据相似三角形的对应边成比例求出AC的长度，继而根据AE的长度即可得到EC。
15．【答案】解：过点B作BF⊥BC交CE的延长线于点F，如图所示：
∵ ，
∴∠BCF+∠ACD=90°，
∵ ，
∴∠CAM+∠ACD=90°，
∴∠BCF=∠CAM，
又∵∠ACM=∠CBF=90°，
∴BF∥AC，△ACM≌△CBF，
∴BF=CM=BM= ，∠F=∠ACE，∠EBF=∠CAE，
∴△ACE∽△BFE，
∴ ．
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】过点B作BF⊥BC交CE的延长线于点F，由题意易得BF∥AC，△ACM≌△CBF，则有BF=CM，进而可得△ACE∽△BFE，然后根据相似三角形的性质可求解．
16．【答案】∵四边形ABCD为正方形，
∴BC=DC，∠BCE=∠FDC=90°，
在 和 中 ，
∴ ，
∴
∵BE平分∠DBC，
∴ ，
∴∠DBG=∠FDC，
∵∠BGD=∠DGE，
∴
∴ ，
∴ ．
【知识点】正方形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】根据正方形的性质可得BC=CD，利用SAS可证明△BCE≌△DCF，可得∠EBC=∠FDC，由BE平分 即可证明∠FDC=∠DBG，根据∠BGD=∠DGE即可证明 ，根据相似三角形的性质即可得答案．
17．【答案】解：提出问题：
解：在△DBA和△CAB中，
∵ .
∴△DBA≌△CAB（AAS），
∴AD＝BC；
类比探究：
结论仍然成立.
理由：作∠BEC＝∠BCE，BE交AC于E.
∵∠ADB+∠ACB＝∠AEB+∠BEC＝180°，
∴∠ADB＝∠AEB.
∵∠CAB＝∠DBA，AB＝BA，
∴△DBA≌△EAB（AAS），
∴BE＝AD，
∵∠BEC＝∠BCE，
∴BC＝BE，
∴AD＝BC.
综合运用：
作∠BEC＝∠BCE，BE交AC于E.
由（2）得，AD＝BC＝BE＝1.在Rt△ACB中，∠CAB＝18°，
∴∠C＝72°，∠BEC＝∠C＝72°.由∠CFB＝∠CAB+∠DBA＝36°，
∴∠EBF＝∠CEB﹣∠CFB＝36°，
∴EF＝BE＝1.在△BCF中，∠FBC＝180°﹣∠BFC﹣∠C＝72°，
∴∠FBC＝∠BEC，∠C＝∠C，
∴△CBE∽△CFB.
∴ ＝ ，令CE＝x，
∴1＝x（x+1）.
解得，x＝ ，
∴CF＝ .
由∠FBC＝∠C，
∴BF＝CF.又AF＝BF，
∴AC＝2CF＝ +1.
【知识点】全等三角形的判定与性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】提出问题：根据AAS可证△DBA≌△CAB，可得AD＝BC；
类比探究：作∠BEC＝∠BCE，BE交AC于E，可得∠ADB＝∠AEB.根据AAS可证△DBA≌△EAB，可得BE＝AD . 由∠BEC＝∠BCE，可得BC＝BE，从而求出AD＝BC.
综合运用：作∠BEC＝∠BCE，BE交AC于E.由（2）得，AD＝BC＝BE＝1.根据两角分别相等可证△CBE∽△CFB.，可得 ＝ ，令CE＝x，可得1＝x（x+1），解出方程即得CF的长，继而求出AC的长.
18．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠B=90° ，AD∥BC，
∴∠AMB=∠EAF，
∵EF⊥AM，
∵∠AFE=90° ，∠B=∠AFE，
∴△ABM∽△EFA
（2）解：∵∠B=90°， AB=12， BM=5，
∴AM==13， AD=12，
．：点F是AM的中点，
∴AF=AM=6.5
∵△ABM∽△EFA，
∴AE=16.9，
∴DE=AE-AD=4.9
【知识点】勾股定理；正方形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据正方形的性质得到AB=AD，∠B=90°，AD∥BC，得到∠AMB=∠EAF，继而由∠B=∠AFE，得到结论即可；
（2）根据勾股定理，计算得到AM，得到AF，继而由△ABM∽△EFA，得到对应边成比例，求出AE，即可得到DE的长度。
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