24.6 正多边形与圆
第1课时 正多边形的概念及正多边形与圆的关系
1．理解并掌握正多边形和圆的有关概念，并能进行相关计算(重点，难点)；
2．学会通过等分圆周的方法作正多边形．
一、情境导入
生日宴会上，佳乐等6位同学一起过生日，他想把如图所示的蛋糕平均分成6份，你能帮他做到吗？
二、合作探究
探究点：正多边形与圆
【类型一】 圆的内接多边形与外切多边形的有关计算
如图，有一个⊙O和两个正六边形T1，T2.T1的6个顶点都在圆周上，T2的6条边都和⊙O相切．
(1)设T1，T2的边长分别为a，b，⊙O的半径为r，求r∶a及r∶b的值；
(2)求正六边形T1，T2的面积比S1∶S2的值．
解：(1)连接圆心O和T1的6个顶点可得6个全等的正三角形．所以r∶a＝1∶1；连接圆心O和T2相邻的两个顶点，得到以⊙O的半径为高的正三角形，所以r∶b＝∶2；
(2)正六边形T1与T2相似，且T1∶T2的边长比是∶2，所以S1∶S2＝3∶4.
【类型二】 圆的内接正多边形的探究题
如图所示，图①，②，③，…，，M，N分别是⊙O的内接正三角形ABC，正方形ABCD，正五边形ABCDE，…正n边形的边AB，BC上的点，且BM＝CN，连接OM，ON.
(1)求图①中∠MON的度数；
(2)图②中∠MON的度数是________，图③中∠MON的度数是________；
(3)试探究∠MON的度数与正n边形边数n的关系(直接写出答案)．
解：(1)取B与M重合，N与C重合，利用O是正三角形的中心，可知∠MON的度数是120°；
(2)取B与M重合，N与C重合，此时三角形MON是直角三角形，∠MON＝ ＝90°；取B与M重合，N与C重合，此时∠MON的对应角度是整个圆周的，∠MON＝＝72°；
(3).
方法总结：解决此类问题时可取极限(特殊)位置进行分析，本题中可对三个图都取B与M重合，N与C重合，可得出∠MON为定值且与正多边形边数相关．
【类型三】 作正多边形
如图，已知半径为R的⊙O，用多种工具、多种方法作出圆内接正三角形．
解析：度量法：用量角器量出圆心角是120°的角；尺规作图法：先将圆六等分，然后再每两份合并成一份，将圆三等分．
解：方法一：(1)用量角器画圆心角∠AOB＝120°，∠BOC＝120°；
(2)连接AB，BC，CA，则△ABC为圆内接正三角形．
方法二：(1)用量角器画圆心角∠BOC＝120°；
(2)在⊙O上用圆规截取＝；
(3)连接AC，BC，AB，则△ABC为圆内接正三角形．
方法三：(1)作直径AD；
(2)以D为圆心，OA长为半径画弧，交⊙O于B，C；
(3)连接AB，BC，CA，则△ABC为圆内接正三角形．
方法四：(1)作直径AE；
(2)分别以A，E为圆心，OA长为半径画弧与⊙O分别交于点D，F，B，C；
(3)连接AB，BC，CA(或连接EF，ED，DF)，则△ABC(或△EFD)为圆内接正三角形．
方法总结：解正多边形的作图问题，通常可以使用的方法有两大类：度量法和尺规作图法；其中度量法可以画出任意的多边形，而尺规作图只能作出一些特殊的正多边形，如边数是3、4的整数倍的正多边形．
【类型四】 与正多边形相关的证明
如图，直线AC切⊙O于点A，点B在⊙O上，且AB＝AC＝AO，OC、BC分别交⊙O于点E、F.求证：EF是圆内接正二十四边形的一边．
证明：∵AC切⊙O于点A，∴∠CAO＝90°.∵AC＝OA，∴∠AOC＝45°.∵AB＝OA，OB＝OA，∴∠BAO＝60°，∠BAC＝60°＋90°＝150°.∵AC＝AB，∴∠ABC＝(180°－150°)＝15°.∵∠AOF是弧AF所对圆心角，∠ABF是弧AF所对圆周角，∴∠AOF＝30°，∴∠EOF＝15°，∵＝24，∴EF是圆内接正二十四边形的一边．
方法总结：此题主要考查了正多边形和圆的性质以及切线的性质和圆周角定理等知识，根据已知得出∠EOF的度数是解题关键．
三、板书设计
1．各边相等，各角也相等的多边形叫正多边形．
2．利用等分圆周作正多边形．
教学过程中，以学生自主探索和合作交流为主，以练习强化学生对所学知识的理解，灵活运用，提高其独立思考和解决问题的能力.24.6 正多边形与圆
第2课时 正多边形的性质
1．进一步了解正多边形的有关概念；
2．理解并掌握正多边形与圆之间的关系，并能运用其进行相关的计算(重点，难点)．
一、情境导入
如图，要拧开一个边长为6cm的正六边形螺帽，扳手张开的开口至少是多少？你能想办法知道吗？
二、合作探究
探究点：正多边形的性质
【类型一】 求正多边形的中心角
已知一个正多边形的每个内角均为108°，则它的中心角为________度．
解析：每个内角为108°，则每个外角为72°，根据多边形的外角和等于360°，可知正多边形的边数为5，则其中心角为360°÷5＝72°.故填72.
【类型二】 正多边形的有关计算
已知正六边形ABCDEF的半径是R，求正六边形的边长a和面积S.
解：作半径OA、OB，过O作OH⊥AB，则∠AOH＝＝30°，∴AH＝R，∴a＝2AH＝R.．设OH=r，由勾股定理可得r2＝R2－(R)2，∴r＝R，∴S＝·a·r×6＝·R·R·6＝R2.
方法总结：熟练掌握多边形的相关概念以及等边三角形与圆的有关计算．
【类型三】 与正多边形有关的探究题
如图，在平面直角坐标系xOy中，点A(1，0)，B(2，0)，正六边形ABCDEF沿x轴正方向无滑动滚动，保持上述运动过程，经过(2014，)的正六边形的顶点是( )
A．C或E B．B或D
C．A或E D．B或F
解析：∵点A(1，0)，B(2，0)，∴OA＝1，OB＝2，∴正六边形的边长AB＝1，∴当点D第一次落在x轴上时，OD＝2＋1＋1＝4，∴此时点D的坐标为(4，0)．如图①所示，当滚动到A′D⊥x轴时，E、F、A的对应点分别是E′、F′、A′，连接A′D，过点F′，E′作F′G⊥A′D，E′H⊥A′D，∵六边形ABCDEF是正六边形，∴∠A′F′G＝30°，∴A′G＝A′F′＝，同理可得HD＝ ，∴A′D＝2，∴在运动过程中，点A的纵坐标的最大值是2.如图①，∵D(2，0)，∴A′(2，2)，OD＝2.
∵正六边形滚动6个单位长度时正好滚动一周，∴从点(2，2)开始到点(2014，)正好滚动2012个单位长度．∵＝335…2，∴恰好滚动335周多2个，如图②所示，点F′的纵坐标为，∴会过点(2014，)的是点F，当点D在(2014，0)位置时，则E点在(2015，0)位置，此时B点在D点的正上方，DB＝，所以B点符合题意．综上所示，经过(2014，)的正六边形的顶点是B或F.故选D.
方法总结：本题考查的是正多边形和圆及图形旋转的性质，根据题意作出辅助线，利用正六边形的性质求出A′点的坐标是解答此题的关键．
三、板书设计
1．正多边形的有关概念
中心、半径、边心距、中心角
2．正多边形的性质
正多边形都是轴对称图形，一个正n边形有n条对称轴，每一条对称轴都通过正多边形的中心. 如果一个正多边形有偶数条边，那么它又是中心对称图形，它的中心就是对称中心．
教学过程中，强调正多边形与圆的联系，将正多边形放在圆中便于解决、探究更多关于正多边形的问题.
