初中数学人教版八年级上学期 第十三章 13.3.1 等腰三角形
一、基础巩固
1．（2019八下·福田期末） 中， ，则 一定是（ ）
A．锐角三角形 B．等腰三角形
C．等边三角形 D．等腰直角三角形
2．（2019八下·福田期末）如图，一个长为2、宽为1的长方形以下面的“姿态”从直线 的左侧水平平移至右侧（下图中的虚线是水平线），其中，平移的距离是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．
3．（2019八下·郑州期末）一个等腰三角形的周长为14,其一边长为4那么它的底边长为（ ）
A．5 B．4 C．6 D．4或6
4．（2019八上·阳信开学考）等腰三角形一个角为50°，它的另外两个角分别为 ．
二、强化提升
5．（2019八下·慈溪期末）如图，在△ABC中，点D是BC边上一点，AD＝AC，过点D作DE⊥BC交AB于E，若△ADE是等腰三角形，则下列判断中正确的是（ ）
A．∠B＝∠CAD B．∠BED＝∠CAD
C．∠ADB＝∠AED D．∠BED＝∠ADC
6．（2019七下·海安月考）在平面直角坐标系xOy中，已知点P（2，2），点Q在y轴上，△PQO是等腰三角形，则满足条件的点Q共有（ ）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
7．（2019八下·水城期末）如图所示，AB＝BC＝CD＝DE＝EF＝FG，∠1＝125°，则∠A＝ 度.
8．（2019七下·盐田期末）如图，在△ABC中，AB=AC=3，∠B=50°，点D在BC边上（不与点B，C重合），连接AD，作∠ADE=50°，DE交边AC于点E.
（1）当∠BAD=20°时，求∠CDE的度数；
（2）当CD等于多少时，△ABD≌△DCE？为什么？
（3）在点D运动的过程中，△ADE可能是等腰三角形吗？若可能，直接写出∠DAE的度数；若不可能，说明理由.
9．（2019九下·揭西期中）如图，△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC，垂足为D．
（1）求作∠ABC的平分线，分别交AD，AC于P，Q两点；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
（2）证明AP＝AQ．
10．（2019八下·南华期中）已知：如图，AB＝AC，点D是BC的中点，AB平分∠DAE，AE⊥BE，垂足为E.
求证：AD＝AE.
三、真题演练
11．（2019·崇左）如图，在△ABC中，AC＝BC，∠A＝40°，观察图中尺规作图的痕迹，可知∠BCG的度数为（ ）
A．40° B．45° C．50° D．60°
12．（2019·衢州）“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的。借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角。这个三等分角仪由两根有槽的棒OA，OB组成，两根棒在O点相连并可绕O转动，C点固定，OC=CD=DE，点D，E可在槽中滑动，若∠BDE=75°，则∠CDE的度数是（ ）
A．60° B．65° C．75° D．80°
13．（2019·黄冈）如图，AC，BD在AB的同侧，AC=2，BD=8，AB=8，点M为AB的中点，若∠CMD=120°，则CD的最大值是 .
14．（2019·玉林）如图，已知等腰△ABC顶角∠A＝36°.
（1）在AC上作一点D，使AD＝BD（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法和证明，最后用黑色墨水笔加墨）；
（2）求证：△BCD是等腰三角形.
15．（2019·安顺）如图：
（1）如图①，在四边形ABCD中，AB∥CD,点E是BC的中点，若AE是∠BAD的平分线，试判断AB,AD,DC之间的等量关系.
解决此问题可以用如下方法：延长AE交DC的延长线于点F，易证△AEB≌△FEC得到AB＝FC，从而把AB,AD,DC转化在一个三角形中即可判断.
AB,AD,DC之间的等量关系 ;
（2）问题探究：如图②，在四边形ABCD中，AB∥CD,AF与DC的延长线交于点F，点E是BC的中点，若AE是∠BAF的平分线，试探究AB,AF,CF之间的等量关系，并证明你的结论.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】等腰三角形的判定
【解析】【解答】根据在三角形中“等角对等边”，可知，选项B符合题意.
【分析】根据两角相等的三角形是等腰三角形判断即可.
2．【答案】C
【知识点】等腰三角形的性质；平移的性质
【解析】【解答】如图连接 ，根据平行线的性质得到∠1=∠2，
如图，平移的距离 的长度
故答案为：C.
【分析】如图,连接 ,利用平行线的性质可得∠2=45°，从而可得∠1=∠2，据此求出AA'的距离即可.
3．【答案】D
【知识点】三角形三边关系；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：①当4是等腰三角形的底边时，则其腰长为 =5，能构成三角形，
②当4是等腰三角形的腰时，则其底边为14-4×2=6，能构成三角形，
综上，该三角形的底边长为4或6.
故答案为：D.
【分析】由于此题没有明确的告知4是等腰三角形的底还是等腰三角形的腰，故需要分①当4是等腰三角形的底边时，②当4是等腰三角形的腰时，两种情况，根据等腰三角形的性质及三角形的周长算出其它两边的长度，再判断能否围成三角形，从而即可得出答案。
4．【答案】70°
【知识点】等腰三角形的判定与性质
【解析】【解答】当该角为等腰三角形的顶角时，另外两个角分别为65°，65°；当该角为等腰三角形的底角时，两外两个角的为50°，80°。
【分析】根据等腰三角形的性质分别进行判断即可得到答案。
5．【答案】B
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：作AF⊥BC于F，
∵AD=AC，
∴∠CAD=2∠DAF，
∵AF⊥BC，DE⊥BC，
∴∠EDA=∠DAF，
∵EA=ED，
∠EAD=∠EDA，
∴∠BED=2∠EAD，
∴ ∠BED＝∠CAD ；
故答案为：B.
【分析】 作AF⊥BC于F．首先证明∠EAD=∠EDA=∠DAF=∠CAF，由∠BED=2∠EAD，∠DAC=2∠DAF，可得∠BED＝∠CAD ．
6．【答案】B
【知识点】坐标与图形性质；等腰三角形的判定
【解析】【解答】解：如图
当以OP为腰时，满足△PQO是等腰三角形的点Q有3个点；当以OP为底边时，满足条件的点Q只有1个点，
∴满足条件的点Q一共有4个
故答案为：B
【分析】抓住关键的已知条件：△PQO是等腰三角形，且点Q在y轴上，画出符合题意的点Q，就可得出符合条件的点Q的个数。
7．【答案】11
【知识点】三角形的外角性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：设∠A＝x，
∵AB＝BC＝CD＝DE＝EF＝FG，
∴根据等腰三角形的性质和三角形的外角的性质，得
∠CDB＝∠CBD＝2x，∠DEC＝∠DCE＝3x，∠DFE＝∠EDF＝4x，∠FGE＝∠FEG＝5x，
则180°﹣5x＝125°，
解，得x＝11°。
故答案为：11。
【分析】根据等边对等角及三角形的任意一个外角等于与它不相邻的两个内角的和得出∠CDB＝∠CBD＝2x，∠DEC＝∠DCE＝3x，∠DFE＝∠EDF＝4x，∠FGE＝∠FEG＝5x，然后根据邻补角的定义列出方程，求解即可。
8．【答案】（1） ∵∠ADC为三角形ABD的外角
∴∠B+∠BAD=∠ADE+∠CDE
∴50°+20°=50°+∠CDE
∴∠CDE=20°
（2） CD=3时，△ABD≌△DCE
∵AB=CD=3，∠BAD=∠CDE，∠B=∠C=50°
∴△ABD≌△DCE。
（3） ∠BDA=100°时，∴∠ADC=80°
∵∠C=50°
∴∠DAC=50°
∴∠DAC=∠ADE
∴三角形ADE为等腰三角形，∠DAE的度数为50°或65°。
【知识点】三角形的外角性质；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质
【解析】【分析】（1）根据外角的性质即可得到∠CDE的度数。
（2）根据三角全等的性质，即可得到CD的长度。
（3）根据等腰三角形的性质，讨论动点的位置，得到点D的位置。
9．【答案】（1）解：如图所示，BQ为所求作
（2）解：∵BQ平分∠ABC ∴∠ABQ=∠CBQ
在△ABQ中，∠BAC=90°
∴∠AQP+∠ABQ=90°
∵AD⊥BC ∴∠ADB=90°
∴在Rt△BDP中，∠CBQ+∠BPD=90°
∵∠ABQ=∠CBQ ∴∠AQP=∠BPD
又∵∠BPD=∠APQ
∴∠APQ=∠AQP ∴AP=AQ
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；等腰三角形的性质；作图-角的平分线
【解析】【分析】（1）如图，以点B为圆心，任意长为半径画弧分别与BA、BC相交，然后分别以两交点为圆心，以大于两交点的距离的一半为半径画弧，两弧交于一点，过点B与两弧的交点画出射线， 分别交AD，AC于P，Q两点.
（2）由（ 1）得∠ABQ=∠CBQ，根据等角的余角相等可得∠AQP=∠BPD， 利用对顶角相等及等量代换可得∠APQ=∠AQP，由等角对等边可得AP=AQ.
10．【答案】解：∵AB=AC,点D是BC的中点,
∴AD⊥BC,∴∠ADB=90°.
∵AE⊥EB,∴∠E=∠ADB=90°.
∵AB平分∠DAE,∴∠BAD=∠BAE.
在△ADB和△AEB中,∠E=∠ADB,∠BAD=∠BAE,AB=AB,
∴△ADB≌△AEB(AAS),∴AD=AE.
【知识点】全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质
【解析】【分析】由等腰三角形的三线合一可得∠BAD=∠CAD，∠ADE=90°，于是用角角边可证△ADB≌△AEB，根据全等三角形的性质可求解。
11．【答案】C
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：由作法得CG⊥AB，
∵AB＝AC，
∴CG平分∠ACB，∠A＝∠B，
∵∠ACB＝180°﹣40°﹣40°＝100°，
∴∠BCG＝ ∠ACB＝50°。
故答案为：C。
【分析】根据作图过程可知：CG⊥AB，然后根据等腰三角形的三线合一得出CG平分∠ACB，从而根据三角形的内角和计算出 ∠BCG的度数 。
12．【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵OC=CD=DE，
∴∠O=∠ODC，∠DCE=∠DEC，
设∠O=∠ODC=x，
∴∠DCE=∠DEC=2x，
∴∠CDE=180°-∠DCE-∠DEC=180°-4x，
∵∠BDE=75°，
∴∠ODC+∠CDE+∠BDE=180°，
即x+180°-4x+75°=180°，
解得：x=25°，
∠CDE=180°-4x=80°.
故答案为：D.
【分析】由等腰三角形性质得∠O=∠ODC，∠DCE=∠DEC，设∠O=∠ODC=x，由三角形外角性质和三角形内角和定理得∠DCE=∠DEC=2x，∠CDE=180°-4x，根据平角性质列出方程，解之即可的求得x值，再由∠CDE=180°-4x=80°即可求得答案.
13．【答案】14
【知识点】等腰三角形的判定与性质；轴对称的性质
【解析】【解答】解：作点A，N关于CM对称，作点B、E关于MD对称，连接MN，ME，CN，NE，DE
∵点M为AB的中点，AB=8
∴AM=BM=4
∴△ACM≌△CMN
∴AC=CN=2，AM=NM=4，∠AMC=∠CMN
同理可证：BD=DE=8，BM=ME=4，∠BMD=∠EMD
∵∠CMD=120°
∴∠AMC+∠BMD=180°-120°=60°
∴∠CMN+∠EMD=60°
∴∠NME=180°-60°-60°=60°
∴△MNE是等边三角形
∴NE=ME=4
∵CD≤CE+NE+DE
∴当点C、N、E、D共线时，CD的值最大
∴CD的最大值为CE+NE+DE=2+4+8=14
【分析】 作点A，N关于CM对称，作点B、E关于MD对称，连接MN，ME，CN，NE，DE，利用轴对称的性质易证AC=CN=2，AM=NM=4，∠AMC=∠CMN ，BD=DE=8，BM=ME=4，∠BMD=∠EMD，再由∠CMD=120°，去证明∠NME=60°，就可得到△MNE是等边三角形，求出NE的长，再由CD≤CE+NE+DE，可知当点C、N、E、D共线时，CD的值最大，然后就可求出CD的最大值。
14．【答案】（1）解：如图，点D为所作；
（2）证明：∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C＝ （180°﹣36°）＝72°，
∵DA＝DB，
∴∠ABD＝∠A＝36°，
∴∠BDC＝∠A+∠ABD＝36°+36°＝72°，
∴∠BDC＝∠C，
∴△BCD是等腰三角形.
【知识点】三角形的外角性质；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；作图-线段垂直平分线
【解析】【分析】（1）分别以点A,B为圆心，大于AB长度的一半为半径画弧，两弧分别在AB的两侧相交，过这两交点作直线，该直线交AC于点D，点D就是所求的点；
（2）根据等边对等角及三角形的内角和得出 ∠ABC＝∠C＝72°， ∠ABD＝∠A＝36°， 根据三角形的外角定理由∠BDC＝∠A+∠ABD得出∠BDC的度数，根据等量代换得出 ∠BDC＝∠C， 故 △BCD是等腰三角形。
15．【答案】（1）AD＝AB+DC
（2）AB=AF+CF，理由如下;证明：如图②，延长AE交DF的延长线于点G， ∵E是BC的中点，∴CE＝BE，∵AB∥DC，∴∠BAE＝∠G.在△AEB和△GEC中
∴△AEB≌△GEC∴AB＝GC.∵AE是∠BAF的平分线∴∠BAG＝∠FAG,∵∠BAG∠G,∴∠FAG＝∠G,∴FA＝FG,∵CG＝CF+FG,∴AB＝AF+CF
【知识点】全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】(1)如图①，延长AE交DC的延长线于点F，
∵AB∥DC，
∴∠BAF=∠F，
∵E是BC的中点，
∴CE=BE，
在△AEB和△FEC中，
∵∠BAF=∠F，∠AEB=∠FEC，BE=CE，
∴△AEB≌△FEC，
∴AB=FC，
∵AE是∠BAD的平分线，
∴∠DAF=∠BAF,
∴∠DAF=∠F，
∴DF=AD，
∴AD=DC+CF=DC+AB，
故答案为：AD=AB+DC；
【分析】（1）延长AE交DC的延长线于点F，先 利用AAS证明△AEB≌△FEC，根据全等三角形的对应边相等得到AB=FC，进而找出∠FAG＝∠G,根据对边对等角得到DF=AD，最后根据线段的和差及等量代换即可得出结论；
（2）延长AE交DF的延长线于点G，利用同（1）相同的方法证明。
1 / 1初中数学人教版八年级上学期 第十三章 13.3.1 等腰三角形
一、基础巩固
1．（2019八下·福田期末） 中， ，则 一定是（ ）
A．锐角三角形 B．等腰三角形
C．等边三角形 D．等腰直角三角形
【答案】B
【知识点】等腰三角形的判定
【解析】【解答】根据在三角形中“等角对等边”，可知，选项B符合题意.
【分析】根据两角相等的三角形是等腰三角形判断即可.
2．（2019八下·福田期末）如图，一个长为2、宽为1的长方形以下面的“姿态”从直线 的左侧水平平移至右侧（下图中的虚线是水平线），其中，平移的距离是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．
【答案】C
【知识点】等腰三角形的性质；平移的性质
【解析】【解答】如图连接 ，根据平行线的性质得到∠1=∠2，
如图，平移的距离 的长度
故答案为：C.
【分析】如图,连接 ,利用平行线的性质可得∠2=45°，从而可得∠1=∠2，据此求出AA'的距离即可.
3．（2019八下·郑州期末）一个等腰三角形的周长为14,其一边长为4那么它的底边长为（ ）
A．5 B．4 C．6 D．4或6
【答案】D
【知识点】三角形三边关系；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：①当4是等腰三角形的底边时，则其腰长为 =5，能构成三角形，
②当4是等腰三角形的腰时，则其底边为14-4×2=6，能构成三角形，
综上，该三角形的底边长为4或6.
故答案为：D.
【分析】由于此题没有明确的告知4是等腰三角形的底还是等腰三角形的腰，故需要分①当4是等腰三角形的底边时，②当4是等腰三角形的腰时，两种情况，根据等腰三角形的性质及三角形的周长算出其它两边的长度，再判断能否围成三角形，从而即可得出答案。
4．（2019八上·阳信开学考）等腰三角形一个角为50°，它的另外两个角分别为 ．
【答案】70°
【知识点】等腰三角形的判定与性质
【解析】【解答】当该角为等腰三角形的顶角时，另外两个角分别为65°，65°；当该角为等腰三角形的底角时，两外两个角的为50°，80°。
【分析】根据等腰三角形的性质分别进行判断即可得到答案。
二、强化提升
5．（2019八下·慈溪期末）如图，在△ABC中，点D是BC边上一点，AD＝AC，过点D作DE⊥BC交AB于E，若△ADE是等腰三角形，则下列判断中正确的是（ ）
A．∠B＝∠CAD B．∠BED＝∠CAD
C．∠ADB＝∠AED D．∠BED＝∠ADC
【答案】B
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：作AF⊥BC于F，
∵AD=AC，
∴∠CAD=2∠DAF，
∵AF⊥BC，DE⊥BC，
∴∠EDA=∠DAF，
∵EA=ED，
∠EAD=∠EDA，
∴∠BED=2∠EAD，
∴ ∠BED＝∠CAD ；
故答案为：B.
【分析】 作AF⊥BC于F．首先证明∠EAD=∠EDA=∠DAF=∠CAF，由∠BED=2∠EAD，∠DAC=2∠DAF，可得∠BED＝∠CAD ．
6．（2019七下·海安月考）在平面直角坐标系xOy中，已知点P（2，2），点Q在y轴上，△PQO是等腰三角形，则满足条件的点Q共有（ ）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
【答案】B
【知识点】坐标与图形性质；等腰三角形的判定
【解析】【解答】解：如图
当以OP为腰时，满足△PQO是等腰三角形的点Q有3个点；当以OP为底边时，满足条件的点Q只有1个点，
∴满足条件的点Q一共有4个
故答案为：B
【分析】抓住关键的已知条件：△PQO是等腰三角形，且点Q在y轴上，画出符合题意的点Q，就可得出符合条件的点Q的个数。
7．（2019八下·水城期末）如图所示，AB＝BC＝CD＝DE＝EF＝FG，∠1＝125°，则∠A＝ 度.
【答案】11
【知识点】三角形的外角性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：设∠A＝x，
∵AB＝BC＝CD＝DE＝EF＝FG，
∴根据等腰三角形的性质和三角形的外角的性质，得
∠CDB＝∠CBD＝2x，∠DEC＝∠DCE＝3x，∠DFE＝∠EDF＝4x，∠FGE＝∠FEG＝5x，
则180°﹣5x＝125°，
解，得x＝11°。
故答案为：11。
【分析】根据等边对等角及三角形的任意一个外角等于与它不相邻的两个内角的和得出∠CDB＝∠CBD＝2x，∠DEC＝∠DCE＝3x，∠DFE＝∠EDF＝4x，∠FGE＝∠FEG＝5x，然后根据邻补角的定义列出方程，求解即可。
8．（2019七下·盐田期末）如图，在△ABC中，AB=AC=3，∠B=50°，点D在BC边上（不与点B，C重合），连接AD，作∠ADE=50°，DE交边AC于点E.
（1）当∠BAD=20°时，求∠CDE的度数；
（2）当CD等于多少时，△ABD≌△DCE？为什么？
（3）在点D运动的过程中，△ADE可能是等腰三角形吗？若可能，直接写出∠DAE的度数；若不可能，说明理由.
【答案】（1） ∵∠ADC为三角形ABD的外角
∴∠B+∠BAD=∠ADE+∠CDE
∴50°+20°=50°+∠CDE
∴∠CDE=20°
（2） CD=3时，△ABD≌△DCE
∵AB=CD=3，∠BAD=∠CDE，∠B=∠C=50°
∴△ABD≌△DCE。
（3） ∠BDA=100°时，∴∠ADC=80°
∵∠C=50°
∴∠DAC=50°
∴∠DAC=∠ADE
∴三角形ADE为等腰三角形，∠DAE的度数为50°或65°。
【知识点】三角形的外角性质；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质
【解析】【分析】（1）根据外角的性质即可得到∠CDE的度数。
（2）根据三角全等的性质，即可得到CD的长度。
（3）根据等腰三角形的性质，讨论动点的位置，得到点D的位置。
9．（2019九下·揭西期中）如图，△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC，垂足为D．
（1）求作∠ABC的平分线，分别交AD，AC于P，Q两点；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
（2）证明AP＝AQ．
【答案】（1）解：如图所示，BQ为所求作
（2）解：∵BQ平分∠ABC ∴∠ABQ=∠CBQ
在△ABQ中，∠BAC=90°
∴∠AQP+∠ABQ=90°
∵AD⊥BC ∴∠ADB=90°
∴在Rt△BDP中，∠CBQ+∠BPD=90°
∵∠ABQ=∠CBQ ∴∠AQP=∠BPD
又∵∠BPD=∠APQ
∴∠APQ=∠AQP ∴AP=AQ
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；等腰三角形的性质；作图-角的平分线
【解析】【分析】（1）如图，以点B为圆心，任意长为半径画弧分别与BA、BC相交，然后分别以两交点为圆心，以大于两交点的距离的一半为半径画弧，两弧交于一点，过点B与两弧的交点画出射线， 分别交AD，AC于P，Q两点.
（2）由（ 1）得∠ABQ=∠CBQ，根据等角的余角相等可得∠AQP=∠BPD， 利用对顶角相等及等量代换可得∠APQ=∠AQP，由等角对等边可得AP=AQ.
10．（2019八下·南华期中）已知：如图，AB＝AC，点D是BC的中点，AB平分∠DAE，AE⊥BE，垂足为E.
求证：AD＝AE.
【答案】解：∵AB=AC,点D是BC的中点,
∴AD⊥BC,∴∠ADB=90°.
∵AE⊥EB,∴∠E=∠ADB=90°.
∵AB平分∠DAE,∴∠BAD=∠BAE.
在△ADB和△AEB中,∠E=∠ADB,∠BAD=∠BAE,AB=AB,
∴△ADB≌△AEB(AAS),∴AD=AE.
【知识点】全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质
【解析】【分析】由等腰三角形的三线合一可得∠BAD=∠CAD，∠ADE=90°，于是用角角边可证△ADB≌△AEB，根据全等三角形的性质可求解。
三、真题演练
11．（2019·崇左）如图，在△ABC中，AC＝BC，∠A＝40°，观察图中尺规作图的痕迹，可知∠BCG的度数为（ ）
A．40° B．45° C．50° D．60°
【答案】C
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：由作法得CG⊥AB，
∵AB＝AC，
∴CG平分∠ACB，∠A＝∠B，
∵∠ACB＝180°﹣40°﹣40°＝100°，
∴∠BCG＝ ∠ACB＝50°。
故答案为：C。
【分析】根据作图过程可知：CG⊥AB，然后根据等腰三角形的三线合一得出CG平分∠ACB，从而根据三角形的内角和计算出 ∠BCG的度数 。
12．（2019·衢州）“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的。借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角。这个三等分角仪由两根有槽的棒OA，OB组成，两根棒在O点相连并可绕O转动，C点固定，OC=CD=DE，点D，E可在槽中滑动，若∠BDE=75°，则∠CDE的度数是（ ）
A．60° B．65° C．75° D．80°
【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵OC=CD=DE，
∴∠O=∠ODC，∠DCE=∠DEC，
设∠O=∠ODC=x，
∴∠DCE=∠DEC=2x，
∴∠CDE=180°-∠DCE-∠DEC=180°-4x，
∵∠BDE=75°，
∴∠ODC+∠CDE+∠BDE=180°，
即x+180°-4x+75°=180°，
解得：x=25°，
∠CDE=180°-4x=80°.
故答案为：D.
【分析】由等腰三角形性质得∠O=∠ODC，∠DCE=∠DEC，设∠O=∠ODC=x，由三角形外角性质和三角形内角和定理得∠DCE=∠DEC=2x，∠CDE=180°-4x，根据平角性质列出方程，解之即可的求得x值，再由∠CDE=180°-4x=80°即可求得答案.
13．（2019·黄冈）如图，AC，BD在AB的同侧，AC=2，BD=8，AB=8，点M为AB的中点，若∠CMD=120°，则CD的最大值是 .
【答案】14
【知识点】等腰三角形的判定与性质；轴对称的性质
【解析】【解答】解：作点A，N关于CM对称，作点B、E关于MD对称，连接MN，ME，CN，NE，DE
∵点M为AB的中点，AB=8
∴AM=BM=4
∴△ACM≌△CMN
∴AC=CN=2，AM=NM=4，∠AMC=∠CMN
同理可证：BD=DE=8，BM=ME=4，∠BMD=∠EMD
∵∠CMD=120°
∴∠AMC+∠BMD=180°-120°=60°
∴∠CMN+∠EMD=60°
∴∠NME=180°-60°-60°=60°
∴△MNE是等边三角形
∴NE=ME=4
∵CD≤CE+NE+DE
∴当点C、N、E、D共线时，CD的值最大
∴CD的最大值为CE+NE+DE=2+4+8=14
【分析】 作点A，N关于CM对称，作点B、E关于MD对称，连接MN，ME，CN，NE，DE，利用轴对称的性质易证AC=CN=2，AM=NM=4，∠AMC=∠CMN ，BD=DE=8，BM=ME=4，∠BMD=∠EMD，再由∠CMD=120°，去证明∠NME=60°，就可得到△MNE是等边三角形，求出NE的长，再由CD≤CE+NE+DE，可知当点C、N、E、D共线时，CD的值最大，然后就可求出CD的最大值。
14．（2019·玉林）如图，已知等腰△ABC顶角∠A＝36°.
（1）在AC上作一点D，使AD＝BD（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法和证明，最后用黑色墨水笔加墨）；
（2）求证：△BCD是等腰三角形.
【答案】（1）解：如图，点D为所作；
（2）证明：∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C＝ （180°﹣36°）＝72°，
∵DA＝DB，
∴∠ABD＝∠A＝36°，
∴∠BDC＝∠A+∠ABD＝36°+36°＝72°，
∴∠BDC＝∠C，
∴△BCD是等腰三角形.
【知识点】三角形的外角性质；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；作图-线段垂直平分线
【解析】【分析】（1）分别以点A,B为圆心，大于AB长度的一半为半径画弧，两弧分别在AB的两侧相交，过这两交点作直线，该直线交AC于点D，点D就是所求的点；
（2）根据等边对等角及三角形的内角和得出 ∠ABC＝∠C＝72°， ∠ABD＝∠A＝36°， 根据三角形的外角定理由∠BDC＝∠A+∠ABD得出∠BDC的度数，根据等量代换得出 ∠BDC＝∠C， 故 △BCD是等腰三角形。
15．（2019·安顺）如图：
（1）如图①，在四边形ABCD中，AB∥CD,点E是BC的中点，若AE是∠BAD的平分线，试判断AB,AD,DC之间的等量关系.
解决此问题可以用如下方法：延长AE交DC的延长线于点F，易证△AEB≌△FEC得到AB＝FC，从而把AB,AD,DC转化在一个三角形中即可判断.
AB,AD,DC之间的等量关系 ;
（2）问题探究：如图②，在四边形ABCD中，AB∥CD,AF与DC的延长线交于点F，点E是BC的中点，若AE是∠BAF的平分线，试探究AB,AF,CF之间的等量关系，并证明你的结论.
【答案】（1）AD＝AB+DC
（2）AB=AF+CF，理由如下;证明：如图②，延长AE交DF的延长线于点G， ∵E是BC的中点，∴CE＝BE，∵AB∥DC，∴∠BAE＝∠G.在△AEB和△GEC中
∴△AEB≌△GEC∴AB＝GC.∵AE是∠BAF的平分线∴∠BAG＝∠FAG,∵∠BAG∠G,∴∠FAG＝∠G,∴FA＝FG,∵CG＝CF+FG,∴AB＝AF+CF
【知识点】全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】(1)如图①，延长AE交DC的延长线于点F，
∵AB∥DC，
∴∠BAF=∠F，
∵E是BC的中点，
∴CE=BE，
在△AEB和△FEC中，
∵∠BAF=∠F，∠AEB=∠FEC，BE=CE，
∴△AEB≌△FEC，
∴AB=FC，
∵AE是∠BAD的平分线，
∴∠DAF=∠BAF,
∴∠DAF=∠F，
∴DF=AD，
∴AD=DC+CF=DC+AB，
故答案为：AD=AB+DC；
【分析】（1）延长AE交DC的延长线于点F，先 利用AAS证明△AEB≌△FEC，根据全等三角形的对应边相等得到AB=FC，进而找出∠FAG＝∠G,根据对边对等角得到DF=AD，最后根据线段的和差及等量代换即可得出结论；
（2）延长AE交DF的延长线于点G，利用同（1）相同的方法证明。
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