初中数学北师大版七年级下学期 第四章 4.1 认识三角形
一、单选题
1．（2021八下·杭州开学考）已知两条线段a=2cm， b=3.5cm ，下列能和 a、b 构成三角形的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2021八上·温州期末）若一个三角形的两边长分别为4和8，则第三边长可以是（ ）
A．4 B．12 C．13 D．10
3．（2021八上·正阳期末）如果在 中， ，则 等于（ ）
A． B． C． D．
4．（2021八上·桂林期末）下列图形中,线段AD 是△ABC 的高的是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2021八上·岑溪期末）三角形的内角和等于（ ）
A． B． C． D．
6．（2020七上·大庆期末）如图， 的高 、 相交于O，如果 ，那么 的大小为（ ）
A．35° B．105° C．125° D．135°
7．（2020七上·大庆期末）如图，在 中， 、 分别为 、 边上的点， ， ．若 ，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
8．（2021八上·温州期末）在△ABC中，已知∠A = 100°，∠B = 60°，则∠C = .
9．（2021八上·温州期末）若等腰三角形中有两边长分别为2和5，则这个三角形的周长为 .
10．（2021八上·温州期末）当三角形中一个内角β是另一个内角a的 时，我们称此三角形为“希望三角形”，其中内角a称为“希望角”.如果一个“希望三角形”中有一个内角为54°，那么这个“希望三角形”的“希望角”度数为 .
11．（2021八上·曾都期末）三角形的三边长分别为3、7、a，且a为偶数，则这个三角形的周长为 。
12．（2021八上·崇左期末）如图， 是 的中线， ， ，那么 的周长比 的周长多 ．
13．（2021八上·北流期末）一个直角三角形的其中一个锐角的度数为39度，则另一个锐角是 度．
14．（2020七上·广饶期末）如图，点P是△ABC内一点，∠ABC=80°，∠1=∠2，则∠BPC= 度．
三、解答题
15．（2021八上·紫阳期末）在 中，已知 ，若第三边 的长为偶数，求 的周长.
16．（2020八上·勃利期中）如图，△ABC中，CB=AC=BD，CD=AD， 求△ABC中各角的度数？
17．（2020八上·桐城期中）如图，△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC，∠B=40°，∠C=60°，求∠DAE的度数．
18．（2020八上·濉溪期中）已知在 中， ， ，求 的度数．
19．（2020八上·自贡期中）如图，在△ABC中，∠C＝∠ABC＝2∠A，BD是AC边上的高．求∠DBC的 度数．
20．（2020八上·邵阳期中）在△ABC中， ，求∠A、∠B、∠C的度数.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：设第三边为c，
∴3.5-2即1.5故答案为：B.
【分析】根据三角形的三边的关系可知：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，据此求出c的范围，即可解答.
2．【答案】D
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：由题意可得：4=8-4<第三边长<4+8=12，观察选项可得：10可以为第三边长.
故答案为：D.
【分析】三角形任意一边大于其余两边之差，小于其余两边之和.
3．【答案】C
【知识点】三角形内角和定理
【解析】【解答】解： ，
，
三角形的内角和为 .
故答案为：C.
【分析】此题主要考查了三角形的内角和定理：三角形的内角和为 结合已知条件，根据三角形的内角和为 求解.
4．【答案】B
【知识点】三角形的角平分线、中线和高
【解析】【解答】解：A、此图形中CD是AB边上的高，AD不是△ABC的高，故A不符合题意；
B、AD是BC边上的高，故B符合题意；
C、AD不是△ABC的高，故C不符合题意；
D、AD不是△ABC的高，故D不符合题意；
故答案为：B.
【分析】利用三角形高的定义，过三角形的一个顶点作对边的垂线段，这点和垂足之间的线段是三角形的高线，再对各选项逐一判断。
5．【答案】C
【知识点】三角形内角和定理
【解析】【解答】∵三角形的内角和等于180°，
故答案为：C．
【分析】根据三角形内角和定理即可作答.
6．【答案】C
【知识点】三角形内角和定理
【解析】【解答】解：∵∠A=55°，CD、BE是高
∴∠ABC+∠ACB=125°，∠AEB=∠ADC=90°
∴∠ABE=180°－∠AEB－∠A=35°，∠ACD=180°－∠ADC－∠A=35°
∴∠OBC+∠OCB=（∠ABC+∠ACB）－（∠ABE＋∠ACD）=55°
∴∠BOC=180°－（∠OBC+∠OCB）=125°
故答案为：C．
【分析】先求出∠ABC+∠ACB=125°，∠AEB=∠ADC=90°，再计算求解即可。
7．【答案】D
【知识点】三角形内角和定理
【解析】【解答】解：设 ，∵BE=EC，
∴ ，
∵∠ABC=130°，
∴ ，
∵BD=BE，
∴ ，
∵AD=DE，
∴∠A=∠DEA，
∴ ，
依题意有： ，
解得 ．
故答案为： D ．
【分析】利用三角形的内角和等于180°，进行作答即可。
8．【答案】20°
【知识点】三角形内角和定理
【解析】【解答】解：∵∠A+∠B+∠C=180°， ∠A = 100°，∠B = 60°，
∴∠C=180°-∠A-∠B=180°-100°-60°=20°.
故答案为：20°.
【分析】三角形三个内角的度数之和为180°.
9．【答案】12
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：若等腰三角形的腰长为2，则三边长为2、2、5，2+2<5，此时不能构成三角形；
若等腰三角形的腰长为5，则三边长为2、5、5，2+5>5，此时能构成三角形，故这个三角形的周长为：2+5+5=12.
故答案为：12.
【分析】此题分腰长为2，腰长为5两种情况，分别写出两种情况下三角形的三边长，然后根据三边关系判断是否能构成三角形，进而求出周长即可.
10．【答案】54°或84°或108°
【知识点】三角形内角和定理
【解析】【解答】解：①54°角是α，则“希望角”度数为54°；
②54°角是β，则α=β=54°，
∴“希望角”α=108°；
③54°角既不是α，也不是β，则α+β+54°=180°，
∴α+α+54°=180°，
∴α=84°，即“希望角”为84°，
综上可知：“希望角”为54°或84°或108°.
故答案为：54°或84°或108°.
【分析】分54°角是α、β、既不是α，也不是β三种情况，根据希望角的概念以及三角形内角和定理列式计算即可得解.
11．【答案】16或18
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：第三边为a，由题意得：
，
即
，
为偶数，
，8，
三角形的周长为：
，
，
故答案为：16或18.
【分析】此题主要考查了三角形的三边关系，关键是掌握三角形两边之和大于第三边；三角形的两边差小于第三边.因为第三边为a，根据三角形的三边关系可得
，再确定出a的范围，然后再确定出a的值，进而算出周长即可.
12．【答案】2
【知识点】三角形的角平分线、中线和高
【解析】【解答】 是 的中线，
故答案为：
【分析】由于BD是△ABC的中线，可得AD=CD，再利用C△ABD-C△BDC=AB+ BD+AD-BC-CD-AD ,可得答案.
13．【答案】51
【知识点】三角形内角和定理
【解析】【解答】180°-90°-39°=51°，
故答案为：51．
【分析】根据三角形内角和定理列式计算即可.
14．【答案】100
【知识点】三角形内角和定理
【解析】【解答】∵∠ABC=80°，∠1=∠2，
∴
故答案为：100．
【分析】由于∠1=∠2，利用三角形内角和定理得出=
，据此计算即得.
15．【答案】解： 在 中， ，
第三边 的取值范围是：
符合条件的偶数是 或 ，
当 时， 的周长为： ；
当 时， 的周长为： .
的周长为 或 .
【知识点】三角形三边关系
【解析】【分析】根据三角形的三边关系可得由BC的长为偶数，求出BC的长，从而求出三角形的周长.
16．【答案】解：
设
【知识点】三角形内角和定理
【解析】【分析】根据CA=CB，即可得到∠B=∠A，继而根据三角形的内角和定理求出∠B，求出∠ACB即可。
17．【答案】解：∵∠B=40°，∠C=60°，
∴∠BAC=180°-∠B-∠C=80°，
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE= ∠BAC=40°，
∴∠AEC=∠B+∠BAE=80°，
∵AD⊥BC，
∴∠ADE=90°，
∴∠DAE=180°-∠ADE-∠AED=10°．
答：∠DAE的度数是10°．
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形内角和定理
【解析】【分析】根据三角形的内角和等于180°，角平分线的定义及三角形的外角的性质进行作答即可。
18．【答案】解：因为 ，所以 ．
又因为在 中， ， ，
所以 ．
解得： ．
【知识点】三角形内角和定理
【解析】【分析】根据三角形的内角和等于180°，求出∠A的度数即可。
19．【答案】解：∵∠C=∠ABC=2∠A，
∴∠C+∠ABC+∠A=5∠A=180°，
∴∠A=36°．
则∠C=∠ABC=2∠A=72°．
又∵BD是AC边上的高，
∴∠BDC=90°，
则∠DBC=90°-∠C=18°．
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形内角和定理
【解析】【分析】根据三角形内角和求出∠C的度数，在△BCD中，再利用一次三角形的内角和，即可算出∠DBC的度数。
20．【答案】解：设
解得：
【知识点】三角形内角和定理
【解析】【分析】根据三角形的内角和等于180°计算即可。
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一、单选题
1．（2021八下·杭州开学考）已知两条线段a=2cm， b=3.5cm ，下列能和 a、b 构成三角形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：设第三边为c，
∴3.5-2即1.5故答案为：B.
【分析】根据三角形的三边的关系可知：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，据此求出c的范围，即可解答.
2．（2021八上·温州期末）若一个三角形的两边长分别为4和8，则第三边长可以是（ ）
A．4 B．12 C．13 D．10
【答案】D
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：由题意可得：4=8-4<第三边长<4+8=12，观察选项可得：10可以为第三边长.
故答案为：D.
【分析】三角形任意一边大于其余两边之差，小于其余两边之和.
3．（2021八上·正阳期末）如果在 中， ，则 等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】三角形内角和定理
【解析】【解答】解： ，
，
三角形的内角和为 .
故答案为：C.
【分析】此题主要考查了三角形的内角和定理：三角形的内角和为 结合已知条件，根据三角形的内角和为 求解.
4．（2021八上·桂林期末）下列图形中,线段AD 是△ABC 的高的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】三角形的角平分线、中线和高
【解析】【解答】解：A、此图形中CD是AB边上的高，AD不是△ABC的高，故A不符合题意；
B、AD是BC边上的高，故B符合题意；
C、AD不是△ABC的高，故C不符合题意；
D、AD不是△ABC的高，故D不符合题意；
故答案为：B.
【分析】利用三角形高的定义，过三角形的一个顶点作对边的垂线段，这点和垂足之间的线段是三角形的高线，再对各选项逐一判断。
5．（2021八上·岑溪期末）三角形的内角和等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】三角形内角和定理
【解析】【解答】∵三角形的内角和等于180°，
故答案为：C．
【分析】根据三角形内角和定理即可作答.
6．（2020七上·大庆期末）如图， 的高 、 相交于O，如果 ，那么 的大小为（ ）
A．35° B．105° C．125° D．135°
【答案】C
【知识点】三角形内角和定理
【解析】【解答】解：∵∠A=55°，CD、BE是高
∴∠ABC+∠ACB=125°，∠AEB=∠ADC=90°
∴∠ABE=180°－∠AEB－∠A=35°，∠ACD=180°－∠ADC－∠A=35°
∴∠OBC+∠OCB=（∠ABC+∠ACB）－（∠ABE＋∠ACD）=55°
∴∠BOC=180°－（∠OBC+∠OCB）=125°
故答案为：C．
【分析】先求出∠ABC+∠ACB=125°，∠AEB=∠ADC=90°，再计算求解即可。
7．（2020七上·大庆期末）如图，在 中， 、 分别为 、 边上的点， ， ．若 ，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】三角形内角和定理
【解析】【解答】解：设 ，∵BE=EC，
∴ ，
∵∠ABC=130°，
∴ ，
∵BD=BE，
∴ ，
∵AD=DE，
∴∠A=∠DEA，
∴ ，
依题意有： ，
解得 ．
故答案为： D ．
【分析】利用三角形的内角和等于180°，进行作答即可。
二、填空题
8．（2021八上·温州期末）在△ABC中，已知∠A = 100°，∠B = 60°，则∠C = .
【答案】20°
【知识点】三角形内角和定理
【解析】【解答】解：∵∠A+∠B+∠C=180°， ∠A = 100°，∠B = 60°，
∴∠C=180°-∠A-∠B=180°-100°-60°=20°.
故答案为：20°.
【分析】三角形三个内角的度数之和为180°.
9．（2021八上·温州期末）若等腰三角形中有两边长分别为2和5，则这个三角形的周长为 .
【答案】12
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：若等腰三角形的腰长为2，则三边长为2、2、5，2+2<5，此时不能构成三角形；
若等腰三角形的腰长为5，则三边长为2、5、5，2+5>5，此时能构成三角形，故这个三角形的周长为：2+5+5=12.
故答案为：12.
【分析】此题分腰长为2，腰长为5两种情况，分别写出两种情况下三角形的三边长，然后根据三边关系判断是否能构成三角形，进而求出周长即可.
10．（2021八上·温州期末）当三角形中一个内角β是另一个内角a的 时，我们称此三角形为“希望三角形”，其中内角a称为“希望角”.如果一个“希望三角形”中有一个内角为54°，那么这个“希望三角形”的“希望角”度数为 .
【答案】54°或84°或108°
【知识点】三角形内角和定理
【解析】【解答】解：①54°角是α，则“希望角”度数为54°；
②54°角是β，则α=β=54°，
∴“希望角”α=108°；
③54°角既不是α，也不是β，则α+β+54°=180°，
∴α+α+54°=180°，
∴α=84°，即“希望角”为84°，
综上可知：“希望角”为54°或84°或108°.
故答案为：54°或84°或108°.
【分析】分54°角是α、β、既不是α，也不是β三种情况，根据希望角的概念以及三角形内角和定理列式计算即可得解.
11．（2021八上·曾都期末）三角形的三边长分别为3、7、a，且a为偶数，则这个三角形的周长为 。
【答案】16或18
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：第三边为a，由题意得：
，
即
，
为偶数，
，8，
三角形的周长为：
，
，
故答案为：16或18.
【分析】此题主要考查了三角形的三边关系，关键是掌握三角形两边之和大于第三边；三角形的两边差小于第三边.因为第三边为a，根据三角形的三边关系可得
，再确定出a的范围，然后再确定出a的值，进而算出周长即可.
12．（2021八上·崇左期末）如图， 是 的中线， ， ，那么 的周长比 的周长多 ．
【答案】2
【知识点】三角形的角平分线、中线和高
【解析】【解答】 是 的中线，
故答案为：
【分析】由于BD是△ABC的中线，可得AD=CD，再利用C△ABD-C△BDC=AB+ BD+AD-BC-CD-AD ,可得答案.
13．（2021八上·北流期末）一个直角三角形的其中一个锐角的度数为39度，则另一个锐角是 度．
【答案】51
【知识点】三角形内角和定理
【解析】【解答】180°-90°-39°=51°，
故答案为：51．
【分析】根据三角形内角和定理列式计算即可.
14．（2020七上·广饶期末）如图，点P是△ABC内一点，∠ABC=80°，∠1=∠2，则∠BPC= 度．
【答案】100
【知识点】三角形内角和定理
【解析】【解答】∵∠ABC=80°，∠1=∠2，
∴
故答案为：100．
【分析】由于∠1=∠2，利用三角形内角和定理得出=
，据此计算即得.
三、解答题
15．（2021八上·紫阳期末）在 中，已知 ，若第三边 的长为偶数，求 的周长.
【答案】解： 在 中， ，
第三边 的取值范围是：
符合条件的偶数是 或 ，
当 时， 的周长为： ；
当 时， 的周长为： .
的周长为 或 .
【知识点】三角形三边关系
【解析】【分析】根据三角形的三边关系可得由BC的长为偶数，求出BC的长，从而求出三角形的周长.
16．（2020八上·勃利期中）如图，△ABC中，CB=AC=BD，CD=AD， 求△ABC中各角的度数？
【答案】解：
设
【知识点】三角形内角和定理
【解析】【分析】根据CA=CB，即可得到∠B=∠A，继而根据三角形的内角和定理求出∠B，求出∠ACB即可。
17．（2020八上·桐城期中）如图，△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC，∠B=40°，∠C=60°，求∠DAE的度数．
【答案】解：∵∠B=40°，∠C=60°，
∴∠BAC=180°-∠B-∠C=80°，
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE= ∠BAC=40°，
∴∠AEC=∠B+∠BAE=80°，
∵AD⊥BC，
∴∠ADE=90°，
∴∠DAE=180°-∠ADE-∠AED=10°．
答：∠DAE的度数是10°．
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形内角和定理
【解析】【分析】根据三角形的内角和等于180°，角平分线的定义及三角形的外角的性质进行作答即可。
18．（2020八上·濉溪期中）已知在 中， ， ，求 的度数．
【答案】解：因为 ，所以 ．
又因为在 中， ， ，
所以 ．
解得： ．
【知识点】三角形内角和定理
【解析】【分析】根据三角形的内角和等于180°，求出∠A的度数即可。
19．（2020八上·自贡期中）如图，在△ABC中，∠C＝∠ABC＝2∠A，BD是AC边上的高．求∠DBC的 度数．
【答案】解：∵∠C=∠ABC=2∠A，
∴∠C+∠ABC+∠A=5∠A=180°，
∴∠A=36°．
则∠C=∠ABC=2∠A=72°．
又∵BD是AC边上的高，
∴∠BDC=90°，
则∠DBC=90°-∠C=18°．
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形内角和定理
【解析】【分析】根据三角形内角和求出∠C的度数，在△BCD中，再利用一次三角形的内角和，即可算出∠DBC的度数。
20．（2020八上·邵阳期中）在△ABC中， ，求∠A、∠B、∠C的度数.
【答案】解：设
解得：
【知识点】三角形内角和定理
【解析】【分析】根据三角形的内角和等于180°计算即可。
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