(共18张PPT)
5.4 平 移
第五章 相交线与平行线
课程讲授
新知导入
随堂练习
课堂小结
知识要点
1.平移的定义及性质
2.平移作图
新知导入
看一看：观察下面一些美丽的图案，它们有什么共同的特点？能否根据其中的一部分绘制出整个图案？
课程讲授
1
平移的定义及性质
问题1：如何在一张半透明的纸上，画出一排形状和大小如图的雪人呢？
课程讲授
1
平移的定义及性质
定义：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定
的距离，这样的图形运动称为平移.
想一想：雪人的形状、大小、位置在运动前后是否发生
了变化？
形状不变，大小不变，位置改变
课程讲授
1
平移的定义及性质
想一想：在所画出的相邻两个雪人中，找出三组对应点
（例如，它们的鼻尖A与A'，帽顶B与B'，纽扣C与C'），
连接这些对应点，观察得出的线段，它们的位置、长短
有什么关系？
A
A'
B'
C'
B
C
AA'∥BB'∥CC'
AA'=BB'=CC'
课程讲授
1
平移的定义及性质
归纳：1.把一个图形整体沿某一直线方向移动，
会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大
小完全相同.
2.新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动
后得到的，这两个点是对应点.连接各组对应点的线
段平行（或在同一条直线上）且相等.
课程讲授
1
平移的定义及性质
归纳：
数学语言：
A
B
C
D
E
F
∵三角形ABC平移得到三角
形DEF
∴AB∥DE，AC∥DF，
BC ∥EF(或共线)，
AB=DE，AC=DF，BC=EF，
AD∥BE∥CF(或共线)，
AD=BE=CF.
课程讲授
1
平移的定义及性质
图形平移的方向，不限于是水平的.如图
课程讲授
1
平移的定义及性质
练一练：
下列属于平移现象的有 （ ）
①水平运输带上的砖的运动；②高楼电梯上上下下迎送来客；③健身做呼拉圈运动；④火车飞驰在一段笔直的铁轨上．
A．1种 B．2种 C．3种 D．4种
C
课程讲授
2
平移作图
例 如图，平移三角形ABC,使点A移动到点A'.画出平移后的三角形A'B'C'.
A
A'
B'
C'
B
C
解：连接AA'，过点B作
AA'的平行线l，在l上截
取BB'=AA'，则点B' 就是
点B的对应点.
类似地作出点C的对应点
C'，顺次连接点A'，B'，
C'，得到三角形A'B'C'.
课程讲授
2
平移作图
归纳：平移作图的步骤：
（1）找关键点(一般是图形的顶点)；
（2）根据平移的距离和方向作出这些点经过平移后的对应点；
（3）将所作对应点按原来已知图形的连接方式连接起来，所得图形即为所求．
随堂练习
1.（2019·乐山）下列四个图形中，可以由图1通过平移得到的是（ ）
D
随堂练习
2. 如图，三角形A′B′C′是由三角形ABC平移得到 的，下列说法错误的是 （ ）
A. AB=A′B′ B.∠A=∠A′
C.∠C=∠C′ D. A′C′=BC
D
随堂练习
3. 如图，三角形DEF是由三角形ABC平移得到的， 若BC=3 cm，AD=2 cm，则EC= cm .
1
随堂练习
4. 某商场重新装修后，准备在大厅的主楼梯上铺设一种红色的地毯.已知这种地毯的批发价为每平方米10元，主楼梯的宽为 3米，其侧面如图所示，则购买地毯至少需要多少元
随堂练习
解:通过平移可得铺地毯部分的长为
2.8+5.6=8.4 （米），
则所需地毯的面积为
3×8.4=25.2（平方米），
所以购买这种地毯至少需要25.2×10=252（元）.
答:购买地毯至少需要252元.
课堂小结
平移
平移的定义
平移作图
1.平移前后图形的形状和大小完全相同;
平移的性质
2.对应线段平行(或在同一直线上)且相等；
3.各对应点所连线段平行(或在同一直线上)且相等.(共24张PPT)
5.3 平行线的性质
5.3.2 命题、定理、证明
第五章 全等三角形
课程讲授
新知导入
随堂练习
课堂小结
知识要点
1.命题
2.真命题与假命题
3.定理与证明
新知导入
试一试：根据所学知识对下列语句的正误进行判别.
（1）三角形的内角和等于180°;
（2）如果两个角是对顶角，那么这两个角相等;
（3）两直线平行，同旁内角相等;
（4）直角都相等;
（5）经过一点确定一条直线.
正确
正确
正确
错误
错误
课程讲授
1
命题
如果两个角是对顶角，那么这两个角相等;
两直线平行，同旁内角相等;
正确
错误
定义：它们都是判断某一件事情的语句，像这样表示判断的语句叫做命题.
课程讲授
1
命题
例1 判断下列语句是否为命题.
（6）取线段AB的中点C.
（1）长度相等的两条线段是相等的线段吗
（2）两条直线相交，有且只有一个交点；
（3）不相等的两个角不是对顶角；
（4）欢迎前来参加北京冬奥会！
（5）两个锐角的和是钝角；
不是
不是
是
不是
是
是
课程讲授
1
命题
如果一个三角形的三边相等，那么这个三角形是等边三角形.
=
=
=
等边三角形
题设
结论
归纳：命题都可以写成“如果……，那么……”的形式，其中用“如果”开始的部分是题设，用“那么”开始的部分就是结论.
课程讲授
1
命题
例2 指出下列命题的题设和结论，并改写成“如果……，那么……”的形式：
⑴同位角相等，两直线平行；
题设：
同位角相等
结论：
两直线平行
如果同位角相等，那么两直线平行.
课程讲授
1
命题
例2 指出下列命题的题设和结论，并改写成“如果……，那么……”的形式：
⑵三个角都相等的三角形是等边三角形.
题设：
结论：
这个三角形是等边三角形
一个三角形的三个角相等
如果一个三角形的三边相等，那么这个三角 形是等边三角形.
课程讲授
2
真命题与假命题
如果两个角是对顶角，那么这两个角相等;
两直线平行，同旁内角相等;
正确
错误
定义：如果题设成立，那么结论一定成立.像这样的命题，称为真命题.
定义：当题设成立时，不能保证结论总是正确，或者说结论不成立，像这样的命题，称为假命题.
课程讲授
2
真命题与假命题
例1 判断下列语句哪些是真命题，哪些是假命题.
（6）两点之间线段最短；
（1）一个角的补角大于这个角；
（2）相等的两个角是对顶角；
（3）两点可以确定一条直线；
（4）若A=B，则2A=2B；
（5）锐角和钝角互为补角；
假命题
假命题
真命题
真命题
假命题
真命题
课程讲授
2
真命题与假命题
归纳：
1.要判断一个命题为真命题，可以用演绎推理加以论证；
2.要判断一个命题为假命题，只要举出一个例子，说明该命题不成立.
课程讲授
3
定理与证明
定义：数学中这些命题的正确性是人们在长期实践中
总结出来的，并把它们作为判断其他命题真假的原始
依据，即出发点.这样的真命题视为基本事实.我们也
称它为公理.
3.全等三角形的对应边、对应角分别相等．
1.一条直线截两条平行直线所得的同位角相等；
2.两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行；
课程讲授
3
定理与证明
定义： 数学中，有些命题可以从基本事实或其他真命
题出发，用逻辑推理的方法判断它们是正确的，并且
可以作为进一步判断其他命题真假的依据，这样的真
命题叫做定理.
比如:“内错角相等,两直线平行”这条定理就是在“同位角相等,两直线平行”这条公理的基础上推理而出的,它又可以作为判定平行线的依据.
课程讲授
3
定理与证明
基本事实、定理、命题的关系：
命题
真命题
假命题
基本事实（正确性由实践总结）
定理（正确性通过推理证实）
课程讲授
3
定理与证明
证明几何命题的一般步骤：
1.明确命题中的______和______；
2.根据题意，_________，并用数学符号表示已知和求证；
3.经过分析，找出由已知推出__________的途径，写出证明过程.
求证
已知
画出图形
要证的结论
定义： 在很多情况下，一个命题的正确性需要经过推理才能作出判断，这个推理过程叫作证明.
课程讲授
3
定理与证明
例
已知直线b∥c， a⊥b ．求证：a⊥c．
证明：∵ a ⊥b（已知），
∴ ∠1=90°（垂直的定义）.
∵ b ∥ c（已知），
∴∠1=∠2（两直线平行，同位角相等），
∴ ∠2=∠1=90°（等量代换），
∴ a ⊥ c（垂直的定义）.
a
b
c
1
2
课程讲授
3
定理与证明
练一练：求证：内错角相等,两直线平行.
已知：如图，直线l3分别与l1，l2交于点A,点B，且∠1=∠2.
求证：l1∥l2.
A
B
l1
l2
l3
(
1
)
2
)3
证明：∵ ∠１=∠２
∠3=∠2
∴ ∠1=∠3
∴ l１∥l２
(已知)，
(对顶角相等)，
(等量代换).
(同位角相等,两直线平行).
随堂练习
１．下列句子中，哪些是命题？哪些不是命题？
⑴对顶角相等；
⑵画一个角等于已知角；
⑶两直线平行，同位角相等；
⑷a，b两条直线平行吗？
⑸温柔的李明明；
⑹玫瑰花是动物；
⑺若a2＝4，求a的值；
⑻若a2＝ b2，则a＝b.
不是
是
不是
是
不是
是
是
不是
随堂练习
2.把下列命题改写成“如果……，那么……”的形式，并分别指出它的题设和结论：
全等三角形的对应边相等；
题设：
结论：
两个三角形全等
这两个三角形的对应边相等
如果两个三角形全等，那么它们的对应边相等
随堂练习
3.指出下列命题中的真命题和假命题：
（1）同位角相等，两直线平行；
（2）多边形的内角和等于180°；
（3）三角形的外角和等于360°；
（4）平行于同一条直线的两条直线互相平行.
真命题
假命题
真命题
真命题
随堂练习
4.求证：邻补角的平分线互相垂直．
A
B
C
E
F
2
1
随堂练习
已知：如图，∠AOB＋∠BOC＝180°，OE平分∠AOB，OF平分∠BOC．
求证：OE⊥OF．
A
B
C
E
F
2
1
证明：∵OE平分∠AOB，
∴∠1＝ ∠AOB.
∵OF平分 ∠BOC， ∴∠2＝ ∠BOC.
∴∠1＋∠2＝ （∠AOB＋∠BOC）
＝ ∠AOC ＝ ×180°＝90°.
∴OE⊥OF（垂直定义）．
课堂小结
命题
定义
真命题与假命题
表示判断的语句叫做命题.
如果题设成立，那么结论一定成立.像这样的命题，称为真命题.
当题设成立时，不能保证结论总是正确，或者说结论不成立，像这样的命题，称为假命题.
课堂小结
定理与证明
命题的证明
定理
作为判断其他命题真假的原始依据的真命题视为基本事实.
可以从基本事实或其他真命题出发，用逻辑推理的方法判断它们是正确的，可以作为进一步判断其他命题真假的依据的真命题叫做定理.(共17张PPT)
5.3.1 平行线的性质
课程讲授
新知导入
随堂练习
课堂小结
5.3 平行线的性质
第五章 相交线与平行线
知识要点
1.平行线的性质与应用
新知导入
看一看：根据所学知识，完成下列内容.
下图的线段平行吗？
课程讲授
1
平行线的性质与应用
问题1：画两条平行线a//b，然后画一条截线与a，b相交，测量其中的角，记录在下表中，试着发现其中的规律.
b
a
2
1
3
4
6
5
8
7
角 度数
∠1
∠2
∠3
∠4
∠5
∠6
∠7
∠8
课程讲授
1
平行线的性质与应用
b
a
2
1
3
4
6
5
8
7
猜想：两直线平行，存在以下关系
同位角_______
同旁内角_______
内错角_______
相等
相等
互补
课程讲授
1
平行线的性质与应用
问题2：画两条平行线a//b，重新画一条截线与a，b相交，测量其中的角，验证刚刚的猜想.
b
a
同位角
归纳：两直线平行，同位角相等.
课程讲授
1
平行线的性质与应用
问题2：画两条平行线a//b，重新画一条截线与a，b相交，测量其中的角，验证刚刚的猜想.
b
a
内错角
归纳：两直线平行，内错角相等.
课程讲授
1
平行线的性质与应用
问题2：画两条平行线a//b，重新画一条截线与a，b相交，测量其中的角，验证刚刚的猜想.
b
a
同旁内角
归纳：两直线平行，同旁内角互补.
课程讲授
1
平行线的性质与应用
平行线的性质：
性质1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等.
简单说成：两直线平行，同位角相等.
应用格式：
b
1
2
a
c
∴∠1=∠2
（两直线平行，同位角相等）
∵a∥b（已知）
课程讲授
1
平行线的性质与应用
平行线的性质：
性质2：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等.
简单说成：两直线平行，内错角相等.
应用格式：
∴∠2=∠3
（两直线平行，内错角相等）
∵a∥b（已知）
b
1
2
a
c
3
课程讲授
1
平行线的性质与应用
平行线的性质：
性质3：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补.
简单说成：两直线平行，同旁内角互补.
应用格式：
b
1
2
a
c
4
∴∠2+∠4=180 °
（两直线平行，同旁内角互补）
∵a∥b（已知）
课程讲授
1
平行线的性质与应用
例 如图，是一块梯形铁片的残余部分，量得∠A=100°，∠B=115°，梯形的另外两个角分别是多少度？
B
A
C
D
解：因为梯形上.下底互相平行，
所以∠A与∠D互补， ∠B与∠C互补.
∠C= 180 °-∠B=180°-115°=65°，
于是∠D=180 °-∠A=180°-100°=80°，
所以梯形的另外两个角分别是80° ， 65°.
随堂练习
1.如果有两条直线被第三条直线所截，那么必定有（ ）
A.内错角相等
B.同位角相等
C.同旁内角互补
D.以上都不对
D
随堂练习
2.∠1 和∠2是两条直线被第三条直线所截形成的同旁内角，要使这两条直线平行，必须 ( )
A. ∠1= ∠2
B. ∠1+∠2=90°
C. 2(∠1+∠2)=360°
D .∠1是钝角, ∠2是锐角
C
随堂练习
3.如图,若AB∥DE , AC∥DF，请说出∠A和∠D之间的数量关系，并说明理由。
解: ∠A =∠D.理由：
∵ AB∥DE( )
∴∠A=_______ ( )
∵AC∥DF( )
∴∠D=______ ( )
∴∠A=∠D ( )
P
F
C
E
B
A
D
已知
∠CPE
两直线平行,同位角相等
已知
∠CPE
两直线平行,同位角相等
等量代换
随堂练习
4.如图,若AB∥DE , AC∥DF，请说出∠A和∠D之间的数量关系，并说明理由。
解: ∠A+∠D=180°. 理由：
∵ AB∥DE( )
∴∠A=__________
( )
∵AC∥DF( )
∴∠D+ _______=180° ( )
∴∠A+∠D=180°（ ）
F
C
E
B
A
D
P
已知
∠CPD
两直线平行,同位角相等
已知
∠CPD
两直线平行,同旁内角互补
等量代换
课堂小结
平行线的性质
两直线平行，同位角相等.
两直线平行，内错角相等.
两直线平行，同旁内角互补.(共21张PPT)
5.2.2 平行线的判定
课程讲授
新知导入
随堂练习
课堂小结
5.2 平行线
第五章 相交线与平行线
知识要点
1.同位角相等，两直线平行
2.内错角相等，两直线平行
3.同旁内角互补,两直线平行
新知导入
试一试：根据所学知识，画出已知直线的平行线.
B
A
P
课程讲授
1
同位角相等，两直线平行
问题1：在画图过程中，三角尺起着什么样的作用？
B
A
P
课程讲授
1
同位角相等，两直线平行
B
A
P
C
D
E
F
G
H
我们发现
∠1=∠2
2
1
两条直线被第三条直线所截 ,如果同位角相等,那么这两条直线平行.
简单说成：同位角相等，两直线平行.
课程讲授
1
同位角相等，两直线平行
B
A
P
C
D
E
F
G
H
2
1
应用格式：
∵∠1=∠2(已知)，
∴a∥b.
（同位角相等，两直线平行）
课程讲授
2
内错角相等，两直线平行
问题1：两条直线被第三条直线所截，同时得到同位角、内错角和同旁内角，由同位角相等可以判定两直线平行，那么，能否利用内错角来判定两直线平行呢？
B
A
P
C
D
E
F
G
H
课程讲授
2
内错角相等，两直线平行
如图，由 3= 2，可推出a//b吗？如何推出？
B
A
P
C
D
E
F
G
H
2
1
3
解： ∵ 1= 3(已知），
3= 2（对顶角相等），
1= 2，
a//b(同位角相等，两直线平行）.
课程讲授
2
内错角相等，两直线平行
B
A
P
C
D
E
F
G
H
2
1
我们发现
∠1=∠2
两条直线被第三条直线所截 ,如果内错角相等,那么这两条直线平行.
简单说成：内错角相等，两直线平行.
课程讲授
2
内错角相等，两直线平行
B
A
P
C
D
E
F
G
H
2
3
应用格式：
∵∠3=∠2(已知)，
∴a∥b.
（内错角相等，两直线平行）
课程讲授
3
同旁内角互补,两直线平行
问题1：两条直线被第三条直线所截，能否利用同旁内角来判定两直线平行呢？
B
A
P
C
D
E
F
G
H
课程讲授
3
同旁内角互补,两直线平行
如图，如果 1+ 2=180°，能判定a//b吗
B
A
P
C
D
E
F
G
H
2
3
1
解:能.
∵ 1+ 2=180°（已知），
1+ 3=180°（邻补角定义），
2= 3（同角的补角相等），
a//b （同位角相等，两直线平行）.
课程讲授
3
同旁内角互补,两直线平行
我们发现
∠1+∠2=180°
B
A
P
C
D
E
F
G
H
2
1
两条直线被第三条直线所截 ,如果同旁内角互补,那么这两条直线平行.
简单说成：同旁内角互补，两直线平行.
课程讲授
3
同旁内角互补,两直线平行
B
A
P
C
D
E
F
G
H
2
1
应用格式：
∵∠1+∠2=180°(已知)，
∴a∥b.
（同旁内角互补，两直线平行）
课程讲授
3
同旁内角互补,两直线平行
例 在同一平面内，两条直线垂直于同一条直线，这两
条直线平行吗？为什么？
提示：垂直总与直角联系在一起，进而用判断 两条直线平行的方法进行判定.
a
b
c
课程讲授
3
同旁内角互补,两直线平行
例
a
b
c
答：这两条直线平行. 理由如下：
如图.
∵a⊥b，
∴∠1=90°.
同理∠2=90°.
∴∠1=∠2 .
∵ ∠1和∠2 是同位角，
∴b∥c (同位角相等，两直线平行).
随堂练习
1.如图,可以确定AB∥CE的条件是( )
A.∠2=∠B
B. ∠1=∠A
C. ∠3=∠B
D. ∠3=∠A
1
2
3
A
E
B
C
D
C
随堂练习
2.如图所示，是我们学过的用直尺和三角尺画平行线的方法示意图，画图的原理是( )
A.同位角相等，两直线平行
B.内错角相等，两直线平行
C.两直线平行，同位角相等
D.两直线平行，内错角相等
A
随堂练习
3.下列图形中，由∠1=∠2能得到AB∥CD的是( )
B
随堂练习
4.如图，下列说法错误的是( )
A.若a∥b,b∥c,则a∥c
B.若∠1=∠2，则a∥c
C.若∠3=∠2，则b∥c
D.若∠3+∠5=180°，则a∥c
C
课堂小结
平行线的判定
同位角相等，两直线平行.
内错角相等，两直线平行.
同旁内角互补，两直线平行.(共19张PPT)
5.2 平行线
5.2.1 平行线
课程讲授
新知导入
随堂练习
课堂小结
第5章 相交线与平行线
知识要点
1.平行线
2.平行公理及其推论
新知导入
看一看：观察下图中直线的位置关系，试着列举生活中类似的事例.
新知导入
看一看：观察下图中直线的位置关系，试着列举生活中类似的事例.
课程讲授
1
平行线
问题1：分别将木条a，b与木条c钉在一起，并把它们想象成两端可以无限延伸的三条直线.转动a，直线a从在c的左侧与直线b相交逐步变为在右侧与b相交.想象一下，在这个过程中，有没有直线a与直线b不相交的位置呢？
a
b
c
课程讲授
1
平行线
a
b
c
在木条转动过程中，存在一个直线a与直线b不相交的情形，这时我们说直线a与b互相平行.记作“a∥b”.
定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线.
课程讲授
1
平行线
平行线的表示法：
我们通常用“// ”表示平行.
C
B
A
D
AB ∥ CD
读作：“AB 平行于 CD”
a
b
a ∥ b
读作：“a平行于b ”
在同一平面内，不重合的两条直线的位置关系有平行与相交两种.
课程讲授
2
平行公理及其推论
平行线的画法：
（1）放
（2）靠
（3）移
（4）画
课程讲授
2
平行公理及其推论
问题1.1：经过点C能画出几条直线？
C
无数条
课程讲授
2
平行公理及其推论
问题1.2：与直线AB平行的直线有几条？
B
A
无数条
课程讲授
2
平行公理及其推论
问题1.3：经过点C能画出几条直线与直线AB平行？
B
A
C
有且仅有一条
课程讲授
2
平行公理及其推论
归纳：
平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行.（基本事实）
课程讲授
2
平行公理及其推论
问题1.4：过点D画一条直线与直线AB平行，与上一问题中所画的直线平行吗？
B
A
C
D
平行
课程讲授
2
平行公理及其推论
归纳：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线互相平行.
几何语言表达：
c
a
b
∵a//c , c//b(已知）
a//b(如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行）
随堂练习
1.下列说法正确的是（ ）
A.在同一平面内，不相交的两条射线是平行线
B.在同一平面内，不相交的两条线段是平行线
C.在同一平面内，两条直线的位置关系不相交就平行
D.不相交的两条直线是平行线
C
随堂练习
2.已知直线AB和一点P，过点P画直线与AB的平行线可画( )
A.1条
B.0条
C.1条或0条
D.无数条
C
随堂练习
3.三条直线a，b，c中，若a∥b，b∥c，则直线a与直线c的位置关系是( )
A.相交
B.平行
C.垂直
D.无法确定
B
随堂练习
4.完成下列推理，并在括号内注明理由.
（1）如图所示，因为AB // DE，BC // DE（已知），
所以A，B，C三点_________________（ ）.
·
·
·
A
D
E
B
C
在同一直线上
经过直线外一点,有且只有一条直线与这条直线平行
课堂小结
平行线
平行线
经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行.
在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线.
平行于同一条直线的两条直线平行(共19张PPT)
5.1.3 同位角、内错角、同旁内角
课程讲授
新知导入
随堂练习
课堂小结
5.1 相交线
第五章 相交线与平行线
知识要点
1.同位角
2.内错角
3.同旁内角
新知导入
试一试：回顾所学知识，完成下列内容.
1
2
3
4
∠1_____∠3，∠2_____∠4，
=
=
∠1+∠2____∠3+∠4.
=
课程讲授
1
同位角
问题1.1： 观察∠1与∠5的位置关系.
①在直线EF的同旁（ 右边 ）
②在直线AB，CD的同一侧（ 上方 ）
A
B
E
1
2
3
4
5
6
C
D
7
8
1
5
同位角
课程讲授
1
同位角
问题1.2： 图中的同位角还有哪些？
A
B
E
1
2
3
4
5
6
C
D
7
8
∠2和∠6，∠3和∠7，∠4和∠8
课程讲授
1
同位角
练一练：
如图，下列四个图形中，∠1和∠2不是同位角
的是( )
B
课程讲授
2
内错角
问题1.1： 观察∠3与∠5的位置关系.
A
B
E
1
2
3
4
5
6
C
D
7
8
3
5
①在直线EF的两侧
②在直线AB，CD的之间
内错角
课程讲授
2
内错角
问题1.2： 图中的内错角还有哪些？
A
B
E
1
2
3
4
5
6
C
D
7
8
∠4和∠6
课程讲授
1
同位角
练一练：
(中考·贵阳)如图，∠1的内错角是( )
A．∠2 B．∠3 C．∠4 D．∠5
D
课程讲授
3
同旁内角
问题1.1：观察∠4与∠5的位置关系.
A
B
E
1
2
3
4
5
6
C
D
7
8
4
5
①在直线EF的同旁
②在直线AB，CD的之间
同旁内角
课程讲授
3
同旁内角
问题1.2：图中还有哪些同旁内角？
A
B
E
1
2
3
4
5
6
C
D
7
8
∠3和∠6
课程讲授
3
同旁内角
同位角、内错角、同旁内角:
截线 被截线 结构特征
同位角
内错角
同旁内角
之间
之间
同侧
同旁
两旁
同旁
F
Z
U
课程讲授
3
同旁内角
例 如图，直线DE,BC被直线AB所截.
（1）∠1与∠2， ∠1和∠3，∠1和∠4各是什么角？
（2）如果∠1=∠4，那么∠1和∠2相等吗？∠1和∠3互补吗？ 为什么？
4
3
2
1
F
E
D
C
B
A
课程讲授
3
同旁内角
4
3
2
1
F
E
D
C
B
A
解：（1）∠1与∠2是内错角，∠1和∠3同旁内角，∠1和∠4是同旁内角.
（2）如果∠1=∠4，由对顶角相
等，得∠2=∠4，那么∠1=∠2.因
为∠3和∠4互补，即
∠4+∠3=180°，又因为∠1=∠4，
所以∠4+∠3=180°，即∠1与∠3
互补.
随堂练习
1.如图，∠DAB和∠ABC是 （ ）
A.同位角
B.同旁内角
C.内错角
D.以上结论都不对
A
D
B
C
E
C
随堂练习
2.如图，∠1的内错角是( )
A.∠2
B.∠3
C.∠4
D.∠5
D
随堂练习
3.如图，直线AB,CD被直线EF所截，则∠3的同旁内角是( )
A.∠1
B.∠2
C.∠4
D.∠5
B
随堂练习
4.如图所示，下列说法不正确的是( )
A.∠1与∠B是同位角
B.∠1与∠4是内错角
C.∠3与∠B是同旁内角
D.∠C与∠A不是同旁内角
D
课堂小结
同位角、内错角、同旁内角
同位角
内错角
同旁内角
F
Z
U(共15张PPT)
课程讲授
新知导入
随堂练习
课堂小结
5.1 相交线
5.1.2 垂 线
第五章 相交线与平行线
第2课时 垂线段
知识要点
1.垂线段的定义
2.垂线段的性质
3.点到直线的距离
新知导入
想一想：
如图, 村庄A要从河流 l 引水入庄, 需修筑一水渠, 如何修水渠最短呢？
A
l
课程讲授
1
垂线段的定义
定义：过直线外一点画已知直线的垂线，连接这点
与垂足之间的线段，叫做这点到已知直线的垂线段.
C
D
E
l
B
A
线段AD叫做点A到直线l的垂线段.
想一想：哪条线段是垂线段？
课程讲授
1
垂线段的定义
下列说法正确的是( )
A．垂线段就是垂直于已知直线的线段
B．垂线段就是垂直于已知直线并且与已知直线
相交的线段
C．垂线段是一条竖起来的线段
D．过直线外一点向该直线作垂线，这一点到垂
足之间的线段叫垂线段
D
练一练：
课程讲授
2
垂线段的性质
C
D
E
l
B
A
线段AD最短.
想一想：比较AB，AC，AD，AE的长短，
这些线段中，哪一条最短？
归纳：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中垂线段最短. 简单说成：垂线段最短.
课程讲授
2
垂线段的性质
练一练：
如图，在铁路旁有一李庄，现要建一火车站，为了使李庄人乘车最方便，请你在铁路线上选一点来建火车站，应建在( )
A．A点
B．B点
C．C点
D．D点
A
课程讲授
3
点到直线的距离
归纳： 从直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离.
D
l
A
课程讲授
3
点到直线的距离
练一练：
（中考·北京）如图，点P到直线l的距离是( )
A．线段PA的长度
B．线段PB的长度
C．线段PC的长度
D．线段PD的长度
B
课程讲授
3
点到直线的距离
提示：
(1)点到直线的距离是点到直线的垂线段的长度，而不是垂线，也不是垂线段；
(2)距离表示线段的长度，是一个数量，与线段不能等同；
(3)用垂线段的长度表示点到直线的距离，其实质是点与垂足两点间的距离，体现了数形结合思想．
随堂练习
1.如图, AC⊥BC， ∠C=90° ,线段AC，BC，CD中最短的是
( )
A. AC
B. BC
C. CD
D. 不能确定
D
A
B
C
C
随堂练习
2.下列说法正确的是（ ）
A.线段AB叫做点B到直线AC的距离
B.线段AB的长度叫做点A到直线AC的距离
C.线段BD的长度叫做点D到直线BC的距离
D.线段BD的长度叫做点B到直线AC的距离
A
B
C
D
D
随堂练习
3.如图，AD⊥BD，BC⊥CD，AB＝6 cm，BC＝4 cm，
则BD的长度的取值范围是( )
A．大于4 cm
B．小于6 cm
C．大于4 cm或小于 6 cm
D．大于 4 cm且小于 6 cm
D
随堂练习
4.（中考·淄博）如图，AB⊥AC，AD⊥BC，垂足分别为A，D，则图中能表示点到直线距离的线段共有( )
A．2条
B．3条
C．4条
D．5条
D
课堂小结
垂线
垂线段的定义
垂线段的性质
过直线外一点画已知直线的垂线，连接这点与垂足之间的线段，叫做这点到已知直线的垂线段.
从直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离.
垂线段最短
点到直线的距离(共20张PPT)
课程讲授
新知导入
随堂练习
课堂小结
5.1 相交线
5.1.2 垂 线
第五章 相交线与平行线
第1课时 垂 线
知识要点
1.垂直的定义
2.垂线的画法及性质
新知导入
看一看：观察下图中两条直线的位置，试着发现它们的规律.
课程讲授
1
垂直的定义
问题1：观察下列木棒的运动过程，试着归纳其中角的变化规律.
当木棒的位置变化时,两根木棍所成的角的角度也会发生变化.
课程讲授
1
垂直的定义
问题1：在木棒的运动过程，如图，当∠AOC＝90°时，∠BOD，∠AOD，∠BOC等于多少度？为什么？
A
B
C
D
O
由对顶角和邻补角的性质，知当∠AOC＝90°时，∠BOD=∠AOD=∠BOC=90°.
课程讲授
1
垂直的定义
定义：两条直线相交成四个角，如果有一个角是直角，
那么称这两条直线互相垂直. 其中一条直线叫做另一
条直线的垂线.
O
A
B
C
D
课程讲授
1
垂直的定义
O
A
B
C
D
垂直用符号 “⊥”来表示，读作“垂直于”.
如“直线AB垂直于直线CD”，就记作“AB⊥CD”.
交点O叫做垂足.
垂直是相交的特殊情况.
课程讲授
1
垂直的定义
O
A
B
C
D
如图，当直线AB与CD相交于O点，∠AOD=90°时，AB⊥CD，垂足为O.
符号语言：
①判定：∵∠AOD=90°（已知）
∴AB⊥CD（垂直的定义）
反之，若直线AB与CD垂直，垂足为O，那么，∠AOD=90°.
课程讲授
1
垂直的定义
②性质：∵ AB⊥CD （已知） ∴ ∠AOD=90° （垂直的定义）
(∠AOC=∠BOC=∠BOD=90°)
O
A
B
C
D
课程讲授
1
垂直的定义
如图，已知点O在直线AB上，CO⊥DO于点O，若∠1＝145°，则∠3的度数为( )
A．35°
B．45°
C．55°
D．65°
练一练：
C
课程讲授
2
垂线的画法及性质
问题1：画已知直线l的垂线能画几条
问题2：过直线l上的一点A画l的垂线,这样的垂线能画几条
问题3：过直线l外的一点B画l的垂线,这样的垂线能画几条
A
.B
l
.
课程讲授
2
垂线的画法及性质
1.贴
2.靠
3.画
l
问题1：画已知直线l的垂线能画几条
A
无数条
课程讲授
2
垂线的画法及性质
l
A
B
问题2：过直线l上的一点A画l的垂线,这样的垂线能画几条
一条
课程讲授
2
垂线的画法及性质
l
B
问题3：过直线l外的一点B画l的垂线,这样的垂线能画几条
一条
课程讲授
2
垂线的画法及性质
归纳 垂线的性质：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.
（1）“过一点”中的点，可以在已知直线上，也可以在
已知直线外；
注意：
（2）“有且只有”中，“有”指存在，“只有”指唯一性.
随堂练习
1.两条直线相交所成的四个角中，下列条件中能判定两条直线垂直的是( )
A. 有两个角相等
B.有两对角相等
C. 有三个角相等
D.有四对邻补角
C
随堂练习
2.在同一平面内，下列语句正确的是( )
A．过一点有无数条直线与已知直线垂直
B．和一条直线垂直的直线有两条
C．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
D．若两直线相交，则它们一定垂直
C
随堂练习
3.如图，如果直线ON⊥直线a，直线OM⊥直线a，那么OM与ON重合(即O，M，N三点共线)，其理由是( )
A．两点确定一条直线
B．在同一平面内，过两点有且只
有一条直线与已知直线垂直
C．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已
知直线垂直
D．两点之间，线段最短
C
随堂练习
4.如图，已知直线AB，CD都经过O点，OE为射线，若∠1＝35°,∠2＝55°，则OE与AB的位置关系是 .
C
A
B
O
E
1
2
垂直
课堂小结
垂线
垂直的定义
垂线的画法及性质
当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，这两条直线互相垂直，其中一条直线叫另一条直线的垂线，它们的交点叫垂足.
在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直(共19张PPT)
5.1 相交线
5.1.1 相交线
第五章 相交线与平行线
课程讲授
新知导入
随堂练习
课堂小结
知识要点
1.邻补角的定义和性质
2.对顶角的定义和性质
新知导入
看一看：观察下图中的角，试着发现它们的规律。
课程讲授
1
邻补角的定义和性质
问题1：剪刀剪东西的过程中，∠AOC和∠AOD这两个角的位置保持怎样的关系？
A
O
C
B
D
∠AOC和∠AOD有一条公共
边，它们的另一边互为反向延长
线.
课程讲授
1
邻补角的定义和性质
A
O
C
B
D
1
3
2
4
定义：如图直线AB与CD相交于点O，∠1和∠2有一
条公共边，它们的另一边互为反向延长线.那么这两
个角互为邻补角.
∠2与∠3，∠3与∠4，∠1与∠4都是邻补角.
课程讲授
1
邻补角的定义和性质
练一练：
下列选项中，∠1与∠2互为邻补角的是( )
D
课程讲授
1
邻补角的定义和性质
归纳： 在上学期我们已经知道互为补角的两个角的和为180°，所以
邻补角的性质为:
邻补角互补，即互为邻补角的两个角之和为180°.
课程讲授
1
邻补角的定义和性质
练一练：
（中考·柳州）如图，∠α的度数等于( )
A．135°
B．125°
C．115°
D．105°
A
课程讲授
2
对顶角的定义和性质
问题2：请你猜一猜，剪刀剪东西的过程中，∠AOC和∠BOD这两个角的位置保持怎样的关系？
A
O
C
B
D
∠AOC和∠BOD有一个公共
顶点，并且∠AOC的两边分别是∠BOD的两边的反向延长线.
课程讲授
2
对顶角的定义和性质
A
O
C
B
D
1
3
2
4
定义：如图直线AB与CD相交于点O，∠1和∠3有一
个公共顶点，并且∠1的两边分别是∠3的两边的反向延长线.那么这两个角互为对顶角.
∠2与∠4也是对顶角.
课程讲授
2
对顶角的定义和性质
想一想：∠1 与∠3在数量上又有什么关系呢？
猜想：∠1=∠3
A
O
C
B
D
1
3
2
4
解：∵直线AB与CD相交于O点,
∴∠1+∠2=180°
∠2+∠3=180°，
∴∠1=∠3.
同理可得∠2=∠4.
课程讲授
2
对顶角的定义和性质
A
O
C
B
D
1
3
2
4
对顶角性质：对顶角相等.
数学语言：∵直线AB与CD相交于O点，
∴∠1=∠3，∠2=∠4.
课程讲授
2
对顶角的定义和性质
例 如图，直线a,b相交,∠1=40°,求 ∠2,∠3,∠4的度数.
4
2
1
3
解: 由邻补角的定义，得
∠2=180°－∠1＝180°－40°＝140°.
由对顶角相等，得
∠3=∠1=40°，
∠4=∠2=140°.
课程讲授
2
对顶角的定义和性质
练一练：已知∠α和∠β是对顶角，若∠α=30°，则∠β的度数为( )
A.30°
B.60°
C.70°
D.150°
A
1. 如图，∠1的邻补角是( )
A．∠BOC
B．∠BOE和∠AOF
C．∠AOF
D．∠BOC和∠AOF
随堂练习
B
随堂练习
2.下列说法中，正确的有（ ）
①对顶角相等
②相等的角是对顶角
③不是对顶角的两个角就不相等
A．1个
B．2个
C．3个
D．0个
A
随堂练习
3.如图，直线AB、CD相交于点O，∠AOC=70°,∠2=40°,则∠1的度数为( )
A.30°
B.35°
C.40°
D.70°
A
随堂练习
4. 如图，直线AB，CD交于点O，下列说法中，错
误的是( )
A．∠AOC与∠BOD是对顶角
B．∠AOE与∠BOE是邻补角
C．∠DOE与∠BOC是对顶角
D．∠AOD与∠BOC都是∠AOC的邻补角
C
课堂小结
相交线
邻补角的定义和性质
对顶角的定义和性质
有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线.
邻补角互补
有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线.
对顶角相等
