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【北师大版七年级数学（下）单元测试卷】
第四章 三角形
一.选择题：（每小题3分共30分）
1．以下列各组数据为边长，能组成三角形的是（）
A．1，2，3 B．3，4，5 C．4，4，8 D．3，10，4
解：A、1+2=3，不符合三角形三边关系，错误；
B、3+4＞5，成立；
C、4+4=8，不符合三角形三边关系，错误；
D、3+4＜10，不符合三角形三边关系，错误；
故选择B．
2．如图，某同学把一块三角形的玻璃块打碎成了3块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的方法是（ ）
A．带①去 B．带②去 C．带③去 D．带①②去
解：第一块和第二块只保留了原三角形的一个角和部分边，根据这两块中的任一块均不能配一块与原来完全一样的；
第三块不仅保留了原来三角形的两个角还保留了一边，则可以根据ASA来配一块一样的玻璃．应带③去．
故选C．
3．已知图中的两个三角形全等，则∠α的度数是（ ）
A．72° B．60° C．58° D．50°
解：∵两个三角形全等，
∴∠α的度数是72°．
故选：A．
4．如图，在中，D，E分别是边，上的点，若，则的度数为（）
A． B． C． D．
解∵，∠DEB+∠DEC=180°，
∴，
又∵，
∴
∴，
即
故选：D．
5．如图，AB=AD，BC=CD，那么图中全等的三角形有（ ）
A．1对 B．2对 C．3对 D．4对
解：如图，令与的交点为
①在和中
∵
∴
∴
②在和中
∵
∴
∴
③在和中
∵
∴
∴全等三角形共有3对
故选C．
6．如图，，，则判定和全等的依据是（ ）
A． B． C． D．
解：∵在和中，
∴．
故选：B．
7．根据下列己知条件，能画出唯一的的是（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
解:A、此三条线段不能围成一个三角形，故不能画出；
B、已知两边的长和其中AB边的对角，根据全等三角形的判定方法是不能画出三角形；
C、已知两个角和这两个角的夹边，根据ASA判定定理可以画出三角形；
D、已知三个角，根据两个三角形全等的判定方法，可心画出这个三角形，但画出的这样的三角形有无数个，故不合题意；
故唯一可以画出三角形的只有选项C符合题意；
故选：C．
8．如图，E为线段BC上一点，∠ABE=∠AED=∠ECD=90°，AE=ED，BC=20，AB=8，则BE的长度为（ ）
A．12 B．10 C．8 D．6
解：由题意可知：∠ABE=∠AED=∠ECD=90°，
，，
，
在和中，
，
，
，
故选：A．
9．如图，∠BAD＝90°，AC平分∠BAD，CB＝CD，则∠B与∠ADC满足的数量关系为（ ）
A．∠B＝∠ADC B．2∠B＝∠ADC
C．∠B+∠ADC＝180° D．∠B+∠ADC＝90°
解：在射线AD上截取AE＝AB，连接CE，如图所示：
∵∠BAD＝90°，AC平分∠BAD，
∴∠BAC＝∠EAC，
在△ABC与△AEC中，
，
∴△ABC≌△AEC（SAS），
∴BC＝EC，∠B＝∠AEC，
∵CB＝CD，
∴CD＝CE，
∴∠CDE＝∠CED，
∴∠B＝∠CDE，
∵∠ADC+∠CDE＝180°，
∴∠ADC+∠B＝180°．
故选：C．
10．如图，D为∠BAC的外角平分线上一点，过D作DE⊥AC于E，DF⊥AB交BA的延长线于F，且满足∠FDE＝∠BDC，则下列结论：①△CDE≌△BDF；②CE＝AB+AE；③∠BDC＝∠BAC；④∠DAF＝∠CBD．其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
解：∵AD平分∠CAF，DE⊥AC，DF⊥AB，
∴DE＝DF，∠DFB＝∠DEC＝90°，
∵∠FDE＝∠BDC，
∴∠FDB＝∠EDC，
在△CDE与△BDF中，
，
∴△CDE≌△BDF（AAS），
故①正确；
∴CE＝BF，
在Rt△ADE与Rt△ADF中，
，
∴Rt△ADE≌Rt△ADF（HL），
∴AE＝AF，
∴CE＝AB+AF＝AB+AE，
故②正确；
∵∠DFA＝∠DEA＝90°，
∴∠EDF+∠FAE＝180°，
∵∠BAC+∠FAE＝180°，
∴∠FDE＝∠BAC，
∵∠FDE＝∠BDC，
∴∠BDC＝∠BAC，
故③正确；
∵∠FAE是△ABC的外角，
∴2∠DAF＝∠ABC+∠ACB＝∠ABD+∠DBC+∠ACB，
∵Rt△CDE≌Rt△BDF，
∴∠ABD＝∠DCE，BD＝DC，
∴∠DBC＝∠DCB，
∴2∠DAF＝∠DCE+∠DBC+∠ACB＝∠DBC+∠DCB＝2∠DBC，
∴∠DAF＝∠CBD，
故④正确
故选：D．
二.填空题:(每小题3分共15分)
11．如图，己知，请添加一个条件，使得则添加的条件可以是：__________．（不添加其他字母及辅助线）
解：添加的条件是AB＝DE或∠ACB＝∠DFE，
理由如下：∵BF＝CE，
∴BF+FC＝CE+FC，
即BC＝EF，
①在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（SSS）；
②在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（SAS）；
故答案为：AB＝DE或∠ACB＝∠DFE．
12．如图，已知AB=AD，∠1=∠2，不添加任何辅助线，请你添加一个适当的条件______，使得△ABC≌△ADE（写一种情况即可）
解：∵∠1=∠2，
∴∠1+∠DAC=∠2+∠DAC，
∴∠BAC=∠DAE，
∴若AC=AE，则△ABC≌△ADE（SAS）；
若∠B=∠D，则△ABC≌△ADE（ASA）；
若∠ACB=∠∠AED，则△ABC≌△ADE（AAS）；
故答案为：AC=AE．
13．如图，，，，那么____________°
解：∵，
∴，
∵，
∴．
故答案为：29
14．如图，的度数为___________．
解：∵ABC≌ADE，
∴∠EAD＝∠CAB，
∴∠EAD﹣∠CAD＝∠CAB﹣∠CAD，
∴∠EAC＝∠DAB，
∵∠EAB＝125°，∠CAD＝25°，
∴∠DAB＝∠EAC=（125°﹣25°）＝50°，
∴∠BAC＝50°+25°＝75°．
故答案为：75°．
15．如图，AD是△ABC的中线，∠ADB与∠ADC的平分线分别交AB，AC于点E，F，M是AD上的一点，且DM＝DB．则给出下列结论：
①S△ABD＝S△ACD；②∠EDF＝90°；③MF＝BE；④BE+CF＞EF．
其中正确的是______（把所有正确的答震的序号都填在横线上）
解：如图，过A作AH⊥BC于H，
∵AD是△ABC的中线，
∴BD＝CD，
∴S△ABD＝BD AH，S△ACD＝CD AH，
∴S△ABD＝S△ACD；故①正确；
∵DE平分∠ADB，DF平分∠ADC，
∴∠ADE＝∠ADB，∠ADF＝∠ADC，
∵∠ADB+∠ADC＝180°，
∴∠EDF＝∠ADE+∠ADF＝（∠ABD+∠ADC）＝90°，
故②正确；
没有条件能够证明MF＝BE，故③错误；
延长ED到G，使DE＝DG，连接CG，FG，
∵AD是△ABC的中线，
∴BD＝DC，
∵∠BDE＝∠CDG，
∴∠FDC+∠CDG＝90°，
即∠EDF＝∠FDG，
在△EFD和△GFD中，，
∴△EFD≌△GFD（SAS），
∴EF＝FG，
在△BDE和△CDG中，，
∴△BDE≌△CDG（SAS），
∴BE＝CG，
在△CFG中，由三角形三边关系定理得：CF+CG＞FG，
∵CG＝BE，FG＝EF，
∴BE+CF＞EF．故④正确．
故答案为：①②④．
三.解答题:(共55分)
16．(6分)如图，点A、F、C、D在同一各直线上．AB∥DE．AB＝DE，AF＝DC．求证：△ABC≌△DEF．
证明：∵ABDE，
∴∠A＝∠D，
∵AF＝DC，
∴AF+CF＝DC+CF，
即AC＝DF，
在△ABC和△DEF中
，
∴△ABC≌△DEF（SAS）．
17．(6分)如图，已知DO＝BO，∠A＝∠C，求证：AO＝CO．
证明：在△ADO和△CBO中，
，
∴△ADO≌△CBO（AAS），
∴AO＝CO．
18．(9分)某数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题：如图，在中，AB＝6，AC＝8，D是BC的中点，求BC边上的中线AD的取值范围．
小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到E，使DE＝AD，请补充完整证明“△ABD≌△ECD”的推理过程．
(1)求证：△ABD≌△ECD
证明：延长AD到点E，使DE＝AD
在△ABD和△ECD中
∵AD＝ED（已作）
∠ADB＝∠EDC（ ）
CD＝ （中点定义）
∴△ABD≌△ECD（ ）
(2)由（1）的结论，根据AD与AE之间的关系，探究得出AD的取值范围是 ；
(3)【感悟】解题时，条件中若出现“中点”“中线”等字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中．
【问题解决】
如下图，中，，，AD是的中线，，，且，求AE的长．
(1)解:延长AD到点E，使DE＝AD
在△ABD和△ECD中
∵AD＝ED（已作）
∠ADB＝∠EDC（对顶角相等）
CD＝BD（中点定义）
∴△ABD≌△ECD（SAS）
故答案为：对顶角相等；BD；SAS
(2)解:∵△ABD≌△ECD ，AB＝6，AC＝8，
，
，
，故答案为；
(3)解:延长AD交EC的延长线于F，
，，
，
在和中，
，
≌，
，，
又∵∠FDE＝∠ADE＝90°
ED＝ED
∴△ADE≌△FDE
，
，
．
19．(8分)如图，点C是线段的中点，，．
(1)求证：；
(2)当，时，求的度数．
(1)证明：∵点C是线段的中点，
∴BC=CE，
在与中，
∴AC=DE；
(2)解：，
，，
．
20．(8分)如图，在和中，与相交于点F，且，，连接．
(1)求证：；
(2)求证：．
(1)解：在Rt△ABC和Rt△ADE中，
∴Rt△ABC≌Rt△ADE
∴
∴
∴；
(2)在△ADC和△ABE中，
∴
∴
又∵Rt△ABC≌Rt△ADE，
∴
∴
∴
在△DFC和△BFE中
∴△DFC≌△BFE，
∴．
21．(8分)如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分别为D，E．
(1)求证：；
(2)若AD＝12，DE＝7，求△CBE的面积．
(1)解：∵，
∴
又∵，
∴，
∴
∴
∵
∴，
∴，
在△ACD与△CBE中
∵
；
(2)解：由（1）得
∴，
∵，
∴，
∴
∴．
22．(10分)如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于点D，BE⊥MN于点E．
(1)当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，求证：①△ADC≌△CEB；②DE＝AD+BE；
(2)当直线MN绕点C旋转到如图2所示的位置时，求证：DE＝AD﹣BE；
(3)当直线MN绕点C旋转到如图3所示的位置时，试问DE，AD，BE具有怎样的数量关系？请直接写出这个等量关系，不需要证明．
(1)解：①，，
，
，，
，
在和中，
，
；
②，
，，
；
(2)解：证明：，，
，
，
在和中，
，
；
，，
；
(3)解：当旋转到题图（3）的位置时，，，所满足的等量关系是：．
理由如下：，，
，
，
在和中，
，
，
，，
．
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【北师大版七年级数学（下）单元测试卷】
第四章 三角形
一.选择题：（每小题3分共30分）
1．以下列各组数据为边长，能组成三角形的是（）
A．1，2，3 B．3，4，5 C．4，4，8 D．3，10，4
2．如图，某同学把一块三角形的玻璃块打碎成了3块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的方法是（ ）
A．带①去 B．带②去 C．带③去 D．带①②去
3．已知图中的两个三角形全等，则∠α的度数是（ ）
A．72° B．60° C．58° D．50°
4．如图，在中，D，E分别是边，上的点，若，则的度数为（）
A． B． C． D．
5．如图，AB=AD，BC=CD，那么图中全等的三角形有（ ）
A．1对 B．2对 C．3对 D．4对
6．如图，，，则判定和全等的依据是（ ）
A． B． C． D．
7．根据下列己知条件，能画出唯一的的是（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
8．如图，E为线段BC上一点，∠ABE=∠AED=∠ECD=90°，AE=ED，BC=20，AB=8，则BE的长度为（ ）
A．12 B．10 C．8 D．6
9．如图，∠BAD＝90°，AC平分∠BAD，CB＝CD，则∠B与∠ADC满足的数量关系为（ ）
A．∠B＝∠ADC B．2∠B＝∠ADC
C．∠B+∠ADC＝180° D．∠B+∠ADC＝90°
10．如图，D为∠BAC的外角平分线上一点，过D作DE⊥AC于E，DF⊥AB交BA的延长线于F，且满足∠FDE＝∠BDC，则下列结论：①△CDE≌△BDF；②CE＝AB+AE；③∠BDC＝∠BAC；④∠DAF＝∠CBD．其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二.填空题:(每小题3分共15分)
11．如图，己知，请添加一个条件，使得则添加的条件可以是：__________．（不添加其他字母及辅助线）
12．如图，已知AB=AD，∠1=∠2，不添加任何辅助线，请你添加一个适当的条件______，使得△ABC≌△ADE（写一种情况即可）
13．如图，，，，那么____________°
14．如图，的度数为___________．
15．如图，AD是△ABC的中线，∠ADB与∠ADC的平分线分别交AB，AC于点E，F，M是AD上的一点，且DM＝DB．则给出下列结论：
①S△ABD＝S△ACD；②∠EDF＝90°；③MF＝BE；④BE+CF＞EF．
其中正确的是______（把所有正确的答震的序号都填在横线上）
三.解答题:(共55分)
16．(6分)如图，点A、F、C、D在同一各直线上．AB∥DE．AB＝DE，AF＝DC．求证：△ABC≌△DEF．
17．(6分)如图，已知DO＝BO，∠A＝∠C，求证：AO＝CO．
18．(9分)某数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题：如图，在中，AB＝6，AC＝8，D是BC的中点，求BC边上的中线AD的取值范围．
小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到E，使DE＝AD，请补充完整证明“△ABD≌△ECD”的推理过程．
(1)求证：△ABD≌△ECD
证明：延长AD到点E，使DE＝AD
在△ABD和△ECD中
∵AD＝ED（已作）
∠ADB＝∠EDC（ ）
CD＝ （中点定义）
∴△ABD≌△ECD（ ）
(2)由（1）的结论，根据AD与AE之间的关系，探究得出AD的取值范围是 ；
(3)【感悟】解题时，条件中若出现“中点”“中线”等字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中．
【问题解决】
如下图，中，，，AD是的中线，，，且，求AE的长．
19．(8分)如图，点C是线段的中点，，．
(1)求证：；
(2)当，时，求的度数．
20．(8分)如图，在和中，与相交于点F，且，，连接．
(1)求证：；
(2)求证：．
21．(8分)如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分别为D，E．
(1)求证：；
(2)若AD＝12，DE＝7，求△CBE的面积．
22．(10分)如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于点D，BE⊥MN于点E．
(1)当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，求证：①△ADC≌△CEB；②DE＝AD+BE；
(2)当直线MN绕点C旋转到如图2所示的位置时，求证：DE＝AD﹣BE；
(3)当直线MN绕点C旋转到如图3所示的位置时，试问DE，AD，BE具有怎样的数量关系？请直接写出这个等量关系，不需要证明．
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