华东师大版九年级数学上册第24章解直角三角形达标检测卷（Word版，附答案）

华东师大版九年级数学上册 第24章 达标检测卷
(限时: 120分钟 满分: 100分)
班级： 姓名： 得分：
一、选择题(每题3分，共24分)
1．在△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，则cos A的值是(　　)
A. B. . D.
2．如图，一艘船向东航行，上午8时到达A处，测得一灯塔B在船的北偏东30°方向，且距离船48 n mile；上午11时到达C处，测得灯塔在船的正北方向，则这艘船航行的速度为(　　)
A．24 n mile/h B．8n mile/h
C．24 n mile/h D．8 n mile/h
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(第2题)　　　　 (第5题)　　　　 (第7题)
3．点M(－sin 60°，cos 60°)关于x轴对称的点的坐标是(　　)
A. B. C. D.
4．在△ABC中，AB＝12，AC＝13，cos B＝，则BC＝(　　)
A．7 B．8 C．8或17 D．7或17
5. 如图是我们经常看到的一种折叠桌子的示意图，它是由下面的支架AD，BC与桌面构成的，已知OA＝OB＝OC＝OD＝20 cm，∠COD＝60°，则点A到地面(CD所在的平面)的距离是(　　)
A．30 cm B．60 cm C．40 cm D．60 cm
6．已知等腰三角形ABC中，AB＝AC＝，底角为30°，动点P从点B向点C运动，当运动到PA与一腰垂直时BP长为(　　)
A．1 B．1或3 C．1或2 D.
7．如图，某梯子长10 m，斜靠在竖直的墙面上，当梯子与水平地面所成角为α时，梯子顶端靠在墙面上的点A处，底端落在水平地面的点B处，现将梯子底端向墙面靠近，使梯子与地面所成角为β，已知sin α＝cos β＝，则梯子顶端上升了(　　)
A．1 m B．1.5 m
C．2 m D．2.5 m
8．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3 cm，BC＝4 cm，D从A出发沿AC方向以1 cm/s向终点C匀速运动，过点D作DE∥AB交BC于点E，过点E作EF⊥BC交AB于点F，当四边形ADEF为菱形时，点D运动的时间为(　　)
A. s B. s C. s D. s
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(第8题)　　 　 (第10题)　　　 (第11题)
二、填空题(每题3分，共18分)
9．求值：sin 60°－tan 30°＝________．
10．把一块直尺与一块三角尺按如图所示方式放置，若sin∠1＝，则∠2的度数为________．
11．如图，一根竖直的木杆在离地面3.1 m处折断，木杆顶端落在地面上，且与地面成38°角，则木杆折断之前高度约为______m．(参考数据：sin 38°≈0.62，cos 38°≈0.79，tan 38°≈0.78)
12．如图，一束光线照在坡度为1∶ 的斜坡上，被斜坡上的平面镜反射成与地面平行的光线，则这束光线与坡面的夹角α是________度．
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(第12题) 　　 　 (第13题)　　 　 (第14题)
13．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为点D，若AD＝BC，则cos B＝______．
14．如图，AB＝6，O是AB的中点，直线l经过点O，∠1＝120°，P是直线l上一点，当△APB为直角三角形时，AP＝______________．
三、解答题(15题8分 ，16～20题每题10分，共58分)
15. 计算：
(1)4sin 30°－cos 45°－tan 30°＋2sin 60°；
(2).
16. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，∠A＝30°，BC＝2.
INCLUDEPICTURE"M26.tif" INCLUDEPICTURE "D:\\方正转Word\\9HS全国\\M26.tif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "F:\\22秋\\9数全国HS\\点训九数上HS文件\\M26.tif" \* MERGEFORMATINET
(第16题)
(1)求AB的长度；
(2)求△ABC的面积；
(3)求CD的长度．
17. 小明想测量一棵树AB的高度，他发现树的影子恰好落在地面和一斜坡上，如图，此时测得地面上的影长BF为8 m，坡面上的影长CF为4 m．已知斜坡的坡角为30°，同一时刻，一根长为1 m且垂直于地面放置的标杆在地面上的影长为2 m，求树AB的高度．
INCLUDEPICTURE"二改+43.tif" INCLUDEPICTURE "D:\\方正转Word\\9HS全国\\二改+43.tif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "F:\\22秋\\9数全国HS\\点训九数上HS文件\\二改+43.tif" \* MERGEFORMATINET
(第17题)
18. 如图，为测量某观光塔的高度，一人先在附近一楼房的底端点A处观测观光塔顶端C处的仰角是60°，然后爬到该楼房顶端点B处观测观光塔底部D处的俯角是30°.已知楼房高AB约是45 m，求观光塔的高CD是多少米．
INCLUDEPICTURE"M27.tif" INCLUDEPICTURE "D:\\方正转Word\\9HS全国\\M27.tif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "F:\\22秋\\9数全国HS\\点训九数上HS文件\\M27.tif" \* MERGEFORMATINET
(第18题)
19. 定义：在△ABC中，我们把∠A的对边与∠C 的对边的比叫做∠A的邻弦，记作thi A，即thi A＝＝.请解答下列问题：
已知在△ABC中，∠C＝30°.
(1)若∠A＝45°，求thi A的值；
(2)若thi A＝ ，则∠A＝________；
(3)若∠A是锐角，探究thi A与sin A的数量关系．
20．如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AB≠CD，∠BCD＝90°，且AB＝1，BC＝2，tan ∠ADC＝2.
(1)求证：DC＝BC；
(2)E是四边形ABCD内一点，F是四边形ABCD外一点，且∠EDC＝∠FBC，DE＝BF，试判断△ECF的形状，并证明你的结论；
(3)在(2)的条件下，当BE∶CE＝1∶2，∠BEC＝135°时，求sin ∠BFE.
INCLUDEPICTURE"HS39.tif" INCLUDEPICTURE "D:\\方正转Word\\9HS全国\\HS39.tif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "F:\\22秋\\9数全国HS\\点训九数上HS文件\\HS39.tif" \* MERGEFORMATINET
(第20题)
答案
一、1.D　2.D　3.B　4.D　5.D　6.C　7.C
8．D　点拨：设经过t s后，四边形ADEF是菱形，
∴AD＝DE＝t cm，DE∥AB，
∴CD＝(3－t)cm，∠ABC＝∠DEC，
∵∠C＝90°，AC＝3 cm，BC＝4 cm，
∴AB＝＝＝5(cm)．
∵sin∠DEC＝sin∠ABC＝＝，
∴＝，∴t＝.
二、9.　10.135°　11.8.1　12.30
13.　点拨：设AD＝BC＝x，∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，
∴∠A＋∠ACD＝∠ACD＋∠BCD＝90°，∴∠A＝∠BCD.又∠B＝∠B，∴△ABC ∽△CBD，∴＝，即＝，∴BD＝x(负根已经舍弃)，∴cos B＝＝.
14．3或3或3　点拨：当∠APB＝90°时，分两种情况讨论．情况一：如图①，∵O是AB的中点，∠APB＝90°，∴PO＝BO＝AO，∵∠1＝120°，∴∠AOP＝60°，∴△AOP为等边三角形，∴AP＝OA＝AB＝3；情况二：如图②，∵O是AB的中点，∠APB＝90°，∴PO＝BO，∵∠1＝120°，∴∠BOP＝60°，∴△BOP为等边三角形，∴∠OBP＝60°，∴AP＝AB·sin 60°＝6×＝3；当∠BAP＝90°时，如图③，∵O是AB的中点，∴OA＝OB＝AB＝3.∵∠1＝120°，∴∠AOP＝60°，∴AP＝OA·tan∠AOP＝3×＝3；当∠ABP＝90°时，如图④，∵∠1＝120°，∴∠BOP＝60°.∵O是AB的中点，∴OB＝AB＝3，∴PB＝OB·tan∠BOP＝3×＝3，
∴PA＝＝3，故答案为3或3或3.
INCLUDEPICTURE"DA24-2.tif" INCLUDEPICTURE "F:\\22秋\\9数全国HS\\点训九数上HS文件\\DA24-2.tif" \* MERGEFORMATINET (第14题)
三、15.解：(1)原式＝4×－×－×＋2×＝2－1－1＋＝.
(2)原式＝＝＝3－2.
16．解：(1)∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，∴AB＝2BC＝4.
(2)在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝4，BC＝2，
根据勾股定理，得AC＝＝＝2，
∴S△ABC＝×BC×AC＝×2×2＝2.
(3)∵S△ABC＝×AB×CD＝2，AB＝4，
∴×4×CD＝2，解得CD＝.
17．解：延长AC交BF延长线于点D，作CE⊥BD于点E，
在Rt△CFE中，∠CFE＝30°，CF＝4 m，∴CE＝2 m，EF＝4cos 30°＝4×＝2(m)．
∵同一时刻，一根长为1 m且垂直于地面放置的标杆在地面上的影长为2 m，∴CE∶DE＝1∶2，AB∶BD＝1∶2，
∴DE＝4 m，∴BD＝BF＋EF＋ED＝(12＋2)m，
∴AB＝BD＝(12＋2)＝＋6(m)．
答：树AB的高度为(＋6)m.
18．解：由题意得∠ADB＝30°，∠CAD＝60°，
在Rt△ABD中，AD＝＝45 m.
在Rt△ACD中，CD＝AD·tan 60°＝45×＝135(m)．
答：观光塔的高CD是135 m.
19．解：(1)如图，在△ABC中，∠C＝30°，∠A＝45°.
作BH⊥AC，垂足为H.在Rt△BHC中，sin C＝＝，
即BC＝2BH.
在Rt△BHA中，sin A＝＝，
INCLUDEPICTURE"DA24-6.tif" INCLUDEPICTURE "F:\\22秋\\9数全国HS\\点训九数上HS文件\\DA24-6.tif" \* MERGEFORMATINET
(第19题)
即AB＝BH.∴thi A＝＝.
(2)60°或120°
(3)如图，在△ABC中，
∠C＝30°，thi A＝.
在Rt△BHA中，sin A＝.在Rt△BHC中，sin C＝＝，即BC＝2BH.∴thi A＝，即thi A＝2sinA.
20．(1)证明：如图，过点A作DC的垂线AM，交DC于点M，∵AB∥DC，∠BCD＝90°，∴∠ABC＝90°，
易知四边形ABCM为矩形，∴AM＝BC＝2，MC＝AB＝1.
∵tan ∠ADC＝＝2，∴DM＝AM＝1.
∴DC＝DM＋MC＝2，∴DC＝BC.
INCLUDEPICTURE"HS66.tif" INCLUDEPICTURE "F:\\22秋\\9数全国HS\\点训九数上HS文件\\HS66.tif" \* MERGEFORMATINET
(第20题)
(2)解：△ECF是等腰直角三角形．
证明：如图，∵DE＝BF，∠EDC＝∠FBC，DC＝BC，
∴△DEC ≌△BFC，∴∠1＝∠3，EC＝FC.
∴∠3＋∠2＝∠1＋∠2＝90°.
∴△ECF为等腰直角三角形．
(3)解：在(2)的条件下，∠CEF＝45°，
∵∠BEC＝135°，∴∠BEF＝135°－45°＝90°.
∵BE∶CE＝1∶2，∴设BE＝k，CE＝2k，易知EF＝2k，∴BF＝＝＝3k.
在Rt△BEF中，sin ∠BFE＝＝＝.
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