2021-2022学年高一下学期数学人教A版(2019）必修第二册8.2立体图形的直观图课件 (共26张PPT)

(共26张PPT)
A
B
C
D
A1
A1
A1
B1
B1
B1
C1
C1
C1
D1
D1
E1
A
B
C
A
B
C
D
E
8.2 立体图形的直观图
前面我们认识了柱体、锥体、台体、球以及简单组合体的结构特征。为了将这些空间几何体画在纸上，用平面图形表示出来，使我们能够根据平面图形想象空间几何体的形状和结构，这就需要我们学习直观图的有关知识。
直观图是观察者站在某一点观察一个空间几何体获得的图形。
画立体图形的直观图，实际上是把不完全在同一平面内的点的集合，用同一平面内的点表示。
因此，直观图往往与立体图形的真实形状不完全相同，在立体几何中，立体图形的直观图通常是在平行投影下得到的平面图形。
要画立体图形的直观图，首先要学会画水平放置的平面图形。
（一）水平放置的平面图形的画法
思考1：把一个矩形水平放置，从适当的角度观察，给人以平行四边形的感觉，如图.比较两图，其中哪些线段之间的位置关系、数量关系发生了变化？哪些没有发生变化？
斜二测画法的步骤：
(1)在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴相交于点O.画直观图时，把它们画成对应的x′轴与y′轴，两轴交于点O′，且使∠x′o′y′=45°（或135°），它们确定的平面表示水平面．
(2)已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成平行于x′轴或y′轴的线段．
(3)已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段，在直观图中长度为原来的一半．
小结：“横同，纵半， ”
(在坐标系x′O′y′中)
思考2:把一个直角梯形水平放置，得其直观图如图，比较两图，其中哪些线段之间的位置关系、数量关系发生了变化？哪些没有发生变化？
我们通过下面的例题一起来分析.
例1：用斜二测画法画水平放置的正六边形的直观图.
注意：画水平放置的平面图形的关键是确定多边形顶点的位置．
画法：(1)在正六边形ABCDEF中，取AD所在直线为x轴，对称轴MN所在直线为y轴，两轴交于点O．画相应的x′轴，y′轴，两轴相交于点O′，使∠x′o′y′= 45°.
建系时要尽量考虑图形的对称性
(2)以O′为中点，在x′轴上取A′D′=AD，在y′轴上取
以点N′为中点，画B′C′∥x′轴，并且等于BC；再以M′为中点，画E′F′∥x′轴，并且等于EF.
注意：水平放置的线段长不变，竖直放置的线段长变为原来的一半．
并擦去辅助线x′轴和y′轴，便获得正六边形ABCDEF水平放置的直观图
(3)连接
在直观图中“变”的量与“不变”量
不变的：平行关系，与x轴平行或重合的线段长度
变化的：垂直关系，角的大小，其他线段的长度
简记为：
斜二测画法要点剖析
“横同纵半，平行性不变”
思考3:斜二测画法可以画任意多边形水平放置的直观图，如果把一个圆水平放置，看起来像什么图形？在实际画图时用什么方法？
斜二测画法
画水平放置的圆的直观图.
C
O
x
y
D
A
B
E
F
G
H
生活经验告诉我们，水平放置的圆看起来非常像椭圆，立体几何中，我们常用正等测画法画水平放置的圆，在实际画水平放置的圆的直观图时常用下图所示的椭圆模板。
实际画图时，只要先画椭圆的轴，然后利用椭圆模板或徒手画出一个近似椭圆即可.
(二) 空间几何体的直观图的画法
思考1:对于柱、锥、台等几何体的直观图，可用斜二测画法或椭圆模板画出一个底面，我们能否再用一个坐标确定底面外的点的位置？
x
o
y
画法：（1）画轴.画x轴、y轴、z轴，三轴交于点O，使∠xOy=45°，∠xOz=90°.
（2）画底面.以点O为中心，在x轴上取线段MN，使MN=____cm；在y轴
上取线段PQ，使PQ=_____cm，
分别过点M和N作y轴的平行线，
过点P和Q作x轴的平行线，设
它们的交点分别为A，B，C，D，
四边形ABCD就是长方体的底面ABCD.
3
1
例2：用斜二测画法画长、宽、高分别是3cm、2cm、
1.5cm的长方体ABCD-A′B′C′D′的直观图.
(3)画侧棱.过A，B，C，D各点分别作z轴的平行线，并在这些平行线上分别截取1.5cm长的线段AA′，BB′，CC′，DD′.
思考3：怎样画底面是正三角形，且顶点在底面上的投影是底面中心的三棱锥？
M
z
B
C
A
S
y
O
x
B
C
A
S
A
B
C
思考2:画几何体的直观图大致可分几个步骤进行？
画轴
→
画底面
成图
→
画侧棱
→
斜二测画法的步骤：
(1)在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴相交于点O.画直观图时，把它们画成对应的x′轴与y′轴，两轴交于点O′，且使∠x′o′y′=45°（或135°），它们确定的平面表示水平面．
(2)已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成平行于x′轴或y′轴的线段．
(3)已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段，在直观图中长度为原来的一半．
小结：“横同，纵半， ”
(在坐标系x′O′y′中)
常用的一些空间图形的平面画法
例3：已知圆柱的底面半径为1cm，侧面母线长3cm，画出它的直观图.
画圆柱、圆锥、球的直观图
画轴→画下底面→画上底面→画母线→成图
圆锥的直观图：先画圆锥的底面．再借助于圆锥的轴确定圆锥的顶点，最后画出两侧的两条母线.
球的直观图：画出球的轮廓线，它是一个圆.同时还经常画出经过球心的截面圆，它们的直观图是椭圆，用以衬托球的立体性.
z
A
B
A′
B′
o
x
O`
x′
例4：某简单组合体由上下两部分组成，下部是一个圆柱，上部是一个圆锥，圆锥的底面与圆柱的上底面重合，画出这个组合体的直观图.
P
直观图
画简单组合体的直观图
3.平面图形的实际面积与直观图面积的关系：
2.用斜二测画法画空间几何体的直观图
1.用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图
“横同纵半，平行性不变”
平行依旧垂改斜，横等纵半竖不变，
眼见为实遮为虚，空间观感好体现
小结：
学以致用：一水平放置的平面四边形OABC，用斜二测画法画出它的直观图O′A′B′C′如图所示，此直观图恰好是一个边长为1的正方形，则原平面四边形OABC面积为________
x′
y′
O′
A′
B′
C′
原图→直观图：
直观图→原图：
在x′O′y′坐标系中横同，纵半，45°
在xOy坐标系中横同，纵倍，90°
小结：
注：若一个平面多边形的面积为S原，斜二测画法得到直观图的面积为S直，则 S原＝ S直， 即S直＝ S原
学以致用：
C
学以致用：
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