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【2022春人教版数学八年级下册课时精练】
18.2.1 矩形（第1课时）
班级：________ 姓名：________
一、选择题（共5道题，每题8分，共40分）
1．已知矩形的两邻边长分别为3和4，给出结论：①该矩形的面积是6，②该矩形的对角线长是5.则这两个结论（ ）．
A．只有①是正确的 B．只有②是正确的 C．都是正确的 D．都是错误的
2．如图，矩形的两条对角线的一个交角为60°，两条对角线的长度的和为20cm，则这个矩形的一条较短边的长度为（ ）
A．10cm B．8cm C．6cm D．5cm
3．中，，D为边的中点，则的长度是（ ）
A．4.5 B．5.5 C．6.5 D．7.5
4．如图，点O是矩形ABCD的对角线AC的中点，OM//AB交AD于点M，若OM=3，BC=10，则OB的长为（ ）
A．5 B．4 C． D．
5．如图，矩形中，，P是上的一个动点，于E，于F，则的值为（ ）．
A．3.6 B．4.8 C．6 D．7.2
二、填空题（共5道题，每题8分，共40分）
6．矩形是________________的平行四边形．因此它具有平行四边形的一切性质，此外矩形还具有的性质是四个角__________和对角线_________．
7．如图，在中，，，是的中点，若的周长等于6，则__________．
8．如果把电视屏幕看作一个长方形平面，建立一个直角坐标系，若左下方的点的坐标是（0，0），右下方的点的坐标是（32，0），左上方的点的坐标是（0，28），则右上方的点的坐标是_________．
9．如图，矩形ABCD中，AB=3，对角线AC，BD相交于点O，AE垂直平分OB于点E，则AD的长为____________．
10．如图，在矩形ABCD中，AC，BD相交于点O，AE平分∠BAD交BC于点E，若∠CAE＝15°，则∠BOE的度数为____________．
三、解答题（共2道题，每题10分，共20分）
11．在矩形中,点在上,,⊥，垂足为.
（1）求证.
（2）若,且,求.
12．如图，在矩形ABCD中，AD=12，AB=7，DF平分∠ADC，AF⊥EF．
（1）求证：AF=EF；
（2）求EF长．
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【2022春人教版数学八年级下册课时精练】
18.2.1 矩形（第1课时）
班级：________ 姓名：________
一、选择题（共5道题，每题8分，共40分）
1．已知矩形的两邻边长分别为3和4，给出结论：①该矩形的面积是6，②该矩形的对角线长是5.则这两个结论（ ）．
A．只有①是正确的 B．只有②是正确的 C．都是正确的 D．都是错误的
【答案】B
【解析】根据矩形的面积公式可求出面积，根据勾股定理可求出对角线的长．
解：矩形的两邻边长分别为3和4，
该矩形的面积是，
该矩形的对角线长是，
只有②是正确的，
故选：B．
2．如图，矩形的两条对角线的一个交角为60°，两条对角线的长度的和为20cm，则这个矩形的一条较短边的长度为（ ）
A．10cm B．8cm C．6cm D．5cm
【答案】D
【解析】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴OA=OC=AC，OD=OB=BD，AC=BD，
∴OA=OB，
∵AC+BD=20，
∴AC=BD=10cm，
∴OA=OB=5cm，
∵OA=OB，∠AOB=60°，
∴△OAB是等边三角形，
∴AB=OA=5cm，
故选D．
3．中，，D为边的中点，则的长度是（ ）
A．4.5 B．5.5 C．6.5 D．7.5
【答案】C
【解析】利用勾股定理求出AB，再利用直角三角形斜边上的中线的性质解决问题即可．
解：在Rt△ACB中，∵∠ACB＝90°，AC＝5，BC＝12，
∴AB＝，
∵D为边的中点，
∴CD＝AB＝6.5．
故选：C．
4．如图，点O是矩形ABCD的对角线AC的中点，OM//AB交AD于点M，若OM=3，BC=10，则OB的长为（ ）
A．5 B．4 C． D．
【答案】D
【解析】如图所示，连接OD，先求出，然后利用勾股定理求解即可．
解：如图所示，连接OD，
∵四边形ABCD是矩形，
∴OA=OD，∠BAD=90°，
∵OM∥AB，
∴∠OMD=90°，
∴，
∴
故选D．
5．如图，矩形中，，P是上的一个动点，于E，于F，则的值为（ ）．
A．3.6 B．4.8 C．6 D．7.2
【答案】B
【解析】过点A作AG⊥BD于G，连接PO，根据勾股定理列式求出BD的长度，再根据△ABD的面积求出AG，然后根据△AOD的面积求出PE＋PF＝AG，从而得解．
解：如图，过点A作AG⊥BD于G，
设AC与BD交于点O,连接PO，
∵AB＝6，AD＝8，
∴BD＝，
∴S△ABD＝BD AG＝AB AD，
即×10 AG＝×6×8，
解得AG＝4.8，
在矩形ABCD中，AO＝OD，
∴S△AOD＝AO PE＋OD PF＝OD AG，
∴PE＋PF＝AG＝4.8．
故选：B．
二、填空题（共5道题，每题8分，共40分）
6．矩形是________________的平行四边形．因此它具有平行四边形的一切性质，此外矩形还具有的性质是四个角__________和对角线_________．
【答案】有一个角是直角 都是直角 相等
【解析】根据矩形的定义和矩形的性质解答．
解：矩形是有一个角是直角的平行四边形．因此它具有平行四边形的一切性质，还具有自己的性质：
①矩形的每个角都是直角；
②矩形的对角线相等．
故答案为：有一个角是直角，都是直角，相等．
7．如图，在中，，，是的中点，若的周长等于6，则__________．
【答案】4
【解析】根据直角三角形斜边中线等于斜边一半即可知，又因为即可判定为等边三角形，即可求出，从而可求出．
解：∵D是BC的中点，
∴，
∴为等边三角形，
∴，
解得：，
∴．
8．如果把电视屏幕看作一个长方形平面，建立一个直角坐标系，若左下方的点的坐标是（0，0），右下方的点的坐标是（32，0），左上方的点的坐标是（0，28），则右上方的点的坐标是_________．
【答案】（32，28）
【解析】解：长方形对边相等，且邻边垂直，
且右下方的点的坐标是（32，0），左上方的点的坐标是（0，28），
则右上方的横坐标为32，纵坐标为28，
故右上方点的坐标是（32，28），
故答案为 （32，28）．
9．如图，矩形ABCD中，AB=3，对角线AC，BD相交于点O，AE垂直平分OB于点E，则AD的长为____________．
【答案】
【解析】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴OB=OD，OA=OC，AC=BD，
∴OA=OB，
∵AE垂直平分OB，
∴AB=AO，
∴OA=AB=OB=3，
∴BD=2OB=6，
∴AD=．
故答案为：．
10．如图，在矩形ABCD中，AC，BD相交于点O，AE平分∠BAD交BC于点E，若∠CAE＝15°，则∠BOE的度数为____________．
【答案】
【解析】由矩形ABCD，得到OA=OB，根据AE平分∠BAD，得到等边三角形OAB，推出AB=OB，求出∠OAB、∠OBC的度数，根据平行线的性质和等角对等边得到OB=BE，根据三角形的内角和定理即可求出答案．
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，AC=BD，OA=OC，OB=OD，∠BAD=90°，
∴OA=OB，∠DAE=∠AEB，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE=∠DAE=45°=∠AEB，
∴AB=BE， ∵∠CAE=15°，
∴∠DAC=45°-15°=30°，
∠BAC=60°，
∴△BAO是等边三角形，
∴AB=OB，∠ABO=60°，
∴∠OBC=90°-60°=30°，
∵AB=OB=BE，
∴∠BOE=∠BEO=
故答案为75°．
三、解答题（共2道题，每题10分，共20分）
11．在矩形中,点在上,,⊥，垂足为.
（1）求证.
（2）若,且,求.
【答案】（1）证明见解析；（2）8
【解析】（1）利用“AAS”证△ADF≌△EAB即可得；
（2）由∠ADF+∠FDC=90°、∠DAF+∠ADF=90°得∠FDC=∠DAF=30°，据此知AD=2DF，根据DF=AB可得答案．
解：（1）证明：在矩形ABCD中，∵AD∥BC，
∴∠AEB=∠DAF，
又∵DF⊥AE，
∴∠DFA=90°，
∴∠DFA=∠B，
又∵AD=EA，
∴△ADF≌△EAB，
∴DF=AB．
（2）∵∠ADF+∠FDC=90°，∠DAF+∠ADF=90°，
∴∠FDC=∠DAF=30°，
∴AD=2DF，
∵DF=AB，
∴AD=2AB=8．
12．如图，在矩形ABCD中，AD=12，AB=7，DF平分∠ADC，AF⊥EF．
（1）求证：AF=EF；
（2）求EF长．
【答案】(1)证明见解析；（2）
【解析】（1）利用“一线三等角”模型证明全等；（2）根据勾股定理求解即可.
解：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B=∠C=∠ADC=90°，AB=DC=7，BC=AD=12，
∴∠BAF+∠AFB=90°，
∵DF平分∠ADC，
∴∠ADF=∠CDF=45°，
∴△DCF是等腰直角三角形，
∴FC=DC=7，
∴AB=FC，
∵AF⊥EF，
∴∠AFE=90°，
∴∠AFB+∠EFC=90°，
∴∠BAF=∠EFC，
在△ABF和△FCE中，
∠BAF＝∠EFC；AB＝FC；∠B＝∠C，
∴△ABF≌△FCE（ASA），
∴EF=AF；
（2）BF=BC-FC=12-7=5，
在Rt△ABF中，由勾股定理得：
AF= = =，
则EF=AF=．
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18.2.1 矩形
（第1课时）
人教版 八年级下
2022春人教版数学八年级下册课时精练
1．已知矩形的两邻边长分别为3和4，给出结论：①该矩形的面积是6，②该矩形的对角线长是5.则这两个结论（ ）．
A．只有①是正确的 B．只有②是正确的 C．都是正确的 D．都是错误的
【答案】B
解：矩形的两邻边长分别为3和4，
该矩形的面积是，
该矩形的对角线长是，
只有②是正确的，故选：B．
2．如图，矩形的两条对角线的一个交角为60°，两条对角线的长度的和为20cm，则这个矩形的一条较短边的长度为（ ）
A．10cm B．8cm C．6cm D．5cm
【答案】D
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴OA=OC=AC，OD=OB=BD，AC=BD，
∴OA=OB，
∵AC+BD=20，
∴AC=BD=10cm，
∴OA=OB=5cm，
∵OA=OB，∠AOB=60°，
∴△OAB是等边三角形，
∴AB=OA=5cm，故选D．
3．中，，D为边的中点，则的长度是（ ）
A．4.5 B．5.5 C．6.5 D．7.5
【答案】C
解：在Rt△ACB中，∵∠ACB＝90°，AC＝5，BC＝12，
∴AB＝，
∵D为边的中点，
∴CD＝AB＝6.5．
故选：C．
4．如图，点O是矩形ABCD的对角线AC的中点，OM//AB交AD于点M，若OM=3，BC=10，则OB的长为（ ）
A．5 B．4 C． D．
【答案】D
解：如图所示，连接OD，
∵四边形ABCD是矩形，
∴OA=OD，∠BAD=90°，
∵OM∥AB，
∴∠OMD=90°，
∴，
∴
故选D．
5．如图，矩形中，，P是上的一个动点，于E，于F，则的值为（ ）．
A．3.6 B．4.8 C．6 D．7.2
【答案】B
解：如图，过点A作AG⊥BD于G，
设AC与BD交于点O,连接PO，
∵AB＝6，AD＝8，
∴BD＝，
∴S△ABD＝BD AG＝AB AD，
即×10 AG＝×6×8，
解得AG＝4.8，
在矩形ABCD中，AO＝OD，
∴S△AOD＝AO PE＋OD PF＝OD AG，
∴PE＋PF＝AG＝4.8．
故选：B．
6．矩形是________________的平行四边形．因此它具有平行四边形的一切性质，此外矩形还具有的性质是四个角__________和对角线_________．
【答案】有一个角是直角 都是直角 相等
解：矩形是有一个角是直角的平行四边形．因此它具有平行四边形的一切性质，还具有自己的性质：
①矩形的每个角都是直角；
②矩形的对角线相等．
故答案为：有一个角是直角，都是直角，相等．
7．如图，在中，，，是的中点，若的周长等于6，则__________．
【答案】4
解：∵D是BC的中点，
∴，
∴为等边三角形，
∴，
解得：，
∴．
8．如果把电视屏幕看作一个长方形平面，建立一个直角坐标系，若左下方的点的坐标是（0，0），右下方的点的坐标是（32，0），左上方的点的坐标是（0，28），则右上方的点的坐标是_________．
【答案】（32，28）
解：长方形对边相等，且邻边垂直，
且右下方的点的坐标是（32，0），左上方的点的坐标是（0，28）则右上方的横坐标为32，纵坐标为28，
故右上方点的坐标是（32，28），
故答案为 （32，28）．
9．如图，矩形ABCD中，AB=3，对角线AC，BD相交于点O，AE垂直平分OB于点E，则AD的长为____________．
【答案】
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴OB=OD，OA=OC，AC=BD，
∴OA=OB，
∵AE垂直平分OB，
∴AB=AO，
∴OA=AB=OB=3，
∴BD=2OB=6，
∴AD=．
故答案为：．
10．如图，在矩形ABCD中，AC，BD相交于点O，AE平分∠BAD交BC于点E，若∠CAE＝15°，则∠BOE的度数为____________．
【答案】
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，AC=BD，OA=OC，OB=OD，∠BAD=90°，
∴OA=OB，∠DAE=∠AEB，
∵AE平分∠BAD， ∴∠BAE=∠DAE=45°=∠AEB，
∴AB=BE， ∵∠CAE=15°，
∴∠DAC=45°-15°=30°， ∠BAC=60°，
∴△BAO是等边三角形，
∴AB=OB，∠ABO=60°，
∴∠OBC=90°-60°=30°，
∵AB=OB=BE，
∴∠BOE=∠BEO= 故答案为75°．
11．在矩形中,点在上,,⊥，垂足为.
（1）求证.
（2）若,且,求.
（1）证明：在矩形ABCD中，
∵AD∥BC，
∴∠AEB=∠DAF，
又∵DF⊥AE，
∴∠DFA=90°，
∴∠DFA=∠B，
又∵AD=EA，
∴△ADF≌△EAB，∴DF=AB．
11．在矩形中,点在上,,⊥，垂足为.
（1）求证.
（2）若,且,求.
（2）解：∵∠ADF+∠FDC=90°，∠DAF+∠ADF=90°，
∴∠FDC=∠DAF=30°，
∴AD=2DF，
∵DF=AB，
∴AD=2AB=8．
12．如图，在矩形ABCD中，AD=12，AB=7，DF平分∠ADC，AF⊥EF．（1）求证：AF=EF；（2）求EF长．
解：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B=∠C=∠ADC=90°，AB=DC=7，BC=AD=12，
∴∠BAF+∠AFB=90°，
∵DF平分∠ADC，∴∠ADF=∠CDF=45°，
∴△DCF是等腰直角三角形，
∴FC=DC=7，
∴AB=FC，
∵AF⊥EF，∴∠AFE=90°，
∴∠AFB+∠EFC=90°，∴∠BAF=∠EFC，
在△ABF和△FCE中，
∠BAF＝∠EFC；AB＝FC；∠B＝∠C，
∴△ABF≌△FCE（ASA），∴EF=AF；
12．如图，在矩形ABCD中，AD=12，AB=7，DF平分∠ADC，AF⊥EF．
（1）求证：AF=EF；
（2）求EF长．
（2）BF=BC-FC=12-7=5，
在Rt△ABF中，由勾股定理得：
AF= = =，
则EF=AF=．
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