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【2022春人教版数学八年级下册课时精练】
18.2.2 菱形（第2课时）
班级：________ 姓名：________
一、选择题（共5道题，每题8分，共40分）
1．对角线互相垂直平分的四边形是（ ）
A．任意四边形 B．筝形 C．矩形 D．菱形
2．下列命题中，正确的是（ ）
A．两邻边相等的四边形是菱形
B．有三条边相等的平行四边形是菱形
C．一条对角线被另一条对角线垂直平分的四边形是菱形
D．对角线垂直且一组邻边相等的四边形是菱形
3．用直尺和圆规作一个菱形，如图，能得到四边形ABCD是菱形的依据是（ ）.
A．一组邻边相等的四边形是菱形 B．四边都相等的四边形是菱形
C．对角线互相垂直的平行四边形是菱形 D．每条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形
4．如图，过矩形的四个顶点作对角线、的平行线，分别相交于、、、四点，则四边形为（ ）
A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形
5．如图，等边△ABC沿射线BC向右平移到△DCE的位置，连接AD、BD，则下列结论：①AD=BC；②BD、AC互相平分；③四边形ACED是菱形．其中正确的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
二、填空题（共5道题，每题8分，共40分）
6．平面直角坐标系中，四边形ABCD的顶点坐标分别是A(－3，0)，B(0，2)，C(3，0)，D(0，－2)，则四边形ABCD是__________．
7．如图，连接四边形ABCD各边中点，得到四边形EFGH，只要添加_____条件，就能保证四边形EFGH是菱形．
8．如图，两条宽都为4cm的纸条交叉成45°角重叠在一起，则重叠四边形的面积为 _______________cm2．
9．如图，AD是△ABC的角平分线，DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于F．且AD交EF于O，则∠AOF＝_____度．
10．如图，是一张平行四边形纸片ABCD，要求利用所学知识将它变成一个菱形，甲、乙两位同学的作法分别如下：对于甲、乙两人的作法，正确的是__________．
三、解答题（共2道题，每题10分，共20分）
11．如图，矩形中，对角线交于点O，．求证：与互相垂直平分．
12．如图，在 ABCD中，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为E，F，且BE=DF
（1）求证： ABCD是菱形；
（2）若AB=5，AC=6，求 ABCD的面积．
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【2022春人教版数学八年级下册课时精练】
18.2.2 菱形（第2课时）
班级：________ 姓名：________
一、选择题（共5道题，每题8分，共40分）
1．对角线互相垂直平分的四边形是（ ）
A．任意四边形 B．筝形 C．矩形 D．菱形
【答案】D
【解析】根据菱形的判定解答即可．
解：对角线互相垂直平分的四边形是菱形，
故选：D．
2．下列命题中，正确的是（ ）
A．两邻边相等的四边形是菱形
B．有三条边相等的平行四边形是菱形
C．一条对角线被另一条对角线垂直平分的四边形是菱形
D．对角线垂直且一组邻边相等的四边形是菱形
【答案】B
【解析】根据菱形的判定及定义即可完成．
解：A、两邻边相等的平行四边形的菱形，故此选项错误；
B、有三条边相等，则有一组邻边相等，根据有一组两邻边相等的平行四边形是菱形这个定义知，此选项正确；
C、对角线相互垂直平分的四边形是菱形，故此选项错误；
D、对角线相互平分且一组邻边相等的四边形是菱形，但对角线垂直且一组邻边相等的四边形不一定是菱形，故此选项错误；
故选：B．
3．用直尺和圆规作一个菱形，如图，能得到四边形ABCD是菱形的依据是（ ）.
A．一组邻边相等的四边形是菱形 B．四边都相等的四边形是菱形
C．对角线互相垂直的平行四边形是菱形 D．每条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形
【答案】B
【解析】解：由图形作法可知：AD=AB=DC=BC，
∴四边形ABCD是菱形，
故选：B．
4．如图，过矩形的四个顶点作对角线、的平行线，分别相交于、、、四点，则四边形为（ ）
A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形
【答案】C
【解析】由题意易得四边形EFGH是平行四边形，又因为矩形的对角线相等，可得EH=HG，所以平行四边形EFGH是菱形．
解：∵HG∥EF∥AC，EH∥FG∥BD，HG=EF=AC，EH=FG=BD，
∴四边形EFGH是平行四边形，
∵矩形的对角线相等，
∴AC=BD，
∴EH=HG，
∴平行四边形EFGH是菱形．
故选C．
5．如图，等边△ABC沿射线BC向右平移到△DCE的位置，连接AD、BD，则下列结论：①AD=BC；②BD、AC互相平分；③四边形ACED是菱形．其中正确的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D
【解析】解：∵由已知和平移的性质，△ABC、△DCE都是是等边三角形，
∴∠ACB=∠DCE=60°，AC=CD.
∴∠ACD=180°－∠ACB－∠DCE=60°.
∴△ACD是等边三角形.
∴AD=AC=BC.故①正确；
由①可得AD=BC，
∵AB=CD，∴四边形ABCD是平行四边形.
∴BD、AC互相平分，故②正确.
由①可得AD=AC=CE=DE，故四边形ACED是菱形，即③正确.
综上可得①②③正确，共3个.
故选D.
二、填空题（共5道题，每题8分，共40分）
6．平面直角坐标系中，四边形ABCD的顶点坐标分别是A(－3，0)，B(0，2)，C(3，0)，D(0，－2)，则四边形ABCD是__________．
【答案】菱形
【解析】先在坐标系中画出四边形ABCD，由A、B、C、D的坐标即可得到OA=OC=3，OB=OD=2，再由AC⊥BD，即可得到答案．
解：图象如图所示：
∵A（-3，0）、B（0，2）、C（3，0）、D（0，-2），
∴OA=OC=3，OB=OD=2，
∴四边形ABCD为平行四边形，
∵AC⊥BD，
∴四边形ABCD为菱形，
故答案为：菱形．
7．如图，连接四边形ABCD各边中点，得到四边形EFGH，只要添加_____条件，就能保证四边形EFGH是菱形．
【答案】AC＝BD
【解析】根据中位线的性质易得四边形EFGH为平行四边形，那么只需让一组邻边相等即可，而邻边都等于对角线的一半，那么对角线需相等．
解：∵E、F为AD、AB中点，
∴EF为△ABD的中位线，
∴EFBD，EF=BD，
同理可得GHBD，GH=BD，FGAC，FG=AC，
∴EFGH，EF=GH，
∴四边形EFGH为平行四边形，
∴当EF=FG时，四边形EFGH为菱形，
∵FG=AC，EF=BD，EF=FG
∴AC=BD，
故答案为：AC＝BD．
8．如图，两条宽都为4cm的纸条交叉成45°角重叠在一起，则重叠四边形的面积为 _______________cm2．
【答案】
【解析】过点A作，，垂足分别为E，F，证明，从而证明四边形ABCD是菱形，再利用勾股定理求出BC的长，最后根据菱形的面积公式算出重叠部分的面积即可．
解：过点A作，，垂足分别为E，F，如下图：
∴
由题意可得：
∴为等腰直角三角形，
∴
∵纸条的宽都为4cm
∴
由勾股定理得：
∵
∴四边形是平行四边形
在和中
∴
∴，
∴平行四边形为菱形
重叠部分（图中阴影部分）的面积
故答案为
9．如图，AD是△ABC的角平分线，DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于F．且AD交EF于O，则∠AOF＝_____度．
【答案】90
【解析】解：∵DE∥AC，DF∥AB，
∴四边形AEDF为平行四边形，
∴OA=OD，OE=OF，∠2=∠3，
∵AD是△ABC的角平分线，
∵∠1=∠2，
∴∠1=∠3，
∴AE=DE．
∴ AEDF为菱形．
∴AD⊥EF，即∠AOF=90°．
故答案为：90．
10．如图，是一张平行四边形纸片ABCD，要求利用所学知识将它变成一个菱形，甲、乙两位同学的作法分别如下：对于甲、乙两人的作法，正确的是__________．
【答案】甲、乙
【解析】首先证明△AOE≌△COF（ASA），可得AE=CF，再根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形,可判断四边形AECF是平行四边形，再由AC⊥EF，可根据对角线互相垂直的四边形是菱形,判定出四边形AECF是菱形；可根据角平分线和平行线的性质，先判定四边形ABEF的平行四边形，再求得AB=AF，判定平行四边形ABEF是菱形．
解：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠DAC=∠ACB，
∵EF是AC的垂直平分线，
∴AO=CO，
在△AOE和△COF中，
∴△AOE≌△COF（ASA），
∴AE=CF，
又∵AE∥CF，
∴四边形AECF是平行四边形，
∴FE⊥AC，
∴四边形AECF是菱形；
故甲的做法正确；
∵AD∥BC，
∴∠1=∠2，∠6=∠7，
∵BF平分∠ABC，AE平分∠BAD，
∴∠2=∠3，∠5=∠6，
∴∠1=∠3，∠5=∠7，
∴AB=AF，AB=BE，
∴AF=BE，
∵AF∥BE，且AF=BE，
∴四边形ABEF是平行四边形，
∵AB=AF，
∴平行四边形ABEF是菱形；
故乙的做法正确；
故答案为：甲、乙
三、解答题（共2道题，每题10分，共20分）
11．如图，矩形中，对角线交于点O，．求证：与互相垂直平分．
【答案】证明见解析
【解析】由DE∥AC，EC∥BD，得四边形OCED是平行四边形，矩形的对角线相等且平分，可得OC＝OD，则四边形OCED是菱形，即可得证．
解：////，
四边形OCED是平行四边形，
四边形ABCD是矩形，
与BD相等且互相平分，
，
四边形OCDE是菱形，
与互相垂直平分．
12．如图，在 ABCD中，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为E，F，且BE=DF
（1）求证： ABCD是菱形；
（2）若AB=5，AC=6，求 ABCD的面积．
【答案】（1）证明见解析；（2）S平行四边形ABCD =24
【解析】（1）利用全等三角形的性质证明AB=AD即可解决问题；
（2）连接BD交AC于O，利用勾股定理求出对角线的长即可解决问题；
解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠B=∠D，
∵AE⊥BC，AF⊥CD，
∴∠AEB=∠AFD=90°，
∵BE=DF，
∴△AEB≌△AFD，
∴AB=AD，
∴四边形ABCD是菱形；
（2）连接BD交AC于O，
∵四边形ABCD是菱形，AC=6，
∴AC⊥BD，
AO=OC=AC=×6=3，
∵AB=5，AO=3，
∴BO===4，
∴BD=2BO=8，
∴S平行四边形ABCD=×AC×BD=24．
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18.2.2 菱形
（第2课时）
人教版 八年级下
2022春人教版数学八年级下册课时精练
1．对角线互相垂直平分的四边形是（ ）
A．任意四边形 B．筝形 C．矩形 D．菱形
【答案】D
解：对角线互相垂直平分的四边形是菱形，
故选：D．
2．下列命题中，正确的是（ ）
A．两邻边相等的四边形是菱形
B．有三条边相等的平行四边形是菱形
C．一条对角线被另一条对角线垂直平分的四边形是菱形
D．对角线垂直且一组邻边相等的四边形是菱形
【答案】B
解：A、两邻边相等的平行四边形的菱形，故此选项错误；
B、有三条边相等，则有一组邻边相等，根据有一组两邻边相等的平行四边形是菱形这个定义知，此选项正确；
C、对角线相互垂直平分的四边形是菱形，故此选项错误；
D、对角线相互平分且一组邻边相等的四边形是菱形，但对角线垂直且一组邻边相等的四边形不一定是菱形，故此选项错误；
故选：B．
3．用直尺和圆规作一个菱形，如图，能得到四边形ABCD是菱形的依据是（ ）.
A．一组邻边相等的四边形是菱形 B．四边都相等的四边形是菱形
C．对角线互相垂直的平行四边形是菱形 D．每条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形
【答案】B
【解析】解：由图形作法可知：AD=AB=DC=BC，
∴四边形ABCD是菱形，
故选：B．
4．如图，过矩形的四个顶点作对角线、的平行线，分别相交于、、、四点，则四边形为（ ）
A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形
【答案】C
解：∵HG∥EF∥AC，EH∥FG∥BD，HG=EF=AC，EH=FG=BD，
∴四边形EFGH是平行四边形，
∵矩形的对角线相等，
∴AC=BD，
∴EH=HG，
∴平行四边形EFGH是菱形．
故选C．
5．如图，等边△ABC沿射线BC向右平移到△DCE的位置，连接AD、BD，则下列结论：①AD=BC；②BD、AC互相平分；③四边形ACED是菱形．其中正确的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D
解：∵由已知和平移的性质，△ABC、△DCE都是是等边三角形，
∴∠ACB=∠DCE=60°，AC=CD.
∴∠ACD=180°－∠ACB－∠DCE=60°.
∴△ACD是等边三角形.∴AD=AC=BC.故①正确；
由①可得AD=BC，
∵AB=CD，∴四边形ABCD是平行四边形.
∴BD、AC互相平分，故②正确.
由①可得AD=AC=CE=DE，故四边形ACED是菱形，即③正确.
综上可得①②③正确，共3个.故选D.
6．平面直角坐标系中，四边形ABCD的顶点坐标分别是A(－3，0)，B(0，2)，C(3，0)，D(0，－2)，则四边形ABCD是__________．
【答案】菱形
解：图象如图所示：
∵A（-3，0）、B（0，2）、C（3，0）、D（0，-2），
∴OA=OC=3，OB=OD=2，
∴四边形ABCD为平行四边形，
∵AC⊥BD，
∴四边形ABCD为菱形，故答案为：菱形．
7．如图，连接四边形ABCD各边中点，得到四边形EFGH，只要添加_____条件，就能保证四边形EFGH是菱形．
【答案】AC＝BD
解：∵E、F为AD、AB中点，
∴EF为△ABD的中位线，
∴EFBD，EF=BD，
同理可得GHBD，GH=BD，FGAC，FG=AC，
∴EFGH，EF=GH，
∴四边形EFGH为平行四边形，
∴当EF=FG时，四边形EFGH为菱形，
∵FG=AC，EF=BD，EF=FG
∴AC=BD，
故答案为：AC＝BD．
8．如图，两条宽都为4cm的纸条交叉成45°角重叠在一起，则重叠四边形的面积为 _______________cm2．
【答案】
解：过点A作，，垂足分别为E，F，如下图：
∴ 由题意可得：
∴为等腰直角三角形，∴
∵纸条的宽都为4cm ∴
由勾股定理得：
∵ ∴四边形是平行四边形
在和中
，，
∴∴，
∴平行四边形为菱形
重叠部分（图中阴影部分）的面积，故答案为
9．如图，AD是△ABC的角平分线，DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于F．且AD交EF于O，则∠AOF＝_____度．
【答案】90
解：∵DE∥AC，DF∥AB，
∴四边形AEDF为平行四边形，
∴OA=OD，OE=OF，∠2=∠3，
∵AD是△ABC的角平分线，
∵∠1=∠2，
∴∠1=∠3，
∴AE=DE．
∴ AEDF为菱形．
∴AD⊥EF，即∠AOF=90°．
故答案为：90．
10．如图，是一张平行四边形纸片ABCD，要求利用所学知识将它变成一个菱形，甲、乙两位同学的作法分别如下：对于甲、乙两人的作法，正确的是__________．
【答案】甲、乙
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，∴∠DAC=∠ACB，
∵EF是AC的垂直平分线，∴AO=CO，
在△AOE和△COF中，
∴△AOE≌△COF（ASA），
∴AE=CF，
又∵AE∥CF，
∴四边形AECF是平行四边形，
∴FE⊥AC，
∴四边形AECF是菱形；
故甲的做法正确；
∵AD∥BC，
∴∠1=∠2，∠6=∠7，
∵BF平分∠ABC，AE平分∠BAD，
∴∠2=∠3，∠5=∠6，
∴∠1=∠3，∠5=∠7，
∴AB=AF，AB=BE，
∴AF=BE，
∵AF∥BE，且AF=BE，
∴四边形ABEF是平行四边形，
∵AB=AF，
∴平行四边形ABEF是菱形；
故乙的做法正确；
故答案为：甲、乙
11．如图，矩形中，对角线交于点O，．求证：与互相垂直平分．
解：////，
四边形OCED是平行四边形，
四边形ABCD是矩形，
与BD相等且互相平分，
，
四边形OCDE是菱形，
与互相垂直平分．
12．如图，在 ABCD中，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为E，F，且BE=DF
（1）求证： ABCD是菱形；
（2）若AB=5，AC=6，求 ABCD的面积．
解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠B=∠D，
∵AE⊥BC，AF⊥CD，
∴∠AEB=∠AFD=90°，
∵BE=DF，
∴△AEB≌△AFD，
∴AB=AD，
∴四边形ABCD是菱形；
12．如图，在 ABCD中，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为E，F，且BE=DF
（1）求证： ABCD是菱形；
（2）若AB=5，AC=6，求 ABCD的面积．
（2）连接BD交AC于O，
∵四边形ABCD是菱形，AC=6，
∴AC⊥BD，
AO=OC=AC=×6=3，
∵AB=5，AO=3，
∴BO===4，
∴BD=2BO=8，
∴S平行四边形ABCD=×AC×BD=24．
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