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【2022春人教版数学八年级下册课时精练】
18.2.3 正方形（第1课时）
班级：________ 姓名：________
一、选择题（共5道题，每题8分，共40分）
1．下列性质中，正方形具有而菱形不一定具有的性质是（ ）
A．四条边相等 B．对角线互相平分
C．对角线相等 D．对角线互相垂直
2．正方形是轴对称图形，它的对称轴有（ ）
A．1条 B．2条 C．4条 D．8条
3．如图，在正方形ABCD中，E为DC边上的点，连接BE，将△BCE绕点C顺时针方向旋转90°得到△DCF，连接EF，若∠BEC=60°，则∠EFD的度数为（ ）
A．10° B．15° C．20° D．25°
4．如图，边长分别为和的两个正方形和并排放在一起，连接并延长交于点，交于点，则
A． B． C．2 D．1
5．如图，正方形ABCD的边长为3，点E、F分别在边BC、CD上，将AB、AD分别沿AE、AF折叠，点B、D恰好都落在点G处，已知BE＝1，则EF的长为（ ）
A． B． C． D．3
二、填空题（共5道题，每题8分，共40分）
6．如图，在正方形ABCD的外侧，作等边△ADE，则∠AEB=_______
7．如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，E为BC上一点，CE=5，F为DE的中点．若△CEF的周长为18，则OF的长为_____________________ ．
8．如图，正方形ABCD边长为3，连接AC，AE平分∠CAD，交BC的延长线于点E，FA⊥AE，交CB延长线于点F，则EF的长为__________．
9．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝1，以斜边为一边向右上方作正方形ABDE，连接CD，则CD的长为_____．
10．如图，菱形的面积为120cm2，正方形的面积为50cm2时，则菱形的边长为____cm．
三、解答题（共2道题，每题10分，共20分）
11．如图，正方形中，点E、F分别是边上的点，且．求的度数．
12．如图，正方形中，P为对角线上一点，作于E，于F，连结，请你判断与的位置关系和数量关系，并证明你的结论．
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【2022春人教版数学八年级下册课时精练】
18.2.3 正方形（第1课时）
班级：________ 姓名：________
一、选择题（共5道题，每题8分，共40分）
1．下列性质中，正方形具有而菱形不一定具有的性质是（ ）
A．四条边相等 B．对角线互相平分
C．对角线相等 D．对角线互相垂直
【答案】C
【解析】解：正方形的性质有：四条边相等；对角线互相垂直平分且相等；
菱形的性质有：四条边相等；对角线互相垂直平分；
因此正方形具有而菱形不一定具有的性质是：对角线相等．
故选C．
2．正方形是轴对称图形，它的对称轴有（ ）
A．1条 B．2条 C．4条 D．8条
【答案】C
【解析】正方形既是矩形，又是菱形，具有矩形和菱形的轴对称性，由此可知其对称轴共有4条．
解：正方形是轴对称图形，它的对称轴共有4条：两条对角线所在的直线是对称轴，两条对边的中点确定的直线也是对称轴．
故选：C．
3．如图，在正方形ABCD中，E为DC边上的点，连接BE，将△BCE绕点C顺时针方向旋转90°得到△DCF，连接EF，若∠BEC=60°，则∠EFD的度数为（ ）
A．10° B．15° C．20° D．25°
【答案】B
【解析】根据正方形的性质及旋转的性质可得ΔECF是等腰直角三角形，∠DFC=∠BEC=60°，即得结果.
解：由题意得EC=FC，∠DCF=90°，∠DFC=∠BEC=60°
∴∠EFC=45°
∴∠EFD=15°
故选B.
4．如图，边长分别为和的两个正方形和并排放在一起，连接并延长交于点，交于点，则
A． B． C．2 D．1
【答案】B
【解析】根据正方形的对角线平分一组对角可得∠ADB=∠CGE=45°，再求出∠GDT=45°，从而得到△DGT是等腰直角三角形，根据正方形的边长求出DG，再根据等腰直角三角形的直角边等于斜边的倍求解即可．
解：∵BD、GE分别是正方形ABCD，正方形CEFG的对角线，
∴∠ADB=∠CGE=45°，
∴∠GDT=180°-90°-45°=45°，
∴∠DTG=180°-∠GDT-∠CGE=180°-45°-45°=90°，
∴△DGT是等腰直角三角形，
∵两正方形的边长分别为4，8，
∴DG=8-4=4，
∵，GT=DT，
∴．
故选B．
5．如图，正方形ABCD的边长为3，点E、F分别在边BC、CD上，将AB、AD分别沿AE、AF折叠，点B、D恰好都落在点G处，已知BE＝1，则EF的长为（ ）
A． B． C． D．3
【答案】B
【解析】由图形折叠可得BE=EG，DF=FG；再由正方形ABCD的边长为3，BE=1，可得EG=1，EC=3-1=2，CF=3-FG；最后由勾股定理可以求得答案.
解：由图形折叠可得BE=EG，DF=FG，
∵正方形ABCD的边长为3，BE=1，
∴EG=1，EC=3-1=2，CF=3-FG，
在直角三角形ECF中，
∵EF2=EC2+CF2，
∴(1+GF)2=22+(3-GF)2，
解得GF=，
∴EF=1+=．
故正确选项为B.
二、填空题（共5道题，每题8分，共40分）
6．如图，在正方形ABCD的外侧，作等边△ADE，则∠AEB=_______
【答案】15°
【解析】由正方形的性质和等边三角形的性质可得BC=CD=AD=AB、∠ADC=∠BCD=∠CBA =∠BAD= 90°，AE=DE=AD, ∠ADE=∠DEA=∠EAD=60°；再说明△ABE是等腰三角形，最后根据等腰三角形的性质解答即可．
解：∵正方形ABCD，
∴BC=CD=AD=AB, ∠ADC=∠BCD=∠CBA =∠BAD= 90°，
∵等边三角形ADE，
∴AE=DE=AD, ∠ADE=∠DEA=∠EAD=60°，
∴AB=AE,∠BAE=∠BAD+∠EAD=150°，
∴∠AEB= ．
故答案为：15°．
7．如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，E为BC上一点，CE=5，F为DE的中点．若△CEF的周长为18，则OF的长为_____________________ ．
【答案】
【解析】由直角三角形的中线，求出DE的长度，利用三角形中位线定理和勾股定理，求出BE的长度，即可求出答案．
解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DCE=90°，OD=OB，
∵DF=FE，
∴CF=FE=FD，
∵EC+EF+CF=18，EC=5，
∴EF+FC=13，
∴DE=13，
∴DC=，
∴BC=CD=12，
∴BE=BC-EC=7，
∵OD=OB，DF=FE，
∴OF=BE=；
故答案为：．
8．如图，正方形ABCD边长为3，连接AC，AE平分∠CAD，交BC的延长线于点E，FA⊥AE，交CB延长线于点F，则EF的长为__________．
【答案】6
【解析】利用正方形的性质和勾股定理可得AC的长，由角平分线的性质和平行线的性质可得∠CAE=∠E，易得CE=CA，由FA⊥AE，可得∠FAC=∠F，易得CF=AC，可得EF的长．
解：∵四边形ABCD为正方形，且边长为3，
∴AC=3，
∵AE平分∠CAD， ∴∠CAE=∠DAE，
∵AD∥CE， ∴∠DAE=∠E， ∴∠CAE=∠E， ∴CE=CA=3，
∵FA⊥AE，
∴∠FAC+∠CAE=90°，∠F+∠E=90°，
∴∠FAC=∠F， ∴CF=AC=3，
∴EF=CF+CE=3+3=6
9．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝1，以斜边为一边向右上方作正方形ABDE，连接CD，则CD的长为_____．
【答案】
【解析】过D作DG⊥CB交CB的延长线于G，根据正方形的性质得到AB＝BD，∠ABD＝90°，根据余角的性质得到∠CAB＝∠DBG，根据全等三角形的性质得到BG＝AC＝2，DG＝BC＝1，根据勾股定理即可得到结论．
解：如图所示：过D作DG⊥CB交CB的延长线于G，
∵四边形ABDE是正方形，
∴AB＝BD，∠ABD＝90°，
∵∠ACB＝∠DGB＝90°，
∴∠ABC+∠BAC＝∠ABC+∠DBG＝90°，
∴∠CAB＝∠DBG，
在△ABC和△BDG中
，
∴△ABC≌△BDG（AAS），
∴BG＝AC＝2，DG＝BC＝1，
∴CD＝＝＝.
故答案为：．
10．如图，菱形的面积为120cm2，正方形的面积为50cm2时，则菱形的边长为____cm．
【答案】13
【解析】连接BD、AC、EF，BD与AC交于点O，由题意易得B、E、F、D在同一条直线上，则有，，，，，然后根据菱形和正方形的面积及勾股定理可进行求解．
解：连接BD、AC、EF，BD与AC交于点O，如图所示：
∵四边形是菱形、四边形是正方形，
∴点B、E、F、D在同一条直线上，
∴，，，，，
∵菱形的面积为120cm2，正方形的面积为50cm2，
∴，，
∴，，
∴，，
在Rt△AOB中，由勾股定理可得cm，
故答案为13．
三、解答题（共2道题，每题10分，共20分）
11．如图，正方形中，点E、F分别是边上的点，且．求的度数．
【答案】
【解析】根据正方形性质易得AD=AB，∠D=∠FAB=90°，再结合，可得（HL），进而可得，再利用三角形内角和定理从而可得．
解：∵在正方形中，
∴AD=AB，∠D=∠FAB=90°，
在和中，
，
∴（HL），
∴，
又∵，
∴．
故答案为：．
12．如图，正方形中，P为对角线上一点，作于E，于F，连结，请你判断与的位置关系和数量关系，并证明你的结论．
【答案】与垂直且相等．
【解析】过作，，先根据条件证明，所以得到，，再证明可知．
解：结论：与垂直且相等．
证明： 如图，过作，，
是正方形对角线，
∴是、的角平分线，
又，，
，
同理：，
，，
∴四边形为矩形，
，
，
在与中
，
，
，，
如图，延长与相交于，
，
∴
又∵
，
∴．
综上所述：与垂直且相等．
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18.2.3 正方形
（第1课时）
人教版 八年级下
2022春人教版数学八年级下册课时精练
1．下列性质中，正方形具有而菱形不一定具有的性质是（ ）
A．四条边相等 B．对角线互相平分
C．对角线相等 D．对角线互相垂直
【答案】C
解：正方形的性质有：四条边相等；对角线互相垂直平分且相等；
菱形的性质有：四条边相等；对角线互相垂直平分；
因此正方形具有而菱形不一定具有的性质是：对角线相等．
故选C．
2．正方形是轴对称图形，它的对称轴有（ ）
A．1条 B．2条 C．4条 D．8条
【答案】C
解：正方形是轴对称图形，它的对称轴共有4条：两条对角线所在的直线是对称轴，两条对边的中点确定的直线也是对称轴．
故选：C．
3．如图，在正方形ABCD中，E为DC边上的点，连接BE，将△BCE绕点C顺时针方向旋转90°得到△DCF，连接EF，若∠BEC=60°，则∠EFD的度数为（ ）
A．10° B．15° C．20° D．25°
【答案】B
解：由题意得
EC=FC，∠DCF=90°，∠DFC=∠BEC=60°
∴∠EFC=45°∴∠EFD=15°
故选B.
4．如图，边长分别为和的两个正方形和并排放在一起，连接并延长交于点，交于点，则
A． B． C．2 D．1
【答案】B
解：∵BD、GE分别是正方形ABCD，正方形CEFG的对角线，
∴∠ADB=∠CGE=45°，
∴∠GDT=180°-90°-45°=45°，
∴∠DTG=180°-∠GDT-∠CGE=180°-45°-45°=90°，
∴△DGT是等腰直角三角形，
∵两正方形的边长分别为4，8，
∴DG=8-4=4，
∵，GT=DT，
∴．故选B．
5．如图，正方形ABCD的边长为3，点E、F分别在边BC、CD上，将AB、AD分别沿AE、AF折叠，点B、D恰好都落在点G处，已知BE＝1，则EF的长为（ ）
A． B． C． D．3
【答案】B
解：由图形折叠可得BE=EG，DF=FG，
∵正方形ABCD的边长为3，BE=1，
∴EG=1，EC=3-1=2，CF=3-FG，
在直角三角形ECF中，
∵EF2=EC2+CF2，∴(1+GF)2=22+(3-GF)2，
解得GF=，∴EF=1+=．
故正确选项为B.
6．如图，在正方形ABCD的外侧，作等边△ADE，则∠AEB=_____
【答案】15°
解：∵正方形ABCD，
∴BC=CD=AD=AB, ∠ADC=∠BCD=∠CBA =∠BAD= 90°，
∵等边三角形ADE，
∴AE=DE=AD, ∠ADE=∠DEA=∠EAD=60°，
∴AB=AE,∠BAE=∠BAD+∠EAD=150°，
∴∠AEB= ．
故答案为：15°．
7．如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，E为BC上一点，CE=5，F为DE的中点．若△CEF的周长为18，则OF的长为_____________________ ．
【答案】
解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠DCE=90°，OD=OB，
∵DF=FE，∴CF=FE=FD，
∵EC+EF+CF=18，EC=5，∴EF+FC=13，
∴DE=13，
∴DC=，
∴BC=CD=12，
∴BE=BC-EC=7，
∵OD=OB，DF=FE，
∴OF=BE=；故答案为：．
8．如图，正方形ABCD边长为3，连接AC，AE平分∠CAD，交BC的延长线于点E，FA⊥AE，交CB延长线于点F，则EF的长为__________．
【答案】6
解：∵四边形ABCD为正方形，且边长为3， ∴AC=3，
∵AE平分∠CAD， ∴∠CAE=∠DAE，
∵AD∥CE， ∴∠DAE=∠E，
∴∠CAE=∠E， ∴CE=CA=3，
∵FA⊥AE，
∴∠FAC+∠CAE=90°，∠F+∠E=90°，
∴∠FAC=∠F， ∴CF=AC=3，
∴EF=CF+CE=3+3=6
9．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝1，以斜边为一边向右上方作正方形ABDE，连接CD，则CD的长为_____．
【答案】
解：如图所示：过D作DG⊥CB交CB的延长线于G，
∵四边形ABDE是正方形，∴AB＝BD，∠ABD＝90°，
∵∠ACB＝∠DGB＝90°，
∴∠ABC+∠BAC＝∠ABC+∠DBG＝90°，
∴∠CAB＝∠DBG，
在△ABC和△BDG中
∴△ABC≌△BDG（AAS），
∴BG＝AC＝2，DG＝BC＝1，
∴CD＝＝＝. 故答案为：．
10．如图，菱形的面积为120cm2，正方形的面积为50cm2时，则菱形的边长为____cm．
【答案】13
解：连接BD、AC、EF，BD与AC交于点O，如图所示：
∵四边形是菱形、四边形是正方形，
∴点B、E、F、D在同一条直线上，
∴，，，，，
∵菱形的面积为120cm2，正方形的面积为50cm2，
∴，
，
∴，，
∴，，
在Rt△AOB中，由勾股定理可得cm．
11．如图，正方形中，点E、F分别是边上的点，且．求的度数．
解：∵在正方形中，
∴AD=AB，∠D=∠FAB=90°，
在和中，
∴（HL），
∴，
又∵，
∴．
故答案为：．
12．如图，正方形中，P为对角线上一点，作于E，于F，连结，请你判断与的位置关系和数量关系，并证明你的结论．
解：结论：与垂直且相等．
证明： 如图，过作，，
是正方形对角线，
∴是、的角平分线，
又，，
，
同理：，
，，
∴四边形为矩形，
，
，
12．如图，正方形中，P为对角线上一点，作于E，于F，连结，请你判断与的位置关系和数量关系，并证明你的结论．
在与中
，
，，
如图，延长与相交于，
，∴
又∵
，∴．
综上所述：与垂直且相等．
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