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【2022春人教版数学八年级下册课时精练】
18.2.3 正方形（第2课时）
班级：________ 姓名：________
一、选择题（共5道题，每题8分，共40分）
1．下列命题中，正确的是（ ）
A．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
B．对角线相等，且有一个角是直角的平行四边形是正方形
C．四个角都相等的菱形是正方形
D．对角线互相垂直平分且有一组邻边相等的四边形是正方形
2．在四边形ABCD中，O是对角线的交点，能判定这个四边形是正方形的条件是（ ）
A．AC＝BD，AB∥CD，AB＝CD B．AD∥BC，∠A＝∠C
C．AO＝BO＝CO＝DO，AC⊥BD D．AO＝CO，BO＝DO，AB＝BC
3．过正方形的中心作两条互相垂直的直线，则以这两条直线与正方形各边交点为顶点的四边形是（ ）
A．筝形 B．矩形 C．菱形 D．正方形
4．如图，将长方形纸片折叠，使点落在边上的处，折痕为，若沿剪下，则折叠部分展开是一个正方形，其数学原理是（ ）
A．有一组邻边相等的矩形是正方形 B．对角线相等的菱形是正方形
C．两个全等的直角三角形构成正方形 D．轴对称图形是正方形
5．如图，在矩形ABCD内有一点F，FB与FC分别平分∠ABC和∠BCD，点E为矩形ABCD外一点，连接BE，CE．现添加下列条件：①EB∥CF，CE∥BF；②BE=CE，BE=BF；③BE∥CF，CE⊥BE；④BE=CE，CE∥BF，其中能判定四边形BECF是正方形的共有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题（共5道题，每题8分，共40分）
6．如图，BD是△ABC的角平分线，DE∥BC，交AB于点E，DF∥AB，交BC于点F，当△ABC满足_________条件 时，四边形BEDF是正方形．
7．如图，在四边形ABCD中，点E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，AC⊥BD，AC＝BD，则四边形EFGH是______．
8．如图，在四边形ABCD中，DA＝DC，∠ABC＝∠ADC＝90°，S四边形ABCD＝12cm2，则BE＝_____cm．
9．如图，在正八边形ABCDEFGH中，AC、AE是两条对角线，则∠CAE的度数为_________°．
10．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，D为BC中点，E为AB边上的动点，则△CDE周长的最小值为________．
三、解答题（共2道题，每题10分，共20分）
11．已知：如图，在矩形中，、分别是边、的中点，、分别是线段、的中点．
（1）求证：；
（2）填空：当的值为多少时，四边形是正方形，请说明理由．
12．如图，已知Rt△ABC中，∠ABC=90°，先把△ABC绕点B顺时针旋转90°至△DBE后，再把△ABC沿射线平移至△FEG，DF、FG相交于点H．
（1）判断线段DE、FG的位置关系，并说明理由；
（2）连结CG，求证：四边形CBEG是正方形．
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【2022春人教版数学八年级下册课时精练】
18.2.3 正方形（第2课时）
班级：________ 姓名：________
一、选择题（共5道题，每题8分，共40分）
1．下列命题中，正确的是（ ）
A．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
B．对角线相等，且有一个角是直角的平行四边形是正方形
C．四个角都相等的菱形是正方形
D．对角线互相垂直平分且有一组邻边相等的四边形是正方形
【答案】C
【解析】根据正方形的判定方法即可判断．
解：A.对角线互相平分、垂直且相等的四边形是正方形，本选项不符合题意；
B.对角线相等且有一个角是直角的平行四边形是矩形，不一定是正方形；本选项不符合题意；
C.四个角都相等的菱形是正方形，正确，本选项符合题意；
D.对角线互相垂直平分且有一组邻边相等的四边形是菱形，不一定是正方形；本选项不符合题意；
故选：C．
2．在四边形ABCD中，O是对角线的交点，能判定这个四边形是正方形的条件是（ ）
A．AC＝BD，AB∥CD，AB＝CD B．AD∥BC，∠A＝∠C
C．AO＝BO＝CO＝DO，AC⊥BD D．AO＝CO，BO＝DO，AB＝BC
【答案】C
【解析】根据正方形的判定：对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形进行分析从而得到最后的答案．
解：A，不能，只能判定为矩形；
B，不能，只能判定为平行四边形；
C，能；
D，不能，只能判定为菱形．
故选C．
3．过正方形的中心作两条互相垂直的直线，则以这两条直线与正方形各边交点为顶点的四边形是（ ）
A．筝形 B．矩形 C．菱形 D．正方形
【答案】D
【解析】根据题意，画出图形，先证明△AOH≌△COF，得OH=OF，同理可得OE=OG，从而得到四边形EFGH是平行四边形，再由EG⊥HF，可得四边形EFGH是菱形，再证明△AOH≌△BOE，得到EG=HF，即可求解．
解：根据题意，画出图形，如下图，AC、BD为正方形ABCD对角线，且交于点O，EG、HF过点O，且EG⊥HF，
在正方形ABCD中，AO=CO=BO=DO，∠OAH=∠OCF=∠OBA=45°，∠AOB=90°，
∵∠AOH=∠COF，
∴△AOH≌△COF，
∴OH=OF，
同理OE=OG，
∴四边形EFGH是平行四边形，
∵EG⊥HF，
∴四边形EFGH是菱形，∠EOH=90°，
∴∠AOH=∠BOE，
∵AO=BO，∠OAH=∠OBA=45°，
∴△AOH≌△BOE，
∴OE=OH，
∴EG=HF，
∴四边形EFGH是正方形．
故选：D．
4．如图，将长方形纸片折叠，使点落在边上的处，折痕为，若沿剪下，则折叠部分展开是一个正方形，其数学原理是（ ）
A．有一组邻边相等的矩形是正方形 B．对角线相等的菱形是正方形
C．两个全等的直角三角形构成正方形 D．轴对称图形是正方形
【答案】A
【解析】将长方形纸片折叠，使A点落边BC上的点F处，可得到BA＝BF，折痕为BE，沿EF剪下，故四边形ABFE为矩形，且有一组邻边相等，故四边形ABFE为正方形．
解：∵将长方形纸片折叠，A点落在边BC上的点F处，
∴BA＝BF，
∵折痕为BE，沿EF剪下，
∴四边形ABFE为矩形，
∴四边形ABFE为正方形．
故用的判定定理是；邻边相等的矩形是正方形．
故选；A．
5．如图，在矩形ABCD内有一点F，FB与FC分别平分∠ABC和∠BCD，点E为矩形ABCD外一点，连接BE，CE．现添加下列条件：①EB∥CF，CE∥BF；②BE=CE，BE=BF；③BE∥CF，CE⊥BE；④BE=CE，CE∥BF，其中能判定四边形BECF是正方形的共有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【解析】根据题意可得CF=BF，∠F=90°，根据平行四边形与正方形的的判定即可判断①；根据菱形与正方形的判定即可判断②；根据矩形与正方形的判定即可判断③；根据正方形的判定即可判断.
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠DCB=∠ABC=90°，
∵FB与FC分别平分∠ABC和∠BCD，
∴∠FCB=∠DCB=45°，∠FBC=∠ABC=45°，
∴∠FCB=∠FBC=45°，
∴CF=BF，∠F=180°﹣45°﹣45°=90°，
①∵EB∥CF，CE∥BF，
∴四边形BFCE是平行四边形，
∵CF=BF，∠F=90°，
∴四边形BFCE是正方形，故①正确；
∵BE=CE，BF=BE，CF=BF，
∴BF=CF=CE=BE，
∴四边形BFCE是菱形，
∵∠F=90°，
∴四边形BFCE是正方形，故②正确；
∵BE∥CF，CE⊥BE，
∴CF⊥CE，
∴∠FCE=∠E=∠F=90°，
∴四边形BFCE是矩形，
∵BF=CF，
∴四边形BFCE是正方形，故③正确；
∵CE∥BF，∠FBC=∠FCB=45°，
∴∠ECB=∠FBC=45°，∠EBC=∠FCB=45°，
∵∠F=90°，
∴∠FCE=∠FBE=∠F=90°，
∵BF=CF，
∴四边形BFCE是正方形，故④正确；
即正确的个数是4个.
故选D．
二、填空题（共5道题，每题8分，共40分）
6．如图，BD是△ABC的角平分线，DE∥BC，交AB于点E，DF∥AB，交BC于点F，当△ABC满足_________条件 时，四边形BEDF是正方形．
【答案】∠ABC=90°
【解析】由题意知,四边形DEBF是平行四边形,再通过证明一组邻边相等,可知四边形DEBF是菱形, 进而得出∠ABC=90°时,四边形BEDF是正方形.
解: 当△ABC满足条件∠ABC=90°,四边形DEBF是正方形.
理由:∵DE∥BC,DF∥AB,
∴四边形DEBF是平行四边形
∵BD是∠ABC的平分线,
∴∠EBD=∠FBD,
又∵DE∥BC,
∴∠FBD=∠EDB,则∠EBD=∠EDB,
∴BE=DE.
故平行四边形DEBF是菱形,
当∠ABC=90°时,菱形DEBF是正方形.
故答案为:∠ABC=90°.
7．如图，在四边形ABCD中，点E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，AC⊥BD，AC＝BD，则四边形EFGH是______．
【答案】正方形
【解析】有一个角是直角的平行四边形是矩形．利用中位线定理可得出四边形是平行四边形，且各边互相垂直，再证明邻边相等得到正方形．
解：点、、、分别为四边形的边、、、的中点，
，，，，
又，
，且．
故四边形是矩形，
，，
，
，
四边形是正方形．
故答案为：正方形．
8．如图，在四边形ABCD中，DA＝DC，∠ABC＝∠ADC＝90°，S四边形ABCD＝12cm2，则BE＝_____cm．
【答案】
【解析】过点D作DF垂直BC,垂足为F，根据AAS得到，证得，因此得到四边形DEBF为正方形，根据正方形面积即可求得边长．
解：过点D作DF垂直BC,垂足为F，如下图所示
∵，∠ABC＝∠ADC＝90°，
∴四边形DEBF为矩形，
∴∠EDF＝90°，
∵，
∴
在与中，
∴
∴，
∴四边形DEBF为正方形
∵S四边形ABCD＝12cm2，即S正方形DEBF=12cm2，
∴BE=cm，
故答案为．
9．如图，在正八边形ABCDEFGH中，AC、AE是两条对角线，则∠CAE的度数为_________°．
【答案】45
【解析】连接AG、GE、EC，易知四边形ACEG为正方形，根据正方形的性质即可求解．
解：连接AG、GE、EC，如图所示：
∵八边形ABCDEFGH是正八边形
∴，
∴
∴
∴四边形ACEG是菱形
又，
∴
∴四边形ACEG为正方形，
∵是正方形的对角线，
∴∠CAE==45°．
故答案为：45．
10．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，D为BC中点，E为AB边上的动点，则△CDE周长的最小值为________．
【答案】
【解析】作点C关于AB的对称点C′，连接AC′、BC′，先证四边形ACBC′为正方形，当点C′、E、D三点共线时△CDE周长的最小值=CD+C′D，利用勾股定理DC′＝即可．
解：如图，作点C关于AB的对称点C′，连接AC′、BC′，
∵AC=BC，∠ACB=90°
∴AC′=BC′=AC=BC=4，
∴四边形ACBC′为正方形，
当点C′、E、D三点共线时△CDE周长的最小值=CD+C′D，
∵点D为BC中点，AC＝BC＝4，
∴CD=DB=2
在Rt△DBC′中，∠DBC′＝90°，DB＝2，BC′＝4，
∴DC′＝．
∴△CDE周长的最小值= C′D + CD =+2．
故答案为： +2．
三、解答题（共2道题，每题10分，共20分）
11．已知：如图，在矩形中，、分别是边、的中点，、分别是线段、的中点．
（1）求证：；
（2）填空：当的值为多少时，四边形是正方形，请说明理由．
【答案】（1）见解析；（2）当时，四边形是正方形，理由见解析
【解析】（1）根据矩形性质得出AB=DC，∠A=∠D=90°，根据全等三角形的判定推出即可；
（2）由题意求出四边形MENF是平行四边形，求出∠BMC=90°和ME=MF，根据正方形的判定推出即可．
解：（1）证明：四边形是矩形，
，，
为的中点，
，
在和中
（2）当时，四边形是正方形，
理由是：，，，
，
，
，
，
四边形是矩形，
，
，
，
、、分别是、、的中点，
，，，，
四边形是平行四边形，
，，
四边形是正方形，
当时，四边形是正方形．
12．如图，已知Rt△ABC中，∠ABC=90°，先把△ABC绕点B顺时针旋转90°至△DBE后，再把△ABC沿射线平移至△FEG，DF、FG相交于点H．
（1）判断线段DE、FG的位置关系，并说明理由；
（2）连结CG，求证：四边形CBEG是正方形．
【答案】（1）FG⊥ED，理由详见解析；（2）详见解析
【解析】（1）由旋转及平移的性质可得到∠DEB+∠GFE=90°，可得出结论；
（2）由旋转和平移的性质可得BE=CB，CG∥BE，从而可证明四边形CBEG是矩形，再结合CB=BE可证明四边形CBEG是正方形．
解：（1）FG⊥ED．
理由如下：
∵△ABC绕点B顺时针旋转90°至△DBE后，
∴∠DEB=∠ACB，
∵把△ABC沿射线平移至△FEG，
∴∠GFE=∠A，
∵∠ABC=90°，
∴∠A+∠ACB=90°，
∴∠DEB+∠GFE=90°，
∴∠FHE=90°，
∴FG⊥ED；
（2）根据旋转和平移可得∠GEF=90°，∠CBE=90°，CG∥EB，CB=BE，
∵CG∥EB，
∴∠BCG=∠CBE=90°，
∴∠BCG=90°，
∴四边形BCGE是矩形，
∵CB=BE，
∴四边形CBEG是正方形．
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18.2.3 正方形
（第2课时）
人教版 八年级下
2022春人教版数学八年级下册课时精练
1．下列命题中，正确的是（ ）
A．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
B．对角线相等，且有一个角是直角的平行四边形是正方形
C．四个角都相等的菱形是正方形
D．对角线互相垂直平分且有一组邻边相等的四边形是正方形
【答案】C
解：A.对角线互相平分、垂直且相等的四边形是正方形，本选项不符合题意；
B.对角线相等且有一个角是直角的平行四边形是矩形，不一定是正方形；本选项不符合题意；
C.四个角都相等的菱形是正方形，正确，本选项符合题意；
D.对角线互相垂直平分且有一组邻边相等的四边形是菱形，不一定是正方形；本选项不符合题意；
故选：C．
2．在四边形ABCD中，O是对角线的交点，能判定这个四边形是正方形的条件是（ ）
A．AC＝BD，AB∥CD，AB＝CD
B．AD∥BC，∠A＝∠C
C．AO＝BO＝CO＝DO，AC⊥BD
D．AO＝CO，BO＝DO，AB＝BC
【答案】C
解：A，不能，只能判定为矩形；
B，不能，只能判定为平行四边形；
C，能；
D，不能，只能判定为菱形．
故选C．
3．过正方形的中心作两条互相垂直的直线，则以这两条直线与正方形各边交点为顶点的四边形是（ ）
A．筝形 B．矩形 C．菱形 D．正方形
【答案】D
解：根据题意，画出图形，如下图，AC、BD为正方形ABCD对角线，且交于点O，EG、HF过点O，且EG⊥HF，
在正方形ABCD中，AO=CO=BO=DO，∠OAH=∠OCF=∠OBA=45°，∠AOB=90°，
∵∠AOH=∠COF，
∴△AOH≌△COF，
∴OH=OF，
同理OE=OG，
∴四边形EFGH是平行四边形，
∵EG⊥HF，
∴四边形EFGH是菱形，∠EOH=90°，
∴∠AOH=∠BOE，
∵AO=BO，∠OAH=∠OBA=45°，
∴△AOH≌△BOE，
∴OE=OH，
∴EG=HF，
∴四边形EFGH是正方形．
故选：D．
4．如图，将长方形纸片折叠，使点落在边上的处，折痕为，若沿剪下，则折叠部分展开是一个正方形，其数学原理是（ ）
A．有一组邻边相等的矩形是正方形 B．对角线相等的菱形是正方形
C．两个全等的直角三角形构成正方形 D．轴对称图形是正方形
【答案】A
解：∵将长方形纸片折叠，A点落在边BC上的点F处，
∴BA＝BF，
∵折痕为BE，沿EF剪下，
∴四边形ABFE为矩形，
∴四边形ABFE为正方形．
故用的判定定理是；邻边相等的矩形是正方形．
故选；A．
5．如图，在矩形ABCD内有一点F，FB与FC分别平分∠ABC和∠BCD，点E为矩形ABCD外一点，连接BE，CE．现添加下列条件：①EB∥CF，CE∥BF；②BE=CE，BE=BF；③BE∥CF，CE⊥BE；④BE=CE，CE∥BF，其中能判定四边形BECF是正方形的共有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠DCB=∠ABC=90°，
∵FB与FC分别平分∠ABC和∠BCD，
∴∠FCB=∠DCB=45°，∠FBC=∠ABC=45°，
∴∠FCB=∠FBC=45°，
∴CF=BF，∠F=180°﹣45°﹣45°=90°，
5．如图，在矩形ABCD内有一点F，FB与FC分别平分∠ABC和∠BCD，点E为矩形ABCD外一点，连接BE，CE．现添加下列条件：①EB∥CF，CE∥BF；②BE=CE，BE=BF；③BE∥CF，CE⊥BE；④BE=CE，CE∥BF，其中能判定四边形BECF是正方形的共有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
①∵EB∥CF，CE∥BF，
∴四边形BFCE是平行四边形，
∵CF=BF，∠F=90°，
∴四边形BFCE是正方形，故①正确；
∵BE=CE，BF=BE，CF=BF，
∴BF=CF=CE=BE，
∴四边形BFCE是菱形，
∵∠F=90°，
∴四边形BFCE是正方形，故②正确；
∵BE∥CF，CE⊥BE，
∴CF⊥CE，
∴∠FCE=∠E=∠F=90°，
∴四边形BFCE是矩形，
∵BF=CF，
∴四边形BFCE是正方形，故③正确；
∵CE∥BF，∠FBC=∠FCB=45°，
∴∠ECB=∠FBC=45°，∠EBC=∠FCB=45°，
∵∠F=90°，
∴∠FCE=∠FBE=∠F=90°，
∵BF=CF，
∴四边形BFCE是正方形，故④正确；
即正确的个数是4个.
故选D．
5．如图，在矩形ABCD内有一点F，FB与FC分别平分∠ABC和∠BCD，点E为矩形ABCD外一点，连接BE，CE．现添加下列条件：①EB∥CF，CE∥BF；②BE=CE，BE=BF；③BE∥CF，CE⊥BE；④BE=CE，CE∥BF，其中能判定四边形BECF是正方形的共有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
∵BE∥CF，CE⊥BE，∴CF⊥CE，
∴∠FCE=∠E=∠F=90°，∴四边形BFCE是矩形，
∵BF=CF，∴四边形BFCE是正方形，故③正确；
∵CE∥BF，∠FBC=∠FCB=45°，
∴∠ECB=∠FBC=45°，∠EBC=∠FCB=45°，
∵∠F=90°，∴∠FCE=∠FBE=∠F=90°，
∵BF=CF，∴四边形BFCE是正方形，故④正确；
即正确的个数是4个.
故选D．
6．如图，BD是△ABC的角平分线，DE∥BC，交AB于点E，DF∥AB，交BC于点F，当△ABC满足_________条件 时，四边形BEDF是正方形．
【答案】∠ABC=90°
解: 当△ABC满足条件∠ABC=90°,四边形DEBF是正方形.
理由:∵DE∥BC,DF∥AB,∴四边形DEBF是平行四边形
∵BD是∠ABC的平分线,
∴∠EBD=∠FBD,
又∵DE∥BC,
∴∠FBD=∠EDB,则∠EBD=∠EDB,
∴BE=DE.
故平行四边形DEBF是菱形,
当∠ABC=90°时,菱形DEBF是正方形.
故答案为:∠ABC=90°.
7．如图，在四边形ABCD中，点E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，AC⊥BD，AC＝BD，则四边形EFGH是______．
【答案】正方形
解：点、、、分别为四边形的边、、、的中点，，，，，
又，
，且．
故四边形是矩形，
，，
，
，
四边形是正方形．
故答案为：正方形．
8．如图，在四边形ABCD中，DA＝DC，∠ABC＝∠ADC＝90°，
S四边形ABCD＝12cm2，则BE＝_____cm．
【答案】
解：过点D作DF垂直BC,垂足为F，如下图所示
∵，∠ABC＝∠ADC＝90°，∴四边形DEBF为矩形，
∴∠EDF＝90°，∵，
∴
在与中，，
∴，∴，
∴四边形DEBF为正方形
∵S四边形ABCD＝12cm2，即S正方形DEBF=12cm2，
∴BE=cm，故答案为．
9．如图，在正八边形ABCDEFGH中，AC、AE是两条对角线，则∠CAE的度数为_________°．
解：连接AG、GE、EC，如图所示：
∵八边形ABCDEFGH是正八边形
∴，
∴
∴
∴四边形ACEG是菱形
45
9．如图，在正八边形ABCDEFGH中，AC、AE是两条对角线，则∠CAE的度数为_________°．
又，
∴
∴四边形ACEG为正方形，
∵是正方形的对角线，
∴∠CAE==45°．
故答案为：45．
45
10．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，D为BC中点，E为AB边上的动点，则△CDE周长的最小值为________．
【答案】
解：如图，作点C关于AB的对称点C′，连接AC′、BC′，
∵AC=BC，∠ACB=90°∴AC′=BC′=AC=BC=4，
∴四边形ACBC′为正方形，
当点C′、E、D三点共线时△CDE周长的最小值=CD+C′D，
∵点D为BC中点，AC＝BC＝4，
∴CD=DB=2
在Rt△DBC′中，∠DBC′＝90°，DB＝2，BC′＝4，
∴DC′＝．
∴△CDE周长的最小值= C′D + CD =+2．
故答案为： +2．
11．已知：如图，在矩形中，、分别是边、的中点，、分别是线段、的中点．
（1）求证：；
（2）填空：当的值为多少时，四边形是正方形，请说明理由．
（1）证明：四边形是矩形，
，，
为的中点，
，
在和中
（2）当时，四边形是正方形，
理由是：，，，
，
，，
，
四边形是矩形，，
，
，
、、分别是、、的中点，
，，，，
四边形是平行四边形，
，，
四边形是正方形，
当时，四边形是正方形．
12．如图，已知Rt△ABC中，∠ABC=90°，先把△ABC绕点B顺时针旋转90°至△DBE后，再把△ABC沿射线平移至△FEG，DF、FG相交于点H．
（1）判断线段DE、FG的位置关系，并说明理由；
（2）连结CG，求证：四边形CBEG是正方形．
解：（1）FG⊥ED．
理由如下：∵△ABC绕点B顺时针旋转90°至△DBE后，
∴∠DEB=∠ACB，
∵把△ABC沿射线平移至△FEG，
∴∠GFE=∠A，
∵∠ABC=90°，
∴∠A+∠ACB=90°，
∴∠DEB+∠GFE=90°，
∴∠FHE=90°，∴FG⊥ED；
12．如图，已知Rt△ABC中，∠ABC=90°，先把△ABC绕点B顺时针旋转90°至△DBE后，再把△ABC沿射线平移至△FEG，DF、FG相交于点H．
（1）判断线段DE、FG的位置关系，并说明理由；
（2）连结CG，求证：四边形CBEG是正方形．
（2）根据旋转和平移可得∠GEF=90°，∠CBE=90°，CG∥EB，CB=BE，
∵CG∥EB，
∴∠BCG=∠CBE=90°，
∴∠BCG=90°，
∴四边形BCGE是矩形，
∵CB=BE，
∴四边形CBEG是正方形．
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