泗水一中2013届高三期末模拟试题
数学（文）
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合等于（ ）
A. B. C. D.
2. 已知函数，则的值等于（ ）
A. B. C. D.0
3.命题“”的否定是（ ）
A. B. C. D.
4．设已知椭圆＋＝1(a>b>0)的一个焦点是圆x2＋y2－6x＋8＝0的圆心，且短轴长为8，则椭圆的左顶点为( )
A．(－3，0) B．(－4，0) C．(－10，0) D．(－5，0)
5．若函数的导函数在区间上是增函数，则函数在区间上的图象可能是（ ）
A B C D
6．在等差数列中，有，则此数列的前13项之和为 （ ）
A． 24 B． 39 C． 52 D． 104-
7．若第一象限内的点，落在经过点且具有方向向量的直线上，则有 （ ）
A. 最大值 B. 最大值1 C. 最小值 D. 最小值1
8．已知等比数列，则 （ ）
A． B．
C． D．
9．已知不共线向量满足，且关于的函数 在实数集R上是单调递减函数，则向量的夹角的取值范围是 （ ）
A． B． C． D．
10．若函数（，，）在一个周期内的图象如图所示，分别是这段图象的最高点和最低点，且（为坐标原点），则（ ）
A． B．
C． D．
11．过点可作圆的两条切线，则实数的取值范围为( )
A．或 B．
C． 或 D．或
12．已知R上的不间断函数 满足：①当时，恒成立；②对任意的都有。又函数 满足：对任意的，都有成立，当时，。若关于的不等式对恒成立，则的取值范围( )
A. B. C. D.
二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分.将答案填在题横线上.
13.已知过抛物线y2＝4x焦点F的直线交该抛物线于A、B两点，|AF|＝2，则|BF|＝______.
14.如图，长方体ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝AB＝2，AD＝1，
点E、F、G分别是DD1、AB、CC1的中点．
直线A1E与GF所成角等于__________．
15.设直线ax－y＋3＝0与圆(x－1)2＋(y－2)2＝4相交于A、B两点，且弦AB的长为2，则a＝________.
16.下列命题：
（1）若函数为奇函数，则；
（2）函数的周期；
（3）方程有且只有三个实数根；
（4）对于函数，若.
其中真命题的序号是__________（写出所有真命题的编号）
三、解答题：本大题共6个小题.共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17.（本小题满分10分）
已知集合
（1）若求实数m的值；
（2）设集合为R，若，求实数m的取值范围。
18：(本小题满分12分)
已知平面区域被圆C及其内部所覆盖．
(1)当圆C的面积最小时，求圆C的方程；
(2)若斜率为1的直线l与(1)中的圆C交于不同的两点A、B，且满足CA⊥CB，求直线l的方程．
19.如图，a是海面上一条南北方向的海防警戒线，在a上一点A处有一个水声监测点，另两个监测点B，C分别在A的正东方20km和54km处。某时刻，监测点B收到发自静止目标P的一个声波，8s后监测点A、20s后监测点C相继收到这一信号。在当时的气象条件下，声波在水中传播速度是.
（1）设A到P的距离为xkm，用x表示B，C到P的距离，并求x的值；
（2）求静止目标P到海防警戒线a的距离。
20.（本小题满分12分）
在平面直角坐标系中，已知三点，，，曲线C上任意—点满足：．
(l)求曲线C的方程；
(2)设点P是曲线C上的任意一点，过原点的直线L与曲线相交于M,N两点，若直线
PM，PN的斜率都存在，并记为，．试探究的值是否与点P及直线L有关，并证明你的结论；
(3)设曲线C与y轴交于D、E两点，点M (0,m)在线段DE上，点P在曲线C上运动．
若当点P的坐标为(0,2)时，取得最小值，求实数m的取值范围．
21．(本小题满分12分）
已知函数，是常数）在x=e处的切线方程为，既是函数的零点，又是它的极值点．
(1)求常数a,b,c的值；
(2)若函数在区间(1，3)内不是单调函数，求实数m的取值范围；
(3)求函数的单调递减区间，并证明：
22．（本小题满分12分）
已知椭圆,椭圆以的长轴为短轴,且与有相同的离心率.
(1)求椭圆的方程;
(2)设O为坐标原点,点A,B分别在椭圆和上,,求直线的方程.
参考答案：
1-5 DCBDA 6-10 CBADB 11-12 DA
13. 2 14. 15. 0 16.（1）（2）（3）
17.（1）
，，
（2）
18. (1)由题意知此平面区域表示的是以O(0,0)，P(4,0)，Q(0,2)构成的三角形及其内部，且△OPQ是直角三角形，
∵覆盖它的且面积最小的圆是其外接圆．∴圆心是(2,1)，半径是，
∴圆C的方程是(x－2)2＋(y－1)2＝5.
(2)设直线l的方程是：y＝x＋b.∵CA⊥CB，∴圆心C到直线l的距离是，
即＝.解之得，b＝－1±.
∴直线l的方程是：y＝x－1±.
19.（ 1)PA－PB＝x－PB＝，
。
同理，
（2）作，垂足为D，在中，
答：静止目标P到海防警戒线a的距离为
20.（1）由题意可得，
，
所以，
又，
所以，即.
（2）因为过原点的直线与椭圆相交的两点关于坐标原点对称，
所以可设.
因为在椭圆上，所以有
， ………①
， ………②
①-②得
.
又,，
所以，
故的值与点的位置无关，与直线也无关.
（3）由于在椭圆上运动，椭圆方程为，故，且
.
因为，所以
．
由题意，点的坐标为时，取得最小值，即当时，取得最
小值，而，故有，解得．
又椭圆与轴交于两点的坐标为、，而点在线段上， 即，亦即，所以实数的取值范围是．
21.（1）由知，的定义域为,, …1分
又在处的切线方程为，所以有
,①
由是函数的零点，得,②
由是函数的极值点，得，③
由①②③，得，，.
（2）由(1)知，
因此，，所以
.
要使函数在内不是单调函数，则函数在内一定有极值，而
，所以函数最多有两个极值.
令.
（ⅰ）当函数在内有一个极值时，在内有且仅有一个根，即
在内有且仅有一个根，又因为，当 ，即时，在内有且仅有一个根
，当时，应有，即，解得，所 以有.
.（ⅱ）当函数在内有两个极值时，在内有两个根，即二次函
数在内有两个不等根，所以
解得.
综上，实数的取值范围是.
（3）由，得，
令，得，即的单调递减区间为.
由函数在上单调递减可知，
当时, ，即，
亦即对一切都成立，
亦即对一切都成立，
所以，
，
，
…
，
所以有
，
所以.
22.(1)由已知可设椭圆的方程为
其离心率为,故,则
故椭圆的方程为
(2)解法一 两点的坐标分别记为
由及(1)知,三点共线且点,不在轴上,
因此可以设直线的方程为
将代入中,得,所以
将代入中,则,所以
由,得,即
解得,故直线的方程为或
解法二 两点的坐标分别记为
由及(1)知,三点共线且点,不在轴上,
因此可以设直线的方程为
将代入中,得,所以
由,得,
将代入中,得,即
解得,故直线的方程为或.
