山东省济宁市泗水一中2012-2013学年高二上学期期末模拟 数学理

泗水一中2012—2013学年高二上学期期末模拟试题
数学（理）
一、选择题（本大题共有12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四选项中只有一项是符合题目要求的。）
1．若复数，则z2=（ ）
A． B． C． D．
2．已知向量，，若∥，则等于 （ ）
A． B． C． D．
3. 在空间直角坐标系中，一定点到三个坐标轴的距离都是2，那么该定点到原点的距离是（ ）
A. B. C. D.
4. 在直线，曲线及轴轴所围成的封闭图形的面积是（ ）
A. B. C. D.
5．若A，B，当取最小值时，的值为（ ）
A．6 B．3 C．2 D．1
6．下列命题中为真命题的是（ ）
①“若，则不全为零”的否命题； ②“等腰三角形都相似”的逆命题； ③“若，则不等式的解集为R”的逆否命题。
A．① B．①③ C．②③ D．①②③
7.定义在上的函数满足，，已知,则是的（ ）条件．
A．充分不必要 B．必要不充分 C．充分必要 D．既不充分也不必要
8.数列的首项为，为等差数列且，若，，则（ ）
A． B． C． D．
9. 在△ABC中，AC＝6，BC＝7，＝，是△ABC的内心，若，其中,动点的轨迹所覆盖的面积为（ ）
A. B. C. D.
10．圆C与圆关于直线对称，则圆C的方程是（ ）
. B.
C. D.
11.过的焦点作直线交抛物线与两点，若与的长分别是，则（ ）
A． B. C. D.
12.已知F1、F2是椭圆+=1的两焦点，经点F2的的直线交椭圆于点A、B，若|AB|=5，则|AF1|+|BF1|等于（ ）
A．11 B．10 C．9 D．16
二、填空题（本大题共有4个小题，每小题5分，共20分）
13．已知命题，，则：___________
14．若双曲线的离心率为，则两条渐近线的方程为____
15．等差数列的前n项和为Sn,且，.记，如果存在正整数M，使得对一切正整数n，都成立.则M的最小值是
16．若不等式组表示的平面区域是一个三角形，则的取值范围是_______.
三、解答题（本大题共有6个小题，共70分）
17. （本小题满分10分）
在△ABC中，角A、B、C的对边分别为、、，且满足（）=
（1）求角B的大小;
（2）若, 求△ABC面积的最大值.
18．（本小题满分12分）
在平面直角坐标系中，设的顶点分别为，圆是的外接圆，直线的方程是
（1）求圆的方程；
（2）证明：直线与圆相交；
（3）若直线被圆截得的弦长为3,求的方程．
19. （本小题满分12分）
如图，四棱锥中，侧面是边长为2的正三角形，且与底面垂直，底面是的菱形，为的中点.
(1)求证：平面；
(2)求二面角的余弦值.
20．（本小题满分16分）
已知椭圆的左右两焦点分别为，是椭圆上一点，且在轴上方， .
（1）求椭圆的离心率的取值范围；
（2）当取最大值时，过的圆的截轴的线段长为6，求椭圆的方程；
（3）在（2）的条件下，过椭圆右准线上任一点引圆的两条切线，切点分别为.试探究直线是否过定点？若过定点，请求出该定点；否则，请说明理由．
21．（本小题满分12分）
已知函数 (为实常数) ．
（1）当时，求函数在上的最大值及相应的值；
（2）当时，讨论方程根的个数．
（3）若，且对任意的，都有，求实数a的取值范围．
22．（本小题满分12分）
已知的顶点，在椭圆上，在直线上，且.
（1）当边通过坐标原点时，求的长及的面积；
（2）当，且斜边的长最大时，求所在直线的方程．
参考答案:
1-5 BAADD 6-10 BCBAA 11-12 CA
13．， 14． 15．2 16．
17.(a-c)cosB=bcosC，根据正弦定理有(sinA-sinC)cosB=sinBcosC，
cosB=sinBcosC
sinAcosB=sin(C+B)，
即 2 sinAcosB=sinA，
因为sinA＞0，所以cosB=，即B=.
（2）因为| - |= ，所以| |= ，即b2=6，
根据余弦定理b2=a2+c2-2accosB，
可得6=a2+c2-ac，
有基本不等式可知6=a2+c2-ac≥2ac- ac=(2- )ac，
即ac≤3(2+ )，
S=acsinB= ac≤，
即当a=c= 时，
△ABC的面积的最大值为．
18．（1）设圆的方程为：，则解得
圆的方程为：（答案写成标准方程也可）
（2）直线的方程变为：
令得，直线过定点. ，在圆内，所以直线与圆相交.
（3）圆的标准方程为：，由题意可以求得圆心到直线的距离，，化简得，解得，所求直线的方程为：或.
19. （1）取的中点，连接，易知，在菱形中，由于，
则，又，则，即，
又在中，中位线，，则，
则四边形为，所以，在中，，
则，故而，
则
（2）由（I）知，则为二面角的平面角，
在中，易得，，
故，所求二面角的余弦值为
20.解： ， ∴，。
(1) ，∴,在上单调递减.
∴时，最小，时，最小，∴，∴.
(2) 当时，，∴，∴.
∵,∴是圆的直径，圆心是的中点，∴在y轴上截得的弦长就是直径，∴=6.又，∴.∴椭圆方程是
（3）由（2）得到，于是圆心,半径为3，圆的方程是.椭圆的右准线方程为，,∵直线AM,AN是圆Q的两条切线，∴切点M,N在以AQ为直径的圆上。设A点坐标为，∴该圆方程为。∴直线MN是两圆的公共弦，两圆方程相减得：，这就是直线MN的方程。该直线化为：∴直线MN必过定点。
21. 解：（1），当时，．当时，，又，故，当时，取等号
（2）易知，故，方程根的个数等价于时，方程根的个数。 设=，
当时，，函数递减，当时，，函数递增。又，，作出与直线的图像，由图像知：
当时，即时，方程有2个相异的根；
当 或时，方程有1个根；
当时，方程有0个根；
（3）当时，在时是增函数，又函数是减函数，不妨设，则等价于
即，故原题等价于函数在时是减函数，
恒成立，即在时恒成立。
在时是减函数
22．（1）∵，且边通过点，∴直线的方程为．
设两点坐标分别为．由，得．…3分
∴．
又边上的高等于原点到直线的距离．
∴，．
（2）设所在直线的方程为，
由得．
因为A, B在椭圆上，所以．设两点坐标分别为
，则，，
所以．
又因为的长等于点到直线的距离，即．
所以．
所以当时，边最长，（这时）
此时所在直线的方程为．