苏科版数学七年级下册同步课时训练：12.2.3与三角形内角和定理有关的证明(word版含答案)

第3课时　与三角形内角和定理有关的证明
知识点　与三角形内角和定理有关的证明
1.如图,点D在△ABC的边AB的延长线上,DE∥BC,则下列结论正确的是 (　　)
A.∠A=∠D=∠C B.∠D=∠A-∠C
C.∠A=∠D-∠C D.∠D=∠C-∠A
图 2.(2021无锡锡山区模拟)如图,△ABC中,∠A=30°,D为CB延长线上的一点,DE⊥AB于点E,∠D=40°,则∠C的度数为 (　　)
A.20° B.15° C.30° D.25°
3.(教材例2变式)如图,在△ABC中,点D,E分别在AB,BC边上.比较大小:∠A+∠C
　　　　∠1+∠2.(填“>”“=”或“<”)
4.请把下面的解题过程补充完整.
如图,∠ACD是△ABC的一个外角,那么它与不相邻的两个内角∠A,∠B之间有怎样的数量关系 为什么
解:∠ACD=　　　　　　.
理由:∵　　　　+∠ACB=180°(　　　　),
∠ACB+　　　　=180°(邻补角的定义), ∴∠ACD=　　　　(等量代换).
5.如图,在△ABC中,∠ABC=∠C,BD⊥AC于点D.求证:∠DBC=∠A.
　
6.(2021扬州宝应县月考)如图,CE平分∠ACD,且交BA的延长线于点E.
求证:∠BAC=∠B+2∠E.
7.(2021苏州工业园区月考)如图,C是∠BAD内一点,连接CB,CD,∠A=80°,∠B=10°,∠D=40°,则∠BCD的度数是(　　)
A.110° B.120° C.130° D.150°
图 8.(2021常州金坛区月考)如图,在△ABC中,∠B=28°,将△ABC沿直线m翻折,使点B落在点D的位置,则∠1-∠2的度数是　　　　.
9.如图,在△ABC中,∠B<∠ACB,AD平分∠BAC交BC于点D,P为线段AD(端点除外)上的一个动点,PE⊥AD交直线BC于点E.
(1)若∠B=35°,∠ACB=85°,求∠E的度数;
(2)当点P在线段AD上运动时,求证:∠E=(∠ACB-∠B).
10.已知:如图,在△ABC中,∠B<∠C,AD,AE分别是△ABC的高和角平分线.
(1)若∠B=30°,∠C=50°,则∠DAE的度数是　　　　(直接写出答案);
(2)写出∠DAE,∠B,∠C之间的数量关系:　　　　　　　,并证明你的结论.
11.(2021南京栖霞区月考)如图,已知在四边形ABCD中,∠A=∠BCD=90°.
(1)如图①,若BE平分∠ABC,DF平分∠ADC的邻补角,请写出BE与DF的位置关系,并证明;
(2)如图②,若BF,DE分别平分∠ABC,∠ADC的邻补角,判断DE与BF的位置关系,并证明;
(3)如图③,若BE,DE分别五等分∠ABC,∠ADC的邻补角(即∠CDE=∠CDN,∠CBE=∠CBM),求∠E的度数.
　
答案
第3课时　与三角形内角和定理有关的证明
1.C　 ∵DE∥BC,∴∠D=∠DBC.
∵∠DBC=∠C+∠A,∴∠D=∠C+∠A,∴∠A=∠D-∠C.
2.A　 在△DBE中,∠ABD=180°-∠D-∠DEB=50°,
而∠ABD=∠A+∠C,则∠C=∠ABD-∠A=20°.
故选A.
3.=　 ∵∠A+∠C+∠B=180°,∠1+∠2+∠B=180°,
∴∠A+∠C=180°-∠B,∠1+∠2=180°-∠B,
∴∠A+∠C=∠1+∠2.
4.∠A+∠B　∠A+∠B　三角形内角和定理 ∠ACD　∠A+∠B
5.证明:∵∠ABC+∠C+∠A=180°,∠ABC=∠C,
∴2∠C+∠A=180°.
∵BD⊥AC,
∴∠C+∠DBC=90°,
∴2∠C+2∠DBC=180°,
∴2∠DBC=∠A,
∴∠DBC=∠A.
6.证明:∵CE平分∠ACD,
∴∠ECD=∠ACE.
∵∠BAC=∠ACE+∠E,
∠ECD=∠ACE=∠B+∠E,
∴∠BAC=∠B+∠E+∠E=∠B+2∠E.
7.C　 如图,延长BC交AD于点E.
∵∠BED是△ABE的一个外角,∠A=80°,∠B=10°,
∴∠BED=∠A+∠B=90°.
∵∠BCD是△CDE的一个外角,∠D=40°,
∴∠BCD=∠BED+∠D=130°.
故选C.
8.56°　 ∵∠B=28°,将△ABC沿直线m翻折,使点B落在点D的位置,
∴∠D=∠B=28°.
∵∠1=∠B+∠BEF,∠BEF=∠2+∠D,
∴∠1=∠B+∠2+∠D,
∴∠1-∠2=∠B+∠D=28°+28°=56°.
9.解: (1)∵∠B=35°,∠ACB=85°,
∴∠BAC=60°.
∵AD平分∠BAC,∴∠DAC=30°,
∴∠ADC=180°-∠ACB-∠DAC=65°.
∵PE⊥AD,∴∠DPE=90°,
∴∠E=25°.
(2)证明:∵∠B+∠BAC+∠ACB=180°,
∴∠BAC=180°-(∠B+∠ACB).
∵AD平分∠BAC,
∴∠BAD=∠BAC=90°-(∠B+∠ACB),
∴∠ADC=∠B+∠BAD=90°-(∠ACB-∠B).
∵PE⊥AD,∴∠DPE=90°,
∴∠ADC+∠E=90°,
∴∠E=90°-∠ADC,
即∠E=(∠ACB-∠B).
10. (1)∵∠B=30°,∠C=50°,
∴∠BAC=180°-∠B-∠C=100°.
∵AE是△ABC的角平分线,
∴∠EAC=∠BAC=50°.
∵AD是△ABC的高,
∴∠ADC=90°,
∴∠DAC=180°-∠ADC-∠C=180°-90°-50°=40°,
∴∠DAE=∠EAC-∠DAC=10°.
解:(1)10°
(2)∠DAE=(∠C-∠B)
证明:∵AD是△ABC的高,
∴∠ADC=90°,
∴∠DAC=180°-∠ADC-∠C=90°-∠C.
∵AE是△ABC的角平分线,
∴∠EAC=∠BAC.
∵∠BAC=180°-∠B-∠C,
∴∠DAE=∠EAC-∠DAC
=∠BAC-(90°-∠C)
=(180°-∠B-∠C)-90°+∠C
=90°-∠B-∠C-90°+∠C
=(∠C-∠B).
11.解:(1)BE⊥DF.
证明:如图①,延长BE交FD的延长线于点H.
∵∠A=∠C=90°,
∴∠ABC+∠ADC=180°.
∵∠ADC+∠CDN=180°,
∴∠ABC=∠CDN.
∵BE平分∠ABC,DF平分∠CDN,
∴∠ABE=∠ABC,∠EDH=∠FDN=∠CDN,
∴∠ABE=∠EDH.
∵∠ABE+∠AEB=90°,∠AEB=∠DEH,
∴∠DEH+∠EDH=90°,
∴∠H=90°,
即BE⊥DF.
(2)DE∥BF.
证明:如图②,连接BD.
∵∠ABC+∠ADC=180°,∠MBC+∠ABC=180°,∠CDN+∠ADC=180°,
∴∠MBC+∠CDN=180°.
∵BF,DE分别平分∠MBC,∠CDN,
∴∠CBF=∠MBC,∠CDE=∠CDN,
∴∠CBF+∠CDE=90°.
∵∠C=90°,
∴∠CBD+∠CDB=90°,
∴∠EDB+∠FBD=∠CBF+∠CDE+∠CBD+∠CDB=180°,
∴DE∥BF.
(3)∵∠MBC+∠CDN=180°,∠CBE=∠CBM,∠CDE=∠CDN,
∴∠CDE+∠CBE=(∠MBC+∠CDN)=36°.
易得∠DCB=∠E+∠CBE+∠CDE,
∴∠E=90°-36°=54°.